Идентификация матрицы выхода динамической модели несущей в пространстве состояний многолучевого канала Текст научной статьи по специальности «Физика»

СИСТЕМЫ, СЕТИ И УСТРОЙСТВА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

УДК 621.397.13

Идентификация матрицы выхода динамической модели несущей в пространстве состояний многолучевого канала

Вадим Михайлович Советов, д.т.н., с.н.с., проф. каф. «Информационные системы», e-mail: [email protected]

Павел Александрович Медведев, аспирант, e-mail: [email protected]

ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва

Представлена динамическая модель многолучевого канала в пространстве состояний; получены выражения для матрицы выхода при различном количестве лучей; осуществлен синтез и анализ рекуррентного алгоритма идентификации матрицы многолучевого канала; осуществлена оценка точности идентификации матрицы выхода многолучевого канала; показано, что идентификацию матрицы выхода можно проводить на длительность стационарности канала и при достаточной точности оценки повысить помехоустойчивость приема, применяя фазовую манипуляцию и когерентный прием.

The article presents the dynamic model of the multipath channel in the space of states. The authors presented the value of the index for the matrix of the output at different amounts of beams and carried out the synthesis and analysis of recursive identification algorithm for multipath channel matrix. The article evaluated the accuracy of the identification matrix output of the multipath channel. It is shown that identification of the matrix outputs can be performed on the duration of the stationary channel and that it is possible to increase noise immunity of the reception using phase manipulation and coherent reception with a sufficient accuracy of the estimate.

Ключевые слова: пространство состояний, идентификация, фильтр Калмана, оценка состояния.

Keywords: space of states, identification, Kalman’s filter, estimation of the state.

Для передачи информации используют, как правило, гармоническую несущую

5(0 = АС08(2пд + щ,), кГь < I < (к + 1)ТЬ , (1)

где / - частота несущей; щ0 - начальная фаза несущей; Ть - длительность информационного импульса.

На длительности информационного импульса тем или иным способом устанавливаются параметры несущей (амплитуда, частота, фаза) в соответствии с выбранным законом модуляции (манипуляции) и значением информационного сигнала. В этих случаях приемники в качестве основного элемента имеют в своем составе коррелятор или согласованный фильтр, осуществляющие фильтрацию сигнала.

Однако несущий сигнал (1) можно также представить динамической моделью в пространстве состояний (ПС) в виде уравнения смены состояний и уравнения наблюдения состояний в непрерывном или в дискретном времени [1]. Дискретная динамическая модель несущего сигнала (1) в ПС имеет вид

где x(k)=

x(k + І) = Ax(k), y(k) = Cx(k),

хІ (k)

(2)

(З)

. (k)

шаге;

A=

- вектор состояния (ВС) на k-м І

матрица перехода

0

-І 2cos coT

(смены) состояний (МПС) (а = 2nf - круговая частота, T - интервал дискретизации); y(k) -вектор наблюдения на k-м шаге (в нашем случае он одномерный), k = 0,І,...; С = [І 0] - матрица выхода уравнения наблюдения.

Начальная фаза несущей устанавливается вектором начального состояния

sin(^0)

:(0 ) =

sin (а T +у0 )

(4)

При использовании представления несущей моделью в пространстве состояний в виде (2), (3)

X

основным элементом приемника является фильтр Калмана (ФК) [1].

Целью статьи является разработка модели многолучевого распространения на базе динамической модели несущей в ПС и синтез алгоритма идентификации параметров модели.

Используя вектор начального состояния (4), уравнение смены состояния (2) можно записать как

x(k +1) = Akх(О).

(5)

Найдем выражение для матрицы А , используя свойства МПС. Запишем характеристический многочлен МПС А [2]:

2 -1

1 X- 2соваТ

A(A) = \Л1 - A =

= Л2 -2Acosa>T+1.

Корни характеристического многочлена являются собственными числами МПС

Л 2 = cosaT ± jsinaT = cos—± jsin—=

%2 N N

= exp (± jaT ),

где N - число отсчетов на периоде гармоники.

Поскольку МПС гармонического колебания имеет различные собственные (характеристические) числа, выражение (5) можно записать как [2]

x(k +1) = MЛk M-1х(О),

(б)

где М - модальная матрица из собственных векторов; Л - диагональная матрица из собственных значений.

Для образования модальной матрицы М необходимо знать собственные векторы для различных характеристических чисел. Известно [2], что их можно вычислить, зная присоединенную матрицу Е(Я). Найдем присоединенную матрицу по формуле

-1

F(l) = (Л - A)-1A(1) =

Л -1 1 Л- 2cosaT

A(l) =

Л- 2cos aT -І

F(A) =

F(^) =

- cos oT - j sin oT 1

-1 cos oT - j sin oT

В качестве второго собственного вектора можно также взять любой столбец матрицы F(^). Пусть второй собственный вектор будет z2 = [1 cos oT - j sin oT].

Таким образом, модальную матрицу можно записать как

M =

(7)

1 1

cos oT + j sin coT cos oT - j sin coT Обратная к модальной матрице будет иметь вид

M-1 =-

1

- cos aT + j sin aT 1

cos aT + j sin aT -1

(S)

2 j sin oT

Согласно (6), с использованием модальной матрицы (7) и обратной к ней (8), k-я степень МПС представляется как

Ak = M x

,2л .,2л

cos k— + j sin k— N N

О

(9)

О

,2л . , 2л

cos k----j sin k—

N N

M-

Перемножив диагональную матрицу в (9) на модальную (7) и обратную к модальной (8), получим искомое выражение:

Ak =-

1

sin(aT - kaT) sin kaT

- sin kaT sin(aT + kaT)

. (ІО)

Подставив Л1 = cos oT+j sin®T в F(2), получим

- cos aT + j sin aT 1

-1 cos oT + j sin oT

Пусть первый собственный вектор будет zT = [1 cos oT + j sin oT]. Чтобы найти второй вектор, вычислим значение присоединенной матрицы для Л2 = cos oT - j sin oT :

sin аТ

Можно показать, что характеристический многочлен и характеристические числа матрицы Ак будут такими же, как и матрицы А.

При многолучевом распространении результирующая несущая частота остается неизменной, а фаза и амплитуда зависят от фаз и амплитуд лучей. Так как частота несущей остается неизменной, то возможно найти матрицу преобразования исходного сигнал в сигнал, образованный в результате суммирования многих лучей, т.е. преобразование подобия.

Используя полученное выражение (10), найдем матрицу выхода для многолучевого сигнала на выходе канала при относительной задержке лучей на гI отсчетов. Рассмотрим сначала случай, когда на входе приемного устройства наблюдается сумма двух сигналов:

у(к) = С0х(к) + С1х(к + г) = С0х(к) + С1Аг х(к) =

= (Со + С1Аг) х(к) = Б2(г )х(к), (11)

где Со =[1 0]; С = [а 0]; Со =1 С„ С = аС

а

(а - амплитуда отраженного луча).

x

Подставим в (11) найденное ранее выражение (10) и после несложных преобразований получим матрицу выхода динамической модели в пространстве состояний двухлучевого сигнала:

D2(r, a) = [1 0](l + aAr) = [drd2 ], (12)

, , a sin(aT - raT) , a sin raT

где dx = 1 +-----------------; d2 =------------.

sin aT sin aT

Аналогично можно получить матрицу такой же размерности (1 х 2) для уравнения выхода динамической модели в пространстве состояний многолучевого сигнала для M лучей при относительных задержках лучей на r1, r2rM_1 отсчетов:

Dm (r, a) = [ d2 ], (13)

где

d 1 + axsin(aT _ r1aT) + a2sin(aT _ r2aT) +...

di = 1 +-------------------------------------------^

sinaT

^... + aM_1 sin(aT _ Гм_xaT)

d2 =

a, sinr1aT і a2 sinr2aT і... і aM_, sinrM_1aT sin aT ’

= [ri

которые задержаны лучи; а = [ах а2 ... ам-1

вектор амплитуд лучей.

Таким образом, динамическая модель М-лу-чевого сигнала в пространстве состояний будет иметь вид

х(к +1) = Ах(к), (14)

У (к) = Ом (г, а)х(к). (15)

Как видно из формы матрицы выхода размерностью (1 х 2) для М-лучевого сигнала (13) и уравнения выхода (15), двумерный вектора состояния х(к), представляющий собой два соседних отсчета гармонической несущей в момент времени к, отображается в один отсчет выходного сигнала у(к), представляющего суммарный сигнал М лучей в момент времени к. Поэтому такую матрицу многолучевого канала (ММК) можно обозначить в (15) как О]_м (г,а), введя дополнительный индекс 1, показывающий, что отображение двух отсчетов осуществляется в один. Ясно, что отображение является не взаимно-однозначным, и в этом случае не существует обратного преобразования.

Однако возможно рассматривать модель выходного сигнала с взаимно-однозначным отображением, при котором два предыдущих соседних отсчета несущей отображаются в два последующих отсчета. В этом случае МПС такого отображения находится как

a2 = A2k =—1— х sin aT

sin2 (aT _ kaT) _ sin2 kaT sin 2kaT sin aT

_ sin 2kaT sin aT sin2 (aT + kaT) _ sin2 kaT

Проделав аналогичные вычисления, как при нахождении ММК D1>M (r, a), получим (2 х 2)

ММК при отображении двух соседних отсчета в два последующих соседних:

D

2M

d11 d21 d12 d22

где

a, sin (aT _ r,aT) _ a, sin r,aT і...

dii =---------------------------------------------------Чі-1-1->

sin aT

^ ... і aM_i sin2 (aT _ ГмT) _ ^

d12 =

r2 ... гм_,] - вектор значений отсчетов, на

т = [a, a2

_aisin2riaT_... _aM_1sin2rM_iaT ;

sin aT ’

d a1sin2r1T! і... і aM_1sin2rM _1tT

d21 =

sinaT

d a, sin2(aT і r1aT) _ a, sin2 riaT і...

d22 = • 2 T >

sin aT

^ ... і aM_, sin2(aT і rM_iaT) _ ^

Матрица многолучевого канала О2м (г, а) обратима.

На рис. 1 показаны результаты моделирования многолучевого сигнала для случая двух лучей. Как видно, многолучевой сигнал отличается от исходного несущего сигнала амплитудой и сдвигом фазы.

Рис. 1. Несущие на входе и выходе многолучевого канала: кривая 1 - несущая на входе; кривая 2 - суммарный сигнал при сложении с одинаковой фазой; кривая 3 - суммарный сигнал при сложении с разными фазами

r

В моделях представления несущего сигнала в пространстве состояний при многолучевом распространении (14), (15) неизвестным параметром будет ММК (г, а) или Б2М (г, а). Однако если значения вектора состояния х(к) и вектора наблюдения у(к) известны для четырех последовательных моментов времени, то возможно вычислить ММК.

Рассмотрим модель, в которой уравнение наблюдения (15) осуществляет взаимно-однозначное отображение двумерного вектора состояния х(к) в двумерный вектор наблюдения у(к). После двух измерений можно построить матрицы наблюдаемости из ВС

Х(к) = [х(к) х(к +1)] (16)

и векторов наблюдения

¥(к) = [у (к) у (к +1)] =

= [°2,м (г, а)х(к) Б2М (г, а)х(к +1) ] =

= °2,м (г, а) [х(к) х(к +1)]. (17)

В соответствии с уравнением выхода (15) при Б2м (г, а) и образованных матриц наблюдаемости

(16), (17) составим следующее матричное уравнение:

¥(к) = Б2М (г, а)Х(к).

Если матрица X (к) невырожденная (ранг матрицы равен размерности вектора состояния п=2), то ММК находится как

Б2М (г, а) = ¥(к)X~\к). (18)

Аналогичное уравнение (18) можно составить и для вычисления матрицы Б^ (г, а) из четырех

последовательных отсчетов.

При наличии аддитивных помех в многолучевом канале связи уравнение выхода (15) запишем как

У (к) = Б1М (г, а)х(к) + у(к), (19)

где у(к) - вектор нормальной помехи с характеристиками Е{у(к)} = 0, еоу{у(к), у(к)} = Уу .

На рис. 2 показан сигнал на выходе двухлучевого канала без шумов и при наличии шумов. При наличии шумов задача идентификации ММК, по сравнению с (18), усложняется, однако она может быть решена с помощью известных оптимальных алгоритмов рекуррентной оценки, например ФК. Для этого необходимо преобразовать модель (14), (15) так, чтобы вектором состояния являлся вектор элементов ММК.

Представим оцениваемые параметры ММК Б2,М (г,а) элементами некоторого 4-мерного вектора параметров

У (к) 2 0 -2 -4

1

./ 7 Я ■ 1. ;} \ ;

' ; 1

0

50

100

150

Рис. 2. Несущая на выходе многолучевого канала с шумом: кривая 1 - несущая на входе; кривая 2 - суммарный сигнал при сложении с разной фазой; кривая 3 - суммарный сигнал при сложении с разными фазами с шумом

Ьт(к) = [Бх(к) Б2(к)], (20)

где Б (к) - строки матрицы Б2 м (г, а), г = 1,2 .

Для матрицы Б]м (г, а) вектор (20) будет двумерным.

Будем считать, что матрица Б2м (г, а) на интервале времени оценки ее параметров постоянная, тогда уравнение смены состояния для вектора параметров Ь(к) можно записать как

Ь(к +1) = 1Ь(к). (21)

Теперь уравнение выхода (15) представим в терминах введенного вектора параметров (20). Для этого из векторов состояния системы х(к -1) образуем следующую (2 х 4)-мерную матрицу:

"хт(к) 0

(22)

0 хт(к)

Для матрицы Б1м (г, а) матрица (21) будет

иметь размерность 1 х 2.

Используя введенные обозначения (20) и (22), уравнение выхода (15) преобразуем относительно вектора параметров к виду

у (к) = 8 (к )Ь(к) + у(к). (23)

Как видно, в (15) Бм (г, а)х(к) = 8(к)Ь(к) и уравнение (21) совместно с (23) образуют новую динамическую модель в ПС относительно ВС Ь(к), в которой I является МПС, а 8(к) - матрицей выхода.

Для уравнения смены состояний (21) и выхода (23) запишем соответствующие уравнения ФК [3]:

УЬ (к + 1|к) = У£ (к|к), (24)

Ь (к +1) =

= Ь (к | к) + К (к + 1)[у(к +1) - 8 (к )Ь (к)], (25)

К (к +1) = (26)

= УЬ (к )8т (к +1)[8( к +1)УЬ (к )8т (к +1) + Уу ]-1, У£ (к +1) = [I - К (к +1)8 (к + 1)]УЬ (к), (27)

где К(к) - весовая матрица; У£ (к) - матрица ковариации ошибки оценки ВС Ь(к).

На рис. 3 показана дисперсия ошибки оценки ММК в зависимости от числа шагов оценки. С ростом числа шагов дисперсия ошибки оценки ММК уменьшается. Так как в алгоритм расчета матрицы ковариации ошибки оценки (24), (26), (27) не входит наблюдение, то дисперсия ошибки не зависит от амплитуды многолучевого сигнала.

10

1

од

0,01

1 10 100 1х103

к

Рис. 3. Элементы матрицы ковариации У£ оценки матрицы выхода двухлучевого канала в зависимости от числа шагов оценки: кривая 1 - элемент У£ ; кривая 2 - элемент У£ 22

На рис. 4 показаны результаты идентификации элементов ММК для случая двух лучей. Как видно, с ростом числа шагов оценки увеличивается точность оценки и значения оценки коэффициентов ММК приближаются к истинным. Так как в зависимости от фаз лучей изменяется амплитуда и фаза суммарного сигнала, то изменяются и элементы ММК.

Приемник для двух гипотез в случае, когда несущая представляется динамической моделью в ПС, осуществляет фильтрацию сигнала перед принятием решения с помощью модифицированного ФК [4]:

хо,1(к)=

= Ахо,1 (к -1) + к од (к )[у (к) - СА^д (к -1)], (28)

Ух о1(к + 1|к) = АУход(к )Ат, (29)

К о,1 (к) = Ух 01(к|к - 1)Ст х

х[ХоД(к )УЬ (к )Х0од(к) + Уу (к) +

+СУх01(к|к - 1)С° ]-1, (зо)

Ух од (к) = [I - К од (к )С]Ух о1 (к | к -1). (31)

Данный фильтр отличается от обычного ФК тем, что в выражении (3о) в квадратных скобках

1 (к)

4 2 0 -2 -4 -6

0 200 400 к

Рис. 4. Элементы матрицы выхода двухлучевого канала в зависимости от числа шагов оценки: кривая 1 - элемент (<^); кривая 2 - элемент (<!) (см. (12))

имеется дополнительный член Хо 1 (к)УЬ (к)Хо 1 (к),

определяющий степень неточности оценки ММК. Если рассматривать систему передачи с двоичной фазовой манипуляцией (ДФМн), то, как видно, значение дополнительного члена не зависит от знака ВС хо 1 (к) или образованной из него матрицы

Хо х(к). Также не зависит от знака и оценка ММК в

алгоритме (24) - (27), поэтому оценку ММК можно производить на длительности, при которой не изменятся условия отражения лучей, как правило, превышающей длительность бита.

На рис. 5 показан результат моделирования алгоритма (28) - (31) для двух лучей в случае, когда амплитуда суммарного сигнала меньше амплитуды исходного и полученный сдвиг фазы делает сигнал противоположным. Однако в процессе оценки амплитуда и сдвиг фазы оценки становятся равными амплитуде и фазе исходного сигнала. Это говорит о том, что оценка ММК с использованием алгоритма (24) - (27) осуществлена с достаточной точностью (в данном случае дисперсия оценки составляет о,о5).

На рис. 6 показан результат оценки несущей в случае, когда лучи складываются в фазе и амплитуда результирующего сигнала увеличивается в 2 раза. При этом исходный ДФМн-сигнал имеет противоположную фазу. Как видно, оценка также приближается к исходному сигналу по мере увеличения числа шагов, при этом скорость приближения возросла.

Зависимость значений элементов матрицы ковариации ошибки оценки показана на рис. 7 для двух рассмотренных выше случаев суммирования лучей. Как видно, при суммировании в фазе и, соответственно, при увеличении амплитуды резуль-

Рис. 5. Оценка вектора состояния динамической модели не- Рис. 6. Оценка вектора состояния динамической модели несущей: кривая 1 - несущая на входе многолучевого канала сущей: кривая 1 - несущая на входе многолучевого канала; х(к); кривая 2 - несущая на выходе многолучевого канала кривая 2 - несущая на выходе многолучевого канала при

у(&); кривая 3 - результат оценки несущей

сложении лучей в фазе; кривая 3 - результат оценки несущей

Рис. 7. Дисперсия оценка вектора состояния динамической модели несущей: а - для случая, когда лучи складываются не в фазе (см. рис. 5); б - когда лучи складываются в фазе (см. рис. 6)

тирующего сигнала (рис. 7, б)) дисперсия ошибки оценки убывает быстрее. Таким образом, при оценке ВС по алгоритму (28) - (31) дисперсия оценки зависит от амплитуды сигнала на выходе многолучевого канала. Это связано с тем, что в выражение (30) входит член СУХ (к | к - 1)Ст,

значение которого зависит от оценки ММК С. При увеличении амплитуды суммарного сигнала элементы матрицы С уменьшаются по абсолютной величине и влияние С\Х01(к | к - 1)Ст на дисперсию оценки становится меньше.

Рассмотренный пример для двухлучевого сигнала не ограничивает число лучей при идентификации ММК и ВС.

Таким образом, показано, что представленная модель многолучевого сигнала в пространстве состояния и синтезированный алгоритм идентификации матрицы выхода модели позволяют осуществлять идентификацию матрицы многолучевого канала и

оценку фазы и амплитуды передаваемой несущей с необходимой точность. Используя эти модели и синтезированный алгоритм идентификации, возможно построить различные алгоритмы приема сигналов с различным типом модуляции. В рассмотренном случае показано, что возможно даже использовать ДФМн при многолучевом распространении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Советов В. М., Коекин В. А. Оптимальный алгоритм приема при использовании модели сигнала в пространстве состояний // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т. 14. № 11. С. 22 - 28.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Изд. 4-е. М.: Наука. 1988.

3. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ. М.: Связь. 1976.

4. Советов В. М., Медведев П. А. Оптимальный алгоритм приема при использовании модели несущей в пространстве состояний со случайной матрицей выхода // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2011. Т. 7. № 1. С. 26 - 31.

Поступила 04.03.2011 г.