CC BY
95
Том XXXIX
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 8
№ 3
УДК 533.6.011.55:629.7.025.73 629.782.015.3 533.6.011.55:532.582.33
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ ФОРМЫ НОСОВЫХ ЧАСТЕЙ ПРОФИЛЕЙ И ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ПОД УГЛОМ АТАКИ
В. Н. ГОЛУБКИН, В. В. СЫСОЕВ
Рассмотрена задача определения форм носовых частей профилей и тел вращения, обладающих минимальным волновым сопротивлением при различных углах атаки в гиперзву-ковом потоке газа при заданной относительной длине. Получены соответствующие формы носовых частей. Проведено сравнение аэродинамических характеристик носовых частей различной формы. Для решения оптимизационной задачи использован один из новых методов — генетический алгоритм, представляющий собой поиск оптимального решения, базирующийся на механизмах природной генетики и позволяющий достаточно быстро находить оптимальные решения, не накладывая ограничений на дифференцируемость получаемого решения.
Как известно, задачи оптимизации играют важную роль во всех областях науки и техники. В большинстве случаев они являются достаточно сложными, поэтому для их решения целесообразно применять разнообразные подходы. Генетический алгоритм является одним из новых методов решения задач оптимизации и по сравнению с традиционными методами обладает рядом преимуществ:
имеет одну и ту же структуру независимо от класса решаемой оптимизационной задачи; требует наименьшего объема исходной информации для нахождения решения; имеет наименьшие ограничения по гладкости целевой функции; обеспечивает нахождение глобального экстремума для рассматриваемой задачи; весьма эффективно использует уже имеющуюся информацию для получения очередного варианта решения, обладающего лучшими (по сравнению с предыдущим) характеристиками [1—4].
В настоящей работе «бинарный» генетический алгоритм применяется для решения задачи определения форм носовых частей профилей и тел вращения, обладающих минимальным волновым сопротивлением при различных углах атаки.
Распределение давления по поверхности определялось по модифицированной формуле Ньютона. Заданными параметрами являлись относительная длина носовой части Ь = Ь/И, где Ь — ее длина, И — полутолщина (профиль) или радиус (тело вращения) обтекаемого тела в месте стыковки с носовой частью и угол атаки а. Пусть у = у (х) или х = х (у) — форма образующей
носовой части в декартовой (цилиндрической) системе координат. Тогда коэффициент волнового сопротивления при нулевом угле атаки — целевая функция задачи оптимизации — в рамках теории Ньютона может быть вычислен по формуле:
где V = 0 соответствует плоскому, а V = 1 — осесимметричному случаю.
Обезразмеривание координат производилось аналогичным образом, х = х/Н и у = у/Н, где х и у — размерные координаты.
При ненулевом угле атаки расчет коэффициента волнового сопротивления рассматриваемых тел существенно усложняется. В рамках теории Ньютона коэффициент давления на верхней и нижней образующих тела в плоскости симметрии, содержащей вектор скорости набегающего потока, может быть выражен как
На остальных образующих осесимметричного тела, плоскости которых образуют с вертикалью угол X, коэффициент давления может быть выражен следующим образом [5]:
Производя интегрирование по углу X, получим в связанной с телом системе координат выражение для коэффициента волнового сопротивления исследуемого тела:
Для нахождения оптимального решения использовался генетический алгоритм.
Данный алгоритм является итерационным и имеет дело с обработкой популяции индиви-
номер итерации (поколения). При этом каждый индивидуум представляет собой потенциальное
представлен в виде строки конечной длины, элементами которой являются так называемые «гены», которые, в свою очередь, состоят из отдельных элементов. При решении задачи использовался бинарный генетический алгоритм, поэтому исходная популяция (как и все остальные) представляла собой трехмерный массив, элементами которого являлись числа 0 и 1. Размерность данного массива maxpop*maxstr*maxgen. Здесь тахрор — число строк-индивидуумов в популяции, которое задается произвольно. Параметр maxstr определяет количество генов в строке-инди-видууме, т. е. количество точек, в которых будет определяться ордината каждой носовой части. Последний параметр — maxgen — определяет количество элементов (0 или 1) в каждом гене. Значение этого параметра определяет точность получаемых результатов. После определения размерности массива исходной популяции с помощью генератора случайных чисел создается одномерный массив длиной maxpop*maxstr*maxgen из чисел 0 и 1, из которого затем и получается исходная популяция. При этом конечный ген строки, соответствующий заданной толщине носовой части в месте ее сопряжения с основным обтекаемым телом, принудительно задавался состоящим только из чисел 1 (условие задания фиксированной толщины носовой части). Затем для каждой строки-индивидуума по формуле (1) или (2) определялся коэффициент волнового сопротивления. В результате был получен массив /{Л, /2,..., /1^^] целевых функций для всей популяции. После этого начинал работу оператор кумулятивной селекции:
1=1
б) для каждой строки-индивидуума определялась вероятность попасть в промежуточную популяцию: р1 = Л/Р;
28іп2 (аг^ (у')-а), а<агС£ (у'),
0,
а>агС£ (у').
епр = 28ІП2 (аг( (у') + а).
(2)
о
дуумов Р(і) = {у/, У2, ..., }, где N — количество индивидуумов (в среднем от 100 до 200), і
решение задачи. Для работы генетического алгоритма каждый из индивидуумов V/ должен быть
тахрор
а) подсчитывалось значение целевой функции для всей популяции: Е = I /;
в) для каждой строки-индивидуума определялась «кумулятивная» вероятность попасть
в промежуточную популяцию: qi = I ру.
У =1
Таким образом получался массив «кумулятивных» вероятностей Q^, q2, ..., qmaxpop}. Затем с помощью генератора случайных чисел создавался массив R {г1, г2,..., г^^^} , где г1 е[0; 1]. Для каждого г1 записывалось условие: qm-1 < г1 < qm, тогда строка-индивидуум с номером m (Ут) помещалась в промежуточную популяцию V. В итоге получается промежуточная популяция, состоящая из элементов имевшейся ранее популяции.
При решении задачи применялось одноточечное скрещивание, при котором каждая пара вступающих в скрещивание «индивидуумов» обменивается друг с другом частью своих «генов». Для реализации оператора скрещивания необходимо задать вероятность скрещивания pcross, которая определяет, какая часть строк-индивидуумов из промежуточной популяции подвергнется скрещиванию. В данной работе оно было принято равным 0.7. Выбор строк-родителей осуществлялся следующим образом: с помощью генератора случайных чисел создавался массив
Rl{r11, г12,..., г^^^ ], где г1г- е [0; 1]. Затем для каждого из этих чисел проверялось условие:
г1г- < pcross. Если оно выполнялось, то строка У[ выбиралась в качестве строки-родителя для скрещивания. Очевидно, что количество получившихся строк-родителей должно быть четным. Если это условие не выполнялось, то в зависимости от количества имеющихся строк-родителей (больше или меньше maxpop*pcross) одна случайным образом выбранная строка либо добавлялась, либо убиралась из набора строк-родителей. Затем из полученного набора строк-родителей образовывались пары и проводилось одноточечное скрещивание. Получившиеся индивидуумы заменяли строки-родителей в промежуточной популяции.
Мутация для бинарного генетического алгоритма заключается в том, что каждый элемент мутирующего гена изменяет свое значение с 0 на 1 и наоборот. Необходимо только определить, какие гены будут подвержены мутации. Для этого вводится параметр pmut, который показывает, какая часть общего количества генов будет мутировать. В данной работе было принято pmut = 0.02. Поскольку каждый ген имеет одинаковую вероятность мутировать, то определение мутирующих генов производится следующим образом: для каждого из генов определяется случайное число г2е [0; 1]. Если г2 < pmut, то этот ген подвергается мутации, и все входящие в него элементы меняют свои значения.
В результате завершена одна итерация генетического алгоритма. Получена новая популяция, для которой описанная процедура повторяется.
Параметры генетического алгоритма при решении оптимизационной задачи были выбраны следующими: pcross = 0.65; pmut = 0.01; maxpop = 200.
Они обеспечивают достаточно высокую вероятность скрещивания и необходимую вероятность мутации при среднем размере рассматриваемой популяции. Количество индивидуумов в одной популяции было выбрано равным 150. Для реализации алгоритма отрезок [0; 1] продольной связанной с носовой частью оси разбивался на 40 точек, в каждой из которых производился поиск координат соответственно верхней и нижней образующих. Диапазон изменения координат верхней и нижней образующих был выбран равным [0; ±1.3]. При этом точность определения ординаты каждой точки задавалась равной 10-5, что требует задания индивидуумов, состоящих из 17 генов. Для сходимости алгоритма требовалось от 130 до 200 оптимизационных циклов.
Оптимальные носовые части профилей при различных углах атаки представлены на рис. 1. При этом оптимизация проводилась для двух различных краевых условий: с фиксированной и свободной угловыми точками. Видно, что в обоих случаях оптимальная форма образована отрезками прямых, но при этом сама носовая часть становится несимметричной. В первом случае возникают носовые срезы (торцы), причем даже при Ь > 1, что при а = 0 невозможно. При этом срез наклонен к вектору скорости под углом (90° — а), а нижняя поверхность носовой части — под уг-
Рис. 1. Оптимальные формы плоских тел в рамках теории Ньютона:
а — оптимизация с фиксированной угловой точкой А, Ь = 1; б — оптимизация со свободной угловой точкой А, Ь = 1
Рис. 2. Зависимости аэродинамических характеристик оптимальных плоских тел от угла атаки (скоростная система координат):
а — коэффициент волнового сопротивления; б — коэффициент подъемной силы (1 — цилиндрическая (неоптимизированная) кромка; 2 — оптимальная кромка с фиксированной угловой точкой; 3 — оптимальная кромка со свободной угловой точкой)
лом 45° или меньше (если возможно), что вызвано заданием Ь и фиксированием крайней левой точки носовой части профиля. Во втором случае за счет смещения по вертикали крайней точки профиля удается избежать появления носовых срезов [6]. На рис. 2 представлены зависимости ех (а) и су (а) для дуги окружности, которая использовалась при расчете оптимальных форм
крыльев с затупленной передней кромкой [7], и для оптимальной носовой части. Видно, что оптимальная носовая часть дает значительный выигрыш (до 25%) в величине коэффициента сопротивления и еще больший выигрыш в величине коэффициента подъемной силы, что может существенно улучшить аэродинамические характеристики крыла в целом.
б)
0.8-
0.6-
0.4-
0.2-
1-
0.8-
0.6-
0.4-
0.2-
1 1 1 1 1 1 1 1 1 о- 1 | 1 | 1 | 1 | 1
0.2 0.4 0.6 0.!
0.2 0.4 0.6 0.І
Рис. 3. Оптимальные формы осесимметричных тел в рамках теории Ньютона:
а — а = 0; б — а = 20°
Рис. 4. Радиус торца оптимального тела вращения при различных углах атаки
Оптимизация форм осесимметричных тел при различных углах атаки в рамках теории Ньютона показала, что наименьшим аэродинамическим сопротивлением во всем рассмотренном диапазоне углов атаки обладает тело с носовым торцом. Найденные формы оптимальных тел представлены на рис. 3. При а = 0 полученные формы оптимальных тел как плоских, так и осесимметричных совпадают с формами, полученными аналитически [8]. На рис. 4 показана зависимость радиуса носового торца от угла атаки. Видно, что при углах атаки а <15° радиус торца увеличивается медленно, а при дальнейшем увеличении угла атаки скорость его роста возрастает. На рис. 5 представлено сравнение аэродинамических коэффициентов для оптимального тела вращения и кругового конуса. Видно, что во всем рассмотренном диапазоне углов атаки сх оптимального тела на 25—30% меньше, чем у конуса, а его коэффициент подъемной силы су
оказывается, наоборот, значительно выше. Это приводит к заметному увеличению аэродинамического качества оптимальной носовой части по сравнению с традиционной конической носовой частью. Таким образом, применение оптимальных носовых частей может существенно улучшить аэродинамические характеристики осесимметричных тел в целом.
Помимо исследования аэродинамических характеристик было рассмотрено и поведение центра давления оптимального осе-
Рис. 5. Аэродинамические характеристики оптимальных осесимметричных тел при различных углах атаки (скоростная система координат):
а — коэффициент волнового сопротивления; б — коэффициент подъемной силы; в — аэродинамическое качество (1 — оптимальное осесимметричное тело; 2 — конус)
симметричного тела при различных углах атаки. Для этого с помощью известного распределения коэффициента давления были найдены коэффициенты подъемной силы су и аэродинамического момента mz. Тогда положение центра давления может быть определено как
mz
хц.д = хц.м + . 2 2 .
№+с;
Здесь хц м — координата центра масс тела, которая легко находится исходя из его геометрии.
Соответствующие зависимости координат центра масс и центра давления оптимальных тел представлены на рис. 6. Видно, что при углах атаки а <25° с увеличением а расстояние между центром масс и центром давления увеличивается и достигает ~10% от полной длины носовой части. При этом сам центр давления сдвигается вперед по потоку на ~12% длины. Однако при а > 25° центр масс тела начинает резко смещаться вперед, в то время как смещение центра давления прекращается, поэтому можно предположить, что при а >35° центр давления окажется позади центра масс оптимального тела. Таким образом, проведенные расчеты показали, что:
генетический алгоритм позволяет находить решения, близкие к оптимальным, независимо от исходной популяции индивидуумов;
в зависимости от краевого условия существуют два типа оптимальных носовых частей плоских тел: заостренные и с торцом;
оптимальная носовая часть осесимметричного тела всегда имеет торец, величина которого возрастает с увеличением угла атаки;
определен выигрыш в величине аэродинамических характеристик, связанный с оптимизацией формы носовых частей плоских и осесимметричных тел;
полученные формы можно использовать для улучшения аэродинамических характеристик более сложных пространственных тел.
Авторы благодарят Ю. М. Липницкого и С. А. Таковицкого за высказанные замечания и предложения по существу данной работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-01-00691).
ЛИТЕРАТУРА
1. Goldberg D. E. and S a m a n t i M. P. Engineering optimization via genetic algorithm // Proceedings of the Ninth Conference on Electronic Computation. ASCE, New York, N.Y.
1986.
2. Goldberg D. E. and Kuo C. H. Genetic algorithms in pipeline optimization // J. of computing in Civil engineering. 1987. V. 1, N 2.
3. Goldberg D. E. Genetic algorithm in search, optimization and machine learning. —
N.Y.: Addison-Wesley, 1989.
4. Mihalewich Z. Genetic algorithm + data structure = evolution programs. — New York: Spriner-Verlag, Artifician Intellegence. 1992.
5. Сычев В. В. Расчет распределения давлений по телам вращения под углом атаки в сверхзвуковом потоке газа: Сб. теоретических работ по аэродинамике. — М.: Оборонгиз,
1957.
Рис. 6. Положение координат центра масс и центра давления оптимального осесимметричного тела при различных углах атаки:
1 — центр масс; 2 — центр давления
6. Г олу бкинВ. Н., Сысоев В. В. Формы головных частей профилей и тел вращения минимального сопротивления в рамках теории Ньютона // Авиакосмическая техника и технология. 2005. № 1.
7. Голубкин В. Н., СысоевВ. В. Влияние затупления передней кромки на форму и аэродинамическое качество оптимального крыла при гиперзвуковых скоростях // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. № 3.
8. Крайко А. Н., Пудовиков Д. Е., Якунина Г. Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. — М.: Янус-К, 2001.
Рукопись поступила 11/ХІІ2006 г.
