CC BY
29
частотного словаря и подсистемы поиска скрытых лексических связей является очень удачным решением в построении информационно-терминологического базиса. С одной стороны, появляется возможность задействовать у обучаемого сильные, ранее не доступные, ассоциативные механизмы восприятия памяти, а с другой - ре-сурсоемкость построения базиса будет значительно ниже, чем при предварительном использовании двух ранее упомянутых подсистем.
Таким образом, за счет использования скрытых лексических связей повышается эффективность системы обучения иностранной лексике в целом. При этом разработаны такие структура и алгоритм работы подсистемы предварительной обработки текстов, при которых использование данной подсистемы при формировании инфор-
мационно-терминологического базиса будет наименее ресурсоемко.
Разработанная структура выходных данных подсистемы предварительной обработки текстов обеспечивает гибкость и целостность информации.
А в эффективном использовании данных о скрытых лексических связях непосредственно в процессе обучения отрывает возможность для новых исследований в данной области.
Библиографический список
1. Александров, Г. Н. Программированное обучение и новые информационные технологии обучения / Г. Н. Александров // Информатика и образование. 1993. № 5. С. 7-19.
M. V. Karaseva, V. O. Leskov
AUTOMATION OF THE INFORMATIONAL BASIS FORMATION OF THE MULTILINGUAL ADAPTIVE TECHNOLOGY
The system aspects of information basis generating multilingual adaptive-training technology are exact the information gathering about hidden lexical relations and use of this information in forming of information-technology basis are considered. The texts system preprocessing is connected with its algorithm of work and output data structure.
УЦК 519.2
Н. В. Степанова, А. Ф. Терпугов
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРИ ПРОДАЖЕ СКОРОПОРТЯЩЕГОСЯ ТОВАРА
Находится оптимальный закон управления продажной ценой партии скоропортящегося товара, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
Перед любой фирмой, производящей какой-либо товар, всегда встает проблема его сбыта. Эта проблема особенно важна для фирм, производящих товары, не подлежащие длительному хранению, так как перепроизводство товара может привести к потери им товарных качеств в течение торговой сессии, и товар будет снят с реализации или уценен. Недостаточное производство товара приведет к тому, что часть возможной прибыли будет недополучена, т. е. к упущенной выгоде.
Эти проблемы возникают при поставке товара в торговые точки, принадлежащие фирме-производителю, а также у розничных торговцев, покупающих у оптового поставщика партию скоропортящегося товара для его реализации. Во всех этих ситуациях очень большое значение имеют ответы на следующие вопросы:
- какой должен быть объем партии, поставляемой или покупаемой для реализации?;
- по какой розничной цене должен продаваться этот товар?;
- как должна меняться розничная цена в зависимости от остатка непроданного товара?;
- как управлять ценой продажи продукции, чтобы к кон-
цу торговой сессии она была полностью реализована?;
- все эти задачи надо решать при вполне естественном критерии оптимальности - максимизации прибыли, получаемой от реализации продукции.
Постановка проблемы. Пусть имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например, молоко, сметана, свежая рыба, овощи и т. д.), которая должна быть продана в течение торговой сессии (например, дня). В противном случае товар снимается с реализации и пропадает.
Продавец покупает партию товара объема Q0 по оптовой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q0 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.
Достаточно неприятно, если к концу торговой сессии остается непроданный товар. Выбрасывать его жалко, пускать на переработку в продукцию низкого качества тоже. Поэтому продавцы применяют разнообразные приемы, чтобы реализовать товар до конца торговой сессии, например, в ее конце устраивают распродажу остатков товара по низкой цене. Однако, это не единственная и, по-видимому, не самая лучшая стратегия. Здесь имеется обширное поле для теоретического исследования. В дан-
ной работе мы изучим только одну из таких стратегий управления ценой продажи товара.
Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени Т, т. е. она занимает интервал времени [0,Т]. Обозначим через Q(t), количество товара в момент времени г. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано. Будем предполагать, что поток покупателей является пуассоновским потоком интенсивности X (с ^)), зависящей от розничной цены с(г).
Будем считать, что покупатели покупают товар независимо друг от друга, и объем покупки х есть случайная величина с М{£} = а1 и М{^2} = а2.
В одном очень частном случае эта задача уже исследовалась в работе Е. В. Новицкой [1], где закон управления ценой с(г) продажи товара брался из соотношения
Q(t)
a1X(c(t)) =
T-t
(1)
a1^(c(t))=
(З)
Основные вероятностные характеристики процесса Q(t) в случае произвольной функции ц(</7). Исследован общий случай, когда управление розничной ценой определяется соотношением
Qit)
T ф(1 IT) ‘
Найдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Процесс Qit) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]:
dQit) = -a1X(c)dt + <J a2 X(c)dw(t), (3)
где wit) - стандартный винеровский процесс. Именно эту аппроксимацию мы и исследуем ниже.
Объединяя выражения (З) и (3), можно сказать, что диффузионная аппроксимация процесса Q(t) имеет вид
dQit) =---------dt,
T ф(1 IT)
(5)
которое является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0. Его решение имеет вид
&(1) = Q0 ехр 1 (х ) 1 =
I 0тф(х'т) 1 (6)
Q 1 1 аг 1
= QoexP М
9i z)
В частности, Q(T) = Q0 exp і - J
dz
9i z)
Рассмотрим процесс Q2 (/) . Используя формулу Ито [2], легко получить уравнение, описывающее этот процесс:
d iQ2 it)) =
2Q2 it)
Q it)
T ф(1 IT) a1 T ф(1 IT)
dt +
(7)
+2Qit )J ^. Qit) dwit). 41 a1 T 9it IT)
Обозначим M{Q2 it)} = Q2 it). Тогда, усредняя урав-
нение (7), получим
dQ2it) =
2Q2it)
Qit)
T ф(1 IT) a1 T ф(1 IT) или, с учетом выражения (б)
dt
dQ2it)
= -2-
dt
a2Q0exP i-J
Q2it) +
T 9it IT) dx I
(8)
T ф( x IT)
a1T9itI T)
которое надо решить при начальном условии Q2 (0) = Q02
Решая это уравнение, получим
> / т 1 1
аг I
Є2« ) = Oo2exp i-2 J ^+
QoexP i-
dz I
J — I
J0 Ф(z) J
(9)
1 - exp w
dz ФІ z)
Отсюда
D{Q(t)} = Dq it) = Q2(t) - Q2 it) =
т) = - ^ Л + "2. ^ ^) (4)
ТФ(t / Т) у а1 ТФ(t / Т) ■ (4)
Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t).
Обозначим М^^)} = Q(t). Для краткости записи, аргумент г у 2(г) и Q(t) мы часто будем опускать.
Усредняя уравнение (4) с учетом того, что приращения винеровского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение для Q(t):
= a Qoexp W
dz
1 - exP i-J
dz ФІ z)
, х , , , .(10)
-1 и 0 Ф(г) '"'Ч
Математическое ожидание выручки и его оптимизация. Рассмотрим случай, когда зависимость Х(с) может быть аппроксимирована прямой линией
X(c) = X0 - X
с - сп
(11)
Здесь с0 имеет смысл некоторой «стандартной» цены, так что Х(с0) = с0. Такая аппроксимация возможна, если отклонения цены с от с0 незначительны.
В этом случае уравнение (2) приобретает вид
a^(c) = a1 откуда
Q
T ф(1 IT)
1 +^°----------------Q—
X1 a1X1T ф(1 IT)
(1З)
Так как в единицу времени в среднем совершается Х(с) покупок, средний размер которых равен а1 по цене с, то среднее значение выручки в единицу времени равно
^ X 1 Q ^ са^с) = с0 1 + —-----:--------:— X
X1 a1X1 T ф(1 IT)
, Q
'T ф(1 IT )
(13)
+
0
Усредняя по объему партии товара (2(1), имеющегося в наличии в момент времени г, получим
M {ca^ic)} = c0 l
1 + ^ і,
T ф(/ IT)
-c„
Q
і,
a, і, T 2ф2 (t IT)
Q co Q2
(14)
Тф(//Т) аХ Т2ф2(// Т)
Подставляя сюда явные выражения для 2 и 2 получим, что средняя выручка в единицу времени равна
2о „
M {ca, іic)} = c0
1+іо
і
T ф(/ IT)
______c^__________exp J-2 Г______—______].x
a і, t 2-2(t I t ) p [ J t ф( x I t )
(15)
x
exp
1-1 [0 Tф(xIT) J
+ Qo
coQo
і1
(і о +і1 )J ~77exp j-J -T)1 dz~
0 -(z) І 0 -(x)J
dz
2 exp
--T J
aT 0
Л dx [
-2 Г----------Jx
Jo -(x) J
a2 J dx ^
— exp J -(x) J -1 + Qo
a, _ _
(17)
Для упрощения дальнейших вычислений введем вспомогательную функцию ^(г) вида
ёх
Vi z) = J
ф( x)
(18)
1
тогда v'(z) =----------, а v(0) = 0 .
-i z)
Теперь выражение для S принимает вид
-X
S = coQo
і1
(і о +і, ) e-Vi z )v'( z )dz-±-
0 aT
Qo -
xJ e 2V(z-1V,2(z)dz --^ J e Viz-1V,2(z)dz
al T 0
Первый интеграл легко вычисляется
J e V(z)V/(z)dz = 1 - e
Vil)
так что окончательно
S = coQo = і, '
(і о +і, )(1 - e-Vil) )-/ 4 1
l
a,T
a
Qo -
2v і z ) '2
V (z)dz -
a, T о
J e~V( z> V,2i z)dz
(19)
Таким образом, 5 представляет собой функционал от функции у(г), который с точностью до постоянного слагаемого и сомножителя равен
S = -
alQo
a
e 2V(z) + e~V(z)
(20)
xv/2( z )dz,
и нам надо решить задачу 5тах с граничным условием у(0) = 0 . ¥(<)
Мы имеем дело со стандартной задачей вариационного исчисления. Используя уравнение Эйлера [3], можно получить, что у(г) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
Отсюда средняя выручка за весь период торговой сессии равна
Т
£ = | М{са1Х(с)}ё/. (16)
0
Подставляя выражение (15) в уравнение (16) получаем £ =
Ae V(v^-v'2) +
A alQ0 1
где A =--------1
a
l
V --v
(21)
Рассмотрим сначала приближенное решение этого уравнения. В реальных ситуациях объем партии товара достаточно велик, и поэтому А>>1. Поэтому в уравнении (21) главную роль играет первое слагаемое. Пренебрегая вторым слагаемым, получим уравнение
v'-v'2 = 0, (22)
которое надо решить при граничном условии у(0) = 0 .
Решение этого уравнения имеет вид
y(z) = lnC1 - ln(Cj - z). (23)
Отсюда
ф(z) = Cj - z , (24)
что и дает окончательный вид функции j(z).
Очевидно, что должно быть Cj > 1, иначе торговля нашим товаром закончится в момент времени C1T < T, что совершенно не нужно. При Cj = 1 торговля закончится не позже момента времени T, а при Сх > 1к моменту времени T часть товара может остаться непроданной.
Рассмотрим теперь задачу о выборе оптимальных значений параметра Сх и величины партии товара, выставляемого на продажу Q0. Сначала рассмотрим задачу о выборе оптимального значения C1 при фиксированном Q~. В дальнейшем будет использовано обозначение 1/ C1 = C.
Подставляя наше решение в выражение для S, получим
S = coQo . ■ і, •
(іо +і1)С -
a,T
Qo -
С2 + C ln(l - С) a, T
(25)
x
Приравнивая нулю производную от 5 по С, получим уравнение
дС
- /1(С) - Х о + Х1-
2
а1Т
во -
С + 0-а\Т
1п(1 - С) -
С
1-С
- 0.
(26)
Л'(С) = -
2
а1Т
во -
а2Т
1 - С (1 - С)2
(27)
< 0.
, С0в0 ' X,
Р - |М{са1Х(с)}аґ - йвй -
(Хо + ХС —^ | во - ^ IС2 +^ С 1п(1 - С) а,1 I а ] ааТ
(28)
-ёбо-
Оптимальный объем партии 20 определяется из условия ЭР/д20 = 0 , что приводит к уравнению
/ \
(Х о +Х1) С -
1
а1Т
во -
С2 +
а?Т
С 1п(1 - С)
(29)
-а -
сово
а1Х1Т
С2 - о.
(Х о + Х1 )С -
1
а1Т
во -
С2 +
1
а1Т
а2Т
во --
С 1п(1 - С) -
(30)
С 2 + а2 С
а12Т 1 - <~.
а1Т
во--
-а -
С2 +- а2
с 2
а?Т 1 - С
сово
Х1а1Т
- о.
Заметим, что 0 < С < 1. Далее, ./1(0) = Х0 + Х1 >0 и Дй— /1 (С) = —о. Вычисляя производную от / (С) по С, получим
При раскрытии скобок слагаемые, содержащие 20, сокращаются, и мы получаем уравнение относительно С:
— С0 а2 ~ 2 + С0 а2 С Х1а12Т Х1а12Т
или, в более простом виде,
С ё а1 Л т1
1~Т~ =--------Х1Т . (31)
I — С с0 а2
Это уравнение сводится к кубическому уравнению и легко решается численно.
ё а\
' +—°-^2 ~ - а - о,
Х1а12Т 1 - С
Таким образом, при изменении С от 0до 1, /1 (С) монотонно убывает от Х0 + Х1 > 0 до -о. Это говорит о том, что уравнение (26) имеет единственный корень, лежащий в промежутке от 0до 1. Его можно найти только численно.
При этом следует иметь в виду, что обычно Х очень велико, так что на самом деле С и С1 близки к 1.
Оптимизация по объему партии товара. Существует также оптимальный объем партии товара 20, выставляемый на продажу. Так как себестоимость единицы продукции равна d, то прибыль, получаемая от продажи партии товара объема 20 с учетом выражения (25) равна
Легко получить, что с ростом выражения
Х1Т
значения С быстро приближаются к 1. Так как Х1Тобыч-но велико, то эта ситуация и имеет место на практике.
В этом случае приближенно уравнение (31) можно заменить уравнением
-1-, = ёа2 \г,
1 — С с0 а2 откуда получаем приближения для С и С1 :
— (32)
ёа12Х1^ 1 ёа12Х1Т
Зная С из уравнения (29) легко находится и оптимальный объем партии товара 20:
во - ^+(X+Х1) +
а 2С
„ 1п(1 - С) —СС 2а1С |_ 1 - С
(33)
Для выяснения того, когда можно пользоваться этим приближением, рассмотрим вопрос о точном решении уравнения (21). Можно показать, что его решение может быть записано в следующем виде:
С1
л/А( А +1)
Теперь нужно решить систему двух уравнений (26) и (29). Упростим ее.
Умножая уравнение (26) на С приведем его к виду
/ \
\]А(А +1) --^АМАм + Х) +
+11п(2 А +1 + 27А( А +1)) --11п(2 Ам +1 + 2у1 Ам( Ам +1))
(34)
Ф-С1
В квадратных скобках уравнения (29) стоит та самая комбинация, что и в первой строке соотношения (30). Заменяя ее той комбинацией, которая стоит во второй строке уравнения (30), получим
1( Aw +1) w
А +1 ,
которая в параметрической форме дает зависимость между z и ф. При этом параметр м меняется в пределах 0 < w < 1.
Заметим, что при А эта система переходит в г = С1 — С1 w, ф = С^,
откуда получается, что ф(г) = С1 — г , т. е. та же самая зависимость, что и в приближенном решении.
Для выяснения вопроса о том, при каких значениях параметра А приближенное решение достаточно точно,
с
о
с
о
приведем графики зависимости ф от z при различных значениях параметра А (см. рисунок).
Графики зависимости ф от z
Уже при А =100 различие между точным и приближенным решениями невелико, а при А = 1 000 это различие практически незаметно. Для С1 > 1 выводы анало-
гичны. Поэтому можно утверждать, что приближенным решением можно пользоваться при А > 100 .
Заметим еще, что в основном различие между точным и приближенным решениями проявляется при 2 И 1, т.е. в конце торговой сессии, когда г близко к Т.
Таким образом, найден оптимальный закон изменения продажной цены товара в зависимости от времени и количества непроданного товара, а также оптимальный объем партии товара, выставляемого на продажу.
Библиографический список
1. Новицкая, Е. В. Оптимизация розничной продажи скоропортящейся продукции / Е. В. Новицкая, А. Ф. Терпугов. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2004. 94 с.
2. Терпугов, А. Ф. Математика рынка ценных бумаг / А. Ф. Терпугов. Томск : Изд-во НТЛ, 2004. 163 с.
3. Фильчаков, П. Ф. Справочник по высшей математике / П. Ф. Фильчаков. Киев : Изд-во «Наукова думка», 1973. 743 с.
N. V. Stepanova, A. F. Terpugov THE OPTIMAL CONTROL OF RETAIL PRICE OF PERISHABLE GOODS
The optimal control of retail price ofperishable goods that gives the maximum ofprofit is found.
УДК 519.8
А. А. Кузнецов, А. В. Журов ВЗВЕШЕННЫЙ ПРОГНОЗ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Предложена модель взвешенного прогноза на основе временных рядов.
Пусть дан временной ряд
X = (х0, х,.,..., х,},
где х, (, = 0,1,2,...,,) - значения ряда, взятые через равные промежутки времени ї.
Для прогнозирования значений временного ряда используются различные методы и модели М1,М2,...,Мк (например, регрессионные, адаптивные ит.д.) [1].
Будем считать, что применительно к ряду X данные методы являются адекватными [1]. Пусть также известно, что в результате проведения п экспериментов в прошлом модель М обеспечивала наилучший прогноз т. раз.
На основе ретроспективного прогноза для каждой модели М (]=1, 2, ..., к) рассчитаем относительную ошибку прогноза 5. для рядаХ.
Затем вычислим прогнозные значения уи\+І (I = 1, 2, ...) по каждому методу М.
Предложено построить взвешенный прогноз, учитывающий прогнозные значения и ошибки каждой из моделей. Рассмотрим два подхода.
1. Взвешенный прогноз на основе матрицы парных сравнений [2]. На основе значений т.и п вычислим мат-
рицу парных сравнений Рк k , значения которой равны m
Pis = — :
Pk.k =
m, I m, m, I mk
m21 m, m21 mk
mk I m, .. .... mk Imk
Далее рассчитаем весовые коэффициенты м. для каждой модели М:
±Р>
Я. = —*=-------
] к к
X Ер*
]=1 *=1 к
Нетрудно проверить, что XЯ] = 1.
j=l
После чего получаем взвешенный прогноз yt+l :
k
y+i=Х і
(і)
(1)
i=l
