CC BY
22
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.977 © А. Г. Иванов
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ1
1. Пусть frm(U) — совокупность мер Радона на Rm носитель которых содержится в множестве U € comp(Rm) и rpm(U) его подмножество, состоящее из вероятностных мер Радона. Через (M(T, frm(U)), У ■ ||w,t) обозначим нормированное пространство, состоящее из таких измеримых на промежутке T С R отображений t м j(t) € frm(U), что их вариация |j(t)|(U) ограничена по t € T. Пусть Mt = M(T, rpm(U)), и при J € Мт рассмотрим систему управления
x = (j(t),/(t,x,u)) = / /(t,ж,u)^(t)(du), (1)
JU
в которой функция / : R x Rn x U при каждом K € comp(Rn) принадлежит для всякого отрезка [to,ti] С R пространству V([to,ti]xKxU, Rn) каратеодоровских функций. Фиксируем решение i(t), t ^ 0 системы (1), отвечающее управлению J € Mr+ , и рассмотрим его интегральную кривую 7+ (ж) = {(t,i(t)), t € R+}.
Определение 1. Система (1) называется равномерно локально управляемой (РЛУ) в малом, на 7+(ж), если существуют такие константы е, $, п > 0, что при каждом т ^ 0 для любого жо € 0е[ж(т)] = {ж € Rn : |ж(т) — жо| ^ е} найдется такое управление J € М[Т)Т+^], что ИД — j||W)[T)T+$] ^ П |1(т) — ж0| и при котором система (1) имеет решение ж(^ € Ое [l(t)], т ^ t ^ т + $, удовлетворяющее условиям: ж(т) = ж0, ж(т + $) = ж(т + $).
Определение 2. Система (1) называется равномерно локально достижимой
(РЛД) в малом, с 7+(ж), если существуют такие константы е, $, п > 0, что при каждом т ^ 0 для любого жо € 0е[ж(т + $)] найдется такое управление J € М[Т,Т+#], что
IIJ — j||w,[T,T+$] ^ П |1(т + $) — ж0| и при котором система (1) имеет решение ж(^ € Oe[l(t)],
т ^ t ^ т + $, удовлетворяющее условиям: ж(т) = ж(т) , ж(т + $) = жо-
Определение 3. Система (1) обладает свойством C) относительно 7+(ж), если она обладает одновременно свойствами РЛУ в малом на 7+ (ж) и РЛД в малом с 7+ (ж).
Рассмотрим систему
ж = А(^ж + (Aj(t),/ (t,i(t),u)), (2)
где A(t) = (J(t),/X(t,i(t),u)), Aj(t) = l(t) — j(t), и говорим, что эта система равномерно
локально управляема (РЛУ), если найдутся такие константы е, $ > 0, что при каждом т ^ 0
и всяком жо € Ое [0] найдется такое дХ0 € МТ,$ = М[Т,Т+#], что при j(t) = JX0 (t) система (2)
имеет решение ж^), т ^ t ^ т + $, удовлетворяющее условиям: ж(т) = жо , ж(т + $) = 0. Далее, предположим, что для фиксированного процесса (ж(-),ж(-)) выполнены условия:
Г Т+1
1) найдется такое r > 0, что sup / max (|/(^ж,«)| + |/X(t, ж, u)|)dt < ж, где
т>о Ут (x,«)eK(t)xU
компакт K(t) = i(t) + Or [0];
2) существуют такие константы ж € (0, r], а > 0 и функция f € V1oc(R x U, R+), что
Г Т +1
sup / maxf(t, u)dt < ж и для почти каждого t € R+ и всех (z,u) € 0ж[0] x U выполнено
т>о УТ “€U
неравенство maX] |/X(t,i(t) + 0z,u) — /X(t,i(t),u)| ^ f(t, u)|z|a. хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258)
Теорема 1. Пусть управляемый процесс (x(t),]2(t)), t ^ 0, системы (І) такой, что система (2) РЛУ и выполнены условия І) и 2) Тогда система (І) обладает свойством C) относительно 7+(ж)
2. Пусть APMi — совокупность таких ^ Є Mr, что для любой функции с Є C(U, R) отображение t ^ (^(t),c(u)) = / c(u)^(t)(du) принадлежит пространству S(R,R) С Lloc(R,R)
JU
почти периодических (п.п.) по Степанову функций. Рассмотрим систему (1) при ^ Є APMi и функцией f, принадлежащей при каждом K Є comp(Rn) пространству S(R, C(K x U)) п. п. по Степанову функций. Через A обозначим совокупность таких управляемых процессов (x(),^()), указанной системы (1), в которых x(t), t Є R — п.п. по Бору решение, отвечающее ^(■) Є APMi•
Задача
І fT
= lim - (n(t),g(t,x(t),u))dt^inf,(x(-),ii(-))eA, (3)
TT Jo
где g Є S(R, C(K x U)) (K Є comp(Rn)), называется задачей оптимального управления п.п. движениями, и в которой (ж(), /?(■)) Є A называется решением, если I(ж(), /?(■)) ^ I(x(-),^(-)) для всех (x(^),^)) Є A^
Теорема 2. Пусть (ж(),/?(■)) Є A — решение задачи (3) и п.п. по Степанову система (І) обладает свойством C) относительно 7+(ж) Тогда для для всякого фиксированного отрезка [to,ti] С R и любого процесса (x(-),^(-)) Є A[to,ti], такого, что x(to) = x(to),
x(ti) = x(ti), выполнено неравенство
rtl rtl
/ (/i(t),g(t,x'(t),u))dt ^ / (^(t),g(t,x(t),u))dt (4)
-'to ./to
Пусть A([to,ti]; K) совокупность таких управляемых процессов (x(),^()) системы (1), в которых решение x(t) при всех t Є [to, ti] содержится в заданном множестве K Є comp(Rn)
Определение 4. Процесс (ж(-),/ї(-)) Є A([to,ti ]; K) называется оптимальным для задачи t
I (^(t),g(t,x(t),u))dt ^ min, (x(),^()) Є A([to,tl]; K), (Б)
to
если для любого другого процесса (ж(-),^(-)) Є A([to,tl]; K), такого, что x(to) = ;c(to), x(ti) = x(ti), выполнено неравенство (4)
Совокупность решений задачи (Б) в смысле определения (4) обозначим OP ([to, ti ]; K )•
Лемма 1. Если A([to,ti ]; K) = 0, то множество OP ([to ,ti]; K) также не пусто.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2^ Тогда найдется такая компактная окрестность K множества {X(t), t Є [0, то)}, что равномерно по (xt(■),№(■)) Є
і Г
OV([0,T];K) существует lim — (цт(і), g(t,XT(t),u))dt = Со и со = /(ж(-), //(•)) •
TT Jo
Список литературы
1. Иванов А.Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями. I jj Диф-ференц. уравнения. 200Б. Т. 41. № 3. C. 312-324.
2. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями. II jj Диф-ференц. уравнения. 200Б. Т. 41. № 4. C. 441-4Б4.
Иванов Александр Геннадьевич Удмуртский государственный университет,
Россия, Ижевск e-mail: [email protected]
Б2
