Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

© А.Г. Иванов

[email protected]

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЗАДАЧ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. И1

Ключевые слова: функция поточечного максимума, ляпуновские почти периодические задачи, линейные почти периодические по Степанову системы управления.

Abstract. The main definitions and statements on the measurevalued functions almost periodic in the sense of Stepanov, which are used while studing the problems of almost periodic motions optimal control, are

prezented.

Содержание

Введение .....................................................4

1. О поточечном максимуме в п.п. случае .........................5

2. Ляпуновские задачи в п.п. случае ............................21

3. Ряд свойств линейных п. п. по Степанову

систем управления............................................58

4. О некоторых свойствах линейных п. п. по Степанову

систем с управлениями, аппроксимирующих заданное мерозначное п. п. управление.................................58

5. Ряд свойств нелинейных п. п. по Степанову

систем управления............................................71

Список литературы ...........................................95

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-0Ю0454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант Е02-1.0-100).

Введение

В данной работе продолжены исследования, начатые в [1], посвященные свойствам мерозначных почти периодических (п. п.) по Степанову функций, которые используются в задачах, связанных с оптимальным управлением п. п. движений.

В первом разделе работы рассмотрены вопросы, связанные с поточечным максимумом в п. п. случае, а также элементарными ляпуновскими задачами в классе управлений из пространства 5(М,и, и €сошр(Мт) и АРМ.

Во втором разделе на примере ляпуновской п.п., представляющей и самостоятельный интерес, проиллюстрированы практически все основные утверждения и определения работы [1] и первого раздела настоящей статьи. Отметим, что схема доказательства теоремы 2.1 может быть использована и при получении необходимых условий оптимальности в задачах управления п. п. движениями нелинейной системы управления и в которой в качестве управлений рассматриваются пары (^(•), и(•)) € & х £(М,и, где & — заданное множество функций из ЩМ, Мй).

Далее, при получении необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина допустимого процесса (ж(•),]2(•)) в задаче оптимального управления п.п. движениями одну из основных нагрузок несет вопрос о существовании п.п. по Бору решения нелинейной системы управления

Х = (^(£, е, уГ),/(£, х, и)) = / /(£,х,и)^(£,е, уГ)(^и),

■> и

отвечающего игольчатой вариации •,£, у Г) € АРМ\ управле-

ния Д(•) (см. [1. С. 56]) и его зависимость от параметров (е, у), входящих в определение •, е, уГ) . Свойства •, е, уГ) позволяют включить указанные вопросы в более общую постановку задачи о существовании п.п. по Бору решения системы управления X = (^(£, а, ш), /(£, х, и)), где (£, а, ш) ^ а, ^) —заданное мерозначное отображение п.п. по < € М в смысле Степанова равномерно по (а,ш) € А х О и его поведения в зависимости от

(а, и) € A х Й. Этим вопросам посвящен пятый раздел работы. В свою очередь исследование этих вопросов опирается на ряд достаточно громоздко доказываемых свойств линейных по фазовой переменной систем управления. Доказательству этих свойств посвящен третий раздел работы. Далее, для обоснования корректности расширения (овыпукления) задач оптимального управления п.п. движениями, а также при получении утверждений о необходимых условиях оптимальности в этих задачах, важную роль играет вопрос о существовании п.п. по Бору решения системы X = f(t,x,Uj(t, и)) и его зависимость от параметра и при j ^ ж, где {uj}°^х — последовательность из пространства S(М х П, Я) — функций, которые п.п. по t € Мв смысле Степанова равномерно по и € О, аппроксимирующая мерозначное управление ^ € S(М х П, Я) . В свою очередь, опять же для исследования этих вопросов необходим ряд утверждения линейных систем, которым посвящен четвертый раздел данной работы.

Выражаю искреннюю признательность Е. JI. Тонкову за постановку задачи оптимального управления п. п. движениями, неустанный интерес и обсуждение результатов, связанных с этими задачами. Благодарю А. Г. Ченцова за неоднократное и плодотворное обсуждение результатов работы [1] и данной статьи.

1. О поточечном максимуме в п. п. случае

1. С функцией g, принадлежащей пространству S(М, С(Я, М)) (или В(М х Я, М)), свяжем два измеримых отображения

t ^ <^(t) = maxg(t,u) € М, t € М, (1.1)

«ея

t ^ F(t) = {u € Я: g(t, u) = <^(t)} € comp (Я), t € М. (1.2)

Так как |^y(t) — <^(t)| ^ max |g(t + t, u) — g(t,u)|, t € М, to

«ея

ip € S(М, М) (и p € B(М, М), если g € B(М х Я, М)) и для каждого е > 0 множество П Es(g(•,u),e) С Es(<р,е) (следовательно, «ея

Mod(^) содержится в Mod(g)).

В этом пункте исследуется вопрос о наличии у отображения F п.п. по Степанову сечений, т.е. таких функций u(•) из SМ, Я, чт0 u(t) € F(t) при п. в. t € М.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие возможные ситуации в этой задаче.

Приведем пример отображения F / S(М, comр(Я)), но имеющего п.п. сечения.

Пример 1.1. Пусть g(t,u) = f(t)u, (t, u) € М х [—1,1],

ГО

где f(t) = Е 2-mfm{t), fm(t) = Е ^(t — m — 2mj) и где, в m=2 j eZ

свою очередь, ф — такая непрерывная функция, что ^(t) > О при |t| < 1 и ^(t) = 0, если |t| ^ 1. Поскольку f является суммой равномерно сходящегося на М ряда, состоящего из 2m -периодических функций, то f € B(М, М), и следовательно, функция g € B(М х [—1,1],М). Так как в этом случае F(t) = [—1,1], если |t| < 1 и F(t) = {1} при |t| ^ 1, то F / S(М, comp([—1,1])),

u t , t М.

Пример 1.2. Пусть g(t,u) = f( t)u, (t,u) € М х [—1Д], где п.п. по Бору функция f, определена в [1] равенством (5.3). В этом случае F(t) = {signf( t)} для всех t € М\Z. Поэтому отображение F / S(М, comp([—1 ,1])), и всякое его измеримое сечение,

f,

S М, М .

Сейчас приведем достаточные условия существования п. п. по F.

а>

t м W(t, а) = {u € Я: g(t, u) ^ ^(t) — а} € сотр(Я), t € М. (1.3)

g S М, С Я, М

для отвечающих ей отображений F(•) и W(^,а), определенных равенствами (1.2) и (1.3) соответственно, выполнено равенство limddiSt(W(^,a),F(•)) = 0. Тогда F € S(М, сотр(Я)),

а|0

u S М, Я , u t F t , t М и Mod(u) С Mod(F) С Mod(g).

Доказательство. Для функции

(£, и) ^ а(и = — ^(£) + д(£, и, (£, и € М х и,

которая принадлежит £(М, С(И, М)), применяем следствие 5.2, приведенное в работе [1].

Рассмотрим сейчас вопрос о поточечном максимуме в компактном метрическом пространстве (грт(И), рад).

Для функции д € £(М, С(И, М)), по аналогии с отображением <£, определим отображение

£ ^ ф(£) = тах (V, д(£, и)), £ € М. (1.4)

^€грт (Я)

Поскольку д(£, •) € СИ, М) и [2] грт(И) = с1ад(соБ1 ЩИ)), гДе с1ад — замыкание в метрике рш множества соБ1ЩИ), то

•0(£) = <^(£), £ € М

и, следовательно, отображением в пространстве мер, аналогичным (1.2), будет следующее отображение:

£ ^ #(£) = ^€грт(И): (V, д(£, и)) = ^(£)} €сотр(грт(И)), (1.5)

содержащее при каждом £ € М множество {£ад, и € ^(£)}. В отличие от рассмотренных в [1] (см. замечание 5.2) отображений .^(•;грт(И)) и N•>И У отображений ^(•) и £(0 при исследовании их почти периодичности существует тесная связь. Чтобы показать это, приведем ряд вспомогательных утверждений. Рассмотрим систему множеств

Н = {грт(К), К € сотр(И)} (1.6)

метрического пространства (сотр(грт(И)), Шб^).

Лемма 1.1. Отображение

0: (сотр(И))^ (Н,^^),

определенное равенством,

©(К) = грш(К), К€сотр(И), (1.7)

является гомеоморфизмом.

Доказательство. При каждом К € сотр(И) грт(К) = с1ад(соВГО,(К)). Поэтому (см. п. 1 из второго раздела работы [1]) биективиость и непрерывность отображения © вытекают из неравенств

сНзМ ©( К), ©( К2)) ^^(К 1),ШЩК 2) <

^ 2—'

^ / у -< . и и ' l-L)dist(Kl,K2){('j’’ ^-1, К2 € сотр(Н).

^ 1 + IIе? Ус яд)

И , ,

получаем утверждение леммы 1.1.

Следствие 1.1. Метрическое пространство

(Н, Шбйш) компактно.

Следствие 1.2. Отображение К : М ^ сотр(И)

принадлежит пространству £(М, сотр(И)) в том и только том случае, если © оК € £(М, Н), и при этом выполнено равенство Мос1(К) = Мо<!(© оК) •

Лемма 1.2. Пусть отображения £ и © заданы равенствами (1.2), (1.5) и (1.7) соответственно. Тогда при п. в. £ € М выполнено равенство ££) = (© о-^)(£).

Доказательство. Если

V € (© о^)(£) (=7) грт(Я^), то (см. (1.6)) suppv С ^(£). Откуда получаем равенство

(^д(*,и)) = д(£,иМ^и) = <р(£),

^вирр V

которое (см. (1.5)) означает, что v € F(t). Пусть теперь v € F(t)-Предположим, что supp v те содержится в F(t). Тогда найдется точка v € (suppv) \ F(t)• Так как ip(t) — g(t, v) > 0 и отображение u ^ (^(t) — $(t, u)) непрерывно, то имеют место следующие соотношения

0 = /Mt) — g(t,u))v(du) = / (<p(t) — #(t,u))v(du) >0.

./я ./(suppv) \F(t)

v

содержится в F(t) и, значит, v € (© oF)(t).

Заметим, что из леммы 1.2 и следствия 1.2 вытекает, что F принадлежит пространству S(R, H) в том и только том случае, если F € S(R, comp (U)) и их модули совпадают.

Теорема 1.2. Отображение F имеет сечение u( •), принадлежащее S(R, U) в том и только том случае, когда отображение F имеет сечение р(•) € APMi и при этом Mod(u) содержится в Mod(p).

Доказательство. Необходимость условий теоремы 1.2 вытекает из леммы 2.1 [1]. Пусть теперь F имеет сечение р € APMi- Тогда [4] найдется такое u € S(R, U), чт0 u(t) € suppp(t) при п. в. t € R и Mod(u) С Mod(p). Покажем, что u(t) € F(t), t € R- В самом деле, из соотношений

о < ^(t) — #(t, u(t)) = (£ф), ^(t) — 0(t, u) <

< f — g^^))^)^) = (М^№ — #(t,u)) = 0

-'supp^(t)

вытекает, что <^(t) = g(t, u) для п. в. t € R.

2. Сейчас, используя результаты предыдущего пункта, рассмотрим простейшие задачи оптимального управления в пространстве п.п. функций. Но прежде приведем следующее утверждение (см. [5])

Теорема 1.3. Пусть g Є ЩR x U, R). Тогда для любого є > 0 найдется такая функция u Є S(R, U), что g(t,u(t)) > ^(t) — є и Mod(u) С Mod(g).

є>

рассмотрение при каждом а Є (0, є) отображение

(t, u) ^ ^(t, u) = max^, g(t, u) — ^(t) + а}, (t, u) Є R x U.

Поскольку g Є ЩR x U), ^ Є ЩR, R), то ф Є ЩR x U, R+). Кроме того, так как -0(t,u) = а, если u Є F(t) и (здесь см.(1.3))

{u Є U: g(t, u) — ^(t) + а > 0} С W(t, а),

то

F(t) С 8иррф(і;, •) С W(t, а), t Є R. (1.8)

Фиксируем такую меру п Є rpm(U), что suppn = U, и при каждом t Є R рассмотрим отображение с(•) ^ {п, ^t,u^u), с Є CU, R). Так как ф(^ •) Є C(U, R), то введенное отображение принадлежит (C(U, R))*, и, значит, по теореме Рисса [6.С.138] найдется такая мера pt Є /rm(U), чт0 {^t,c(u)) = {п,Ф(^ u)c(u)) для всех с Є CU, R), и при этом отображение t ^ {^t,c(u)) принадлежит ЩR, R). Полагаем далее {(t) = {п, ф^^)), t Є R. Так как ф Є ЩR x U, R+), п Є гpm(U) , то £ Є ЩR, R+). Покажем, что inf £(t) > 0. Действительно, пусть 7 > 0 такое, что teR

supu)j[ip(t, -),Н] < j и точки ui,..., Up Є Я образуют 7-сеть ком-teR

U. t R ut F t

"0(t,ut) = а) и uj такие, что |ut — uj| < 7. Теперь, учитывая, что ф(^ u) ^ 0, (t, u) Є R x U и п Є rpm(U), имеем следующие соотношения

£(t) = / (Ф(^ u) — ^^du) + а =

Я

/ (ф(^ u) — Ф(^ uj) )^du) +

UnO7 [uj]

+ / (^(t,u,) — ^(t,ut) )n(du)+

/UnO7 [Uj]

+

^ рш7 [^(t, •) и+an(U n oy [u^ >

teR

a

> - min ijiiiOOJuA) = I.

2 i^Kp Y

Поскольку u,---,uP € s uppn, to [2.C.153] n(UP| Or [uj]) > 0, j = 1, • • • ,p. Поэтому из приведенных выше соотношений получаем, что inf £(i) ^ t > 0, и, следовательно, функция | принад-teR ^

лежит ЩR, R+) •

Рассмотрим далее отображение t i—>■ v(t) = € rpm(il),

t R,

странству ЩR,rpm(U)) С APMi и suppv(t) = supp^t, •),

t € R^ Поэтому [4] существует такая функция u € S( R, U),

что u(t) € supp^t, •) при п.в. t € R, а, значит, (см. (1.8))

u(t) € W(t,a) для п.в. t € R^ Теперь, т.к. a € (0,е), то (см.

(1.3)) ^(t) ^ g(t, u(t)) > ^(t) — е при п. в. t € R^

Замечание 1.1. Из приведенного доказательства

видно, что утверждение теоремы 1.3 справедливо для всякой

функции g € V]°c(R х U, R), такой, to g(-,u) € S(R, R) при

каждом u € U и lim(ess supw7[g(t, •), U]) = ()• При этом надо Y|0 teR

использовать утверждение леммы 1.4 и следствие 2.3 работы [1].

Пусть далее g € ЩR х U, R)• По следствию 2.3 из [1] для всякой функции u € S(R,U) отображение t ^ g(t,u(t)) принадлежит S(R, R) и, значит, существует среднее M{g(t,u(t))}• Определение 1.1. Задача

^(u(•)) = M{g(t,u(t))} ^ sup, u(0 € S(R,U) (1.9)

называется элементарной п.п. ляпуновской задачей и функция й(•) € S(R, U) называется решением этой задачи, если для всех u(•) € S(R,U) справедливо неравенство /(й(•)) ^ /(u(0)•

/ (-0(t,u) — ^(t,ut))n(du) + a ^

/Я\0„Ги1

Теорема 1.4. Функция и € £(М, Я) является решением задачи (1.9) в том и только том случае, если для п. в. точек £ € М

тах#(£, и) = #(£,«( £)). (1.10)

«ея

Доказательство. Достаточность условий теоремы 1.4 очевидна. Докажем необходимость условий. По теореме 1.2 для каждого ] € N найдется такая функция и € £( М, Я,

что при п. в. 4 е К g(t,Uj(t)) > </?(£) — где </?(£) = тах <?(^, -и).

«еЯ

Поэтому, т.к. и — решение задачи (1.9), то

М{<£>(£)} ^ 1(й) ^ /(%•) > М{^(£)} — у, € N.

Откуда, в свою очередь, получаем равенство М{/(£)} = 0, где /(£) = <^(£) — #(£,и(£)), £ € М и при этом / € £(М, М+). Теперь нужное нам равенство (1.10) вытекает из следующего, несложно доказываемого утверждения.

Лемма 1.3. Пусть функция / € £(М, М+), такая, что М{/(£)} = 0. Тогда /(£) = 0 для п. в. £ € М.

Доказательство. Допустив противное, получим, что для неотрицательной п.п. по Бору функции

г £+1

£ м |(£) = у /(з)^5, £ € М

найдется такая точка $ € М, что ^ $) = 7 > 0. Следовательно [7], существует такое натуральное число I, что в каждом отрезке [ш, т + I, т € ^ содержится точка £т, в которой ^£т) > 7/3 • Поэтому

1 <?-1 г-т1+1 1 <?-1 _

м{/(£)} = 11т -7 X) ^ Ит у 41 >0-

Откуда получаем противоречие с условием — М{/(£)} = 0 .

Из теорем 1.1 и 1.4 вытекает

Следствие 1.3. Пусть функция д € Б( М х Я, М) и отвечающие ей отображения ■),^(■,«) : М м сотр(Я), заданные равенствами (1.2) и (1.3), соответственно, т,акие, что Нт^а;81;(^(-,а,^(•)) = 0. Тогда решение задачи (1.9) существу-

Замечаиие 1.2. Для фиксированного множества Ас М полагаем

и(Д) = {и € Б(М,Я): Мос1(и) с Мос1(Д)}. (1.11)

Отметим, что если Д = М, то и = £(М, Я, а; в случае если Д

— суть одноточечное множество вида {77}, Сс> > 0, то и(^) — подмножество из £(М, Я, состоящее из ш -периодических измеримых функций и: М м Я. Рассмотрим далее задачу

в которой функция и(■) € И(Д) называется решением, если /(и(■)) ^ /(«(■)) для всех и(■) € И(Д). Поскольку И(Д) содержится В £(М, Я, т0 очевидно, что

и всякое решение задачи (1.9), если его модуль содержится в

,

казывает, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример 1.3. Рассмотрим п.п. по £ € М в смысле Бора равномерно по и = (иг, иг) € Я = [—1,1] х [—1,1] отображение д(£,и) = и^пш^-Ь где числа ш,Ш > 0 и несоизме-

римы. Далее, т. к. для любых несоизмеримых в > 0 и ш > 0 и всякой измеримой ш-периодической функции и: М м [—1,1] имеет место равенство — М{и(£) втвО = 0, то

ет.

Ди(■)) = М{д(£,и(£))} м шр, и(0 € И(Д), (1.12)

зир{/(и(■)),и(0 € И(Д)} ^ шр{ди0),и(0 € £(м,Я},

Бир М {и1(£)8тш1£ + «( -)еи( ш)

0, еСЛИ ш несоизмеримо с ш И Ш2,

если ш соизмеримо либо с ш, либо с Ш2.

Будем считать для определенности, что w = Wi- Тогда, в силу вышеприведенного равенства, в качестве решения задачи

M {ui(t) sinwit + U2(t)sinw2t} ^ sup, u( ') € U( Wi)

можно взять любую фиксированную ^ -периодическую функцию v(t) = (sign(sinwit), u(t)), где щ(') € U(и)- С другой стороны, поскольку при всех t € R

max (и sinwit + U2 sinw2t) = | sinWit| + | sinut|,

|u Ki, U Ki

TO П.П. ПО Степанову функция V( t) = (sign(sin Wit), sign(sin W2t)) будет решением задачи

Ди(')) = M{ui(t) sinwit + U2(t) sinW2t} ^ sup, и(0 € S(R,U)

и при этом I(v(-)) = \ Кроме того, на множестве

положительной меры g(t, v(t)) <g(t, v(t)) .

Приведенный пример 1.3 показывает также, что в теореме 1.4 для выполнения равенства (1.10) существенно, что функция v(-) является решением задачи (1.9), определенной па S(R,U). Вместе с тем отметим (см. доказательство теоремы 1.4), что если Mod(g С Mod(А), то функция v(') € U(A) будет решением задачи (1.12) в том и только том случае, если при п. в. t € R выполнено равенство (1.10).

Определение 1.2. Задача2 ТМ')) = M{<Mt),g(t,u))} ^ SUP, М') € APM, (1.13)

называется овыпукленной для задачи (1.10), и функция Д('), принадлежащая APMi, называется решением задачи (1.13), если

TМ')) ^ TМ')) Для всех М0 € APMi-

2Здесь см.следствие 2.3 в [1].

Теорема 1.5. Имеют место следующие утверждения:

1) функция Ж■) € АРМх является решением, задачи (1.13) в том и только том случае, если для п. в. £ € М

тахд(£,и) = (Ж £),д(£, и)); (1-14)

«ея

2) решение Ж■) € АРМх задачи (1.13) существует, если и только если существует решение Ж ■) € £(М, Я задачи (1.9) и при этом /(Ж■)) = Т(Ж ■)) •

Доказательство. Пусть для Ж ■) € АРМ1 при п. в. £ € М выполняется равенство (1.14). Тогда из равенства функций максимумов <^( ■) и ф( ■), определенных равенствами (1.1) и (1.4), соответственно, вытекает, что Ж■) — решение задачи (1.13).

Пусть теперь Ж■) € АРМх — решение задачи (1.13). Тогда в силу теоремы 1.2 при каждом ] € N найдется такая функция € 5(М,И), что g(t,Uj(t)) > с,с>(^) — у для п. в. £ € М. Далее, в

силу леммы 2.1 из [1] .) € АРМ^ с АРМх и, т.к. для всех

£ € М <^(£) = ф(£), то из неравенств

М{<^(£)} ^ М{(р,(Ь), д^, и))} ^ М{(<Ц(4),д(*,и))} > М{<^(£)} - у

получаем, что М{/(£)} = 0, где /(£) = <^(£) — (Д(£),д(£, и)), £ € М. Поскольку / € £(М, М+), то из леммы 1.3 вытекает, что при п. в. £ € М справедливо равенство (1.14). Тем самым, первое утверждение теоремы 1.5 доказано.

Второе утверждение этой теоремы является практически очевидным следствием доказанного первого утверждения, а также теорем 1.2 и 1.4. В самом деле, пусть Ж■) € АРМ1 является решением задачи (1.13). Тогда, в силу первого утверждения данной теоремы, Ж■) — сечение отображения £(■) (см. (1.5)). Откуда по теореме 1.2 отображение Р(■) (см. (1.2)) имеет сечение Ж■) € £(М,Я, являющееся решением задачи (1.9). При этом по

теореме 1.4 будет выполняться равенство (1.10), из которого совместно с (1.10) получаем равенство /(Ж■)) = Т(Ж■)). Аналогично показываем, что из существования решения задачи (1.9) вытекает существование решения задачи (1.13).

Замечание 1.3. Отметим, что овыпукленной задачей для задачи (1.12) будет следующая задача (здесь см. обозначение (4.1) в [1])

ТЖ■)) = м{(Ж^),д(£,и))} ^ шр, Ж■) € м(Д), (1.15)

в которой функция Ж0 € М(Д) называется решением, если ТЖ■)) ^ ТЖ■)) Для всех Ж0 € М(Д). В силу теоремы 3.1 из [1] имеет место равенство

Бир{/(Ж■)), Ж0 € и(Д)} = Бир{ТЖ0), Ж0 € М(Д)}.

Далее, обозначим через ВМ х Мт, М) множество таких функций д € С(М х Мт, М), что при каждом Я € сотр(Мт) д принадлежит ЩМ х Я, М) и через М, Мт) обозначим совокупность

ограниченных на М функций, принадлежащих ЖМ, Мт).

Пусть, далее, д € Б(М х Мт,М) и и € 5оо(М, Мт). Поскольку отЬ(и) € сотр(Мт), ад€ Б(М х огЬ(и),М), то [1] отображение £ ^ д(£,и(£)) принадлежит пространству 5те(М, М) и, значит, для него существует среднее.

Рассмотрим сейчас задачу

/(Ж■)) = М{д(£, и(£))} ^ ШР, Ж0 € М, Мт). (1.16)

Определение 1.3. Функция Ж■) € М,Мт) называется локальным решением задачи (1.16), если существует такое ограниченное открытое множество и с Мт, содержащее огЬ(и), что Ж') является решением задачи (1.9) при И = Ы.

Из данного определения 1.3 и теоремы 1.4 вытекает

Следствие 1.4. Пусть функция Ж 0 € М, Мт)

является локальным решением, задачи (1.16). Тогда, если отображение д € ЩМ х Мт, М) дифференцируемо по и в каждой точке (£,и) € М х и, то д«(£, Ж£)) = 0 для п. в. £ € М.

Далее, овыпуклим задачу (1.16). С этой целью обозначим через M(R, frm(Rm)) совокупность таких р : R ^ frm(Rm), для каждого из которых существует такое компактное множество С Rm, тао р € M(R, frm(Яи)) (см. п.1 второго раздела работы [1]). Аналогичным образом определим и подмножество M(R, rpm(Rm)) из M(R, frm(Rm))• Через АРМ(Rm) обозначим совокупность таких р € M(R, frm(Rm)), что (см. определение 2.1 в [1]) р € АРМ(Яд) и пусть

APMi (Rm) = MR,rpm(Rm)) П APM(Rm) •

Отметим, что р € АРМ(Rm) в том и только в том случае, если для любой функции c € С(Яд, R) отображение t ^ (р^),с(и)) принадлежит S^(R, R) и имеет место аналогичное лемме 2.2 из [1] утверждение: для того, чтобы и(•) € S^(R, Rm), необходимо и достаточно, чтобы отображение t ^ принадлежало множеству apm (Rm •

Совокупность отображений t ^ , отвечающих функциям

U•) €S^(R, Rm, обозначим через АРМ}1} (Rm) •

Таким образом, следующую задачу

Tр(•)) = М{(р(^,д(^и))} ^ sup, АРМ(Rm) (1-17)

естественно назвать овыпукленной для задачи (1.16).

Определение 1.4. Функция Д € АРМ (Rm) называется локальным решением задачи (1.17), если существует такое ограниченное открытое множество U С Rm, что Яд С U и является решением задачи (1.13) при Я = ZY.

Лемма 1.4. Пусть функция р € АРМ (Rm) является локальным решением, задачи (1-17) и gu € C(R х U, Rm*). Тогда (Д(t),g«(t,U) = 0 для п. в. t € R.

Доказательство. Поскольку Д € АРМ (Я, где

ii = U, то [4] существует такое счетное множество функций

U'(•) € S(R, Я, j € N, что

Uj(t) = Биррр^) (1.18)

j=l

для п. в. t € R. При этом (см. теорему 1.5 и доказательство теоремы 1.3) каждая из функций Uj( •) будет решением задачи (1.9) при Я = К, и т. к. Uj(t) € suppp(t) С К, то по следствию 1.4 g«(t,Uj(t)) = 0 при п. в. t € R, например, всех t € Tj. Теперь из условия gM(t, •) € С(Я, Rm*) и равенства (1.18) получаем, что

ОО

при каждом t из множества T = Р| Tj (mes(R \ T) = 0) для

j=i

всякого и € яиррр^) gM(^и) = 0.

В заключение раздела докажем еще одно свойство функции максимума, важное при исследовании свойств функции Понтря-гина в задаче п.п. оптимизации.

Лемма 1.5. Пусть функция g € B(R х Я, R) такая, что при каждом и € Я отображение t ^ g(t, и) абсолютмо непрерывно, gt € S(R, C(Я, R)) и

g = ^^p(max |gt(t, и) |) < to.

teR

Пусть далее функция p определена равенством (1.1) и суще-р • АРМ, t R

p(t) = (р^^^и)). (1-19)

p • p • S R, R

п. в. t € R

p(t) = (M^,gt( ^и)). (i.20)

Доказательство. Из условия (1.19) и отмеченного в п. 1 равенства p(t) = ^(t) = max (v, g(t, и)), t € R

v€rpm (Я)

вытекает, что при всех t, h € R

^(tKg^+h, и)—g(t, и) ^ p(t+h)—p(t) ^ ^(t+h^t+h, и —g(t, и))

или, в силу абсолютной непрерывности функции g(-,и), и € U

t-|--h t-f-h

<Ж^,ук(s,u)ds) <p(t + h)— <p(t) < <A(t + h),y"gt(s,u)ds). (1-21)

t t

Откуда получаем, что |p(t + h) — ^(t) I ^ A *|h|, t, h € R и, стало быть, п.п. по Бору функция р(•) является абсолютно непрерывной.

Покажем, что при п. в. t € R ^ г t+h

lim — max \g't(s, и) — g't(t, u)\ds = 0. (1.22)

h^o h Jt «ея

Поскольку gt € 5(R, C(U, R)), to (cm. в [1] лемму 1.3) найдется такая последовательность {Yj}?^i, Yj = 0, что при всех

t € R, за исключением, может быть, множества N нулевой меры lim !t(Yj) = 0, где !t(Yj) = w7j [gt(t, 0, U =0 и при каждом

j € N при вс ex t € R, за исключением, может быть, множества N также нулевой меры

1 г t+h

йо h Jt -),U]\ds = 0. (1.23)

Кроме того, если U^ = (ui, Ui,... } — счетное всюду плотное подмножество множества U € comp(Rm), то при всех t € R, за исключением, может быть, множества N3 нулевой меры и всяком щ € iloo Yim^ J*+h \g't(s,Ui) - g't(t,Ui)\ds = 0. Фиксируем

теперь произвольное t € R \ (N U N UN)• Тогда в силу вышесказанного для заданного е > 0 найдется такое j(e), что будет выполнено неравенство It(Yj(e)) < е/6. Для этого Yj(e) (см-(1.23)) выберем такое 5 > 0, что при всех h € (—5,5)

1 Г t+h

h Jt К,- bS (s 0, U — bt(t, 0, U |ds <eA

Наконец, рассмотрим точки u... up € Нте, образующие Yje) -сеть для U, и для константы s/Зр подберем 5 € (0,5) так, чтобы при h € (-5,5) имели место неравенства

t+h |gt( s,uz) - gt( t,uz) |ds < s/3p, 1 = l...p.

Зафиксируем сейчас измеримое отображение u : [t, t + 1 ] ^ U,

такое, что max|gt(s,u) - gt(t,u)| = |gt(s,u(s)) - gt(t,u(s))I ПРИ

«ея

п. в. s € [t, t + 1], и рассмотрим дизъюнктную систему множеств Ti(t) = {s € [t,t + l]: |u(s) - ui| < Yje)}, i = l...p, образующую покрытие [t, t + 1]. Полагая T](t, h) = [t, t + h) П TJ(t), I = 1... p имеем при всех h € (-5, 5), принимая во-впимание выбор 5, следующие соотношения

t+h

max|gt(s,u) - gt(t,u)|ds =

1 P f

= hJ2 №>Ф)) - gt(t,u(s))|ds <

h t.h)

1 p r

(\9l{s,u(s)) - g't(s,ui)\ + \g't(s,ui) - g't(s,ui)\ +

h ^ "'TKt,h)

+ |gt(s,u^ - gt(t,u(s))|)ds <

^ t_j_h p /* t-f-h

< T w7i[5,s(s)'),n]ds + ^- \g't(s,ui) - g't(t,ui)\ds+

J t i_«/ t

+Д7Ле)) < s/3 + 2/(7j(e)) + p ■ s/3p = s.

Тем самым равенство (1.22) доказано. Из него, в свою очередь, получаем, что левая из оценок (1.21) обеспечивает при п. в. t € R неравенство p(t) ^ (p(t),gt(t, u)). Теперь поскольку отображение t ^ p(t) € (rpm(U), Рад) измеримо, то п. в. точка t, принадлежащая R, будет его точкой аппроксимативной непрерывности, и

значит, для всякой такой точки £ и отвечающего ей измеримого множества Е (здесь см. в [1] оценки, указанные при доказательстве леммы 2.1) будет выполнено равенство

Учитывая которое, а также равенство (1.22), из правой оценки в (1.21) получаем, что р(£) ^ (Д(£),д£(и)). Тем самым доказано, что при п. в. £ € М выполнено равенство (1.20), из которого, в свою очередь, в силу следствия 2.3 работы [1] вытекает, что функция ф{•) € £(М, М).

2. Ляпуновские задачи в п. п. случае

1. Обозначим через £(М, С(Мк х Я, М)), Я € сотр(Мт) совокупность таких функций /: М х Мк х Я ^ М, что при каждом

V € сотр(Мк) / € £(М, С^ х Я, М)) (см. первый раздел работы [1]) и пусть функции /[ € £(М, С(Мк х Я, М)), I = 0 ... I + т. В силу леммы 5.2 и следствия 2.3 из [1] при каждом 1 = 0 ... I + т, на ЩМ, Мк) х ^М, Я) корректно определен функционал

N •) •)) ^ •) •)) = м )}- (2.2)

Нт (Д(£ + Н) — Д(£),д(£,и)) = 0.

В дальнейшем © С ЩМ, Мк) и

/

в = {М 0 ,и( •))

€ © х ^М,Я): /[(у(•),и(•)) < 0

при I = 1... I и Т[(и(0, и•)) = 0, 1 = 1 + 1... I + т}.

Определение 2.1. Задача

1оИ•),и(•)) ^ т£, (и(0,и0 € О (2.4)

называется п.п. ляпуновской задачей и пара (г?(•), гГ(•)) € О называется ее решением, если /о(^(0, ^(•)) ^ 1оМ0, и0) Для всех пар (у(•), и(•)) € О.

Замечание 2.1. В дальнейшем первую компоненту в паре -ш(•) = (у(•), и(•)) называем параметром и подчеркнем, что в задаче (2.4) множество (параметров) © — некоторое подмножество из ЩМ, Мк) с заданным свойством.

Пример 2.1. Пусть / € £(М,С(Мк хЯ, М^), функции а € 5(М,С(Мк,Мга*)), /[ € 5(М,С(Мк х Я,М)), 1 = 0... 1 + т и отображение А € £(М, Нот(Мга)) такое, что система

ж = А(£)ж, (£,ж) € М х Мга (2.5)

допускает экспоненциальную дихотомию (см., например [8]). В этом случае для любой функции Ь € £(М, Мга) неоднородная система ж = А(£)ж + Ь(£) имеет единственное п. п. по Бору решение. Далее, при каждом [ = 0...I + т па © х £(М,Я) рассмотрим функционал

М^0,и(•)) = М{а(М(£))ж(£) + /кМ(£),и(£))}, (2.6)

где ж(£) = ж(£;^(0,и0) — единственное п.п. по Бору решение п.п. по Степанову системы ж = А(£)ж + /(£,-и(£), и(£), отвечающее паре (^( •) ,и( •)) € 6х^ М, Я • Далее, на множестве В, состоящем из таких пар (^(•), и•)) € © х £(М,Я, что у(•), и•)) ^ 0, при 1= 1... I и 3[(у(•), и(•)) = 0, 1 = 1+1... 1+т, рассмотрим задачу (см. (2.6))

ЫН•),и(О)^^, (и(0,и(•)) € В, (2.7)

которую будем называть задачей оптимального управления п.п. движениями линейной по фазовой переменной, параметризованной множеством © С ЩМ, М^) и пару (г;(•), и(•)) € В называем

решением этой задачи, если 7о(гТ(•), и(•)) ^ Лу{0, и(•)) Для всех (■и(•), и(0), принадлежащих В.

Покажем, что задача (2.7) может быть редуцирована к задаче вида (2.4).

В самом деле, пусть р[(•) € ЩМ, Мга*), [ = 0 ... I + т — это решение системы р = — рА(£) + а[(£, ^(£)). Тогда для каждого решения X0 системы ж = А(£)ж + /(£,-и(£),и(£) имеет место равенство ^(р[(£)ж(£)) = а[(£,г>(£))ж(£)+£>[(£)/(£,г>(£),«(£)). Далее,

&

т.к. эир |рс(^)|, эир |ж(^)| < оо, то М{ —(р[(£)ж(£))} =0. Следо-*ек *ек

вательно, М{а[(£,-и(£))ж(£)} = — М{р[(£)/(£, ^(£)), и(£)}, а значит, при любых (^(•), и•)) € © х ^М,Я Jl{Н0,и(•)) = ![(у(0, и(0),

где

![(«( 0 ,и 0) = М {—р[( £)/(£, и(*),и(£)) + /К М(£),и(£))}. (2.8)

Таким образом, задача (2.7) сводится к задаче (2.4) с функционалами /[, определенными равенствами (2.8).

Определение 2.2. Задача

То И0 ,М0)^тГ, И0 ,р(•) € Э (2.9)

называется овыпукленной ляпуновской п. п. задачей (или расширением задачи (2.4)), для которой пара (г?(•), р(•)) € Э называется решением, если То(г?(•), р(•)) ^ Т(Н•), М•)) Для всех пар (■и ( •), р (•)), принадлежащих множеству Э.

Замечание 2.2. Целесообразность рассмотрения задачи (2.9) обусловлена тем, что задача (2.4) может не иметь решения, тогда как отвечающая ей задача (2.9) имеет решение (ср. с утв. теоремы 1.5).

Пример 2.2. Пусть Я = {и = (щ,щ): |и|, и| ^ 1} и множество О = {и(•) € £(М,Я): Д(и(•)) = М{их(£) + и2(£)} = 0}. Рассмотрим задачу

1о(и(•)) = М{и1(£)и2(£)/(£)} ^ т£, и0 € О,

в которой знакопеременная функция / € ЩМ, М) такая, что sign/ € £(М, М) и М{^п/(£)} ф 1. Легко видеть, что для всех и(0 € ^М,Я 1о(и(•)) ^ —М{|/(£)|} и равенство достигается на функции г(£) = (—1таи г(£) = —г(£),

/,

лежат О. Покажем, что /о(и(•)) > —М{|/(£)|} для всякой функции и(0 € О. Допустим, что существует такое и(•) € О, что /о(и(•)) = —М{|/(£)|}. Тогда при п.в. £ € М необходимо их(£)и2(£) = п/(£). Из этого равенства вытекает, что для

п.в. £ € М их(£) = —^п/(^^(^) и иг(£) = —/(£)их(£). Стало быть и(^) + иг(£) = — ^п/(^(и(^) + иг(£)) при п.в. £ € М. Из последнего равенства получаем, что п. п. по Степанову функция £ м (и(^) + иг(£)) неотрицательна. Поскольку М{и!(£) + иг(£)} = 0, то то лемме 1.3 их(£) = —иг(£) для п. в. £ € М. Откуда, учитывая, что и|(£) = 1, имеем

/0(и(•)) = —М{и2(£)/(£)} = —М{/(£)} > —М{|/(£)|}.

Полученное противоречие показывает, что рассматриваемая задача решения не имеет. С другой стороны, овыпукленной задачей для исходной будет следующая задача:

То(М•)) = М{(р(£),и!и2/(£))} м т£, М•) € Э,

где Э = {М 0 € АРМ (Я) : Т (М •)) = М {(и(£),и1 + и2 )} = 0}. Легко видеть, что отображение £ I—>■ /2(£) = | (&«(*) + &?(*)) принадлежит Э и т.к. Т(£(•)) = —М{|/(£)|} = т£{<Г0(р(0), М0 € то оно является решением овыпукленной задачи.

В связи со сказанным сделаем

Замечание 2.3. Если пара (г(•), М•)) € Э, где Д(0 € АРМ \ АРМ^, является решением задачи (2.9), то из теоремы 3.1 в [1] получаем, что существует такая последовательность функций {иД0}~1 С ^М,Я, чт0 Для всех [ = 0 ... I + т выполнено равенство Нт 1[(г(•), и(•)) = Т[(г(•), М•)), т. е. расширение задачи (2.4) до задачи (2.9) корректно.

Определение 2.3. Пара (г( •) , М •)) € Э называется решением задачи (2.9) в ослабленном смысле, если не существует такой пары (-и(•),и(•)) € О, при которой справедливо неравенство /о(Л•), и(•)) < То(г(•),М0).

Отметим, что всякое решение задачи (2.9) является ее решением в ослабленном смысле и для задачи (2.4) оба этих понятия совпадают.

Всюду далее предполагаем, что отображения

(£, V, и) м /[(£, V, и) € М, [ = 0... I + т,

удовлетворяют условию: 1) в каждой точке (£, V, и) € М х Мк х Я существует производная по V и для всякого V € сотр(Мк) Д, € £(М,С^ х Я, Мга*)). Через Тг(.)6 обозначаем в банаховом пространстве (ЩМ, Мк), || • ||с), (|| • ||с = || • ||С(кдк)) касательный конус Кларка к множеству 6 С ЩМ, Мк) в точке г(•) € 6. В соответствии с определением [9], в нашем случае Н{•) € Тг(.) 6 в том и только в том случае, если для любой последовательности функций •)}ГО1 С 6, Нт |^„(•) — г(= 0 и вся-

Р Р^-ГО

кой числовой последовательности {Л„}го С (0, го), Нт ЛР = О

Р Р^-ГО

отвечает последовательность {Л,Р(0}^ С ЩМ, Мк) такая, что Нт ||Л,„(•) — Н{= 0 и при всех р € N

Р^-ГО

™Р(о = М•) + ЛрЛр(0 € 6. (2.10)

В следующей теореме Нт

£(£, V, и = ^ Л [/[(£, V, и, (£, V, и € М х Мт х Я.

[=0

Теорема 2.1. Пусть функции /[ € ЩМ х Мк х Я, М), I = 0... I + т удовлетворяют уело вию 1). Тогда, если пара (г(•),г(•)) € Э является решением, задачи (2.9) в ослабленном,

смысле, то найдутся такие не равные нулю одновременно числа А0 ^ 0, Ах... A^m, что

1) имеет место равенство

inf ML(t,A(t),«))} = M{(Аt), Lt, А(t),«))}> (2.11)

OeAPMi

2) Ai ^0, A[T[( A( •), A( •)) = Q при каждом 1 = 1... t;

3) для каждого h( •) € TA(•) ®

M{(A(t),L^(t, A(t),«))h(t)} ^0. (2.12)

Из определения 2.3 и теоремы 2.1 вытекает

Следствие 2.1. Пусть функции /[, [ = 0 ... t + m из пространства ЩR х Rk х U, R) удовлетворяют условию 1). Тогда, если (А(•),А(•)) € D —решение задачи (2.4), то найдутся т,акие не равные нулю одновременно числа Ао ^ О, Ai... Ae+m, что при Д(t) = t) будут выполнены условия 1) -3) теоре-..

Доказательство теоремы 2.1 приведем в третьем пункте раздела. В следующем пункте определим конус вариаций для заданной пары (A(•), A(•)) € S х APMi-

2. Полагаем

I /!( = /К t, A( t),«), /[,m( t,u = /[( t + ma,u

|A/(t,v) = (v - A(t),/[(t,u), A/(t,v) = A/[(Hma,v)

и h( 0 € ЩR, Rfc), поставим в соответствие множество

V = orb(A) + ОвЩ, £> = ||Л.||с + 1- (2-14)

Далее, т.к. /[ € ЩR х U,R)), то (см. в [1] лемму 4.2) для каждой п.п. последовательности {v(m)}mez С rpm(U) существу-

A

ет lim ^ E (u(m)j Дт(^и)), € [0, а]. Кроме того, по след-

q m=0

ствию 2.2 в работе [1] отображение t ^ (A(t),/[(t,U) п-п- 110 Степанову. Теперь, используя теорему 1.5 указанной работы, получаем (см. (2.13)) следующее утверждение:

(2.13)

Лемма 2.1. Существуют такие последовательности {^ОО, С М, Нт ® = то и {пр}00г С [0, а], ПР = О, а также

измеримое множество Н С [0, а, теэН = а, что при каждом $ € Н для любой п. п. последовательности {^(ш) }тег С грт(Я) существуют пределы,

«г-1

Нт — V Д/[т($, 1у(т)), [ = 0...1 + т,

5га '

т=0

| 1 | г Пр

Нт ( Нт — 7 — Бир | Д/[ т(£ + $, г/)—

^а ^Пр У0 ^егрт(Я)

-ДДт(| ^) = 0. (2.15)

В дальнейшем, не оговаривая специально, при рассмотрении игольчатых вариаций для Д(•) (см. четвертый раздел работы [1]) предполагаем, что в зафиксированном наборе $ = ($г)^х точки $г, г = 1... N принадлежит множеству Н, указанному в лемме 2.1. Отметим, что в этом случае, для каждой иголки 1 = И А; , {%( ш) }тех) }^1 € V И ВСЯКОМ I = 0 . . . Ш + 1 СуЩвСТВу-ют пределы

которые для каждого 1 € Vт+е и у € Пе+т, в силу определения иголки € V (см. (4.6)-(4.9) в [1]), удовлетворяют равенству

Нт

С[($,уг) = ^УЧС[().

4=1

Имеет место следующая

Лемма 2.2. Пусть 1 € Vе+т такое, что в(0 > 0 и ер = ПР/(рв(1)), Р € М, где (пр}~1 — последовательность, указанная в лемме 2.1 Тогда, если р(•; е, у Г), е € [О, е(р, О] — игольчатая вариация, отвечающая Д(•) (см,. (4.18) в [1]), то при каждом 1 = О... I + т 1

Нт( Бир \-(%(Ц-),1л(-;ер,Х)1))-%($(■),$(■)))=0.

р^^ уеП1+т £р

Доказательство. Из равенства (4.9) в [1], определения функционала Т (см. (2.2)), учитывая, что (здесь см. в [1] (4.13)) теяТ^,^ е, у Г) = еучвг4^ ПРИ 3 = 1---Лгч, имеем следующие соотношения:

|—■М{{А1л(Ъер, $?),№, и))} - С[(#,уГ)| <

ер

1 дг-1 N Нт ^ 1

<Нт-ЕЕЕЕ

flza ^ ^ ^ ^ т=0 г=1 q=l j=l

х/ ^ i △ /mm)) - △ дт(^i,vj(m)idt ^

•/To ,i,j( £p ,y D

N q;-l

^Ji)V lim — V —x

^q^a Пр

г=1 m=0 ^

f Пр

Х/ sup i △ /[,m(t + tfi,v) - △ /[,m(tfi,v) |dt.

*/o v€rpm (H)

Откуда в силу (7.15) вытекает нужное предельное равенство. Нам понадобится также следующая

Лемма 2.3. Для каждого h(•) € .)5 найдется та-

кая последовательность функций {wp(Ol^i, содержащаяся в <5, чт,о li m ||wp( •) — А( ^Цс = 0 и при вся ком l = 0... m + k p^^

равномерно no p( •) € APMi

lim — (T[(wp(-),//(•)) -T[(A(-),//(•))) =

где

v I (p( 0,h О) = М t,:^( )ht) }

м {ep}^х — последовательность, указанная в лемме 2.2.

Доказательство. Поскольку А( •) € S, то расстояние ре(А(•)) в BR, Rfc) от г?(•) до S равно нулю. Следовательно, для каждого p € N найдется такая функция vp( •) € S, что ШЛ — vp(ЛНс ^ £p- Очевидно, что lim ||А(Л — vp(ЛЦс = 0.

Поэтому для каждого h(•) € .) S найдется такая последова-

тельность {hp(0}^i С BR,Rfc), lim ||hp(Л— hOllc = 0, что заданная равенством (2.10) при ЛР = ep, p € N последовательность {wp(0}~i С S. Покажем, что эта последовательность искомая. В самом деле, равенство lim ||wp(•) — г?(^Цс = 0 вытекает непосредственно ИЗ определения функций Wp( •). Стало быть, можно считать (см. (2.14)), что при каждом p € N и всех (0, t) € [0,1] xR wp(t, 0) = (A(t) + 0(wp(t) — A(t)) € V. Поэтому (см. ограничения на /[) имеем следующие соотношения:

| —M{(n{t),fi{t,wp{t),u) - fi(t,v(t),u))} -V[(/u(-),h(-))I =

£p

= |M{{n(t), [ f'lv(t,wp(t,e),u)de)}(^^——+hp(t))}~

J 0 ep

—v Ы•)>M0)l < (£p + IIM0 — h011с)М{ ^ (1|/fo(t,v,u|}+

(v,u) eV xU

r t+1

+ sup / [ДДS, •, 0,V x U ds ||hp(ОУс,

teR Jt

где /(s, •, 0, V x U это 7(p) = ||wp(0— A(01с-колебание

па V x U непрерывной функции (v,u) ^ ДДs,v,«). Из которых, учитывая, что lim ||hp(•) — h(^Цс = 0 и 1 im 7(p) = 0, прини-p^^ p^^

мая во внимание обозначения (2.2) и лемму 1.3 из [1], получаем утверждение леммы 2.3.

Следствие 2.2. Пусть {wp( 0}^i —последовательность функций из множества S, указанная в лемме 2.3 , отвечающая h•)€.)S м р(•>e, У*}, e € (0,e(p,1)] —игольчатая вариация, отвечающая р( •). Тогда при каждом 1=0 ... 1 + ш

1

— (T[(wp(О,MS e,t)^)—T(А(•),MS e,t}1))) ^ b I(h^прие jo,

ep уеП (+m

где

b t (h •)) = M {(M( t)/( t,A( t),«) )h(t) }, 1 = О--- £ + ш, (2.17)

и {ep}^x — последовательность, указанная в лемме 2.2.

p € N,

для которых ep € (0, e(p, ^],

|— M{{n(t-,ep,ijV),fi(t,wep(t),u) - ft(t,v(t),u))} - bt(h(-))\ ^

ep

^ sup |-(£[(wep(-).M-))-T[(A(-),p('))) -tJ[(MO.M-))l +

-)eAPMi e

+ sup |M {(p(t;e,y1) — p(^,/[v(t,A(^,Uh^ )}|,

УеП {+m

а отображение (t, u) ^ ЛДt, A(t),u)h(t) (см- лемму 5.2 в [1]) принадлежит SR, CU, R)), то утверждение следствия 2.2 вытекает из леммы 2.3 и следствия 4.1, приведенных в [1].

Полагаем, далее (здесь см. (2.16) и (2.17))

a i(v, i, h•)) = ct(v, i) + b t(h0), i € V, h0 € T?(.)S. (2.18)

Из леммы 2.2 и следствия 2.2 вытекает

Лемма 2.4. Пусть 1 € Ve+m такое, что в(1) > 0 и ep = np/(pe(1)), Р € N, г<9е {np}~i — последовательность, указанная в лемме 2.1. Тогда, если р(•;e,y1), e € [0,e(p,1)] — игольчатая вариация, отвечающая р(•) (сж. в [1] (4.18)), м

{адР(-)}~1 — совокупность функций из множества б, указанная в лемме 2.3, отвечающая Н{•) € .)6, то при каждом

{ = 0 ... к + т справедливо предельное соотношение

|—(Т[(адр(-),р(-;£р,УО) -Т[(А(-),Д(-))) - а10,^,Ц-))\ =* О

£р уеп 1+т

при р ^ то.

Замечание 2.4. Утверждение леммы 2.4, в силу замечания 4.2 в [1], справедливо для всякого фиксированного набора $ = ($г)^ ! точек 1 € Н, г = 1... N допускающих совпадение. Поэтому в дальнейшем при ссылке на лемму 2.4 предполагается, что в зафиксированном наборе 1 = ($г)^ 1 точки 1 € Н, г = 1... N такие, чт о 0^ 1 ^ ... ^ < а.

3. Рассмотрим в М1+е+т множество (здесь см. (2.16)-(2.18), а также обозначение (4.3) в [1])

К 1) = {ы^)---ант( 1,с)), ? = М( ^€УХ Т?( 0 б}, (2.19)

а также проектор Р : К1) ^ ^т, определенный для каждой точки (ао($, ?)... ае+т( $,?)) тонуса К(1) равенством

Р((а0($, ф.. ае+т(0) = (ае+т(0)... 1,0), (2-20)

и рассмотрим также выпуклый в М1+е+т

Н = {(Х0 . . . Хк+тУ- Х0 . . . X < 0, Ж|+1 = . . . = Ж^т = 0}. (2.21)

Так как .) 6 — выпуклый конус с вершиной в нуле, то, принимая во внимание (4.3)-(4.5) из [1], получаем, что К(1) — выпуклый конус в М1+е+т, причем с вершиной в нуле, поскольку для каждой иголки вида

*о = {(, {%(т))}т£^}г=1 € V

точка (ао($, 1о, 0)... ае+т( 1,1о, 0)) — нуль пространства М1+е+т.

Следующая теорема отражает основное свойство конуса К( $) при условии, что Т [(А(•), Д(•)) = 0 при всех [ = 1... к.

Теорема 2.2. Если К( 1) ПН ^ 0 « Р(К$)) = Мт, то найдется т,акой допустимый процесс (у(•), и(•)) € О задачи (2.4), что /0И0,и')) < Т(Г(О,Г(0).

Доказательство. Для простоты обозначений считаем к = т = 1 (какие надо внести изменения в общем случае станет ясно из приводимого ниже доказательства), и полагаем а [(1,Н(•)) = а [($, 1, Н(•)) при всех (1,Н(•)) € V х Т?.)6, К = К1).

Поскольку К П Н ф 0, то (см. (2.19)) найдется такая пара Г = (Г, Н(•))€ V х Т?.)6(Г^10), тоо (а0(<5, ах(Г), а2(?) € Н. Теперь, взяв 7 = пйп(—(ао(Г), —ах(Г), получаем (см. (2.21)), что ао(Г), а1 (Г ^ —7, аг(Г) = 0. Далее, т.к. Р(К) = М, то отрезок [—1 , 1] С Р(К, а значит найдутся такие ^ = (^, Н,-(•)) из V х ТГ(06, 3 = 1,2, чт0 а2(л) = —, а2(й) = 1. Учитывая (4.2)-(4.5) и (2.16)-(2.18), получаем, что для любого д > О

а I(Г+ д^) ^ —■7 + да [(л), I = ОД и а2(Г+ д*а) = —д. Поэтому при малом д > 0 будем иметь а [(Г + д^г) ^ —7/2, I = 0,1 и аг(Г+ дл) = — д, или, полагая ^ = Г+ дл, р; = 1/д,

а0(<Д ^(О < —7/2, Ра2(О = —. (2-22)

Аналогично показываем, что при некоторых <^/; € V и р/; > 0

а0(О, ах(с") < —7/2, р"а2(О = 1. (2.23)

Сейчас рассмотрим симплекс

Е = {А = ( Ах, А2): Аь А2 ^ 0, Ах + А2 = 1}

и гомеоморфное отображение К: Е ^ [—1, 1], определенное равенством

К А ) = А2 —Аь А € Е, для которого, в силу (2.22) и (2.23),

КА) = а2(А 1рУ + А2р'Ч"), А=(АьА2)€Е. (2.24)

В дальнейшем при доказательстве используем результаты, полученные ранее для иголки 1= (1, 1/;) и параметров

У=(А1р',А2р") €П2 = [0,р] х [0,р],

где А = ( Ах, А2) € Е и р = тах(р', р").

Далее, т. к. .) 6 — выпуклый замкнутый конус с вершиной в пуле [9], то при каждом А € Е

Ц•, А ) = Ахр'ЦО + АгА"(0 € Т?(6

и значит [9] для всякого А € Е

р%т, Л(-, А)) = Ит»ир Рв(..( )+^( .Л))-Рб(..( )) = 0

•и( -)^®( О е

£|0

Откуда для функций -ир( •) € 6, удовлетворяющих неравенству •) — А(0Ус ^ £р, Р € N получаем равенство

1

Пт —ре(М') + £РЦ-, А)) = 0.

Поэтому из неравенства

ре(М•) + £рЦ•, А )) < р6(ир(•) + ерр'Ц(•)) + р6(М•) + ерр'Ц"(0),

€

р'Ц(•), р^Ц"(•) € .)6, получаем следующее предельное соот-

ношение:

1

— ре(М•) + £рЦ•, А )) ^ 0 при р ^ то.

£р ЛеЕ

Далее, из определения расстояния вытекает, что для каждого р € N и А € Е найдется такое эдр(•, А) € 6, что

£

1Ы-) + £рМ'>л) — гУр(*, Л) ||с< < Ре(М') + ерМ';Л)) + —•

р

Полагая теперь кр(-,Х) = ■^(,шр(-,\) -ур(-)), получаем следующие соотношения:

1

НМ-,А) ~Н-Л)\\с = — 1кР(-,А) -ер + ер]г(-,Х)\\с <

£р

1 1

< — Ре(М') + £РН{-, А)) +

£р р

Откуда, в свою очередь, заключаем, что существует такая совокупность функций {Цр(■, А ),р € М, А € 2} С ЩМ, Мй), что

||Ьр(■, А) - Ц■, А)||с ^ 0 при р ^ то (2.25)

ЛеЕ

и для всех р € N и А € Е

■, А ) = ^р(•) + £рЦ^■, А) € 6. (2.26)

Покажем также, что для указанной совокупности функций

Нт( Биргетит ||Цр(■, А1) — Мр(■, А2) |^) = 0.

т|0 (р,л;) еКхе,

(=1,2,^-Л2 |<7

Допустив противное, получаем, что найдется к > 0 и последовательности {7г}°^х С (0, ТО, 7» = 0 такие, что

к < Я» = ||Ц,.(■, А5г)) — Ц,.(■, А2})Ус, г € N.

С другой стороны, из цепочки неравенств

Я ^ ^ ||адр^’> АгМ) — ^^ — ^Цр^’’ АгМ)Ус

1=1

•УМ•> А ) — Ц•> А )ус < 2 8ирер. р6(Ир4(') + £р.Ц-,А )) +р

ЛеЕ

+|А1^ — А2^1 (р/ IIм (0 Ус + р//уЦ/ (0 Ус)

вытекает, что Нт Я» = 0. Последнее противоречит тому, что

к < Я» для всех г € N.

Теперь, для иголки 1 = (1,10 € V2 рассмотрим константу £о = £р, 1) (см- (4-12) из [1]) и будем считать, чтобы не загромождать обозначений, что

{£р}~! С [0,£0], £1 =0.

Введем далее отображение (ер, А) — р(ер, А ), (ер, А) € [0, £о] х Е (здесь см. (2.2) и (2.26), а также (4.18) в [1]), заданное следующим образом:

(£ и = [^<г2(адр(-,Л),р(-;ер,Л1р/1+Л2р//1/))) V > 1, (22?)

р (МАхР^ + Аа/О, р = 1*

Из способа задания функций {-шр(■, А), р € М, А € Е} С 6, отвечающих Ц■, А) € ^6 (здесь см. доказательства леммы 2.3

и следствия 2.2) в силу леммы 2.4 и предельного соотношения (2.25) вытекает, что

|р(ер, А)— р(0, А)| ^ 0 при р — то. (2.28)

ЛеЕ

Далее, т. к. f является гомеоморфизмом, то определено непрерывное отображение

а I—— | ^(а) = (Ах(а), А2(а)) € Е, а € [—1, 1],

и, следовательно, при каждом £ € [0, во] определено также отображение а — р(ер, I-1 (а)), которое, в силу (2.24), (2.27) и (2.28), удовлетворяет соотношениям

а — р(0, (а)) = 0, а € [—1,1],

|а — р(ер, (а)| ^ 0 при р — то. (2.29)

ае[—1Д]

Полагаем теперь -шр(^,а) = ^р(■, А(а)) (см. (2.26)), и пусть

и(■;£, а = м■>£, А1(ар/1+А2(ар,,1/), (£, а € о = [о, &о] х [—, 1].

Поскольку (см. в [1] следствие 4.1) и(•; в, а) € $(М х ^, грт(Я)), то найдется такая последовательность функций {и}°^х из пространства £(М х П, Я, что! во-первых, при каждом ] € N

*+1

Нт( Биргетит (яир Ш„,(8;£1,а1) - £«,(КЯ)^)) = 0, (2.30)

7|0 (£Ь*1)60, 1=1,2 *еК ./

1£1 — £2 1~На| —^2 1^7 ^

а, во-вторых (здесь см. (2.1) и (2.2), а также лемму 5.2 из [1]), при каждом \ = ОД, 2

Нт ( Бир |Т[(А(•),^(•; в, а)) — 1(А(0, и(•> в, а))I) = 0- (2.31)

(е,аеп

Покажем, что равномерно по (р, а) € N х [—1,1]

|т (ш^ ^ток •; вр ,то—1(адР( ^том •; вр ,то I ^ (2-32)

при ] ^ то.

Допустим противное. Тогда найдется константа к > 0 и последовательности {Д}^, {рД^1 С N {а*}°^х С [—1,1] такие, что для всех г € N у* ^ к, где

|Т I (шрД •, аг), ^( •, вр4, а*)) — ^[(^рД •, а*), (•, вр., а*) )1 •

С другой стороны, если

7* = вир •,«)—а(о Ус

ае[—1Д]

и ^[/[(£, •, ОФ хЯ] - 7* -колебание на V х Я непрерывной функции (-иТО ^ /(£,■«, и), гДе V € сотр(Мт), здесь и далее при доказательстве настоящей теоремы определено равенством (2.14) при ^ = р' У Л/ ||с + р '||Л' 'Ус, то при каждом г имеем следующие неравенства:

у. ^ 2зир^7. [/[(^ •, 0, V х Я] +

*ек

+ яир |т(А(•),к•,в,то—КА(о,%(^тоI-

(г,а) еП

Поскольку (см. (2.26)) Yi ^ 0 при i ^ то и, напомним, что,

f € BR х V х Я, R), то [10] lim(supw7i[/(t, ■, •), V х Я]) = 0.

teR

Следовательно, из последнего неравенства, учитывая (2.31), получаем, что j ^ 0 пр и i ^ то. Последнее противоречит предположению: j ^ к > 0 для всех i € N.

Далее, из леммы 2.4, учитывая принятые обозначения, вытекает, что

1

— (T[(wp(•;,а)-Т [(А(О,р(•))) ^ a [(Ai^pV+Aa^pV')

«е—Д]

при p ^ то, и т. к. (см. (2.22), (2.23))

Y

sup ai(Ai(a:)pV + A2(a;)p//<j//) ^ --min(p/, р"),

«€[-1,1] 2

то найдется такое pi € N, что при всех p ^ pi sup — (%(vep(-,a),v(-iep,a))-%(v(-),$(•))) ^ -^mm(p', р").

a€[-l,1] £Р 4

С другой стороны, из (2.32) следует, что для каждого фиксированного p ^ pi найдется такое ji(p) € N, что при всех j ^ ji(p) будет выполнено неравенство

YP

sup |T[(v£(-, а), и(-; е, a))-I\{v£{-, a),Uj(-; е, a))| ^ —-тт(р', р"),

из КОТОрОГО; совместно с предыдущим неравенством, вытекает, что для каждого p ^ pi и любом j ^ ji(p) при всех a € [—1,1]

^(иер(-, a), Ks %,<*)) < Т[(А(-),р('))) - ^min(p,,p'/). (2.33)

Сейчас введем в рассмотрение функцию a I-» #pj(a:) = a-------h{wP{•, a),Uj(-;ep, a)), a € [-1,1].

Поскольку при каждом а € [—1,1]

(2.27) _

\фpAа)1 ^ sup |а - f {a))\ +

ае[—1,1]

1

+ — sup \T2(wp(-,а),^(-£p,а)) - /ДшД-,а),иД•;£p,a)\,

ep (k,a eNx[—,i]

то, в силу (2.29) и (2.32), найдется такое p2 ^ pi, что для каждого p ^ p2 существует j2(p) ^ ji(p) такое, что при любом j ^ h(p) будет выполнено включенпе ФрД[—1,1]) С [—1,1]. Теперь покажем, что для любых фиксированных p ^ p2 a j ^ j (p) функция #pj принадлежит пространству С( [—1, 1], [—1,1]). С

этой целью полагаем F(t) = max \/Дt, v,u)\ и пусть

(v,u ev xu

F p|j/(t, v, u)\, (t, v, u) € х V х Я}.

Поскольку wp(-,А) ^ г?(•) при p ^ то, то можно считать, что AeS

при указанных p для любых а', а" € [—1 ,1] и в € [0,1]

wp(t, в, а', а'') = wp(t, а'') + в(шр(t, а') — wp(t, а'')) € V, t € R,

где, напомним, множество V € comp(Rm) определено равенством (2.14) при д = р'||h'||с + p''||h''||c. Теперь для любых точек а', а'' € [—1,1] имеем следующие соотношения (напомним также, что шр(■, а) = шр(■, А(а)) ):

\ФрДа') — ФрДа'')\ < \а' — а''\ +

+£—1 \^(шД-,а'),иД •; £р,а')) — /2(ш Д-,а''),иД - £р,а') )\ +

+е—1 \/2(шД-,а''),иД-£р,а')) — /ДшД-,а''),иД-£р,а"))\ ^

^ \а' — а''\ + е—1M|\ /" /2v(t, wp(t,в,а',а''),иД•;ер,а'))^вх

J о

х( -шД ■, а'') — адД t, а') )\}+

■t+1

+£p FSUp I \(Ц(Цер,а') t;ep,a") \ (U)ds ^

^ \а' — а''\ + epxd(F(•),0)||wp(-,а'') — wp(t,a')||C+

+£p F! \^и(tep,a^ ^«^t;ep,a/^ \(U)ds,

из которых, учитывая непрерывность отображений

а I—— f ^(а) € S, а € [—1, 1], A i—— Шр(■, А) € R, А € S,

а также равенство (2.30), получаем, что отображение а — Ф jа) непрерывно на [—1,1], а т. к. Фи([—1, 1]) С [—1, 1], то, действительно, Фи- € С([—1Д], [—, Ш при p ^ p2 и j ^ j2(p)- П°"

pj

ет такая точка аю- € [—1,1], что аи- = Фр^ аи), или иначе /2(vep(-,ар^,Uj(•; ер, аю-)) = 0. Из этого равенства, совместно с неравенством (2.32) и условием — (г?(•),р(•)) € D, получаем, что (v£p(-,ар^, и, (- £р,ар^) € D и, кроме того,

тем самым теорема 2.2 доказана.

Рассмотрим теперь случай, когда в задаче (2.9) имеются ограничения в виде строгих неравенств. С этой целью выделим те индексы [\ ... , для которых Т[ДА(0, р(•)) = 0, г = 1... к, и в

Мх+г+т рассмотрим конус

H' = |ж € R1+k + m: жо, Х\... ж^/ <0, Ж|+1 = .. . = же+т = 0}. (2.35)

ЫМ-,ар^,uj(•; ^«j) < T(v(•),Ж0),

к' (1) = {(а0 (?,0, а к (?,<)••• а [{Д 1,0

ae+i(i?, с) ... a^m1 с))л € V х ТФ(0б} (2.34)

(свойства которого аналогичны свойствам конуса К($), определенного равенством (2.19)), проектор Р: К($) ^ Мт, задаваемый аналогично (2.20) и конус

Теорема 2.3. Если P(K'(1)) =Rm и K'(1) П H' ф 0, то найдется такая пара (v(0, U')) € D, что будет выполнено неравенство Io(v(О, U')) < T(А(О,Ж0)•

Доказательство. Снова считаем k = m = 1, т.е. в рассматриваемой ситуации T (А(•) ,р(•)) < 0. Тогда (см. обозначения принятые при доказательстве теоремы 2.2)

K'(1) ( =5) K'|(а0(Д, аг(Д), С = (1, h0 € V х TV(оS},

H' (2Д3) ц'ж0,ж2): Жо < о, ж2 = 0}.

Теперь в точности следуя схеме доказательства теоремы 2.2, считая ai(с') = ai(с'') = 0, получим тоо для всех p ^ p2 и j ^ j2(p) найдется пара (v£^-,арД, j•; ер, арД) € V х ^S, удовлетворяющая условиям:

■Ы^р(-,арД, j•;^р,арД) < T(А(О,Ж0),

^(v£^', ар^ , (') £р, ар.?)) = 0.

Далее, т.к. (см. (2.25) и (2.26))

■шр(-,а)=-шр(■, А(а)) ^ А(^^np — то,

а€[—1,1]

pj

(0, t) € [О Д] х R г?(t) + 0(А(t) — -шр(t, а)) € V. Поэтому (см. обозначения (2.13) и (2.26) при А = А(а) ) имеем следующие соотношения:

\А(^р(-,а,иД•;е,а)) — T(А(О,Ж-))\ <

Г t+1 л

^ ||-шр(-,а) — А(-)||с sup (sup / \(р(Д — ^^ер,а,Л(S,U)\ds) + а€[—1,1] teR Jt

+ sup \M|(^;е,а) — £«,(t;e,a)f(t,u))}\.

(e,a en

Теперь, поскольку функция Д € S(R, C(U, R)), ТО в силу следствия 4.1 в [1]

Г t+1 Л

sup / \(Д( s) — ^^£р,а,Д (S,U )\ds ^ On ри p — то.

teR Л «€[—,1]

Откуда, учитывая также равенство (2.31) (здесь, см. обозначения (2.1), (2.2)) из полученных выше соотношений, принимая во внимание, что T (Д(О ,Д ')) < 0, получаем, что при достаточно больших p ^ ^ j ^ j(p) будет выполняться неравенство h(vSp(-,арД, j•;ер, aj) < 0, т.е. при этих p и j пара (v£p(■, aj, j•; ер, aj) € D обладает нужным свойством.

4. В этом пункте, используя теоремы 2.2 и 2.3, докажем сначала существование универсальных множителей Лагранжа для оптимального в ослабленном смысле решения задачи (2.9) (см. определение 2.3), а затем докажем теорему 2.1.

Лемма 2.5. Пусть (Д(•),Д•)) € D является решени-.

1 = 1 точек 1 € Н, i = 1... N, удовлетворяющих нера-

венствам 0 ^ 1 ^ ... ^ In < а, существуют т,акие числа, не равные нулю одновременно, Ао(1) ^0, Ах(1)... А^^ 1), что всякой пары (i,h(•)) € V х ТД.) S выполнено неравенство

Нт

^А[(1)а [(1,1, h•)) ^0, (2.36)

[=0

и, кром,е того,

А [(1) ^0, А [(1) T [ (Д( О ,Д( •)) = 0, 1 = 1... k. (2.37)

Доказательство. Предположим сначала, что T (Д( •) ,Д( •)) = 0, l = 1... k. В этом случае рассмотрим конус вариаций К( 1) и проектор P: К( 1) — Rm, определенные равенствами (2.20) и (2.21) соответственно. Возможны следующие два случая: 1) P(К( 1)) С Rm, 2) P(K(1)) = Rm. В первом случае в

качестве искомого набора чисел Ао(1)... Ае+т(1 берем такие — А0(1) = ... = Ае(1) = О, (Ае+1(1)... Ае+т(1)) е 5Т(0) и

т

^2 Ае+[(1Ян I(1,1, М•)) ^ О

[=1

для всех (/,Н(•)) е V х Т~(.)6. Такой набор найдется, т.к. Р(К1)) — выпуклый конус с вершиной в нуле. Далее, во втором возможном случае пересечение конуса К(1 с конус ом Н, заданным равенством (2.21), пусто. Действительно, если допустить, что К$) П Н 7^ 0, то по теореме 2.2 найдется такая пара (^(0, и•)) е для которой будет выполнено неравенство /о(^(0, и0) < Т(Д(0, Д(0), чт0 противоречит оптимальности в слабом смысле допустимою процесса (г;(•), Д(•)) е Э задачи (2.9). Таким образом К(1) П Н = 0. По теореме отделимости

[12] найдется вектор (Ао(1), Ах(1)... А{+т( 1)), принадлежащий £1 + ^тф ),

у которого первые 1 + к координат неотрицательны, и для всех (1, Н ^ е V х .) 6 справедливо неравенство

6+т

^2А [(1)а I (1,1, м •)) ^ о.

[=0

Условия (2.37) здесь также выполнены. Тем самым лемма 2.5 для случая, когда Т [(ж(•), Д(•)) = 0, I = 1... к, доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда в задаче (2.9) имеются ограничения в виде строгих неравенств. В этом случае выделяем те индексы [\ ... [{/, для которых Т [Д ж( •), Д( •)) = 0, г = 1... к', и рассмотрим конусы К'(1) и Н', заданные равенствами (2.34) и (2.35) соответственно, а также проектор Р: К'(1) — Мт. Если Р( К'(1)) С Мт, то рассуждаем аналогично рассмотренному в первой части доказательства случаю, когда Р(К( 1)) содержится в Мт. Тот же Р(К'(1)) = Мт, то по теореме 2.3 получаем, что К'(1) П Н' = 0. Теперь по теореме отделимости найдется такой вектор

(А0(1), а ь (1),... ,А[{/ (1), Ае+1(1)... Ае+т(1)) е £1+Г+т(0), (2.38)

к т

Ло(1)а0(1,1, М(0)+^Л[Д1)аД1, М(0)+^Ле+I(1)ае+ I(1,1, М0) >0.

г=1 [=1

Для завершения доказательства леммы 2.5 в рассматриваемом случае осталось дополнить компоненты вектора (2.38) нулями.

Введем далее для всякого вектора М( •) € Т^(.) 6 и каждой пары (1, (^(ш)}ш€^, где 1 €Н, а Мт)}тех с грш(Я) — п.п. последовательность 3, в рассмотрение (здесь см. (2.13), (2.17)) следующее множество:

к м о, (1, мш) }те^ = {л=(л [ )[+т € ^т(о):

9г— Нт

Нт --- У2У2 Л[(Л г/(т)) + ММ'))) > о,

Л >0, Л [ >0, Л [Т[ (ж( 0, Д( •)) = о, 1 = 1... 1}.

Лемма 2.6. Для любого конечного множества

{(М•)>1*> (МШ}т€х) }^1

допустимых наборов N

Р) к М 0, 1, (М Ш }ше^ 0-

г=1

Доказательство. Будем считать (при необходимости переобозначим), что 1 ^ ^ ... ^ ^. Для это-

го набора 1 = (1»)^ по лемме 2.5 существует такой вектор (Ло(1), Л(1) • • • Лк+т(1)) € к+т(0), тоо Ло(1) > 0 и для всех

3В этом случае набор (Н(■), ($, {^(ш)}тег)) называем допустимым.

пар (1, М•)) € V х .)6 выполнены неравенство (2.36) и соотношения (2.37). Далее, для каждого € (1 ...Ж} рассмотрим иголку вида 1»0 = ((5ц0, (^0 (ш) }тег) }^ (здесь —символ Кронекера). Для каждой пары (1^, М»0 (•)) € V х Т~(.) 6 неравенство (2.36) (здесь см. (2.16), (2.18) и (2.19)) запишется в виде <д-1 е+т

11™ ^ Е Е А[(0)(дДт(^г0,^г0{т)) + ММ'))) ^ 0. Откуда

—те т=0 [=0

в силу произвольности выбора *о получаем утверждение леммы 2.6.

Теорема 2.4. Пусть пара (ж(•), р(•)), принадлежащая &, является решением задачи (2.9). Тогда существуют т,акие числа Ло > 0, Ах ... Ле+т, не равные нулю одновременно, что для каждого М(•) € ТА(•)6, всякой точки 1 € Н и любой п.п. последовательности (^(ш)}те2 С грт(Я) выполнено неравенство

д;-1 е+т^

Нт — У] У] А[(а Дт(1, ^(т)) + Ь[(/г(-))) ^ 0

^ «а

и, кроме того, А [ >0, А [Т[ (А( •), А( •)) = 0, != I... к.

Доказательство. По лемме 2.6 система замкнутых множеств (КМ0,1, Мш)}тех), (М0,1, Мш)}те^ € I}, где I — совокупность допустимых наборов, компакта ^+е+т(0) является центрированной. Поэтому [3] пересечение этой системы множеств не пусто. Откуда следует, что в качестве искомого набора чисел можно взять координаты любого вектора ( Ао, Ах . . . Ае+т) ИЗ этого пересечения.

Доказательство теоремы 2.1. Для каждого р(•) из АРМх рассмотрим (см. определение 2.4 в [1]) его стекловское усреднение р(•,£). Таккак р(•,£) принадлежит ЩМ, (грт(Я, рад)), то последовательность (р(1 + ша, £)}тег из грт (Я при каждом 1 € Н является п. п. и, стало быть, по теореме 2.4 для всякого 1 € Н и любо го М( •) € ТА( 0 & будет выпол-

няться неравенство q-i Hm

Пт — J2Y1 А[(Л №+та> 0) + ММ'))) ^ О-

qa [=0

Проинтегрировав последнее неравенство по 1 от 0 до а, учитывая обозначения (2.13) и (2.18), получаем, что

М{(Mt,0, L» - M{(A(L)} +

+M {(Д( t), £^( t,v( t),u))},

где, напомним,

Hm

£(t, v, U = ^ A [/[(t, v, U, (t, v, U ^ R x Rm x U.

[=0

Откуда (см. теорему 2.4 в [1]) получаем, что для всех Ж•) из APM и каждого h(') ^ Tu(.) S

М{(p(t) - Жt), Lt, Д(t),u))} + М{(£(t), £^(t, и(t),u))} ^ 0•

Из последнего неравенства в силу произвольности Ж 0 € APMi и h 0 ^ .) S, воспользовавшись тем, что вместе с каждым век-

тором h О 110 определению к опусу Tj( .) S принадлежат и вектора Ah 0, A > 0, несложно убедиться в справедливости равенства (2.11) и неравенства (2.12) при каждом h(•) € .)S.

Замечание 2.5. Так как функция (t,«) м-£( t, Д( t),«) принадлежит пространству B(R x U, R), то по теореме 1.5 равенство (2.11) выполнено в том и только в том случае, если при п. в.

t € R min£(t, Д(t), и) = (Жt), £(t, v(t), u))•

«ея

Замечание 2.6. Требование / € B( R x Rk x U, R) в теореме 2.1 обусловлено (см. лемму 2.1) тем, что для таких функций найдутся последовательность {q}^ С N, lim q = топ измеримое множество Н С [0, a], mes Н = а такие, что при каждом

1 € Н и любой п. п. последовательности {^(m)}mez С rpm(U)

1 ?г-1

существуют пределы lim — ^ А/[ m($, z/(m)), I = 0 ... I + ш.

q^a m=0

В ряде случаев (см. лемму 4.2 в [1]) указанным свойством будут обладать и функции /[ € S(R, C(Rk x U, R)). Например, все функции /[, представимые в виде /[(t, v,«) = g[(t,v)h[(t,v,«), где g [ € SR,C(Rfc, Rn*)), h [ € BR x Rk x U, Rn). Стало быть, в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 2.1.

Пример 2.3. Рассмотрим задачу (2.7) из примера 2.1. Относительно функции / € BR x Rk x U, Rn), будем предполагать, что она удовлетворяет условию, аналогичному условию 1) для функций /[ € BR x Rk x U, R), I = 0 ... I + m. Как было показано, эта задача может быть редуцирована к задаче (2.4) с функционалами I[(v(•),«(0), определенными равенствами (2.8). Для задачи (2.4) с такими функционалами в силу следствия 2.1 получаем следующее необходимое условие оптимальности.

Теорема 2.5. Пусть пара (А(•), А(•)) € D является решением задачи (2.7). Тогда найдутся т,акие числа Ао ^ О, А 1 ... A{+m, не равные нулю одновременно, что для функции

Hm

(t, v,«,p) ^ H(t, v, U,p = p/(t, v,U - X! At/[(t, v, U

[=0

справедливо равенство

sup M {H( t, A( t),u(t),p( t))} = M {H( t, A( t), A( t),A( t))},

u(•)€£( R,U)

г<9е A •) — п.п. no Бору решение системы

t+m

p = — pA(t) + ^ A [ a [(t, A(t)), (t,p) € R x Rn*.

[=0

Кроме того, (здесь см. (2.8))

А [ ^0, А [ 1(A( •) ,A( •)) = 0, 1 = 1... k

м(ни*),«(г),А*))М*)} О•

Рассмотрим пример, иллюстрирующий приведенную теорему. Пример 2.4. Пусть

Г = (М € Нот(Мп): ЛеЛ,(М) < О, .7 = 1,...,п}

и А ^т(Мга), Ь € Мп такие, что матрица К = [Ь, АЬ • •. Ага_1 Ь] невырождена. Зафиксируем также такую функцию / € £(М, Мга), что М(/(£)} Ф 0 и при V, принадлежащем открытому в М™ множеству

© = (5 € Мга: А + Ьз* €Г}, рассмотрим систему

X = (А + Ь^^X + /(*), (*, X € М х Мп. (2.39)

Из определения © вытекает, тоо каждому V € © отвечает единственное п.п. по Бору решение X') = X^) системы (2.39). Рассмотрим, далее, задачу

= М(д*ж(*, V} ^ т£, V € © (д € Мга). (2.40)

/

суть непрерывная и -периодическая функция, удовлетворяющая

о

условию М{/(£)} = ^ //(£)сЙ ф 0, решена в [13].

о

Наряду с системой (2.39) рассмотрим также систему

р = —р(А + Ьv*)X + д*, р € Мп*, (2.41)

имеющую при каждом V € © единственное п. п. по Бору решение р(^) = д*(А + Ьv*)_1, а т. к. М(д*ж(£^)} = —М(р(^, Х/(^},

V € ©, то задача (2.40) может быть переписана в виде:

XX = М/М)} ^ т£, V € ©,

где /о(£, V) = д*(A+Ьv*)-1 /(£), для которой, в силу следствия 2.2

©

в М™, решение Л € © необходимо удовлетворяет равенству

Таким образом, для нахождения Л достаточно найти решение уравнения (2.42). Для этого приведем краткое описание множе-©

Л = (Л,)™=1 € М™, что полином Р( Л, 2) = 2™ — ^ Л^-27-1 гур-

.7=1

вицев и пусть п = [0, • • • ,0,1 ]К-1 . Тогда (см.[13], а также [14]) © = {—(ПР(Л, А)*, Л € Л} . В силу вышесказанного получаем следующее утверждение Е.Л. Тонкова в п.п. случае.

Теорема 2.6. Пусть Л € Л — решение уравнения д*(А — ЬпР(Л, А))-1 Ь = 0, Л € Л . Тогда Л = пР(Л,А) —решение задачи (2^40) « XV = -д*(А — ЬпР(А,А))-М(/4}•

3. Ряд свойств линейных п. п. по Степанову систем управления

1. Приведем ряд необходимых для дальнейшего утверждений, связанных с понятием экспоненциальной дихотомичности (э.д.) системы

х = А(*)ж, X € Мга А € 4ос(М, Нот(М™)), а = ^(А, 0) < то^ (3.1)

Напомним (см., например [8; 15]), что система (3.1) называется М,

екторов р, р € Нот(М™) и положительные константы г^-, о, ] = 1,2 такие, что

д*( А + ЬЛ*)-1Ь = 0-

(2.42)

Р^, в) | = |Ф (£) рФ 1 (в) | ^ ^ е ^ , —то <8 ^ £< то,

|Р(*,в) | = |Ф (*) ф2Ф — (в) | < Г2 , —то <* < 8 < то,

(3.2)

где Ф(£) — фундаментальная матрица системы (3.1). В дальнейшем через Х(£, в) = Ф(£)Ф-1(в) обозначаем ее оператор Коши и Хт(£, в) = Х(£ + т, в + X • Функция (£, в) ^ £(£, в) € Нот(Мга), определенная для всех £, в € М равенством (здесь см. обозначения в формулах (3.2))

называется (главной) функцией Грина системы (3.1).

Имеет место следующая

Теорема 3.1. [8;15] Пусть система 3.1 э.д. Тогда

1) существует такое 8 > 0, что для всякого В из пространства і)°с{К^т(М™)), такого, что ^(В,0) ^ 8, система X = (А(і) + В(і))х будет э. д. При этом существуют т,акие положительные константы х, = ?.,•(8), 5, = 5,(8), і = 1,2 что если Я{М;В) = Х(-те,*)(«)р(М;В)-Х(*,те)(«)р(М;В) —Функция Грина этой системы, то для Р,(з;В), і = 1,2 справедливы оценки, аналогичные (3.2) с константами х,,5,, і = 1,2;

2) для всякой функции Ь Є і)°с{М, К™), ^(Ь, 0) < то система

X = А(і)х+Ь(і) имеет единственное ограниченное на К решение х(і) = /к £(і, і Є М, прм этом, если А Є £(М, Нот(М™))

и Ь Є £(М, М™), то х Є ВМ, М™).

Из второго утверждения теоремы 3.1 получаем, что для всех

і, § Є М и каждого т Є М имеет место равенство

ЖМ) = х-те,^(в)р1(М) - Х(*,те)(Рр(і,Р, (3.3)

алМ) -£(М) = / 0(ШАГ ш - АО)М

„/к

где •, 0 = £(• + т, • + т) и, следовательно, если

х = тах(хі,х2), 5 = тіп(5і,52), то при каждом т Є М

(3.4)

Откуда в силу (3.2) и (3.3) получаем, что для всякого т Є М яир \р1>т(ь,8) - Рф,8)\ ^ т£р^(Аг, А),

— <^<5^<<^ /о

яир |Р2;г(і,«) - Р>(£, «)| ^ т=^Л(Аг, А),

К -<^<£^5<<^

где Р,-т(■, 0 = Р/(' + т, ' + X, І = 1, 2.

Всюду далее считаем, что А Є £(МДш(Мга)).

Лемма 3.1. Пусть м Є АРМ и д Є £(М, С(Я, Мга)). Тогда для любых фиксированных V Є М+ и ^ > 0 отображения

('t — V

* ^ ^^}(^ М, V, ^ = / Рі(М)(м(в),д(в,и))^, (3.7)

</ І—V —^

/*

* ^ (* М, V, ^ = / Р2(м)(м(5),д(5,«))^ (3.8)

Jt+v

принадлежат пространству Б(М, Мга). Кроме того, если множество С АРМ равностепенно п. п. и ограничено, то при каждом ] = 1, 2 подмножество функций {^^ (•; р,-и,^), р € ^} ш БМ,Мга) будет также равностепенно п.п.

Доказательство. Положим й( £) = (р(£),д(£, и), £ € М. Поскольку при каждом т € М

(Л (Л (3.4), (з.б)

зир|^ш (£ + т;р,-и,<^) - (£;р,-и,<^)| ^

*ек

2г2 ||Р|| Г *+?

^ --------й(Аг, А)-яир тах Ь(«, адШз + К(Ыйг(-), £!(•)),

1 - е 4еК Л «ея

то утверждение леммы 3.1 вытекает из теоремы 2.2 в [1] и топологической эквивалентности ^ -расстояний.

Фиксируем, далее, направленное множество (А, -<), в котором А является множеством N или (0, то) соответственно с отношениями г -< _/, если г ^ ^ и а -< в, если а ^ в, а также

.

В дальнейшем рассматриваем множество

Я = Я{А хП,£) = (3.9)

= {X ^,а,ш) С АРМ, (а, X € А х П: Бир ||Х-,а,ш) У ^ {}

(а,ш) еАхП

и направленность

а ^ ^(а) = шр УХ^а,ш)У™, а € А. (3.10)

шео

Лемма 3.2. Пусть д € £(М, С(И, Мга)) и Ит^(а) = 0.

аеА

Тогда, если направленность {ХМ Л))}лел где Н: (Л, ^)^(А, -<),

.

елейность {£л}лел С М такая, что Нт£л = £, то для любых

лел

фиксированных V € М и я > 0 (здесь см. (3.7) и (3.8) ) справедливо следующее предельное равенство:

Нифир |^к(£л; X^,Н( Л),^)^,я)I) = 0, ^ = 1,2 (3.11)

лел шеп п, кроме того,

Нт^ир | / £(£л,8)(X5, Н(Л),ш),д(8,«))^8|) = 0. (3.12)

лел шЙ Ук

Доказательство. Пусть А( £) = Бир |д(£, и) М € М

«ея

И 0л = |^л — £|- Поскольку Нт£л = £, то найдется такое Ло € Л,

ле

что 0л ^ 1 для всех Л € Л удовлетворяющих уелОВИЮ Л О ^ Л. Поэтому, при этих Л имеем следующие соотношения:

,оЛ (3.2),(3.4)

}(*л;X1 <

/•*А+У+? (3.9)

^ Г I |Х(^,Х(Х8,Н(Л),ш),д(8,«)Ж ^

У*А + V Г У+#А

< еа(£ / (|Х^0,х|в*(8) + 1Х+?(о,Х|в*+?(8))^ +

«/V

+ Бир II (Х8,НЛ),^,Х8,и)^8|,

шеП J К

где <р(8,п) = %[?+„,?+ „+?](8)Х(?,8)д(8,и). Так как Неп ^а) = О

и {АНЛ))}лел — поднаправленность направленности (3.10), то

Нт АНЛ)) = 0- Поэтому из приведенных выше неравенств, учи-ле

тывая, что А € !)?с(М, М+), <р € V(М х И, Мга) и Ит 0л = 0,

ле

получаем равенство (3.11) при к = 2. Аналогично доказывается это равенство и при к = 1.

Далее, из (3.2) и (3.3) вытекает, что отображение

(8, и ^ ^8, и) = Я(£, 8)д(8,и)

принадлежат пространству V (М х И, Мга) и, следовательно,

Нифир I (Н8,НЛ),^,^8,и)^8|) = 0.

лел шеп Ук Откуда в силу неравенства

I Я{*л,8) (Н8,НЛ),^,Н8,и)^8| ^

Ук

/•*+^А Г

^ еа(2/ IX£,8) | А8)^8 + вир I (Н8, НЛ), X, ^8, и)^8|),

У? шеп Ук

получаем равенство (3.12).

Лемма 3.3. Пусть д € £(М, СИ, Мга)), множество ф,

.,

Нт ^(а) = 0. Тогда (здесь см. (3.7), (3.8)) для любых фиксирован-

аеА

ных V € М+ и я > 0

Нт( Бир |^к(^Н^,а, х)^,я)1) = 0, к = 1,2, (3.13)

аеА (*,ш)екхп

Нт( Бир I £(£,8) (Н8,а,Х,^8,и )^8|) = 0. (3.14)

аеА (*,ш)екхП Ук

Доказательство. Допустим, что (3.13) неверно. Тогда найдутся константа 7 > 0, конфинальное в А множество а ^ а -< ... точек а^- € А, ] € Ми последовательности

(А? }^=1 С М, (ш? }°О1 С О такие, что при всех ] € N будет выполнено неравенство

Мк (? а?,ш?)1 = №(к (?; И',а7,ш?)1 >7- (3-15)

Так как множество Q равностепенно п. п. и ограничено, то по лемме 3.1 последовательность (^к (•; а?, ш?) }°О1 С ВМ, Мга) также равностепенно п.п. Поэтому для 7/4 > 0 найдется такое Ь > 0, что в каждом отрезке [—А?, — А? + Ь], j € N существует

СО

т? € П Ев(^к(•;а(,шг),7^)^как (А? + т?}°°1 С [О, Ь], то 1=1 ^ можно считать, что Нш (А? + т?) = £ € [0, Ь]. Далее, поскольку

образ монотонно возрастающего отображения j ^ а? € (А, -<), j € (N, является конфинальным множеством в (А, -<), то [16]

{^(а?)}°О1 —ноднанравленность направленности {^(а) }аел - По лемме 2.2, где (Л, ^), Н(^ = а?, j € N, найдется та-

кое ^ € N что для всех j ^ Jo будет выполнено неравенство Бир |^(к (А/ + т?; а?, ш?) | < 7/4. При этих в силу выбора точек

т?, получаем следующие соотношения:

|^^(А?;а?,ш?)| ^ шр |^^(А+ т?;а?,ш?) — (А; а?,ш?)| +

*ек

+ 1^(#г)(^ + т7-;а,,^-)1 < | + +^;а^)|<| + ^ = |,

из которых вытекает противоречие с неравенством (3.15). Точно так же методом от противного, используя равенство (3.12) леммы 3.2, доказывается равенство (3.14).

Далее нам понадобится следующая

Лемма 3.4. Пусть (^, У'У —банахово пространство и / € ^М, ^) . Тогда для любого е > 0 найдется такое 8 > 0; что для каждого измеримого множества Е С [0,1], теяЕ ^ 8

эир [ ||/*(в) 11^ ^ е (/*(•) = /(• + *)).

*€К ./ Е

Доказательство. Так как / € £( М, ф), то (также как для случая, когда / € £(М, М) (см. [7. С. 237])) для заданного е > 0 найдется такая п.п. по Степанову функция д: М ^ ф, что еББзирЦд^) У = А < той ^(д( •),/(•)) ^ е/2. Теперь, взяв

8 = е/2 А , получаем, что для каждого измеримого подмножества Е 8,

выполнены следующие соотношения:

Лемма 3.5. Пусть д € £(М, С(Я, Мга)), множество Q,

.

Нт ^(а) = 0. Тогда, для любых фиксированных г € Ъ+ и Ц €(0, то)

а€А

имеют место следующие равенства:

Нт( Бир ( Бир |^к{Ц^(-,а,ш),гя, я)|)) = 0, к = 1,2. (3.16)

«€А ,к (*,ш)еКхП

Доказательство. Докажем равенство (3.16) при к = 2. Допустим противное. В этом случае найдутся такая константа 7 > 0, конфпнальное в А множество а ^ а ^ • • • точек а? € А, j € N и последовательность (я?}°х С (0, Ц, что при всех j € N будет выполнено неравенство

С другой стороны, т.к. (я? }°О1 С (0, Ц, то без ограничения общности можно считать, что я? ^ <Г € [0, Ц при j ^ то. Полагаем, далее, АЬ) = тах|д(£,и)|, А € М, = |я? — Г|. При всех j € N

имеем следующие соотношения: г *+г?

Ф? ^ шр | / р(А,р(^(з, а?,ш),д(з,и))^| + Ф^(а?)+

Ф? = шр |^(2)(^(',а?,ш),гя?,я?)| > 7/4. (3.17)

(4,ш) €КхП

(*,ш) €КхП

(3.2),(3.4)

Р(А, р(^(з, а?, ш),д(з, и))^^| ^

Г t+^+l )$j

^2{reasup / gз^фФ®^),

teR Jt

где ф(2)(а^ = Ф^2)(а |a=a. , a

Ф(2)(а = sup ■,aj, w),iff |, a € A.

(t,w) eRxO

Далее, поскольку образ монотонно возрастающего отображения j ^ aj, j € (N, является конфинальным множеством в (A, -<),

то направленность {ф(2) (aj) }°^х — поднаправленность направленности {ф(2) (a}aeA• Следовательно, по равенству (3.13) при к = 2, и v = if я = f получаем, что lim Ф^^) = 0 и поскольку lim $j = 0^ fl € S(R, R), т0 (здесь см. лемму 3.4) из приведенных выше неравенств вытекает, что lim Ф^^ = 0. Последнее несовместно с (3.17). Таким образом, равенство (3.16) кк к,

2. Рассмотрим систему

X = A(t)x + (v(t,a, w),g(t, и))^(t), (a, w) € A x fi},

где g € SR,CU^m(Rra))) и z(0 € B(R, Rn)• Ясно, что (здесь см. теоремы 2.1 и 3.1)

f(t;z(0,a,w) = / £(t,s)(v(s,a, w),g(s,u))-z(s)ds, t € R,

R

суть п. п. по Бору решение этой системы.

Т е о р е м а 3.2. Яусть функция g € S(R, C(U, Нот(Rn)))

такая, что d = ess sup(max |g(t, и) |) < то, множество Q, Задан-teR ueU

ное равенством (3.9), является равностепенно п. п. и lim^(a) = 0.

ae A

Тогда для любого е > 0 найдется такое a € A, что для всех

а € А, удовлетворяющих условию ао ^ а и каждой функции г € В(М, Мга), выполнено неравенство

Бир \^;г(-),а,ш)\ ^ е (£Э( — + —) + |И1с(кд™))- (3-18)

(*,ш) €КхП °2

Доказательство. Фиксируем произвольную функцию г € ВМ,М”)• Так как п.п. по Бору функция равномерно непрерывна на М, то для заданного е > 0 найдется такая константа я = я(г(•)) € (0, к, где к = е/£Э, что

w?[z, R] = sup |z(t) — z(s)| < е. (3.19)

t,seR,

\t-s\<$

Теперь имеем следующие соотношения:

sup |?(t;z( •) ,a,w) | ^^

(t,w) eRxO

= sup I Pi(t,s) (v(s, a, w),g(s,u) )z(s)ds —

(t,w) eRxO J—го

/го

P(t, s)(v(s, a, w), g(s, U)z(s)ds| ^

го С t—i?

'—' /*t—i?

^ sup У{|/ Pi(t,s)(v(s,a,w),g(s,u)Кz(s) — z(t —i?— ?))ds +

(t,w)eRxO i=Q Jt—i?—я /• t—i?

+ / Pi(t,s)(v(s,a, w),g(s,u))ds ■ z(t — i? — 0 —

J t—i?—?

— i?—?

y*t+i?+?

f P2(t,s)(v(s, a, w),g(s,u))(z(s) — z(t + i*j)ds 4

t+i?

Г ь+ъ?+? (3.2)

/ P2(t,s)(v(s,a, w),g(s,u))ds ■ z(t + iOI} ^

Jt+i?

2 го

^ £f( — + — )w?[z,R] + У У Ф^(а:, к, я) • Pile, CTl ^

где

Ф^ (a, i?, я) = sup |^k (t;v( ',a, W,i?, О I, к = 1,2,

(t,w) eRxO

а отображения t ^ ^k(t;v(',a, w)^, О, к = 1,2 задаются равенствами (3.7) и (3.8) соответственно при •) = v(',a, w) и v = i?.

Таким образом, в силу (3.19), для всех a € A и z € B(R, Rn) sup |f(t;z(0, a, w)| ^ (3.20)

(t,w) eRxO

2 го

^ 2e0( — + —) + У У Ф^(a, is, я) ■ \\z\\c-^2 r-rf

fc=l i=0

Далее, т. к. для любого N € N и каждого k = 1, 2

N

У sup Ф(к) (a,i?,0 ^

i=0 (a>?)eAx(0,£]

го

^2Э— • sup ((1-е-^?)Уе-^?) = 2Г) —,

?e(o,e] ^

го

то ряды Ф^к (a, i?, я) являются равномерно сходящимися на

i

множестве A x (0, к. Поэтому найдется такое io = io(e) € N, что для всех (a, я) € A x (0, I] будет выполнено неравенство

го io

^ф(*>(а,гя,я) ^ ^ Ф(^(ск, гя, я) + к = 1,2. (3.21)

ii

Так как множество Q равностепенно п. п., lim ^a) = 0 (см.

ae A

(3.10)), g € SR,C(U,Hom(Rn))) и я € (0, k], то по лемме 3.5, учитывая принятое обозначение при i = 0...io, получаем равенства lim( sup Ф^(a,i?, я)) = 0, к = 1,2, и, следовательно, aeA ?e(o,t]

найдется такое a = a (е/4) € A, что для всех a € A, a ^ a будет иметь место неравенство

io е

У sup Ф^)(а, к, <j) < k = 1,2.

^ ? e(o ,*] 4

Откуда совместно с неравенствами (3.20) и (3.21) вытекает, что для всех a € A, удовлетворяющих условию a ^ a m любой функции z € SR, R”), будет выполнено неравенство (3.18).

4. О некоторых свойствах линейных п.п. по Степанову систем с управлениями, аппроксимирующих заданное мерозначное п.п. управление

1. В третьем разделе работы [1] показано, что для каждого р € SR x О, rpm(U)), где, здесь и далее, (0,р) — компактное метрическое пространство, существует последовательность функций {uj}°TOi С SR x О, U), обладающая свойствами, указанными в [1] (см. теорему 3.1).

Приведем еще ряд необходимых в дальнейшем свойств этих функций. С этой целью для удобства изложения напомним кратко конструкцию указанной последовательности {uj}°TOi, аппроксимирующей заданное р € S(R x , rpm (U)).

jj

Для j € N строим такое открытое покрытие щ ... Upj компакта U, что max (diamW|j) ^ 1/j, и через {aj}kj=i обозпа-1 ^ k j

чим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покры-

jj

тию. Для каждого k = 1... pj фиксируем точку uk € U П UKk ,

ел ел

в которой ak (u^ ) > 0, и рассмотрим функцию

(t,w) ^ Aj)(t,w)=(p(t,w),aj(u)) € [0,1], (t,w) € R x fi.

Так как p € S(R x О, rpm(U)), to (cm.в [1] определение 1.1)

{Л -}' с 5(М х П, [О, 1]) и при этом

У Л— (£,ш) = 1, (£, ш) € М X П•

#г=1

Рассмотрим, далее, отображение (£,ш) ^ Д-(£,ш) € грт(Я), (£, ш) € М X П, заданное при каждом j € N равенством

Р'

АЛ£,ш)=У Л к-(*,ш)5т, (*,ш) € М хП• (4.1)

к

к= 1

В третьем разделе работы [1] показано, что при каждом j € N Д- € ВМ х П, грт(Я)) и Мос!(Д-) с Мос1 (р).

Выбираем число а > 0 таким, чтобы ^ € Мос1(р) и отрезок [0, а] разбиваем на 3 равных отрезков 1^ = [1-^а,^а],

И)

I = 1, • • • , ^ В свою очередь каждый отрезок /^ разобьем на р- частичных подотрезков /— (£,ш), & = 1, • • • , р-, зависящих от (£,ш) € М х П, определенных в [1] равенствами (3.6). Сейчас рассмотрим последовательность {-ш^ }те2, состоящую из отображений ш- : [0, а х О ^ Я, т € ^, определенных равенством

- Р'

^ м)=£х/0) (таш) , (^,ш) € [°,а х °•

^ ( ^ (к Пусть, далее, при каждом j € N функция п- : М х П ^ Я определена па каждом множестве [та, (т + 1)а] хП, т € ^ равенством

п-(Нта,ш)=шт)(£,ш), (£, ш) € [0,а х О• (4.2)

В [1] показано, что так определенная последовательность функций {п-}°^х С ВМ х П, Я) обладает свойствами, указанными в теореме 3.1.

Фиксируем отображение А € ВМ х П Дш(Мга)) и всюду далее предполагаем, что оно удовлетворяет условиям:

I) выполнено соотношение

допускает э.д., причем существуют такие положительные константы г-, а-, ^ 2^ ^^^теящпе от ш € О, что для функции

Грина

Я{М;ш) = х-те,*)(в)Р1(М;ш) - Х(^)(«)Р(М;ш), М € М этой системы справедливы оценки

В дальнейшем для оператора Коши X'іш) (как обычно Хт(•, ■; ш) = X' + т, ' + т! ш)) системы у = А(£, ш)у используем, не оговаривая специально, оценки

в которых ^,^ € [0, а], и используем описанную выше конструкцию функций {п-}°^х С £(М х П, Я, аппроксимирующей отображение р € £(М х П, грт(Я)•

Полагаем, далее, при каждом ш € О и j € N

3 = ^^^шр(яир |А(£, ш)І) < то;

ІЄК шЄП

II) при каждом ш Є О однородная система уравнений у = А^^^ (£,у) Є М х Мга

(4.3)

(4.4)

яир |Хта(а, з;ш)| ^ е^5+а, 8, а ^0 (а > 0)

(т,^) €^хП

Бир |Хта(а,^і;ш) — Хта(а,^;Ш| ^ Ае®(“+а ■ |^ — 82

', Ш) ',Ш) ^и.з'( ,

(4.5)

где отображения Uj € S(R x fi,H), Aj G SR x ^, rpm(U) задаются равенствами (4.1) и (4.2) соответственно.

Лемма 4.1. Пусть g G S(R, C(fi x U, R™)). Тогда для любого фиксированного а G [0, а] и каждого 1= 1,2

(m+1 )а

lim( sup | /X(ma+a,s;w)(vj ^(s, w), g(s, w, u))ds|) =0. (4.6)

j^~ (m,w)SZxfi J ma

Доказательство. Докажем сначала равенство

(4.6) при l = 2 в предположении, что функция g принадлежит B(R x П x U, Rra). В этом случае fl = ||g||C(Rxnxu,Rn) < то, и если

qj = supremum |g(ti,w,u) — g(t2,w,u) |,

(t (,w,«) GRxOxU, 1=1,2 1*1 -t2 |<a/j

to [10] qj j 0 при j ^ то. Фиксируем далее при l = 1... j точки ^ j-ti) _ [^ia, ja]. Если обратиться к доказательству леммы 3.5 в [1], то можно заметить, что при каждом l = 1... j (j G N, для всех (m, w) G Z x fi справедливо равенство

/ . j (s + ma,w),g(tj + ma,w,u))ds = 0,

Jij

в силу которого, при всех j G N и (m,w) G Z xfi, имеем следующие соотношения:

r-(m+l)a

Xfma. 4- a sW (i, j

ja f2)

|ij(m,w)l=l / X(m^a,sW(vj (s,w),g(s, w,u))ds| ^

J ma j f

^2^ ^ I . |Xma(a, s w) Xma(a, ^7 j w)1 ds “t”

1=1 Aj

j /■

E|XmJa,t1j; w)H / j (s + ma, w),g(s + ma, w,u) )ds| ^

1 /. j 7—1 ^ 1 7

Откуда получаем равенство (4.6) для I = 2 при условии, что д принадлежит пространству Щ(К х ^ х Я, К”).

Пусть теперь отображение д € 5( К, С К х П, К”). В этом случае рассмотрим при каждом Н > О его стекловское усреднение

^ /*£4~^

(£, и, и) I—д(Ь, и, и; И,)=— д(,в,и,и)с18,

Н Л

которое принадлежит пространству Щ( К хЯх Я, К”) и при каждом I > 0 (см. теорему 1.2 из [1])

р £4-1

Нпфир / тах |д(л,ш,«) — д(л,^,«;Н))1^л) = 0.

^1° £ек Л (ш>«)епхя

Поэтому, учитывая справедливость равенства (4.6) для любого фиксированного отображения из пространства Щ К хОх Я, К”), из неравенства

Бир |/^(Ш, ш) | ^

(т,^) €^хП

г (т+1)а

^ шр I Хш^а,^^(^ («,^,^«,ш,чН)^л| +

(т,^) ./та

^ /* £4-а

+2ае°^а+“^ яир - тах |д(з, ш, и) — д(в, ш, и; /г))|с£«

£€К а Л (ш>“)€ПхЯ

получаем (4.6) при условии, что д € В К, С(П х Я, К”)).

Далее, из неравенств

та

Xт а 4- а, л: (1 ^

С 2)

Х(ша + а,л;ш)(^ '(л,ш),д(л, ш,«))^л| ^

/• (т+1)а

^ | / Хш^а,^^ |х

та

Р Г

„(Л/нм,,/* „л _ „с*

х(У / аЛ (и|д(л,^,«) — д(л,^,«Л )|^(з,ш)(^«)|^л ^ к=1 ^

1 /* £4~а

< Ме0(а+а) • яир — и)1 [д(з, •, •), П х Я]й«,

*еК а Jt 3

леммы 1.3 из [1] и топологической эквивалентности di-расстояний получаем утверждение леммы 4.1 при 1= 1.

Следствие 4.1. Пусть g € S( R, C(fi x U, Rn). Тогда при каждом I = 1,2

lim ( sup \ X(t,s;w) (vj ^ (s,w),g(s, w,u) )ds\)=0 (4.7)

3^°° (t,u)€КхП J[|]a

Доказательство. Положим

fj^(t,w)=(v^ ^(t, w),g(t, w,u)), (t,w) € R x О

и допустим, что равенство (4.7) неверно. Тогда найдутся такая константа 7 > 0, а также две последовательности {j }°^х С Ми {(}°^х С R x П, что при всех j € N

I°=\ /, X(tj,s;Wj)j (s,Wj)ds\ >7. (4.8)

С другой стороны, представим каждую точку tj, i € N в виде ti = mia + 0ia, где mi € Z и ei € [0,1), и будем считать, чтобы не загромождать обозначений, что ei ^ в € [0,1] при i ^ то. Следовательно, найдется такое io € N, что для всех i ^ io будет выполнено неравенство 0j ^1 + в. При этих i имеем следующие соотношения:

ij ^ ^ \ eja,s;Wj)j(s + mja,Wj)ds\ +

J $ia

r- mia+0a ^

+ \Хт^^а,ва;Wj)\-\ / X(mja + ва, s; Wj)j(s,Wj)ds\ ^

mi a

/•t+^j a /* (m+l)a

^2e2a0 / fl(s)ds + sup \ X(ma + a,s;w) x

Jt (m,^ €ZxQ ima

CO

x (j (s, w), <^(s, w, U )ds\),

где fl(t) = max |g(t,w,u)|, = |0г—0|, ^(t, w,u) = -0(t)g(t, w,u)

(w,u) ЙхЯ

и где, в свою очередь, ^0: R ^ R — а -периодическая функция, определенная на отрезке [0, а] равенством ^(t)=X[oa0] (t). Так как <р € S(R, C(fi х U, R™)), то, используя лемму 4.1 для этой функции при а = 0а, принимая во внимание, что fl € S(R, R) и lim = О (здесь см. лемму 3.4), из полученного выше соотно-

г^-го

/А

шения получаем, что lim = 0, а это противоречит (4.8).

г^-го

Следствие 4.2. Пусть g € В R, С(^ х U, R™)). Тогда при каждом I = 1,2 имеют место следующие равенства:

та

lim ( sup | / Pi(ma,s;w)(vj^(s, w),g(s, w, u))ds|) = 0, (4.9)

j^ro (m,w)EZxO J

(m—1) а

(m+1 )а

lim ( sup | / P(ma,s^(vj^(s, w),g(s, w, u))ds|) = 0. (4.10)

j^ro (m,w)EZxO ./ та

Доказательство. Поскольку

Pfc(ma, s; w) = Pfc(ma, ma w)X(ma, s; w), fc = 1,2,

то равенства (4.9), (4.10) вытекают из оценок (4.4) и утверждения а.

Следствие 4.3. Пусть g € В R, х U, R™)). То-

гда при каждом 1 = 1,2

/•го

lim ( sup I P(ma,s^(vj (s, w),g(s, w, u))ds|) = 0. (4.12)

j^ro (m,w)EZxO ima

Доказательство. Поскольку функция g принадлежит SR, х U, Мга)), то

г t+l

k = sup / max |g(s,w,u)|ds < то.

teR Jt (w,u)QxU

ГО

Далее, т.к. ряд ^ exp—ia^) сходящийся, то для заданного

i=l

ГО

£ > 0 найдется такое io, что ^ exp—ia^) < e/4t~2k. Сейчас,

fcio + l

обозначив fj-(t, w) = (j(t, w),g(t, w,«)), имеем для всех j € N и (m, w) € Z х fi следующие соотношения:

/*ГО

j(m,w) = I / P(ma,sWfj1(s,w)ds| ^

J ma /-(m+i)a+a

^ У | / P(ma,sWfj (s,w)ds| +

i=0 (m+i)a

ro /• (m+i)a+a ro

/ e-^(s-ma max |g(s,w,u)|ds +2^k e-iaCT2 +

^W(mN)a (^,u^xU ^

f- (m+i)a+a

+ £|Xma(0, ia;w)H / ^^ + ^a,sWfj (s,w)ds| <

i=g -/(m+i)a

£ f ^+X)a /А

< - + ioeto“° sup | P2(ma,s;Lu)y:j (s,Lu)ds\.

^ (m,w) GZxO ima

Откуда в силу равенства (4.10) вытекает, что для всех начи

СП

ная с некоторого, sup Jj (m,w) ^ £• Тем самым равенство

(т,(^) €^хП

(4.12) доказано.

Аналогично, используя (4.9), доказываются и равенства (4.11).

Лемма 4.2. Пусть д € 5(М,С(П х Я, Мп)). Тогда

Нт ( эир \( Я(£, 8;ш)(^ ^ (5,ш),д(«,ш,«))^\) = 0, 1= 1,2.

екхп т

Доказательство. Пусть (см. (4.4)) константа х = тах(г~х, х^ и при каждом j € N полагаем

' ° (г,ш) = (^ ° )•

Теперь, представив каждое £ € М в виде £ = ш*а + 0*а, где ш* € ^, € [О , 1), получаем, что для всех j € N и (£, ш) € М хП

| / £(М;ш)(^ 0(в,ш),д(в,ш,и)Ж <

Зщ.

^ 2х | / Х(£,«;ш) ' («,ш)^| +

л тьа

СШьа (п

+ |ХТО4а(^а,0) ■ (| / Р(ш*а,^Ш' («,ш)^| +

^ — ГО

/*ГО

+ | / Р(ш*а,^Ш' («,ш)^|) ^

л тга

^ 2х шр | / Х(£, 5;ш) ' («,ш)^| +

(*,ш)€КхП ./[/;/а]а

/■т‘а Г п

+еа0 шр I р(ша, ' («,ш)^| +

(т,^)€^хП ./ — го

/* ГО

+еа0 шр | / р(ш*а, з;ш)' (^, ^)^«|,

(т,(^) €^хП 7та

откуда в силу равенств (4.7), (4.11) и (4.12) вытекает утверждение леммы 4.3.

Из леммы (4.2) получаем (здесь см. обозначения (4.5))

Следствие 4.4. Допустлш,, что заданное отображение А € ВМхО(М™)) удовлетворяет условиям I) и II). Тогда для любой фиксированной функции д из пространства 5(М,С(П х Я, М™))

Нт ( Бир I £(£,«; ш)(^(з, ш),д(«, ш,«))^|) = 0.

'^го а,ш)екхп ./к

Далее, для фиксированной функции д € £( М, С(П х Я, Мга)) и констант V, ^ > 0 введем при каждом \= 1, 2 и всех у € N на Мх

Лемма 4.3. Имеют место следующие равенства:

Нт ( Бир |^к(£,^2^(-,^))|) = 0, к = 1,2.

(*,ш)еКхП

Доказательство. Докажем лемму 4.3 лишь при к = 2 (при к = 1 доказательство аналогично). Допустим противное. Тогда найдутся такие константа 7 > 0 и последовательности {Уг}^ С N {£г}£х С М, {^г}^ С О, ЧТО ДЛЯ ВС6Х

г € N будет выполняться неравенство

С другой стороны, каждую точку іг, і Є N можно представить в виде = тга + 0га, еде тг Є ^, 0г Є (ОД], и считать, что 0г ^ 0 Є [0,1] при і ^ то. Представим, далее, аналогично точки 0а + V и я в виде Оа + V = т/а + 0'а, я = т'^ + 0"а, где т', т" Є ^ и 0', 0'' Є [0,1) и будем считать для определенности, что т" Є N и точка $ = 0' + 0" принадлежит [0,1].

Рассмотрим, сейчас, последовательность

(^г))1 > 7-

где шг = шг + 0, г € М, и покажем, что Сг | 0 при г ^ ТО. С этой целью введем в рассмотрение измеримые а-периодические функции 01, 02: М ^ М, определенные при £ € [0, а] равенствами 01(£) = Х[о)в/0] (£), 0(*) = Х[о.л»] (*)• Полагая

д^г,ш,«)=0ь(%(г,ш,«), к = 1,2,

будем иметь следующие соотношения:

^ Г^Н1)0 ^

С» ^ ео00 | / Р(ш'а,^Ш^ (^ (з,^) ,^(«,Шг,и )^| +

./т/о

т"-1 /• (т^П1)о

+ ео00 +0| / Р2((т'+ 0а,*;^) х

г=0 У(т/+1)о+'и

Х(^у (з,^),^5,Шг,иЖ +

/ /* (т^+1)о

+еоЧ0Чт,,) I Р(ш" а,^Ш^ (V® (з,^) ,^(«,Шг,и )^|,

л т" о

из которых по следствию 4.2, принимая во внимание, что функции д^, к = 1, 2 принадлежат £(М, С(0 х Я, М”)), получаем, что Сг I О при г ^ то. ^

Пусть далее й(£) = тах |д(£,ш,«)| и п = 1$ — 0г|. Тогда (ш,и ШхЯ

г

10(2)(Мг2) (^г))1 <

/• *^^Пго ^

^2 / й(^ |Р2(£г, «; ^г|^ + |Х^о(0»а, 0а + у) |- Сг +

•/^+ V

rti+v+^ni0 (3.3)

+ 2 / й(«) |Р(£г,^^г|^« ^

Г *+оП

^2Гге-ст^(1 + е-?(72) зир / в(5)^ + е°2о+^Сг.

*ек Л

Откуда, учитывая, что А € £(М, М), п» |0 и С |0 ПРи г ^то, получаем (см. лемму 3.4), что Нт (£», (-,^г))| = 0. Послед-

нее противоречит сделанному предположению.

Доказательство. Снова рассмотрим лишь случай при к = 2. В этом случае нужное нам равенство вытекает из приведенных ниже соотношений

Из лемм 4.3 и 4.4 вытекает

Следствие 4.5. Пусть функция g принадлежит S(R, C(fi х U, R"). Тогда при каждом ^ = 1,2

lim ( sup |^k(t, j-,w),v,^)|) = 0.

(t,w)eRxn

Лемма 4.5. Пусть g € S(R, C(fi х U, Rra) и k € (0, to). Тогда для любого фиксированного i € Z+

lim ( sup ( sup |^k (t,j -,w),k,?) |)) = 0, fc = l,2.

(t,w)eRxn

Доказательство леммы 4.5 (здесь см. оценки (4.2) и утверждение следствия 4.5) аналогично схеме доказательства леммы 3.4 с направленным множеством (A, -<) = (N, , и мы его опускаем.

(t,w)eRxn

lim ( sup |^k (t,j^ (-,w)) |) = 0, fc = l,2.

7^^ (t ,лe»xo

t+^+?

и леммы 1.3 работы [1].

Полагаем далее при ^ = 1,2

Рассмотрим (здесь см. в [1] следствия 1.1 и 1.2) семейство п.п. по Степанову систем дифференциальных уравнений

x = A(t,w)x + (jt, w),g(t, w,u))z(t), w €fi, (4.13)

где g € ВR, C(fi х U, Нот(Rn)) и z € B(R, Rn)• Ясно, что при каждом j € N функция (см. теорему 3.1)

jt;z(•),w) = / G(t,s;w)(Js,w),g(s,w,«))z(s)ds, t € R

R

является п.п. по Бору решением этой системы.

Теорема 4.1. Пусть (0,р) — компактное метрическое прост,ранет,во, отображение A € S(R х ПДт(Rn)) и удовлетворяет условиям I), II), (и— последовательность функций из ВR хО, U), аппроксимирующая заданное отображение ц € S(R х П, rpm(U)), и пусть в системе (4.13) j-,w) = ц( ',w) — •.w) .Тогда, если g € S(R,C(fi х U^m (Rn))

такая, что

d = esssup( max |g(t,w,u)|) < то,

teR (ш>“) еПхЯ)

то для любого е > 0 найдется такое j = j0(е) € N, что при каждом j ^ j0 и всех z € B(R, 0r[0]) справедливо неравенство

Т\ ^2

sup |fj(t;z(-), w)| ^ е(2э(— + —) + |^||С(Кдп)).

(t,w) eRxn

Доказательство теоремы 4.1, если принять во внимание лемму 4.5, аналогично доказательству теоремы 3.2 с направленным множеством (A, -<) = (N, ^), и мы его опускаем.

5. Ряд свойств нелинейных п. п. по Степанову систем управления

1. В этом разделе, используя результаты предыдущего раздела, укажем ряд свойств решений нелинейных систем управления, дополняющих результаты работ [17,18].

Пусть С — облаеть в Мп, V € сотр(Мк) и дифференцируемое по х в каждой точке (£, х, V, и) € М х С х V х Я отображение (£,х,-и,и) ^ х,-и,и) € Мп, удовлетворяет следующему усло-

вию: 1) для любого фиксированного множества К € сотр(С) / € ВМ, С(К х V х Я, Мп), /X € ВМ, С(К х V х Я, Нот(Мп)) и

А(К) = зиргетшп (|/(^, х, V, иI + 1/^х, V, иI) < то. (5.1)

(£,ж,^,и) €МхК х V хЯ

Зафиксируем далее ж(•) € £(М, V) и рассмотрим п.п. по Степанову (здесь см. лемму 5.2 в [1]) систему дифференциальных уравнений

х= (А£),/(£,х,Ж(£),и)), А•) € АРМЬ (5.2)

где

^(^Л^^)^)) = / /(^,x,ж(^),u)А^)(du),

для которой пару (х(•), А•)) € ВМ, С х АРМх называем допустимой, если х( •) — решение этой системы уравнений, отвечающее А') и такое, что огЬ(ж) С С.

Фиксируем направленное множество (А, -<), содержащее счетное конфинальное подмножество, а также множество параметров П. В работе в [17] доказана

Теорема 5.1. Пусть функция /: М х С х V х Я ^ Мп удовлетворяет условию 1), для заданной функции Ж(•) € £(М, V) пара (ж(•), А•)) € ВМ, С) х АРМ1 допустима для системы (5.2) и система уравнений в вариациях

У = (А*),/£(*,ж(*),ж(*),и))У, (*,у) € М х Мп (5.3)

является э.д. Тогда, если множество {а«(',ш), (а, ш) € А х П} мз А Р.VI | равностепенно п.п. и заданная совокупность отображений {-иа(-,ш), (а, ш) € А х П} ш £(М, V) т,акие, что

Нт (яир ||ж(•) - а«(',Ш II™ + вирАЖ0,М-,ш))) = 0, (5.4)

«€А шеп ш€П

то найдется такое K € comp(G) и а € А, что для всех а € А, удовлетворяющих условию а ^ а, при каждом и € О система

(ua(t,w), /(t,x,va(t,w),u)) = / /(t,x,Va(t,w),-u)pa(t, w)(du)

JU

имеет единственное п.п. по Бору решение жа(-,и) такое, что orb (ж ^ ',и)) CK в для которого

lim(sup ||жа(-,ш) - ОНсМ")) = 0. (5.6)

аеА шеП

Докажем следующее утверждение, в котором

Г t+1

ш7[p«,fi] = sup (sup / |^а(S,u) - ^«(s,w2)|(Uds)- (5.7)

Теорема 5.2. Пусть в условиях теоремы 5.1 (0,р)

а

А, а ^ а, где а € А взят,о из теоремы 5.1, для которых

функция (£, ш) ^ ха(£,ш) (х«(-,ш) —решение системы (5.5)) принадлежит пространству В(М х П, Мга).

Доказательство. Так как (см. условия теоремы 5.1) пара (Ж(•), Ж(•)), принадлежащая В(М, С х АРМ 1, допустима для системы (5.2), то найдется такое г > 0, что будет выполнено включение Кг = огЬ(ж) + 0Г[0] С С. В дальнейшем считаем

5 = А(Кг) (см. (5.1) при К = Кг ), для э.д. системы (5.3) сохраняем обозначения, входящие в определение э.д. системы (3.1) с матрицей А(£) = (Ж(£),/Х(£,Ж(£),Ж(£),и)) и полагаем (см. (3.2))

Ж = (да(t, U, ft, ж, va(t, и, U)

(5.5)

где

ш1 . teR .Уt

,^)<7

va € 5(R х П, V) и

Нтш7 [jUa,ft] = о,

7|0

(5.8)

Далее, как и при доказательстве теоремы 2.1 работы [17] в системе (5.5) сделаем замену z = ж(t) — ж , которая относительно z запишется в виде

Z = At)z + h(t, z) + h2(t; а, и, z) +

+ ^^;а,и,^, (t,z) € R х Rn, (а, и) € A xfi, (5.10)

где

h(t, z) = (Ж t), ft, ж( t), v( t), u) — /(t, ж( t) — z, v( t), u)) — At)z, h2(t, а,и, z) = (va(t,w),/(t,®(t) — z,v(t),«)), h3(t,a,w,z) =

= (^a(t, и), /(t, Ж(t) — z, Ж(t), «) — /(t, Ж(t) — z, Va(t, U, U), v«( t,w) = £( t) — p«( t,U-

Сейчас для каждой пары (а, и) € А х О введем в рассмотрение оператор Fa[',и]: ЩR,0r[0]) ^ ЩR,Rn) (и € О), определенный для каждой функции z € ЩR, 0r[0]) равенством

Fa[z(•),H(t) = / £(t,s)[h(s,z(s)) + h(s,a,u,^s)) +

R

+ h3(s, а, и, z(s))]ds, t € R.

В [17] доказано существование таких в € (0, г] и а € А, что при каждом а € А, а ^ а и всяком и € О во - первых, выполнено включение Fa[ЩR, 0в[О]),и] C ЩR, 0в[0]), а во - вторых,

sup \$a[zi(-),U>](t) -3ra[z2(-),w](i)| < § ||zi - Z2||c, (5.11)

(t,w) eRxO ^

т.е. при этих а семейст в о {Fa [-,и] }шеп введенных операторов является операторами сжатия с общей константой q = 2/5 . По теореме о сжимающем отображении [11] получаем, что оператор Fa[•, и] имеет та замкнутом подмножестве ЩR, 0д[0]) банахово-го пространства ЩR, Rn) неподвижную точку, т.е. для каждого

а € А, а ^ а и любого ш € О существует (единственная) функция га(-,ш) € ВМ, 0^0]) такая, что при всех £ € М

£<*(£,ш) = / £(£,5)^1 («,£<*(5,ш)) + й2(«,а,ш,,га(з,ш)) +

./к

+ ^з(«,а, ш,га( 5,ш))]^5. (5.12)

Последнее равенство означает, что га(-,ш) — п.п. по Бору решение системы уравнений (5.10) и, следовательно, п.п. по Бору функция

х„(-,ш)=Ж(0- г*(-,ш) (5.13)

будет п.п. по Бору решением системы (5.5). При этом, поскольку \\га(-, ш)\\с ^ /3 < г при каждом о; € А, ско -< а и любом ш € О, то (см. (5.13)) огЬ(жа(-, и)) С /С, где /С = огЬ(ж) + 0/?[О]. В [17] же показано, что Нт^ир ||£а(-,ш) Не) = 0.

«€А

Теперь в силу (5.13) для доказательства теоремы 5.2 достаточно показать, что отображение (£,ш) ^ га(£,ш) принадлежит пространству В(М х П, Мга) . С этой целью для любых ш, Ш € О , удовлетворяющих неравенству р(шх,ш2)<7, полагаем

Дг«(£,шьш2) = га(£,ш) - £<*(£,ш2), £ € М.

Тогда при всех £ € М, учитывая определение оператора За[',ш], неравенства (3.2) (см. также (3.3)) и обозначения (5.7), (5.9), имеем следующие соотношения:

(5.12)

|Д2а(£,Ш1,Ш2) | ^ |3а [М-,Ш),^^) - За [^а(-,Ш2),Ш1](£) | +

.

+ \Ъа[га{-, ш2), с^](£)-За[,г«(-, ш2), ш2](£)| < -||Дг«(-, ш2)||с+

+2 / |£(М) |-|(^^5,ш) - М 5,Ш2),/(«,ха( 5,Ш),Ж( 5), и )|^5+

-/к

+ / |£(t,s)H(a«(s,u) — Aa(s,u2),/(s,x<*(s,u2),v<*(S,Ui),«))|ds+

JR

+ / |£(t,s)| ■ |(a«(s,Ui),/(s,x„(s,u2), va(s,Ui),«) —

7r

— /(s,Xa(S^^VatS,U2),w))|ds ^

2

^ -||Az«(-,wi, w2)||c + 4П1т7[/х«,П] + /«(t,wi,w2),

где

/а(^иьи2) = У |£(t,s)l ■ |(Ms,Ui),/(s,x<*(s,u2), v<*(s,Ui),«) —

R

— /(s,Xa( S^^Vat S,U2),w) )|ds.

Покажем, что

liml( ^0, (5.14)

7|0

где I(y) = sup{||/a(-,Ui,u2), и,и € fi||c,р(иьи2) < y}- С этой

целью при каждом t € R и y > О обозначим

W1) (t) = supremum |/(t, x,Vi,«) — /(t,x,v2,«) l- (5.15)

(x,vfc,«) 6Kr XV XU, fc = l,2, |vj_ — ^2 |^Y

Поскольку / € ^R,CKr х V х U, Rn)), то по лемме 1.3 из [1] для заданного е > 0 найдется такое 5 > 0, что (см. обозначение

(5.9)) sup Jtt+1 w^(s)ds < е/(2I). Далее, т.к. va € S(R х О, V), teR

то по определению 1.1 из [1] limu7[va, fi] = 0, где

7|0

Г t+1

U7[v«,fi] = sup (sup / |v«(s,ui) — v«(s,u2)lds. (5.16)

Wj_ GO, teR Jt

p(wl >^2)<Y

Следовательно, найдется такое Ye > 0, что при всех y € (0, Ye) будет выполнено неравенство U7[va,fi] < 5е/(4d). Полагая

Т(^иьи2) = {s € [t,t + 1]: ||va(-,Ui) — v<*(-,и2)||с ^ 5},

при всех шх,шх €0, удовлетворяющих неравенству р(шх,ш2)<7, получаем следующие соотношения:

Тем самым равенство (5.14) доказано, и т.к. для любых шх, ш2 из О, удовлетворяющих неравенству р(шх,ш2)<7

то из равенств (5.8) и (5.14) получаем, что

НпфирЩг^-,шх) - я(-,ш2)Ус, шх,шх € О, р(шх,ш2) < 7}) = 0.

Следовательно, п.п. по < € М в смысле Бора при каждом ш из компакта П отображение (£,ш) ^ ^£, ш) является равномерно непрерывным по ш относительно £ € М, а это означает [2], что

€ ВМ х П, Мга) .

2. В этом пункте приведем ряд утверждений, дополняющих результаты п. 2 из [1], которые будут использованы в следующем пункте.

Лемма 5.1. Пусть (X, р) —компактное метрическое пространство и функция и € £(М, С(X,и)• Тогда для каждого с € С(М,и отображение (£, ж) ^ с(и(£, ж)) принадлежит пространству £(М, СX, М)) •

Доказательство. Для каждого t € R по теореме

о максимуме [19. С. 27] найдется такое измеримое отображение x : [t, t + 1 ] ^ X, что для п.в. s € [t, t + 1] будет выполнено равенство

max |c(u(s + т, x)) — c(u(s, x))I = |c(u(s + t, x(s))) — c(u(s, x(s)))|-xeX

Поэтому из соотношений

Г t+1

/ max |c(u(s + т, x)) — c(u(s,X)) |ds =

Jt xeX

t+i

|c(u(s + t,x(s))) — c(u(s,x(s)))|ds ^

/; ft+1

^ — IMIcfim) SUP mas.\u(s + t,x) — u(s,x)\ds + uja[c,ii],

& teR Л xeX

где [c, U — &-колебание на И функции c € C(R, И), выпол-неных для любого & > 0, и условия и € SR, С(X,И)) получаем утверждение леммы 5.1.

Определение 5.1. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство. Отображение (t,X) ^ ^(t,X) € rpm(И) принадлежит пространству S(R, C(X, rpm(И))), если для каждой функции c € C( R, И) отображение

(t,X ^ (^(t, x), c(u)) = / c(u)^(t, X)(du)

Ju

принадлежит S(R, C(X, R)).

Непосредственно из определения 5.1, леммы 2.3 и следствия 1.1 из [1] получаем, что S( R, C( X, rpm (И))) С S( R х X, rpm (И)), а из леммы 5.1 вытекает

Лемма 5.2. Функция и € SR, C(X,И)) в том и только в том случае, если отображение (t, x) ^ $u{t,x) принадлежит S R, C( X, rpm (И))) и их модули совпадают

Теорема 5.3. Пусть (X, р) — компактное метрическое прост,ранет,во и функция д € 5(М, С(Я, М))• Тогда для каждого М € 5(М, С(X, грт(Я)) отображение

(£,Х м Д*,х) = (М*,х),д(*,и)),

где

(М£,Х,д(£,и)) = / д(£, и)м(£, Х(йм)

Ли

принадлежит пространству 5(М, СX, М)) м его модуль содержится в Мос1(Л(м) и л(д)).

Доказательство. Так как д € 5 (М, С( Я, М)), то по лемме 1.3 [1.С. 19] доя заданного е > 0 найдется такое

7 > 0, что Бир//+1 с^[д^,-),Я]с^ < |. Далее, как п при доказательстве теоремы 2.2 [1.С. 47], и • • • Ц — открытое покрытие компакта Я такое, что с1 1ат Ц ^ 7, _?' = 1...р, и через {о? }?=1 обозначим непрерывное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Для каждого ] = 1... р фиксируем точку и? € ЯПи?, в которой а?(и?) > 0, и рассмотрим семейство отображений £ м АД£,Х = (М£, х) , а? (И) € [0,1], £ € М, х € X. Поскольку м € 5(М, С(X, грт(Я)) , то (см. определение 5.1) при кар

ждом ] = 1.. .р А? € 5(М, СX, М)). Кроме того, ^ А?(£,х) = 1,

?=1

(£, X € М х X.

Рассмотрим, далее, семейство отображений

р

£ м Д (£, X = ^ А?( £, Х^и, € грт (Я, х € X,

?=1

принадлежащее АРМ1, и для т € М полагаем

Г £+1

/(т) = ШР / тах|(Д(з+ т, Х,д(5+ т, и)) — (А(5,Х,д(5,и))1 ^5.

Сейчас для заданного е > 0 при каждом ] = 1... р для д( ■, п), принадлежащего пространству £(М, М), рассмотрим такую функцию д € £(М, М), что (здесь см.[7.С. 231]) еББзир^^£)| = к,- < то

*ек

и ^(д(-,п^, й(•)) < е/18р. Полагаем, далее, тах ^ = к. Теперь

1<?Хр

при всех (т, ж) € М х X имеем следующие соотношения:

/•t+i ^

/(X ^ SUP / / max|Aj(s + т, X — jS,XM$(s, j|ds +

teR Л xeX

/*t+i p

+ sup / maxA^s + т, Xb(s + т, j — 5(s,j|ds ^ teR Л “J' xeX

p rf+i p

d(#( •, j, j 0)+sup / Vmaxj s + t,X —

^ teR Л “ xeX

ft+l e

—Xj(s, x)\■ |flj(s)|ds + sup max \g(s + r, u) — g(s, u)\ds < -

teR Л ueU У

+^^max |Aj(s + т, X — Aj(s, X |ds +

i=i

Г t+l

+sup max |g(s+T, u) —5(s,u) |ds, teR 7t ueU

из которых получаем неравенство /(т) ^ е/3 для всякого т, принадлежащего относительно плотному множеству

E = (П •>U>y) П(П Пes(j•>х>у))>

«eu жехj=i

где y = min{e/9,e/9Ip}. Сейчас, если т € E, то при всех ж € X rt+i

t

sup / max|/r(s + т, X — /(S,X|ds ^

teR Л xeX

Г t+l

^2 sup / max|(^(s,X — Д(s,X,^s,U)|ds + /(X ^

teR Л xeX

г £+1 Р л Г е

^2зир (У^ aj(u)\g(s,u) — g(s,uj)\|л(s,x)(du))ds + - ^

£^М ^

т.е. / € Вм,сх, м)).

Из теоремы 5.3 в силу леммы 5.1 вытекает

Следствие 5.1. Пусть (X, р) — компактное метрическое пространство и функция д € ВМ, С(Я, М)). Тогда для каждого п € £(М, С(Х,Я) отображение (£,ж) ^ д(£,п(£,ж)) принадлежит пространству ВМ, С(X, М)) и ее модуль содержится в Мос1(Л(п) и Л(д)).

,р

ство, функция / : М х С х V х Я, V € сотр(Мк) удовлетворяет условию 1), приведенному в первом пункте, и при заданных А € £(МхП, грт(Я)) и V € £(М,С(^, V)) рассмотрим п.п. по Степанову (здесь см. теорему 2.2 [1. С. 46] и следствие 5.1) систему дифференциальных уравнений

Для системы (5.17) пару (ж(-,ш)),а(',и)) € ВМ, С хАРМ 1, где и € О, называем допустимой, если ж(-,и) —решение этой системы уравнений, отвечающее ц(-,си) и такое, что огЬ(ж(-,ш)) С О . В дальнейшем предполагаем, что выполнены условия:

Ж = (^(^, ^), /(^, ж, ^^, ^), П), (£,ж) € М х С, (5.17)

где

(М*,и),/(*,ж^(*,и),п))= / /(г,ж^(г,и),п)А(*,и)(^п)

а) для любого и € О тара (ж(-,и),^(',и)) € ЩМ, С) х АРМх является допустимой для системы (5.17), при этом отображение (£,и) м ж(£, и) принадлежит пространству ЩМ х П, С) , и существует такое множество К € сотр(С) , что для всех и € О огЬ(ж(■, и)) содержится в К;

и€

допускает э.д., причем существуют такие положительные константы , а], ] = 1, 2, те зависящие от и € О, что для функции Грина £(М;и) = %(-^(^Р^^) - Х(*,те)

£,8 € М, этой системы справедливы оценки (4.4) .

.

мы условия а), б) м {п}°^х — последовательность функций из £(М х П,Я ; указанная в теореме 3.1 [1] , аппроксимирующая отображение а € £(М х П, грт(Я)• Тогда найдутся такое множество К € сотр(С) « ^ € N, что при каждом ] ^ и и€

Доказательство. Так как К € сотр(С), то найдется такое г > 0, что компакт Кг = К + 0Г[0] содержится в С и в дальнейшем считаем Э = Э(Кг) (см. (5.1) при К = Кг). Поскольку п € £(М х П,Я), то по лемме 2.6 [1. С. 50] отображение (£, и) м £и.(£)Ш) = аЛ^,и) принадлежит £(М х П, грт(Я)) и систему (5.18) можно записать в следующем, эквивалентном, виде

V = (^(*,и), /*(£,ж(*,и,п)У, (*,V) € М х Мп

ж = /(£, ж, v(i, и), п( £, и))

(5.18)

Нт (яир ||ж(-,и) - ж^-,и) Нс(КД") =

шеп

ж = (аЛ^, и, /(*, ж, ^^, и), п)).

(5.20)

Система (5.20) относительно переменной г = ж(£,и) — ж запишется в виде

г = А(*,и)г + а(*,и, г) + ЬД*, и, г), (*,г) € М х Мп, (5.21)

А*,и) = (А*, и),/Ж^ж^и^^и^п)),

а(*, и,г) = (А*, и,/(*, ж*, и, ^*, и, п) —

—/(*, ж*, и — г, Ж*, и), п)) — А*, иг,

'*,и,г) = ('*,и), /(^ж^и) — г^(*,и),п)),

' *,и) = А*, и — £«■( *,и.

Далее, для каждой пары (_?’, и € N х П рассмотрим опера-Т0Р 5'[',и]: ЩМ,0Г[0]) м ЩМ, Мп), определенный для каждой функции г € ЩМ, 0Г[0]) и всякого £ € М равенством

5'[Ж•), и](*) = 9(*, 8;и)[Ь?(5,и, г(«))+ а(5,и,Жз))]^5. (5.22)

7к

/,

ем, что отображения

(*, и, п) м д(*, и, п) = /(*, ж*, и), Ж*, и), п), (5.23)

принадлежат соответственно пространствам £(М, С(0 х Я, М”)) и £(М, С(П хЯ^т(М”))). Поэтому по теореме 2.2 [1] отображение (*,и) м А*, и) принадлежит пространству ЖМ х О, Нот(М”))) и т.к. при п.в. t € М и каждом и € О |А(*, и)| ^ Э, то (см. (5.23) дд

£(*,«; и) (V' (з,и),д1(«,и,п) ))^|) = 0. (5.25)

Кроме того, если для (_?', и € N х П ввести в рассмотрение оператор 3[-,и] : ЩМ, 0Г[0]) м ЩМ, Мга), определенный для

где

(*, и, п) м д2(*, и, п) = /Х(*, ж*, и), Ж*, и), п), (5.24)

каждой функции г € ЩМ, 0г[0]) равенством (см. обозначение (5.24))

3'[г(•),и](*)= / £(м)('$,и),д2(5,и,п)))г(«)й«, * € М,

./к

то (см. теорему 4.1 при д = д2 ) будет справедлива

Лемма 5.3. Для любого е > 0 найдется такое натуральное число № о, что для всех ] ^ ^’о ; м каждой функции г € ЩМ, 0г[0]) выполнено неравенство

Бир |3^[г(-),И(^)1 ^ е (2Э(^- + ^-) + 1к1|о).

(*,ш) €КхП °2

Теперь, используя равенство (5.26) и лемму 5.3, в точности следуя доказательству теоремы 2.1 работы [19], получим, что найдутся _7о € N константы в > 0 и д € (ОД), такие, что для любых гх,г2 € ЩМ, ОДО]) и всех j ^ № Для оператора 5' [^ (0 ,и], заданного равенством (5.22), будут выполнены неравенство

яир 15[^(0,и](*) — 5[г2(0,и](*)I ^ ^1^1 — ^Ус, (5.26)

(4,ш) еВхП

и включение 5'[ЩМ, 0в[0]),и] С ЩМ, 0в[0]) (и € О).

Поэтому по теореме о сжимающем отображении [11] при каждом j ^ ^ и всяком и € О оператор 5^[',«, и] имеет на замкнутом подмножестве ЩМ, 0д[0]) банаховою пространства ЩМ, М”) (единственную) неподвижную точку, т.е. для каждого j ^ № и любого и € О существует (единственная) функция г^(■, и € ЩМ, 0в[0]) такая, что при всех * € М

г'( *,и) = <3( *, «)[а(«,и, г^( 5,и)) + &7'( 5,и,гД 8,и))]^. (5.27)

./к

Полученное равенство означает, что г^(-,и) — п.п. по Бору решение системы уравнений (5.21), но тогда функция

ж^-,и)=ж(-,и) — г.,-(-,и), (5.28)

будет п.п. по Бору решением системы (5.20), или, что то же самое, системы (5.18), и т.к. || j-,ш) Ус ^ в < r при каждом j € N, j ^ jo и любом w 6 П, то orb(xj(-, w)) С /С = К + 0/?[О] С G . Тем самым первое утверждение теоремы 5.3 доказано.

Теперь, как и в [18], воспользовавшись равенствами (5.27), (5.28), леммой 5.3 и неравенством (5.26), получим, что при всех j ^ jo будет выполнено неравенство

sup ||j-,ш) ||с ^ (1 — M) sup |j t,w) |,

weO (t,w) eRxn

где (cm. (5.23)) Ij(t,w) = fR G(t,s;w) (js,w),#i(s,w,«) )ds. Откуда в силу (5.25) получаем равенство (5.19).

.

бражение р € 5(R хП, rpm(Я)) такое, что limm7[р,0] = 0. То-

Т|0

г<9а при каждом j ^ j ; г<9е j € N взят,о из теоремы 5.4, отображение (t, ш) ^ Xj(t, ^ (ХА',ш) —решение системы (5.18)) принадлежит пространству B(R х П, Rn) .

Доказательство. В силу доказанного в предыдущей теореме для каждого j ^ jo и всех ш € О решение Xj(-,ш)

.

j-,ш) € B(R, Од[0]) и является решением системы уравнений (5.21), а т.к. решение х(-,ш) системы (5.19) принадлежит B(R х П, Rn), то для доказательства теоремы 5.5 достаточно показать, что Zj € B(R х П, Rn) .

Введем обозначения:

6(wbwi) = ',ш) — Х ',ш) Ус,

qY = supremum / |G(t,s^) — G(t,s^)|ds.

GRxQ, Z=l,2 J

^7 R

Фиксируем далее произвольные ЧИСЛО j ^ j И ТОЧКИ шш, принадлежащие О, такие, что p(wi,w2) ^ 7. Тогда, учитывая,

что гД-,иг), I = 1,2 при всех t € М удовлетворяют равенству (5.27) и огЬ(г.,(-,и)) С 0в[0] (и € О) получаем (здесь см. обозначение (5.22)), при указанных № и и,и2 € О следующие соотношения:

'|г.,-(*,и) — г^(*,и2)| ^

< |5''— [%•(-^КиК*)К

(??)

+|5'[%•(-^КиК*) — •,и),^(^| < (5-29)

^ д||г.,-(-,и) — г^-,и2) Ус + 3(2 + 4в)Я7+

1+1-1) (*,иьи2) + (*,иьи2),

где

(*,иьи2) = / |£(М;и2)ММ5,иьг.,-(«,и2)) —

к

— Ь,( «,и2,г.,-( 5,и2) )И«,

'(*,иьи2) = / |£(М;и2)|-|а«,и,г^«,и2)) —

к

— а(«,и2, г^5,и2))|^5-

Далее, определим (*), * € М аналогии но (*) (см- (5.15)

при / = /X . Тогда при всех * € М имеем следующие соотпоше-ния:

|Ь,(*,и,г^*,и2)) — Ь,(*,и2,г.,-(*,и2))| ^

< эМ( *,и)— ' *,и) К я) +

|а*, и, г'(з,и2)) — а(*,и2,г.,-(«,и2))| ^

< |(М*,и), Л*,ж*,и),и — Л*,ж*,и),и)|+

+ |(^*,и), Л*,ж*,и) — г^*,и2),«) — /(*,ж*,и) — гЖ*,и2),«))| + + |А(* и2) — А(* иг)| ■ |гЖ* иг)^

+| (Mt, wi) — Mt, w2), /(t, x(t, w2), u )I+

+ |(Mt,Wi) — M(t,w2),/(t,x(t,w2) — Zj(t,w2),«))I ^

^2wi(ib^) W + 2d( e +1 )|Mt,w)— Mt,w) KH) + fa).

Поэтому (см. обозначение в (5.9) при tj = tj и aj = CTj )

(4.4)

шъ w)

ft+1

■j(t,шъш2) + 1^(^ ш1,шг) ^

< kdmY[vj+ 3!sup [ } (s)ds +

tuR Л (V

+23^ + 1)mY[M^+^sup f w^1;Wl)(s)ds

tuR Jt

Теперь, если I = max (Id, 3 I, 2 dI( в + 1), вЩ, из полученного неравенства и (5.29) вытекает, что

(! — 9) 1М■, w) — Zj(■, w2)Ус < d(2 + 4в)q7+

+I(m7[vj ,fi] +m7 [m,^] + (5.30)

■sup /tt+1 (w^,^) (s) + wi(ii,-i) (s))ds) tuR

Так как / € S(R, CKr х H, Rn)), /X € S(R, CKr х H, Нот(Rn)), ax € B( R х , Rn), то по лемме 1.1 [1]

r t+i

lim( sup (sup/ (wJElwl)(s) + w£i^)(s))ds))=0. (5.31)

y|o Ш1,Ш1 6o tuR Л v J J

Далее, поскольку j-,w) = M',W — • ,w), т0; в силу второго

утверждения теоремы 3.1 [1] и равенства limm7[а,Щ = 0, полу-

710

чаем, что при каждом j € N имеет место следующее предельное равенство:

limm7[vj, fi] = 0. (5.32)

7|0

Сейчас покажем, что

Нп^7 = 0. (5.33)

т|0

Для этого докажем сначала (здесь см. обозначение (5.16)), что если ^1,^1 € П такие, что рп^ь^х) ^ 7, то для любых точек £, в € М

2Г2

\д(г,з;ш1) - С/(М;ш2Ж х'011А,Ще~а'[Ь~3'{, к = ^ ^ , (5.34)

где г = тах(Г_^), а а = тт^стг). Действительно, обозначив А(-;^1,^2) = А^1) — А^2); ПРИ г ^ в имеем

/•* (4-4)

/ |£(г, £5^1)А£;^1,и2)£(£,в;^2)№ <

^ /* £—г

'—' /*с—г

</ е—^—?| • Аб^ъ^г) Ье—^—<

г=о •'*—г—1

°° /* £—г

< г2^]е—^ / е—2<^|А^^,^) № < ко7[А,П]ег(*—в),

г=о Л—г-1

.

|£(г, £; ^) А£; ^2)£(г, £; ^2)К <

Н+г+1

< е—^|4—?| • |А6 ^1,^2)| • е—^—в|^ <

г=0 *+г

/* ^г+1

^]е—'*&+*) е—2<^|А6^1,и2) № < ко7[А,П]е^—^.

.• п «+г

/-«+г+1

^ Г2

^ •/^г

Таким образом, если —то < г ^ в< то, то

|£(г,£;шх)А£;^1,ш2)£(С,в;^2) № ^ ко7[А,п]ест(*—^.

/к

Аналогично показываем, что при —то < s ^ t < то справедливо неравенство

I |G(A£;wi,w2)g£,s;w2)К < kVy[A,^]eCT(s-t).

-/к

Из последних двух неравенств и равенства (см. [20. С. 40])

G М;^х) — G( t,s;w2) =

= / Gt,£;wi)A£;^i,w2)G£,s;w2)K,

./R

справедливого для всех t, s € R, вытекает неравенство (5.33). Далее, т.к. (см. обозначение (5.23))

г t+1

07 [ДО] ^ dmY [^,fi]+sup / wY [g(s, ■, •) , fi х Я] ds,

teR Л

где wY|gi(s, ■, •),fi х Я — на П х Я непрерыв-

ной функции (w,u) м g(s,w,U, а 110 условию теоремы 5.5 limm7[^, П] = 0 и по лемме 1.1 [1]

т|0

Г t+1

limsup / wY[g(s, ■, •),fi х Яds = 0,

yIO teR Л

то из последнего неравенства вытекает, что limUY [ДО] = 0. От-

7|0

куда, в свою очередь, в силу (5.34) получаем (5.33).

Наконец, из (5.30) - (5.33) получаем, что

lim( sup ||j-,Wi) — j-,w2) ||c) = 0,

Y |0 wi,wi 60

po(^i ,Ш1 Ky

а это и означает [2], что отображение (t,w) м jt,w) принадлежит пространству Щ R х П, R”) •

4. В этом пункте, используя результаты предыдущего пункта и четвертого раздела работы [1], приведем ряд утверждений о свойствах нелинейных систем управления, которые непосредственно используются в задачах, связанных с оптимальным управлением п.п. движениями.

Для заданной пары (Ж(•), Д(•)) € & х АРМ 1, где & — заданное множество в (ЩМ, Мк), || • ||с), определим п.п. вариации. С этой целью сначала укажем необходимые свойства касательного конуса Кларка .)& С ЩМ, Мк) в точке Ж(•) € &. Для этого введем в рассмотрение симплекс

е+т

Ле+т = (Л = (Л^5±Ш Лч > О, Я = 1,..., I + т, £ Лч = 1} С Ме+т,

4=1

и с фиксированными точками у\.. .§е+т € [0, р] и заданными векторами Ц(•).. .Це+Ш(0 € .)& свяжем два отображения

Л ^ в(Л) = (Лчу^5±Ш € Пнш, Л € Ле+ш, (5.35)

6+ш

у^ц;У) = •), у€йе+т=жле+т)• (5-зб)

4=1

Полагаем также

6+ш

V = огЬ(Ж) + 0в[0], д = + 1. (5.37)

4=1

Лемма 5.4. Пусть заданы Ц(•),..., Ц+т(•) € .)& и

последовательность (£Р}ГО1 СО, £„ = 0. Тогда найдут-

Р Р^-ГО

ся последовательность (и„( 0}^1 С&, Нт ||-и„( •) — Ж( О!с=0 и

Р Р^-ГО

совокупность функций

(Цр(•,ер,У), р € М,у € ПНт}ГО1 С ЩМ, Мк)

тлкие, что (см. (5.37))

lim ( sup ||h(-,еР, У — h',У He) = 0, (5.38)

p^^ ygjjt+m

W■, , У = Vp(•) + £pH■, £p, У € S, (p, У € N x n[+m. (5.39)

Кроме того,

lim ( sup ЦвГ1 (W-,ep,У — ?(•)) — hУ He) = 0. (5.40)

p^^ yeft(+m

lim( supremum ||h(',ep,g^i)) — h',еР,g^))||c) = 0. (5.41)

Y |0 (p,A;) 6NxA [+m

Z=1,2, | Aj_ — A2 | ^7

Доказательство леммы 5.4 можно получить, если воспользоваться схемами доказательств леммы 2.3 и соответствующих утверждений о свойствах конуса ^ S, приведенных при доказательстве теоремы 2.2, и мы его опускаем.

Далее (см. обозначения четвертого раздела в [1]) для фиксированного Г = (i4)[=m € V[+m, такого, что в(0 > 0 рассмотрим отображение t м ^(t;e, У Г) € rpm(U), заданное равенством

(4.18) в [1], в котором (е,У) € X = [0,е(р,Г)] x П[+m.

В дальнейшем набор (Г, h•), {еР}^х), в котором Г € V[+m

такое, что в(Г) > 0, Я(•) = (h [(•))[j^m, h[(•) € T~(.)S, и последовательность (ep}?^1 С (0, е(р, 0], lim еР = 0 называем допустимым.

Определение 5.2. Совокупность последовательностей ^W',еР,У,МS еРУ^)}^i С S x АРМ 1, У € П[+m, в которых W',еР,У), принадлежащее множеству S, определено в лемме 5.4 равенством (5.39), отображение •; еРУГ € APMi — равенством (4.18) в [1] при е = еР, называется последовательностью п.п. вариаций для (г?(•),j2(•)) € S x АРМ 1, отвечающей заданному допустимому набору (Г, h(•), |еР}^х).

Рассмотрим систему

ж = (ju(t),/(t,ж,v(t),U), (t,x) € R x G, (5.42)

в которой управлениями служат пары (у(•), М•)) € & х АРМ 1, функция / : М х С х Мк х Я ^ М™ при каждом V € сотр(С) удовлетворяет условию 1), указанному в начале настоящего раздела.

Для п.п. по Степанову системы (5.42) (см. лемму 5.2 в [1]) набор (ж(•), у{•), М•)) € ЩМ, С) х & х АРМх называем допустимым, если ж(-) —решение этой системы, отвечающее паре (Ж(-),/!(•)), такое, что огЬ(Х')) С С . Совокупность допустимых наборов этой системы обозначим Эс.

Покажем, что каждому набору (X•),Ж(•), М•) € Эс при условии, что отвечающая этому набору система (5.3) допускает экспоненциальную дихотомию, можно поставить в соответствие определенную последовательность допустимых наборов — п.п. вариаций этого набора. С этой целью рассмотрим последовательность ЖМ-,£Р, У), М•> £Р, У^)С & х АРМх (см. определение 5.2) п.п. вариаций для (у(•), М•)) € & х АРМ 1, отвечающую допустимому набору (Г, Ц •), (еР }^ГО1). По следствию 4.1 [1. С.79] отображение (£, е, у) ^ М^;£, УГ), заданное равенством

(4.18) [1. С.74] принадлежит (см. [1. С.38]) множеству функций 5(М х X, грт(^де X = [0,ф,^] х Пе+т — компактное относительно метрики рХ(^,Уг), (£2,Уг)) = |£1 — £21 + |У1 — У21, (ек , Ук) € X, к = 1,2 пространство. Поэтому [1] множество (М •; £, У Г), (е, У) € X} С АРМх и равностепенно п.п. Далее, т.к. й(-ш(•,еР,у),Ж(•)) ^ ||М•,£?, У) —Ж(, то (см. теорему 4.1 [1. С.75] и лемму 5.4)

Ит( вир ^(Ц•,£?, У),Х•)) + ШР 11М•; £Р,УГ — МОН™) = 0.

Поэтому в силу теоремы 5.1 найдутся такие рг € Ми множество К € сотр(С), что при каждом р > р\ и любом У € Пе+т п. п. по Степанову система

х = (М^;еР, У Г), /(£,х,-ш(£,£Р, У),и), (£, X € М х С

будет иметь единственное п. п. по Бору решение X •> £Р, У Г такое,

что огЬ(ж(•; ер, УГ) С К и

Нт ( Бир ||ж(•) — ж(•; ер, УГ>||с) = 0. (5.43)

р^те УеП1+т

Поскольку при каждом т € Ъ и всяком е > 0 (см. лемму 4.2 В [1])

N Нт

е, У) = (£€ [та, (т + 1)а]: Д(^М^ер,УГ)} = У иТт>*>^е,УГ),

г=1 ч=1

то (см. равенства (4.13)-(4.16) в [1])

Бир (8ир(тез1т(е, У))) ^ ерв(Г). (5.44)

Допустим далее, что функция / : М х С х Мк х Я ^ М™ имеет также частную производную по V такую, что /V принадлежит £( М, С Кх V х Я, Нот (Мк, М™)), где множество V задано равенством (5.37). В этом случае, принимая во внимание, что функция

Дж(•; ер, УГ) = ж(•) — X•; £р,УГ)

(здесь см. доказательство теоремы 5.2) является решением системы (5.10) при а = ер и ш = У € Пе+т, следуя схеме доказательства теоремы 2.3 работы [17], используя при этом равенства (5.38), (5.40) и (5.43), неравенство (5.44) и теорему 4.1 работы [1], можно показать, что найдется такое рГ2 ^ , что

Бир^р-1 ||Дж( •; ер ,УГ) ||С), р ^ , У € Пе+т} < ТО. (5.45)

Следуя схеме доказательства теоремы 2.3 в [17], принимая

/

ства (5.45), (5.44), равенство (5.43) и лемму 5.4, можно показать, что

Нт ( Бир

р^^ уеп 1+т

Дж( •; ер ,УГ)

- — / 0{-,8){А^(8;ер,^1:),/(8,х(8),у(8),и))й8 + у(-,Щ\\с) = о,

ер .УК

ер

где функция у(•,У) € В(М, М™) определена равенством (здесь см. обозначение в (5.36))

у(р,У) = / £(М)(ж(«)/«,Хв),ж(«),«))Ф,У)Йв.

М

Далее, в силу неравенства (см. в [1. С. 78; 79])

8ир(тез{£ € [та, (т + 1)а]: Мр е;, У/ V) ф Мр е/;, У^ V)}) ^

ш^Ъ

N Нт Ц

«ЕЕ к?Е1е'У! — "«Ш-I.

г=1 4=1 1=1

выполненного для любых (е;, У/), (е", У") € X, получаем, что

Г £+1

Нт( Биргетит (яир / |^ве/,У/V) —^(в; е/;, У/; V)|(Я)Йв))=0.

7|0 (£',Г ),(£",у" )6Ж *€« Л

|£/ — £/^ + |у7 — у7 '|<7

В свою очередь, из последнего предельного соотношения в силу теоремы 5.2, принимая во-внимание обозначение в (5.36) и равенство (5.41) получаем, что при каждом р ^ Ж1 отображение (р А) ^ хр(р А), где £р(Р А) = Хрер, й(А)Г) принадлежит множеству ВМ х Ле+т, К).

Таким образом, каждому фиксированному допустимому набору (ж(0, ж(0, Ж(•) € ВМ, С х 6 х АРМх системы (5.42) при условии, что система (5.3) допускает э.д., отвечает последовательность ((X•; ер, У Г),Ц•; ер,У), ^(- ер,У V)}р^р2, допустимых наборов системы (5.42) — п.п. вариаций для (ж(•), ж(•),/ж(•)), обладающая указанными выше свойствами.

Отметим, что теорема 1.5, неравенства (5.44), (5.45), равенство (5.43) и лемма 5.4 позволяют доказать еще ряд свойств множества ((X•; ер,УГ,Ц•; ер, У),^•; ер,У V)}р^р3, допустимых наборов системы (5.42), аналогичных свойствам, приведенных в [21], которые ввиду громоздкости доказательств здесь опускаем.

Введем при р ^ р2 следующие обозначения:

М•, А) = ^(- ер, В(А) V), ^р(•, А) = Ц- ер, в(А)).

Используя теорему 4.1 из [1] и равенство (5.43), несложно показать, что

г t-fa

lim( sup (sup/ |(v^s,A),/^s)?P(s,A),w^s,A),U)-p^^ Л€Лl+m teR Jt

- (Жs),/X(s,®(s),v(s),u))|ds)) = 0.

Откуда (см. теорему 3.1) получаем существование такого рз ^ р2, что при всех р ^ рз и Л € Ле+т п.п. по Степанову система уравнений

У = (vp(t, Л), /Х(t, jp(t, Л),адр(t,A),u))y, (t,y) € R x Rn

будет э.д., причем существуют такие положительные числа г, ст, что для функции Грина Q{t, s; р, Л) этой системы при всех t,s из R и любых р ^ рз, Л € Лe+m будет выполняться неравенство |£(t, я;р, Л)| ^ re-CT|t-s|. Поэтому, учитывая принятые обозначения и принимая во внимание указанные выше свойства множества {(fp(-,A),wp(-,A),vp(-,Л)), р ^ рз, Л € Ле+т} допустимых наборов системы (5.42), получаем, что для системы

Ж = (vp(t, Л), /(t, ж, wp(t, Л), и)), (t, ж) € R x G

выполняются условия а) и б), приведенные для системы (5.17) при П = Ле+т. Следовательно, если для vp € S(RxAe+m, rpm(U)) (р ^ рз) рассмотреть (см. теорему 3.1 в [1]) аппроксимирующую его последовательность {upj}°^х С S(R x Лe+m, U), т0 110 теореме 5.4 найдется такое j = € N, что для п.п. по Степанову

системы

ж = /(t, ж, wp(t, Л), upj(t, Л)), (t, X € R x G существует множество таких допустимых наборов

{(xp^•,A),wp(M),upj(j ^ j,Л € л6+m}

что

lim( sup ||fp(■, Л) - Xp^■, Л)||c) = 0,

AeA*+m

причем для всех Л € Лe+m замыкание орбиты п. п. по Бору отображения t ^ £p(t, Л) — xpj(t, Л) содержится в 0r[0] и компакт Kr = K + 0r[0] С G. Кроме того, по теореме 5.5 отображение (t, а) ^ xpj-(t, Л) принадлежит ЩR x Лe+m, Kr) .

Список литературы

1. Иванов А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I. // Изв. Ип-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 1. С. 3-100.

2. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 252 с.

3. Энкелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

4. Данилов Л. II. О мерозначных почти периодических функциях //Вестн. Удм. ун-та. 1993. Вып. 1. С. 51-58.

5. Данилов . I. II.. Иванов А. Г. К теореме о поточечном максимуме в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. 1994, I" 6. С. 50-59.

6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

7. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

8. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.

9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 256 с.

10. Fink А. М. Almost periodic differential equation // Lect. Notes Math. 1974. V. 377. 336 p.

11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. шк., 1982. 271 с.

12. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

13. Тонков Е. Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика. 1977. Вып. 21. С. 45-59.

14. Тонкое Е. Л. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во Моск. ин-та хим. машиностр., 1973. 86 с.

15. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.

16. Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. М.: Высш. шк., 1979. 336 с.

17. Иванов А. Г. К вопросу о непрерывной зависимости почти периодического решения нелинейной системы управления от параметра // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, Г1 2. С. 1-12.

18. Иванов А. Г. О корректности расширения задач управления почти периодическими движениями // Изв. вузов. Математика. 2002. I" 6(481). С. 14-25.

19. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, 1986. 104 с.

20. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

21. Иванов А. Г. Об оптимальном управлении почти периодическими движениями при наличии ограничений на средние типа равенств и неравенств. II. // Дифференц. уравнения. 1997 . Т. 33, Г1 3. С. 316— 323.