Оптимальное Граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 63-66.

УДК 517.9 Н.Г. Чурашева

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В ДВУМЕРНОМ АНИЗОТРОПНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается краевая задача, описывающая распространение тепла в однородной анизотропной пластинке в рамках гиперболической модели теплопроводности. Строится класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из этого класса методом Лагранжа выбирается управление, минимизирующее заданную функцию потерь.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, матрицы Римана гиперболической системы, сведение граничного управления к стартовому, обобщенный метод Лагранжа.

1. Работа является продолжением исследований по управлению решениями гиперболических уравнений [1-6]. Рассматривается краевая задача, моделирующая теплоперенос в анизотропной однородной пластинке звездной формы в рамках гиперболической теплопроводности [7]. Строится с использованием аппарата из работ [4-6] класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из построенного класса выбирается методом Лагранжа подкласс управлений, минимизирующих заданную функцию потерь. В п. 2 приводятся постановка задачи и схема построения решения, в п. 3, 4 сформулированы основные результаты.

2. Пусть г(р) - гладкая кусочно-монотонная функция, г(0) = г(2я), ор = [cos р, sin р]т D - область на плоскости x = (xl, x2) с границей

dD = {x = r(p)op, 0< р < 2п, r > 0}.

Если T - температура, t - время, q - вектор плотности теплового потока, с - удельная теплоемкость, р - плотность, т - период релаксации,

/не C, ^(р,0) = 0 , (x, t) е D х[0 , да), модель имеет вид

срдТ / dt + div q = 0,

Tdq / dt + K grad T + q = 0,

IT (x,0) = 0, q( x,0) = [0,0]T, (1)

T (г(р)©р, t) = ц(р, t).

Здесь К - тензор теплопроводности, симметрическая, положительно определенная матрица второго порядка. В анизотропной модели (1) по

любому направлению оа = [cosa,sina]T, ае [0,2п] скорость распространения тепловой волны дается формулой аа = (тср) - (О,,Коа > 0 . Далее

предполагается, что оси координат ОХ1 и ОХ2 направлены по направлениям собственных векторов матрицы К . В этой ситуации матрица К имеет вид К = diag(Kj,k2), Ki > 0, тогда скорость аа представима в виде

аа = Vа12а COs2 а + а22а ^ а .

Рассматриваются последовательно две задачи.

© Н.Г. Чурашева, 2012

С[П ],

(З)

Пар (S) = ■

2.1. При заданных t* > 0, в(x) е C (D) с носителем внутри D ищется управление Up, t) такое, что

T(x, t*; ju) = в(x), x е D. (2)

Кратко схема ее решения состоит в следующем. Пусть t * > 2 r0 / ат, ат = min аа,

а

r0 = max x , за это время выходящий из

0 dD 1 1

каждой точки x е dD тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки,

Г1а = аа *- r0,

Г2а = ааt* + ^ П = К , Г2, ] Х [ 0 2п] Х [0, 2п] , hj( 5,а,р) h2( 5,а,р)

hk = 0 при |x| = rlа,

h 1а=0 = ^\а=2п , h 1р=0 = h\р=2ж ,

[[0,0,0]\ s е [-Г2, , rlа], T,

[[[, К°а] , S е r2al

2п

ПРx) = j Пр(°а- x)dа,

0

оа • x = x1 cos а + x2 sin а.

Решается задача Коши для системы (1) в цилиндре Д = {(x, t): |x| < ro, t е [0, t"]} с начальной функцией np(x). Обобщенное решение (Tp,qp) этой задачи строится по

схеме, близкой к [5], в виде суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1; 4] для одномерных гиперболических операторов. Для температуры Tp имеет место формула вида

2 2п

TPP x, t; h ) = £ j Tkа(оа • x, t; hk ;р) dа, (4)

k=1 0

где каждая Tfa(s, t; hk ;р) вычисляется по соответствующей компоненте hk вектора (3). С помощью (4) строится класс H векторов (3), дающих решение при каждом ре [0,2п] вспомогательной задачи стартового управления

Tp( x, t*; h) = 0( x). (5)

Пусть Sp = Оа • r(p)Op = r(p)cos(a - p). Из построений следует: при каждом h вида

(3) сужение решения (Tp,qp) задачи Коши

на цилиндр D х [0, t*] дает (обобщенное) решение смешанной задачи (1) с граничной функцией

u(p, t; h) = Tp(r(p)Op, t; h) =

2 2n

^ ‘^p , t; hk ;p) da, (6)

тем самым при каждом И є Н формула (6) дает решение задачи граничного управления (2). Необходимо отметить, что каждая Тка в формуле (6) представляет собой вклад компоненты Ик вектора И є Н в формирование требуемого температурного режима на границе пластинки.

2.2. Рассматривается задача оптимального управления

^(И) ^ тіп, И є Н, (7)

где ^(И) - «сумма квадратов»

2 ' 2п "T^p,t;hk;р)

F (h) = Л dt J dpJ-

■dа

■I J:

k=1 0

2

*=10 0 0 Применение метода Лагранжа [8, гл. 3] приводит решение задачи (7) к решению системы интегральных уравнений Фред-гольма второго рода по э на функции Н1,И2,Л (Л - «множитель Лагранжа»).

Пусть X, У - банаховы пространства, * (X ^ У) - банахово пространство линейных непрерывных операторов X ^ У .

Рассмотрим при фиксированном у0 е У задачу /(х) ^ шт, при условии Лх — у0 = 0. Функцией Лагранжа этой задачи называется функция + : X х У * ^ М , определяемая формулой + (х, у*) = /(х) + у* (Лх — у0), у * е У *.

Пусть функция /: X ^ М строго дифференцируема в точке х и имеет вторую производную Фреше /"(х) и оператор Л е * (X ^ У) удовлетворяет требованию Л X = У, тогда из результатов исследования [8, п. 3.4.1], вытекает следующее.

Предложение. Для того, чтобы решение х уравнения Лх — у0 = 0 было точкой локального минимума в задаче /(х) ^ шт, необходимо существование у * е У * такого,

что ее производная Фреше + 'х (х, у*) = 0 , и достаточно, чтобы, кроме того, при некотором с > 0 выполнялось неравенство

(/"(х)х, х) > с||х||2, где х е КегЛ. Если при этом / выпукла, то х - точка абсолютного минимума.

(/"(х)х, г} - значение второй производной Фреше /"(х)х на элементе г при фиксированных х, г е X .

3. Обозначим 10 (г), 11 (г) - функции Бесселя мнимого аргумента,

£ = >/ (2 — (5 / О2, при < а а |?| ,

Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале..

65

V1a(st) =•

-t /(2т)

4аат

V2a(S, t) =

se

-t /(2т)

т-1.

4аасрт8 ^ 2 т

Тогда вычисления по схеме п. 2.1 дают следующие результаты.

Лемма. Если (5, t) е [—г0, г0] х [0, t*], то

^К;Ф) =0 при 5+аа ^ Гlа,

Тка( ^ t; К ;Ф) = ьеt /(2тЧ(5+аа ,а,Ф)+

vk^r> ^kw

З+а,

- j gkdO,

(8)

смотрим задачу (7) при условии выполнения требования (9), к е X = Ь2(П0 ^ М2).

После подстановки (8) в (7) и замены

s = sp+ аjJ получаем

F(h) ^ min,

F(h) = 2 jjjаJ [(rihi)2 + (r2h2)2~\isdadp, (10)

ГА = bke 2аа hk(s,a,p) +

j Vk ( s a

s - s„

- O,

-)hk (o,a,p) do.

где Ь1 = 1/2, Ь2 = —1/(2ааср) ,

ёк = Ука( 5 — ^, 0кк (°,а,Ф), к = 1 2.

Далее понадобится представление финальной функции в(х) в виде суперпозиции плоских волн. Продолжая функцию (2) нулем из О в М2 , представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

2п

в(х ) = | ва(Юа~ х )dа,

0

да

ва (5) = (2^)—2 | (е’Гв (™а)) гdг,

0

где в - преобразование Фурье в. Из требования ве С3(М2) следует гладкость функции в а (5 ).

Обозначим Н класс вектор-функций (3), удовлетворяющих требованию

Лк = ЛК +Л 2к2 = в а (5 — а /), (5, а ,ф) е П (9)

Лккк = Ьке 2ткк(5 а ,Ф) +

+ 1 Vк (5 — а а t * — о, е )кк (а, а ,ф) dа.

Г1 а

Вычисление класса Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (9) по 5 е [г1 а , г2 а ] на одну из

компонент вектора к при заданной другой.

Теорема 1. Каждая вектор-функция к класса Н - решение задачи стартового управления (5). Тем самым каждой к е Н отвечает решение ц(ф, t;к) задачи граничного управления (2), получаемое по формулам (6), (8).

4. Обозначим П 0 ={( 5 а ,ф) е [г1 а , гар] х х[0,2^] х [0,2^], г^= 5^+ at*. Будем искать минимум F(h), заранее не предполагая вектор-функцию к непрерывной. Рас-

Функция Лагранжа задачи (10), (9), где Ле Y = Ь2(П0 ^ М2), имеет вид [8]

+ (p, Л) = F(h) +

+jjjЛ(s, a,p)|^Ah-ва(s -ааt*)Jdsdadp.

П0

Выполняя вычисления по формулам из работы [8] и используя свойства интегральных операторов Вольтерра в La [9, с. 472], нетрудно получить:

10. Функция F(h выпукла, строго дифференцируема и имеет вторую производную Фреше F" = const, при этом вторая производная Фреше для любого f = [f1, f2 ]T е X равна

(Ff, f) = jjj (rif1) + dsdadp.

П0 аа

20. Ле * (X ^ Y), Л X = Y .

30. Гк, Г-1 е * (Y ^ Y).

В силу 30 при fk е Y имеем

klY =||Г-1Гkfk||Y <|П-'| J|rkfk|,, тогда (F f, f> > min а- Тт. fi\ |2 + ||Г2 f2|I;

> C0

где с0 = min ас

n, Y +1 f2l Y

1 -(minir-^|-1), f=[fi, f2]T

е X. Отсюда Г (к) и Л , ввиду 10 и 20, удовлетворяют предложению п. 2.2, и поэтому решение задачи (10), (9) приводится к решению системы:

+ *'(к, Л) = 0, Лк = вя(5 — аа^),

(к, Л) е X х У, т. е. к отысканию тройки к1, к2, Л, для которой при всех /1, /2 е У справедливы равенства

Ш [а—' (Гккк) Г к +ЛЛ к ] /к^^Лф= o,

П0

k = 1,2, ЛД+Л 2h2 =ва{ s - а jt’).

П

а

r

la

r

la

После подстановки в первые два уравнения формул для rkhk и выполнения ряда преобразований, включающих в себя перемену порядка интегрирования, получим уравнения вида

JJJ4 (s,a,p; hk ,Л) fkdsdadp = О,

По

k = 1,2, yfk є Y, что равносильно выполнению равенств Вk (s,a,p;hk,Л) = 0, k = 1,2 , в силу произвольности f1, f2 є Y . Итог - система трех интегральных уравнений Фредгольма по s є [rla,rap] на функции hl, h,, Л при фиксированных а, p, ее векторно-матричная запись

М( s,a,p)y( s,a,p) +

+ J N(s,a,a,pV(a,a,p)da = f (s,a), (11)

r1a

ц = [hl, ^ Л] , f = [0,0,ea(s - aat*)]T,

M = [mik], N = [nik]

m12 = m21 = m33 = n12 = n21 = n33 = 0 при k = 1,2,

-1г,2„ a„T

mkk=aaKe

m3k = mk 3 = bke 2т,

n3k (s,a) =

Vka( s - aat *-a, t * ),0є[ rla, s ],

і0, 0є( S, r2a] ,

nk 3 (s,a) = n3k (a, s),

wk (s,a,a,P), a є [rla, s ],

Wk(a,s,a,p), оє(s,r2a],

- s-sap

bhe 2aa aa

s - s„

Vka( Sap-a,---— )

, f Vk1Vk 2 J , і , s - s ap \

+ J -JUlL da , vkl = Vka (sap - a ,-----------p) ,

J a a

rla a

s - sa aa

Vk 2 = Vka( s ap S,

a - s„

)

Нетрудно убедиться: |detM|> const > 0. Применение альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра M-1N и правой части M-1 f как функции от (s,o,a,p) дает: система (11) имеет единст-

венное решение цг = если выполняется

hl, h;, Л] є С(По) , -1 і s(P), Py= jM-1NYda, (12)

где 5(Р) - множество собственных значений оператора Р. Каждая точка ^ е 5(Р) отделена от остальных (учтена компактность Р ) и непрерывно зависит от параметров с, р, к1,к2,т,а,р>, поэтому случай — 1 е 5(Р) имеет место «с вероятностью

ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (12). Из построений следует: пара к = (к1, к2) удовлетворяет требованиям (3), (9) на П 0. Обозначим

Й = {к е Н : к = (кх, к2) на П0}. Вычисление

векторов к е Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по 5 е [г , г2а] при заданной одной из

компонент к на сужение другой компоненты к на этот отрезок.

Теорема 2. В ситуации общего положения (12) каждой вектор-функции

к = (к^, к2) класса Н , где к, к2 - компоненты решения у/ системы интегральных уравнений (11), отвечает решение ц(<р, t; к) задачи оптимального граничного управления (9), вычисляемое по формулам (6), (8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Страти-латова Е. Н. Метод Римана для гиперболических систем. Новосибирск : Наука, 2007. 172 с.

[2] Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41. № 4. С. 944-959.

[3] Аргучинцев А. В., Крутикова О. А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 2. С. 10 -17.

[4] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 5. С. 650-654.

[5] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. С. 119-125.

[6] Жукова О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 12. С. 1794-1798.

[7] Корнеев С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности // Изв. РАН. Сер.: Энергетика. 2001. № 4. С. 117-125.

[8] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 432 с.

[9] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы тео-

рии функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 543 с.

nkk ~

и.

r

la