Оптимальное Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

H.Г. Чурашева

Омский государственный технический университет, г. Омск

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В АНИЗОТРОПНОМ ДВУМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

I. Пусть г(р) - гладкая кусочно-монотонная функция, г(0)=г(2п),

т

др = [соБф^тр]

О - область на плоскости х = (х1, х2 ) с границей

дБ = {х = г(р)др, 0 < р < 2п, г > о},

Т - температура, I - время, Ц - вектор плотности теплового потока, С - удельная теплоемкость, р - плотность, Т - период релаксации, дель имеет вид

М еС,

М(ф,0) = 0 , (х^) еОх[0,<ю) , мо-ср дТ / дt + (Ну ц = 0,

*

т дц / дt + К gradT + ц = 0, т

(1)

|Т (х,0) = 0, ц(х,0) = [0,0] ,Т (г (Р)др , t) = М(Р t).

Здесь К - тензор теплопроводности. В (1) по любому направлению

да , а е[0, 2п]

скорость распространения тепловой волны

аа =

V

а

1 Т

(Тсрр д Кда > 0 . Пусть собственные

векторы матрицы К направлены вдоль осей ОX1 и ОX2, тогда Рассматриваются две задачи.

к = йиа^укк ), к > 0 .

1.1. Задача граничного управления. При заданных t * > 0,

в (х) еС” (О)

с носителем

внутри О ищется управление М(ф, t) такое, что Т (х, Г; м) = в (х),

х е О.

(2)

Кратко схема состоит в следующем. Пусть

ат = шш а а ,

а

t > 2 г0 / ат ,

г1а

=аа

г0 = шах х

дО

г

'2а

: аа

+ Г

П = \Г\а , Г2а ] X [0,2п] X [0,2п] :

да *х = хх сова + х2 Б1па,

г (р)д

р

*

Гш,^) 1

I И = I

\ = 0 при

X = Г 1а , ь = И

еС[П],

, И = И , (3)

_И2 С*,а , Р)\

Г[0,0,0]Т ,

я е [-Г

, г ],

а=0

а=2п р>=0

2п р=2п

п СО = '

2а 1а

, П (х) = П (т ■ х) йа.

ар ^

\ [И , И т

]Т ,

р

s е(г , г ],

I

ар а

0

[ 1 2 а

1а 2а

Решается задача Коши для системы (1) в цилиндре Ц ={(х,0 :

*

х < г0, t е [0, t ]} с начальной функцией

Пр (х) . Обобщенное решение (Тр , qр )

этой задачи строится в виде

суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1-3]. Для температуры Тр место формула

2 2п

Тр(х,КИ) = Е I Тка(та ■ х1';Ик ;Р) йа ,

к=1 0

где каждая Тка(s, t; Ик ;р)

вычисляется по компоненте Ик вектора (3). С помощью (4)

строится класс Н векторов (3), дающих решение при каждом р е[0,2п] задачи стартового управления

вспомогательной

Тр (х/;И) = в (х).

(5)

При каждом И вида (3) сужение решения (Тр, qр) задачи Коши на цилиндр

О х[0, ^ ] дает (обобщенное) решение задачи (1) с граничной функцией

2 2п

/лр ^ И) = Тр(г(р)тр ^;И) = Е | Тка(^ ар , t; Ик ;р)

к =1 0

(6)

тем самым при каждом И е Н формула (6) дает решение задачи (2).

1.2. Рассматривается задача оптимального управления

*

2 t 2п

имеет

(4)

2п Т2 (5

^И

;р)

^(И) = Е I й I йр I

к =1 0 0 0

ка ар к 2

йа шт, И е Н.

(7)

2. Обозначим 10 ( 2),

1 (2 )

- функции Бесселя мнимого аргумента,

в-'/<2т' Г (8 t ( 8 VI

7

2 2

8 = t — (5 / аа ) , при 5

< а а t V а (s,t) =

0

I1 I I+

4а т

С 2т )

8 С 2т)

І

-і/(2 т)

^2а (£,і) = I І І • Тогда вычисления по схеме п. 1.1 дают результат.

4а сртд 2т

а I )

*

ЛЕММА. Если (£, і) є [-г0, г0 ] х [0, і ] , ёк = Ча (£ - о , і Ж (а, а, ф), к=1,2,

Ь =1 / 2, ь2=-1 / (2аа сР ) , то Тка і; К ; ф)=0

при £ + аа г < г1а ,

ка к к к а

Т (я,і;И ;ф) = Ь є_і/(2т)К (£ + а і,а,ф) +

$+аа

а

г1а

ёк ,

£ + ааа > Г1а •

(8)

Продолжая функцию (2) нулем из О в

2

О , представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

в ( х) =

2п

| ва ( «а ■ х) Ла ,

-2

ва (£) = (2^ )

К^(та )) rdr,

где

в

- преобразование Фурье в. Из требования в е С” (Я2 ) следует гладкость функции

ва ( 5). Обозначим Н класс вектор-функций (3):

ЛК = ЛК + Л2К = ва (£ - ааі )

(б,а , ф)єП

(9)

-і

ЛкКк = ЬкЄ 2т Кк(£,а, Р) +

I

г1а

\ (б - аа а

с , t

)Ик (с, а,р) йс .

Вычисление класса Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода

(9) по

5 е [г}а , Г2а ] на одну из компонент вектора И при заданной другой с непрерывными

ядром и правой частью, поэтому оно однозначно разрешимо в классе С(П), с выполнением равенств (3).

ТЕОРЕМА 1. Каждая вектор-функция И класса Н - решение задачи стартового

управления (5). Тем самым каждой И е Н отвечает решение управления (2), получаемое по формулам (8), (6).

м(р, ^ И)

задачи граничного

3. Обозначим

П0 = {<Аа,ф) є [г1а, Гар] х [0, 2^] х [0, 2^] } , Гар = £ар + аі • Будем

искать минимум

Р(К) , заранее не предполагая вектор-функцию К непрерывной. Рассмотрим задачу (7) при условии выполнения (9),

К є X = Ь (П

^ □ ) • После подстановки (8) в (7)

*

£

*

и замены 5 = 5ар + а а

Р (И) :

а

_1 Г(г и )2 + (г

И )2 1 й.8с1ас1р шш,

(10)

*ар

2

III а [

П0

1 1 2 2 5

5 — 5

г И = Ь в

2аат И

(5, а , р) + а

V (5

с ,

ар )И

(с, а , р) йс .

к к к к

I

к ар

га

а

124

Функция Лагранжа задачи (10), (9) где Я е У = Ь (П

2

^ 0 ) имеет вид [4]

(р Я) = Р(И) +

III

1

I

к

+

Я(я,а, ф) ГЛк - ва (я - ааг*)1 йя йа йф.

Выполняя вычисления по формулам из [3] и используя свойства интегральных операторов Вольтерра в Ь2 ([5], с. 472), нетрудно получить:

Р (к)

и Л , удовлетворяют требованиям

теорем 1, 2 из [4, п.3.4.1] (в силу выпуклости Р здесь идет речь о глобальном минимуме) и поэтому решение задачи (10), (9) приводится к решению системы интегральных уравнений

Фредгольма по

я е[г1а , гар ] на функции къ к2 , Я при фиксированных а, р:

гаф

М(я, а , ф)у (я, а , ф) +

\

г1а

N (я, с , а, ф¥ (с , а, ф)йс =

I(я,а ) ,

(11)

где м = [т1к ],

N = [п1к ],

т12 = т21 = т33 = п12 = п21 = П33 = 0; ¥

1 2

= [к , к , А]Т ,

при к = 1, 2 т

= а~1Ь2е

$ ^а->

а—т

а , т = т

= Ь е

г*

2т , п

(я, с) = п (с, я),

кк

a k

с ,t

Зk k З k

),с є [rla, s], Г k

k З Зk

L la J

n

w

(s,с, a, p), с є Гг , s 1 ,

3k 0,

с є (s, r 1 , w (с, s,a ,p), с є s, r 1 ,

kk

( 2a J

vkl vka (sap с,

с sap aa

) , vk 2 = vka (s ap - s

* *

ap J

с - s

a

ap о

a a

L

f = О0,0,0 (s - a t

J

k

*

T

s saq>

r

b e 2°aT

s - s

■ap

ap

V V

Wb

Vka (sap -a ' ) + J

k1 k 2

da' .

a

a

aa r a

1a

a

k

det M > const > 0 . Применение альтернативы Фредгольма дает: система (11) имеет

I 1 2 I

T

единственное решение / = \h , h , X1 е С(По ) , если выполняется

-1 £ s(P),

Р/ =

J

г1а

M"1N ¥ йс ,

(12)

где

я(Р) - множество собственных значений оператора Р . Каждая точка е ^(Р)

отделена

от остальных (учтена компактность Р ) и непрерывно зависит от параметров с, р, Кък2,Т .

Поэтому случай

-1ея(Р)

имеет место Ус вероятностью ноль||. Будем говорить, что имеет

125

место ситуация общего положения (12). Из построений следует: пара

к = (к , к )

1 2

удовлетворяет требованиям (3), (9) на По . Обозначим

Н = {к еН : к = (к[, к ) на

По}

Вычисление векторов к еН

сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по

я е[гар , г2а ]

при заданной одной из компонент к на сужение другой

/V /V

компоненты к на этот отрезок.

ТЕОРЕМА 2. В ситуации общего положения (12) каждой вектор-функции к = (к1, к2 )

/V /V

класса Н, где къ к2

- компоненты решения ¥ системы интегральных уравнений (11), отвечает решение

м(ф, г; к)

задачи оптимального граничного управления (9), вычисляемое по формулам (6), (8).

Библиографический список

1. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. - Новосибирск : Наука, 2007. - 172 с.

2. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

3. Жукова, О. Г., Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустр. ма-тем. - 2008. - Т.11, № 3. - С. 119-125.

4. Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1979. - 432 с.

5. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976. - 543 с.