Оптимальное гашение ограниченных возмущений для дискретных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2277-2278

2277

УДК 517.977

ОПТИМАЛЬНОЕ ГАШЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ

© 2011 г. Л.Н. Кривдина

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

[email protected]

Поступила в редакцию 24.08.2011

Решается задача синтеза субоптимальных линейных законов управления дискретными объектами с не-измеряемым состоянием, обеспечивающих гашение ограниченных возмущений. В основе построения соответствующих регуляторов лежит метод инвариантных эллипсоидов и аппарат линейных матричных неравенств.

Ключевые слова: дискретный объект, регулятор, ограниченные возмущения, линейные матричные неравенства.

Введение

Рассматривается задача синтеза линейных законов управления для линейных дискретных динамических объектов с неизмеряемым состоянием. Предполагается, что на объект действует неизмеряемое и ограниченное по норме возмущение. Требуется синтезировать оптимальный закон управления из класса линейных дискретных динамических регуляторов по выходу, обеспечивающий гашение действующих на объект ограниченных возмущений. С практической точки зрения поставленная задача имеет большое значение, так как часто в задачах присутствуют или должны быть учтены ограничения на внешние возмущения.

Цель настоящего исследования - сформулировать условия существования регулятора по выходу, такого, что при любых ограниченных возмущениях все траектории замкнутой системы с начальным состоянием из некоторого «минимального» эллипсоида остаются в этом эллипсоиде.

Построение таких законов управления осуществляется с помощью метода инвариантных эллипсоидов, в основе которого лежит метод функций Ляпунова, и с помощью аппарата линейных матричных неравенств [1, 2].

Авторами [3] была рассмотрена задача синтеза линейных законов управления для непрерывных и дискретных объектов в случае измеряемого состояния объекта. Для случая неизмеряемого состояния непрерывного объекта соответствующая задача решена в [4].

Постановка задачи

Пусть дан управляемый линейный стационарный дискретный объект

X+1 = Ах{ + ВЛ + Щщ,

г, = СЛ, (!)

У = С2х, + °2^1, где X, е ЭТПх - состояние объекта, V, еЭТп - возмущение, и, е ЭТПи - управление, г, еЭТПг - управляемый выход, х0 — начальное состояние объ-

п 0

екта, у, еЭТ у - измеряемый выход, А еЭТ Пх х Пх, В1 еЭТпх, В2 еЭТп*хпи , С1 еЭТпгхпх ,

С2 еЭТПу ХПх и ^21 еЭТПу х п - заданные матрицы, при этом предполагается, что С1 - матрица полного строчного ранга. Возмущение V, будем называть допустимым, если для всех , = 0, 1, 2,... оно удовлетворяет ограничению vt Rvt < 1, где Я = ЯТ > 0 - заданная матрица. Задача синтеза субоптимального управления по выходу дискретным объектом (1) для гашения ограниченных возмущений состоит в том, чтобы построить закон управления из класса линейных дискретных динамических регуляторов по выходу вида

х(+1 = Агх( Г) + ВгУ, , х0Г) = 0

и = Сгх() + ВгУ, , такой, что при любых допустимых возмущениях для всех , = 0,1, 2,. выполняется целевое условие | г, | < у при минимально возможном значении у > 0 , где х((г) - начальное состояние регулятора, • - евклидова норма вектора.

Основной результат

Решение задачи синтеза субоптимального управления по выходу дискретным объектом для гашения ограниченных возмущений приведено в следующей теореме.

Теорема. Пусть у2 - минимальное значение

2

у , при котором линеиные матричные неравен-

ства

Г W1 '

vW2 j

A0 X11A -т Х11 , B°XnA

ATXnBl Л

B°X11B1 - ц R

' W1

W2

V 2

< 0,

WBi IT"

-AY,,A0 -Yn |WBT

rT

' b2

wTtB,

B, Wbt B2

-ц R

(3)

< 0,

Г x,

,,

> 0,

,

2

I \ Г ^ v r'T \

> 0

.1 y11J

Ц > 0,

где CWi + D21W2 = 0, разрешимы при некото-

Г У

V CY1i

Y11C1 Y 21

x0 X11x0 -1,

ром т> 0 относительно (n x nx) -матриц X11 = X1T1 > 0, Y11 = У, > 0 и скаляра |l. Тогда при любых допустимых возмущениях для управляемого объекта (1) с начальным состоянием х0 существует субоптимальный закон управления по выходу вида (2).

Из теоремы следует, что если для заданного начального состояния х0 найдены матрицыХп, У11 и скаляр |1, удовлетворяющие неравенствам (3), и построен соответствующий регулятор, то для всех начальных значений х0 из эллипсоида с матрицей Х11 этот же регулятор обеспечивает гашение любых допустимых возмущений и выполнение целевого условия при Y = Y .

Список литературы

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.

2. Boyd S. et al. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

3. Nazin S.A., Polyak B.T., Topunov M.V. // Automation and Remote Control. 2007. V. 68, No 3. P. 467-486.

4. Баландин Д.В., Коган М.М. // Автоматика и телемеханика. 2011 (в печати).

x

x

OPTIMAL ATTENUATION OF BOUNDED DISTURBANCES FOR DISCRETE-TIME SYSTEMSAINS

L.N. Krivdina

Synthesis of suboptimal linear control strategies for discrete-time systems with unknown state providing attenuation of bounded disturbances is carried out on the basis of the invariant ellipsoids method and linear matrix inequalities.

Keywords: discrete-time object, regulator, bounded disturbances, linear matrix inequalities.