Новые методы синтеза законов управления динамическими системами с использованием линейных матричных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 50-51

УДК 62-50

НОВЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

© 2011 г. Д.В. Баландин1, М.М. Коган1

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

^а1ап^п@уа^ех. ги

Поступила в редакцию 16.05.2011

С единых позиций на основе линейных матричных неравенств рассматривается и решается широкий круг задач управления, в том числе стабилизация неустойчивого объекта по состоянию и измеряемому выходу, модальное управление, оптимальное гашение внешних возмущений, управление с неточно известными начальными условиями объекта, управление с учетом ограничений на фазовые и управляющие переменные, управление в условиях неполной информации о параметрах системы. Приводятся примеры решения задач управления различными механическими системами.

Ключевые слова: динамическая система, оптимальное управление, стабилизация, оптимальное гашение внешних возмущений, ограничения на фазовые и управляющие переменные, линейные матричные неравенства.

Введение

Излагаются новые математические методы построения линейных обратных связей для динамических объектов, описываемых дифференциальными уравнениями. Цели синтеза — обеспечение асимптотической устойчивости системы, оптимизация переходного процесса в ней при фазовых и интегральных ограничениях, минимизация максимального значения нормы управляемого выхода при внешних возмущениях, восстановление и фильтрация неизмеряемых переменных по зашумленным измерениям других переменных и многие другие. Важно подчеркнуть, что во всех рассматриваемых задачах синтезируются обратные связи как по состоянию, если оно измеряется, так и по измеряемому выходу, если состояние объекта недоступно измерению. Другой существенной особенностью развиваемых методов является возможность их применения при наличии различного рода неопределенности: неизвестные начальные условия объекта, параметрическая, функциональная или даже динамическая неопределенность в математической модели объекта. В таких случаях синтезируемые обратные связи реализуют робастные регуляторы или фильтры, которые находятся на основе минимаксного подхода как решения вспомогательных дифференциальных игр. Кроме того,

излагаемые методы позволяют синтезировать так называемые грубые обратные связи, которые обеспечивают выполнение той или иной цели в условиях возможных неконтролируемых изменений в известных пределах параметров самих обратных связей. В основе синтеза так или иначе лежит метод функций Ляпунова: цель формулируется в терминах квадратичной функции Ляпунова, а точнее, — в виде некоторого целевого матричного неравенства, в общем случае нелинейного относительно неизвестной матрицы функции Ляпунова и неизвестной матрицы параметров синтезируемой обратной связи. Применение аппарата линейных матричных неравенств, изложенного в монографии [1], позволяет синтезировать требуемую обратную связь, «разделяя переменные» в целевом неравенстве и приводя его к линейным матричным неравенствам, эффективно решаемым в пакете Ма^аЬ.

Основная идея синтеза

Основную идею синтеза продемонстрируем на решении задачи стабилизации. Рассмотрим управляемый объект

х = Ах + Ви, где х — состояние объекта, и — управление. Задача состоит в синтезе линейной обратной связи и = © х

такой, что замкнутая система

х = (А + B©) х

асимптотически устойчива. Согласно теореме Ляпунова, для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала функция У(х) = хТУ~1х > 0, производная от которой в силу системы отрицательно определена, т.е.

V = хТ [(А + В©)ТУ _1 + У _1(А + В©)]х < 0.

Перейдем от неравенств для квадратичных форм к эквивалентным матричным неравенствам

У(А + В©)Т + (А + В©)У < 0, У > 0.

Это нелинейные матричные неравенства относительно неизвестных матриц У, ©. Введем новую матричную переменную Z = ©У и запишем приведенные выше неравенства в виде так называемых линейных матричных неравенств

УАТ + АУ + 2ТВТ + В2 < 0, У > 0.

Для решения последних неравенств, которые являются линейными отно сительно неизвестных матриц У, Z, разработаны эффективные алгоритмы, основанные на теории выпуклой оптимизации, и создано соответствующее программное обеспечение, реализованное в пакете МаАаЬ. Если решение этих неравенств найдено, то искомая матрица обратной связи © = ZУ_1. Таким образом, задача стабилизации сведена к решению системы линейных матричных неравенств.

Показывается, как различные задачи управления могут быть представлены в форме линейных матричных неравенств и решены с использованием стандартных процедур. Среди этих задач модальное управление, оптимальное гашение внешних возмущений, управление с неточно известными начальными условиями объекта, управление с учетом ограничений на фазовые и управляющие переменные, управление в условиях неполной информации о параметрах системы.

Применение к управлению механическими системами

Приводится ряд примеров применения изложенных методов синтеза к задачам управления механическими системами, такими как многомассовая упругая конструкция, моделирующая динамику многоэтажного сооружения при сейсмических воздействиях, быстровращающийся жесткий ротор в электромагнитных подшипниках, система защиты объектов от ударных воздействий. Задача управления высотным сооружением формулируется как задача гашения колебаний или, в терминах теории управления, как задача .^-оптимального управления [2, 3]. Задачи управления жестким ротором в электромагнитных подшипниках и задача синтеза системы противоударной изоляции поставлены как задачи оптимального управления с ограничениями на фазовые и управляющие переменные [4, 5].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №10-01-00514 и №11-01-00215).

Список литературы

1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007. 280 с.

2. Баландин Д.В., Коган М.М. Оптимальное гашение колебаний высотных сооружений при сейсмических воздействиях // Изв. РАН. ТиСУ 2004. №5. С. 60-66.

3. Balandin D.V., Kogan M.M. LMI-based optimal attenuation of multi-storey building oscillations under seismic excitations // Structural Control and Health Monitoring. 2005. Vol. 12, No. 2. P 213-224.

4. Баландин Д.В., Коган М.М. Метод функций Ляпунова в синтезе законов управления при интегральном и фазовых ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 655-664.

5. Balandin D.V., Kogan M.M. LMI-based multiobjective control under multiple integral and output constraints // International Journal of Control. 2010. Vol. 83, No 2. P. 227-232.

NEW METHODS BASED ON LINEAR MATRIX INEQUALITIES FOR SYNTHESIZING FEEDBACK CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEMS

D. V Balandin, М.М. Kogan

A wide class of control problems, including state and output feedback control for stabilizing unstable objects, modal control, optimal attenuation of disturbances, control under state and input constraints, control under uncertain parameters and initial states, is studied using linear matrix inequalities. Some examples of the control problems for mechanical systems are given.

Keywords: dynamical system, optimal control, stabilizing, optimal attenuation of disturbances, constraints imposed on state and input variables, linear matrix inequalities.