Оптимальное аэродинамически разгруженное крыло в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Т о м XI 19 8 0

№ 5

УДК 536.6.011.3/55.629.7.024.36

ОПТИМАЛЬНОЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИ РАЗГРУЖЕННОЕ КРЫЛО В СВЕРХЗВУКОВОМ

ПОТОКЕ

В. С. Николаев

Решены вариационные задачи о форме прямоугольного и треугольного крыльев минимального сопротивления в невязком сверхзвуковом потоке при заданных запасе статической устойчивости, объеме (или подъемной силе) и размерах в плане. Объемная плотность крыла принималась постоянной, для каждого элемента крыла предполагалось выполненным условие равенства веса этого элемента его подъемной силе. Расчет аэродинамических сил проведен в рамках теории полос и теории второго порядка Буземана. В случае прямоугольного крыла и в линейном приближении для треугольного крыла решение задачи получено в аналитическом виде. Приведены формы сечений оптимальных крыльев.

1. Постановка задачи. Концепция самолета с распределенной но крылу полезной нагрузкой предусматривает размещение внутри крыла основных грузов и топлива. Более равномерное распределение полезной нагрузки в крыле позволяет уравновешивать аэродинамические силы и моменты, что снижает напряжения в конструкции. Вследствие этого относительный вес конструкции может быть уменьшен, а летные характеристики самолета улучшены. При проектировании летательного аппарата такого типа полезными ориентирами могут служить результаты исследований оптимальных форм, основанных на приближенных, модельных подходах к учету аэродинамических и прочностных требований и их взаимного влияния. Одной из возможных схем летательного аппарата является схема летающего крыла, у которого вся полезная нагрузка сосредоточена в крыле, а балансировка осуществляется путем плавной деформации его поверхности. Для определения положения центра масс крыла в работах [1, 2| использовано предположение

о постоянстве средней плотности конструкции крыла и размещенной в нем полезной нагрузки. В работе (3] решена вариационная

задача о форме профиля минимального сопротивления в невязком сверхзвуковом линеаризованном потоке при условии, что вес каждого малого элемента равен его подъемной силе. В настоящей работе концепция оптимального аэродинамически разгруженного крыла, предложенная в работе [3], развита в трех направлениях: учет при расчете аэродинамических сил членов второго порядка, задание запаса устойчивости, учет пространственности на примере треугольного в плане крыла.

Ограничимся рассмотрением крыльев двух основных форм в плане: прямоугольной и треугольной; обобщение на случай произвольных сверхзвуковых кромок не представляет каких-либо трудностей. Крылья считаем тонкими, симметричными относительно плоскости центрального сечения, расположенными под малым углом атаки а. За угол атаки принимаем угол между хордой центрального сечения и вектором скорости набегающего потока, который параллелен плоскости этого сечения; начало координат расположим в середине передней кромки. Пусть крыло с острыми кромками с заданными центральной хордой Ь, размахом / (в случае прямоугольного крыла) или 21 (в случае треугольного крыла), объемом Ь-1У и удельным весом -¡к обтекается невязким сверхзвуковым потоком с числом М и скоростным напором Среднюю плотность материала крыла принимаем постоянной, при этом допускается неоднородность по вертикали; существенно лишь, чтобы вес каждого малого элемента крыла (одинаковой площади в плане) был пропорционален местной толщине крыла. Обозначим Ьх, Ьу, /г, ЬУъи, 2Ь\Н координаты в поточной системе (по потоку, перпендикулярно потоку в плоскости симметрии крыла, перпендикулярно плоскости симметрии), координату срединной поверхности в направлении у, местную толщину крыла; штрих означает дифференцирование по х. Предполагаем

77Ж^Г<С1, /'<!, М|У I < 1. (1.1)

Условия (1.1) позволяют использовать при расчетах аэродинамических сил метод полос, а в каждом сечении крыла по потоку коэффициент давления ср определять по теории второго порядка Буземана

€,-+-*3^ + (х+|)м«-4(М?-|) ,2 (12)

” — 1АМ--1 2 (М= — 1)= *

где верхний (нижний) знак в формуле относится к верхней (нижней) стороне поверхности крыла, * — отношение удельных теплоемкостей.

Формула (1.2) дает возможность вести расчеты в существенно более широкой области чисел М и у', чем в случае использования линейной теории. Так, при М^>1 погрешности определения ср по теории второго порядка менее 5% при М|у'|<1/2, тогда как ошибки линейной теории оказываются менее 5?б лишь при М у'|<1/12.

Введем обозначения:

„Ч-1,М<-41М.-|) у-------------• (1-3)

^ 4 (М2—1)3/2 Ь1кУ М»-1

Параметр р определяет степень влияния нелинейности на аэродинамические силы; линейной теории формально соответствует

МУ при М^>1. Параметр V

значение ¡3 = 0. Заметим, что Р = -

характеризует относительную толщину крыла. В частности, если крыло набрано из параболических профилей постоянной относитель-

о

ной толщины ?, то для прямоугольного крыла V = —для тре-

3

4

угольного крыла 1/ = — т. При х—1,4 и числе М^>1 приведенным

2 4

значениям V соответствуют значения {3 = — Мт и —Мт.

5 5

Параметр а характеризует влияние средней плотности крыла на величину угла атаки, при котором подъемная сила равна весу крыла. Значение а пропорционально относительной толщине т и обратно пропорционально углу атаки а, связь величины а с коэффициентом подъемной силы Су и параметром V дается формулой

IV

а =

С.. /М* - I

Приведем выражения для коэффициентов подъемной силы Су, сопротивления Сх и момента тангажа С„. Все коэффициенты отнесены к площади крыла в плане, а момент еще и к длине центральной хорды. Момент вычисляется относительно оси Ог, положительным считается момент на кабрирование. Для прямоугольного крыла:

ум

сх - \ \ї2 (і + Ю + (1 + ът\йх-

у мг - 1

V

В случае треугольного крыла:

і і

сх = | йг $ [Г2 (1 + Ю + тс/2 (1 + 30*')] ах-,

км* 1 1

(1г то' м=—і *) ^

(1 + 2з*')</*;

і

і

(14)

(1.5)

Ст = у№-~\ I ^ (1 + Х<1Х

В силу того, что плотность крыла постоянна, положение его центра масс хт определяется распределением толщин ¿(х, г). Положение фокуса х,, как нетрудно показать, не зависит от формы поверхности (функций £ и а>) и определяется лишь параметром нелинейности р [формула (1.3)] и формой крыла в плане.

В случае прямоугольного крыла:

1

= 2| іхйх, Х/=---------Э

(1.6)

О г

(1.7)

С помощью величин хт и х} находим запас статической устойчивости Д = х} — хт.

На функцию распределения толщин Цх, г) должны быть наложены ограничения, вытекающие из ее определения через объем крыла. Кроме того, должны быть соблюдены естественные условия положительности толщины и условия на кромках. Для прямоугольного крыла:

Условие равенства веса каждого малого элемента крыла его подъемной силе приводит к соотношению между формой срединной поверхности и распределением толщин

При соблюдении этого соотношения автоматически выполняется условие балансировки крыла. Формула (1.10) позволяет исключить из функционалов (1.4), (1.5) функцию а» и находить форму срединной поверхности после решения вариационной задачи путем простых квадратур. При этом значение а' на передней кромке может быть задано достаточно произвольно. Для определенности в случае прямоугольного крыла полагаем а>(0)=0, в случае треугольного крыла считаем аг(г, г) = 0. После получения решения к функции К'(х, г) для треугольного крыла можно прибавить произвольную непрерывную функцию от г, чтобы оптимальная поверхность у(х, г) была более гладкой. В качестве такой функции выбрана функция /(г) = = |г|«>(1, 0), при этом передние кромки крыла и центральная хорда расположены в одной плоскости (при г = 0 излом поверхности сохраняется).

Как следует из формул (1.6), (1.7), с ростом параметра нелинейности {3 при фиксированном распределении местных толщин ¿(х, г) положение фокуса сдвигается вперед, что уменьшает запас статической устойчивости А = х/ — хт. Для компенсации этого сдвига при заданной величине А необходимо смещать вперед и положение центра масс хт. Приведем окончательный вид изоиериметрического условия, связанного с обеспечением заданного запаса статической устойчивости.

Для прямоугольного крыла:

(1.8)

/(х)>0 при 0< х< 1. В случае треугольного крыла:

(1-9)

и

г

¿(х, г)>0 при г<х<1.

/ = - аи>'(1 +2ЭО-

(1.10)

С ¿V йх = — 4

Л >

(1.11)

2 2 *

3— «Ученые записки» X» 5

33

1 1 I Л

\йг [^ = -г~т-т- <112>

о 4 4

ж

Величина заданного объема не входит явно в изопериметри-ческие условия (1.8), (1.9), (1.11), (1.12), подынтегральные выражения (1.4), (1.5) и уравнение связи (1.10). Поэтому и безразмерные оптимальные формы крыла не зависят от объема при фиксированных значениях параметров а, Д, ¡3. Размерные координаты поверхности крыла пропорциональны при этом параметру объема V, а коэффициент сопротивления пропорционален V-. Величине V пропорционален также параметр нелинейности р, однако его можно сохранить постоянным, меняя одновременно число М. Отметим еще, что в силу постоянства удельного веса крыла задание объема эквивалентно заданию подъемной силы.

Учитывая условие (1.10), получим окончательный вид функционала 1Х, определяющего сопротивление крыла.

В случае прямоугольного крыла имеем:

/,=

СхТЛ-а- 1 = Г Г/'* (1 + ю + Р(‘ +3?<,) 1 С?ЛГ. (1.13)

4 К5

Для треугольного крыла получим: . _Схуг М^Т 1 1

• г

,г_ =. Ыг Г IV* (1 + РО + <Д(1 + 3‘Г) 1 Лх. (1.14)

* 8^5 £ г а*(1 + \ '

Таким образом, задача о минимуме сопротивления крыла при задании его объема, запаса статической устойчивости и соблюдении условия аэродинамической разгруженности сводится к решению вариационной задачи о минимуме функционала (1.13) или (1.14) при соблюдении изопериметрических и граничных условии (1.8) и (1.11) или (1.9) и (1.12) соответственно. Вариационную задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид:

у?-/',(1+ро+ +^() -\->-у*+'.ах1.

' г ' а2 (| _ 2'«')3 '

Если не накладывать условия на запас статической устойчивости, то следует положить >.д —0 и не учитывать соотношения (1.11), (1.12). Уравнение Эйлера, как и функция Лагранжа, не зависит от формы крыла в плане

г2(1 + т+-1 г-т±з㱫_>.к_^х=о. (1.15)

Ь «*( 1+2?ОЧ аЦ\+2Ю3

Множители Лагранжа Уу, 1-а являются неизвестными заранее функциями параметров а, Д, ¡3 и находятся в процессе решения задачи.

2. Прямоугольное крыло. В частном случае р = 0 (линейная теория) решение вариационной задачи может быть получено в аналитическом виде (при отсутствии ограничений на запас статической устойчивости решение было ранее найдено в работе [3]). Уравнение Эйлера (1.15) при [3 = 0 приобретает вид

= ± + (2.1)

я* 2 Л 2

Общее решение уравнения (2.1) запишем в форме

X X

с, еа + с2е ° — — ().^ + м4

(2.2)

Два граничных и два изопериметрических условия [формы (1.8) и (1.11)1 позволяют однозначно найти неизвестные константы С,, Со, 'а- В итоге

1 _ сЬ х — чИ * ~ х 5» ( 4ц 1 _ 9»- сЬ * + '11 Х — 1 — х^ Д

а а в | а а а а )

2( 2а + -I-а — 2 асЬ —) а ] (12а2 вН —4- вЬ -1_ — 6а-V а а —6а сИ

.(2.3)

Функция t линейно зависит от запаса статической устойчивости А. В формуле (2.3) знаменатели обоих слагаемых больше нуля при всех значениях а. Это можно показать, исследуя эти выражения при малых и больших значениях а и анализируя знаки производных во всем диапазоне. Интересно отметить, что при отсутствии требований на запас статической устойчивости величина его для оптимального прямоугольного крыла оказывается равной нулю.

Интегрируя соотношение (1.10) с учетом (2.3), получим форму срединной поверхности

— — сь!—- + с 11-1-

VI =

2 | 2в -г вЬ -1- —2а сИ

сЬ

1 —л:

а а 1

При Э>0 решение вариационной задачи было получено двухступенчатым методом последовательных приближений на ЭЦВМ. Внешний цикл: подбор множителей Лагранжа >.»•, Ьд с целью удовлетворения изопериметрическим условиям (1.8), (1.11). Внутренний цикл: при фиксированных ).у, \а подбор ?(0) с целью удовлетворения условию ¿(1) = 0; во внутреннем цикле многократно решается задача Коши для уравнения (1.15). В качестве начальных приближений для XV, 1А, *'(0) были использованы аналитические результаты, полученные при р=»0.

На рис. 1 приведены формы профилей прямоугольного крыла минимального сопротивления при значении весового параметра

1

у/У

0,5 X

г

0.5 X

Рис. I

а =0,5, запасе статической устойчивости Д = 0,03 и двух значениях р: 0 и 0,03. Как показывает сравнение с результатами работы [3], положение максимума толщины х1 при р = 0 и положительном запасе устойчивости сдвинуто вперед по сравнению со случаем Д = 0, при котором х, = 0,5. Влияние нелинейности при фиксированном значении Д проявляется в дальнейшем уменьшении х,. Решение задачи в данной постановке может быть получено не при всех значениях ¡3: существует некоторое критическое значение р„ зависящее от а и Д. При (3>?1 нарушается либо необходимое условие Лежандра, либо условие положительности Цх) при 0<х<1. Оценки показывают, что ¡3, весьма слабо зависит от а и существенно уменьшается с ростом Д. В рассмотренных случаях (кроме а = 0,5, проводились расчеты при а=1) значение {5, определялось в большей степени условием ¿>0 и заключено в диапазоне 0,06—0,1.

Задачу о минимуме сопротивления аэродинамически разгруженного крыла при малых значениях параметра нелинейности ¡3 можно решить, используя последовательный асимптотический подход (выше использовалась формула для давления во втором приближении, а далее задача решалась численно). Представим функции формы крыла /, то и множители Лагранжа Ху-, Хд в виде

* = *о + РЛ, то = то о + ^то,,

XV = Xvo ь М = Хд о + ?Хд |.

При этом вариационную задачу удается свести к двум последовательно решаемым задачам. Первая задача — линейное приближение. Приведем для него уравнение Эйлера, изопериметрические условия, граничные условия и уравнение связи между < и то:

\todx--~, уйхйх— 4 2

*о(0) = *о(1)=0,

а

Вторая задача — задача определения ад,:

А» чХ

(2.4)

4" и . КА\Х о-’ .*

1 1 .

| <1х = о, \ьххйх = —-,

о о

мо)=м1)~о, +2—0,

(2.5)

Входящие в уравнения (2.5) функции /0, ¿0, ¿о следует рассматривать как известные функции от х, полученные при решении (2.4). Решение задачи для приращений то, получается в аналитическом виде. Однако в виду крайней громоздкости окончательных соотношений они здесь не приводятся. Отметим лишь, что при значениях [3<0,03 это решение достаточно хорошо согласуется с полученным

ранее численным решением. При асимптотическом подходе проще сформулировать условия применимости теории

3, = П11П I —

з<о о) ';о))

Первое выражение в скобках связано с условием Лежандра, второе —с условием положительности толщины (нарушение обоих требований с ростом ß наступает прежде всего на задней кромке).

3. Треугольное крыло. Рассмотрим сначала задачу о минимуме сопротивления разгруженного крыла в линейном приближении (Р = 0). Уравнение Эйлера имеет тот же вид, что и для прямоугольного крыла (2.1). Однако общее решение для t(x, z) содержит вместо констант С, и С. неизвестные функции от z:

t = С, (z) ех а + С (z) е~** — у (Xv + Х.4 х).

Учет граничных условий (1.9) позволяет наити вид этих функций. В результате получим

t =----r^h'fsh— + sh^^-sh— ) +

2 sh *- V в Я a ’

а

+ Хл ^sh + z sh — xsh • (3-0

В формулу (3.1) входят два неизвестных множителя Лагранжа Ху, Хд. Используя изопериметрические условия (1.9) и (1.12), получим (после весьма трудоемких преобразований) систему линейных алгебраических уравнений для определения Xv- и Хл:

Хи(4а* Inch ----М +

\ 2а 2 ]

+ ).А 14аг ln ch —--- - 4а3 С 5 th - cl\ | = — ;

l 2а 3 J I 2а*-

)v (4а2Inch —-----\—4а3 f 5th5d?W

l 2a 3 о’ 1

4ti2Inch—^ — -y-—^-----8a3 f ;th;rf;-f-a‘j ?*cth$d« =

< a u о J

_1_______A_

За- 2аг '

Условием разрешимости системы (3.2) является отличие от нуля ее определителя D:

/ 12а \ 2

-(т-4а>1 ;th5*) ■

Анализ зависимости D (а) показал, что при всех положительных значениях а D(a)>0. Так, при а<С1 главный член выражения для D имеет вид D=l/72, при а 1 соответственно D = — 1 /129600¿г4. Для доказательства положительности D при промежуточных значениях а были использованы ряды по 1 /2а и по е~™а,

(3.2)

имеющие перекрывающиеся области сходимости (подробности опускаем ввиду чрезвычайной громоздкости преобразований).

Интересно отметить, что при отсутствии требований на запас статической устойчивости последний оказывается отличным от нуля для треугольного крыла минимального сопротивления (для прямоугольного крыла Д = О [3])

8 л»

(1/2 а

T|nch —J St».'*)

i----------------• (3.3)

1 — 8<i* In ch ——

2a

Можно показать, что и числитель, и знаменатель правой части (3.3) больше нуля при всех значениях а; значит оптимальное треугольное крыло всегда статически устойчиво, Д>0. При а—1/2 запас статической устойчивости составляет 6%. Приведем выражения для * и гс, соответствующие >>д=0; Д определяется формулой (3.3)

. 1 — г I — х х—г

sh-----— sh-------— sh------

t == a________________?__________£_____ ,

2(l — 8tf2 In ch —) sh --

2a ) а

, , 1 -x х—г,\—г

ch------+ ch------— 1 — ch--------— —--------sh------

W =

2(l— 8аг ln ch — 1 sh -------

\ 2a J а

(3.4)

Можно показать, что согласно формуле (3.4) t(x, z)>0 при

гО<1.

Решение вариационной задачи для треугольного крыла во втором приближении (3^-0) связано с трудоемким двухступенчатым подбором функции t'(z, z) и множителей Xv, Хл, решением дифференциального уравнения Эйлера и вычислением двойных интегралов. Как обычно, при многопараметрическом подборе успех в большой степени зависит от удачного задания начального приближения. В качестве начального приближения в работе были использованы результаты, полученные при 3 = 0. На ЭЦВМ были получены решения при а = 1/2, Д = 0,03 при нескольких значениях параметра нелинейности Э = 0,01; 0,02; 0,03. При больших значениях ß подбор параметров чрезвычайно затруднен, так как в процессе подбора коэффициент при старшей производной в уравнении Эйлера (1.15) может обращаться в нуль, и численное интегрирование приводит к неверным результатам, хотя при точно заданных параметрах численное интегрирование может быть проведено. Согласно оценкам критическое значение ß, (см. п. 2) при а— 1/2 лежит в интервале 0,4—0,5, причем величина ß, в случае треугольного крыла определяется нарушением условия Лежандра (Ff г является коэффициентом при старшей производной в уравнении Эйлера).

На рис. 2 представлены формы сечений z = const оптимальных треугольных крыльев при ß = 0 и 0,03 |с учетом смещения w(x, z) в вертикальном направлении на величину /(г) = |г| гг>(1, 0)]. Видно, что с ростом параметра нелинейности ß угол атаки сечений крыла возрастает. Увеличиваются кривизна задней кромки и крутка крыла. Происходит перераспределение объема, все большая его часть сосредотачивается в центральных сечениях крыла и ближе к передней кромке.

Рис. 2

Как показывает сравнение с результатами работ |1, 2], использование условия локальной аэродинамической разгруженности приводит к увеличению сопротивления. При а = 0,5 и Д = 0,03 это увеличение составляет примерно 5% как для прямоугольного, так и для треугольного крыльев. Однако при выполнении условия разгрузки снижаются напряжения в конструкции, появляется возможность снизить ее вес, а следовательно, и общий вес аппарата. Уменьшение общего веса на 2,596 позволяет полностью компенсировать прирост коэффициента лобового сопротивления Сх из-за условия разгрузки (Су — коэффициент подъемной силы —пропорционален объему или весу крыла, а Сх пропорционален квадрату объема), а уменьшение веса на 5°б приводит уже к уменьшению Сх на 5%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев В. С. Оптимальные профили в сверхзвуковом потоке с заданными площадью и запасом устойчивости. Ученые записки ЦАГИ‘, т. 9, Л6 1, 1978.

2. Николаев B.C. Треугольное крыло оптимальной формы в сверхзвуковом потоке. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 6, 1978.

3. К о г а н М. Н., Перми нов В. Д. Об одной постановке задачи о крыле минимального сопротивления. .Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 2, 1976.

Рукопись поступила 4jlV 1979 г.