CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том V 197 4
№ &
УДК 533.69.01+533.662.013
ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОЛЩИНЫ ПРИ ЗАДАННОМ ПОЛОЖЕНИИ ЦЕНТРА ДАВЛЕНИЯ В ВЯЗКОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ
ПОТОКЕ
В. С. Николаев
Решена вариационная задача определения формы поверхности треугольного крыла, при которой аэродинамическое качество максимально при заданном положении центра давления. Распределение толщин по хорде и размаху было выбрано квадратичным, рассмотрены случаи острой и тупой задних кромок крыла. Расчет аэродинамических сил, действующих на крыло, проведен в предположении тонкости тела методом полос с учетом гиперзвукового взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким потоком.
Рассмотрим обтекание тонкого крыла вязким гиперзвуковым потоком совершенного газа в постановке, аналогичной приведенной в работе [1].
Принимаем
«2 « Ь Л&а®»]. (1>
Здесь Мсо — число М набегающего потока, ае— эффективный угол атаки с учетом толщины вытеснения ламинарного пограничного слоя. В отличие от работы [1| предположение о малости относительных толщин профилей крыла по потоку по сравнению с характерным значением ае в настоящей работе не используется. Аэродинамические силы, действующие на крыло, определяются путем интегрирования по размаху крыла соответствующих профильных характеристик (метод полос). Некоторые соображения, обосновывающие применимость метода полос для расчета толщины вытеснения и местного коэффициента трения, содержатся в работе [1]. Аэродинамические характеристики профилей (по потоку) крыла рассчитываются по методу работы [2], основанному на осреднении некоторых коэффициентов, полученных из автомодельных решений уравнений пограничного слоя, и на использовании для расчета давления метода касательных клиньев с учетом толщины вытеснения пограничного слоя. Подробности обоснования и использования метода для расчета аэродинамических характеристик профилей и крыльев, а также оценки пределов применимости содержатся в работах [1, 3].
Обозначим Ъ, Ы, Ыхъ Ьт, Ьх (х = т-\-1л:{), Ь, Ьг соответственно центральную хорду, местную хорду, расстояние в сечении (по потоку) от передней кромки, координату передней кромки, координату точки на крыле, половину размаха
крыла, координату сечения относительно центрального сечения. Оси Ох, Оу, Ог направлены соответственно по потоку, вертикально вниз и по размаху крыла, начало координат помещено в передней точке центральной хорды. Вертикальную координату обозначим БЬу. Параметр 5 характеризует масштаб возмущенной зоны в вертикальном направлении и пропорционален отношению толщины вытеснения пограничного слоя на плоской пластине длины Ь к длине пластины при режиме сильного вязкого гиперзвукового взаимодействия
64 А2
х (х + !)(•*- — 1) (
1—а
Здесь р^, их, [х0, х, ш, ^ — соответственно плотность и скорость набегающего потока, коэффициент вязкости при температуре торможения набегающего потока, отношение удельных теплоемкостей, показатель степени в зависимости коэффициента вязкости от температуры, температурный фактор (отношение температуры поверхности, принимаемой в работе постоянной, к температуре торможения набегающего потока). Коэффициент А, так же как используемый ниже коэффициент а, определяется автомодельными решениями уравнений пограничного слоя, зависящими от х, со, числа Прандтля и показателя степени в локальной зависимости давления от координаты (при расчете интегральных характеристик наилучшие результаты дает нулевое значение этого показателя). Численные значения А к а получены по данным работы [4].
Проведем замену переменных г и хг:
хх=&\ г = 1 — V*. (3)
Подобная замена связана с тем, что интегралы от местных аэродинамических коэффициентов являются несобственными по обеим переменным (по переменной г в случае равенства нулю концевой хорды). Замена (3) позволяет избавиться от особенностей и провести численное интегрирование. Вместо I и т введем новые функции формы крыла в плане
1
I = /г4; т = I — р*; £ = 4 А* 1>з Лу. (4)
0 ,
Здесь g — безразмерная площадь крыла в плане. Для треугольного в плане крыла Л = р = V; g = 0,5.
Пусть а — угол атаки средней линии профиля в сечении по потоку, а ат — угол между касательной к профилю и касательной к средней линии профиля (порядок ат равен порядку относительной толщины профиля). Угол между направлением набегающего потока и касательной к нижней стороне профиля равен ат-\-а, к верхней ат—а. Введем вместо а и ат новые переменные, учитывающие характерные масштабы возмущенной зоны течения в соответствующем сечении
. “Л атЛ
^ = ТГ ’ т = ~ЗГ •
Для расчета аэродинамических сил и моментов используем ранее разработанную методику [1, 3]. В настоящей работе все преобразования значительно более громоздкие и трудоемкие ввиду того, что добавляется параметр ат (или ^). Однако в целом они аналогичны преобразованиям работы [1 ]. Поэтому ниже приводятся окончательные выражения для коэффициента сопротивления сх, коэффициента подъемной силы су и коэффициента момента тангажа ст. Указанные коэффициенты отнесены к скоростному напору набегающего потока, площади крыла в плане, а ст, кроме того, к длине центральной хорды Ь. Коэффициент ст вычисляется относительно оси Ог, проходящей через начало центральной хорды. При интегрировании использованы замены (3)—(5):
_ 8 (х+1)53 _ 8 (х + 1) 52 8 (х + 1)
сх— р ‘XI су — ц ст— g (6)
1 1
/*= [ | {(2а + 1)^ + 2^Т(3ф2 + Т2) + [а + р^ + т)2] у1+р^ + т)И +
о" о *• (7)
+ [а + Р (ф - т)2] УI + Р (ф — 7)П А1/3 йу <Н\
[ | Р [4ф-^ + (ф + т) У1 + *2(Ф + ч)2 + (ф —г)>А1 + *2(ф—г)2] Л2 г»3 Л» <И\
1 1
= I I *а ИФтЖФ+т) К1+^(Ф + 7)2+(ф-7) /1 + <* (Ф~т)2] X
о о
1 1
/...
и и
' X [№ Л4 + 1 — р4] к2 V3 ^
В формулах (7) а—постоянная; к и р зависят от формы крыла в плане и являются заданными функциями V, у характеризует распределение толщины крыла (у пропорционально углу ат) и является заданной функцией переменных V и ф характеризует форму срединной поверхности крыла (ф пропорционально а). Если эта форма задана, то ф— заданная функция V и t. При решении вариационных задач ф = ф(и, является искомой функцией.
Как и в работе [1], можно поставить ряд вариационных задач: по определению минимума функционала 1Х, либо минимума отношения функционалов 1х!1у (т. е. максимума аэродинамического качества) при заданном значении функционала /^, либо при заданных значениях /у и 1т (изопериметрическая задача), либо при заданном отношении функционалов /т//у (т. е. при заданном положении центра 'давления — точки пересечения х = хр равнодействующей аэродинамических сил с центральной хордой). Решение вариационных задач сводится к решению уравнения Эйлера—Остроградского и численному подбору неопределенных множителей Лагранжа лу, ~кт. Алгоритм подбора зависит от того, какая вариационная задача решается. Отметим, что решение уравнения Эйлера—Остроградского при фиксированных значениях множителей Лагранжа позволяет найти форму поверхности, для которой минимально значение функционала 1Х при заданных значениях /у, /т, а именно тех, которые и определятся решением уравнения при данных 1у и \т.
Уравнение Эйлера—Остроградского имеет вид
, , [« + 2 + 3<а(ф + 7)*]<*(ф + тг) , [« + 2 + З/2 (ф — -у)2] Р (ф — 7)
ли3 {12 г6 тФ + -------, .... • ■■------Ч-------г 1 :.....•----------
1 |Т ^ у 1 + а (ф + 7)2 ^ /1 +^2 (ф_
Л2 из р
а 1 +2^ + Т)2 1+2^(ф--г)2
1 /1+<а(ф + 7)а /1+<*(ф_7)2
[Ку+-кт(^^ +1-/>*)] =0. (8)
Подынтегральные функции (7) не зависят от производных, поэтому уравнение (8) представляет собой алгебраическое уравнение относительно ф, решаемое методом последовательных приближений. В качестве начального приближения для ф выбирается значение корня при предыдущем значении При Ь = 0 корень определяется точно
*[*, + *«(1 -Р4)1
^ а + 2 '
Второе необходимое условие минимума, условие Лежандра, имеет вид . , [Д + 2 + 9*г(Ф + 7)2 + 6*4(Ф + Т)41 [а + 2 + 9^(Ф—т)2 + 6^*(ф-?)4]
" \ Т [ 1 + <* (ф + т)2]3/2 [ 1 + <* (ф - I)2]3'2
... Г [3 + 2^(ф + 7)2](ф + 7) , [3 + 2гЧф-Ч)2](ф--0 * I [1+^(Ф + т)213/2 [1 + *2 (Ф - т)2]3/2
Х[Х,+Хя(<*А«+1-/И)]>0. (9)
После получения решения (8) условие (9) проверялось численно. На всех полученных в данной работе решениях условие (9) выполнялось.
Подстановка решения уравнения (8) ф(<, V, Ху, Хт) в соотношения (7) дает зависимости
1х ~ 1x0^у> ^т)> /у = /у (*у. ^/п)> 0-у> ^т)'
Подбор \т можно провести методами, изложенными в работе [1]. Решения вариационных задач в настоящей работе получены численно на ЭЦВМ.
В настоящей работе в качестве примера рассмотрено треугольное в плане крыло {к=р = у, ^ = 0,5). Параметры набегающего потока были выбраны соот-
ветствующими натурным условиям (высокая температура торможения, малое значение температурного фактора): х=1,4; <о = 0,67; іт = 0,05. При этом параметр а = 1,735.
Были рассмотрены различные распределения толщин (углов ат), ат — -^5Іи
1 = 20У (2 — г>4) (1 — (*), у = 40и (1 — 2і4).
(10)
(П)
Формула (10) определяет (при <]> г 0) поверхность, сечения которой плоскостями, параллельными хОу и уОг, представляют собой квадратные параболы, причем для сечений по потоку максимум толщины достигается на задней кромке (тупая задняя кромка). Формула (11) описывает (при ф = 0) коническую поверхность (для каждой половины крыла) с вершиной на конце крыла, а сечения по потоку представляют собой квадратные параболы, при этом толщина
0,2(11) Л .... N 0,1 0 .\JA-V-
0,ь
Фиг. 1
максимальна в середине сечения (острая задняя кромка), а относительная толщина профилей по потоку постоянна. Параметр 0 характеризует относительную толщину крыла, 05 — отношение половины максимальной толщины к центральной хорде.
В работе получено решение вариационной задачи определения минимума /,//у (т- е- максимума аэродинамического качества К, БК. = 1у/1х) ПРИ заданном положении центра давления хр = 1т11у. В условиях сбалансированного полета центр давления должен совпадать с центром тяжести (точнее, линия действия
равнодействующей аэродинамических сил должна проходить через центр тяжести), поэтому задание значения хр представляется вполне естественным. Были выбраны значения лу=0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1. Решалась также ^задача о минимуме
0.6
/
*7д=) 0,2 ( / \ \\ 11) 0,2 0,1 0
\
0,6 о.в
Фиг. 4
Фиг. 6
1х\1у без наложения ограничений на отношение /т//у, дающая значение абсолютно максимального качества. В целях сравнения были также получены аэродинамические характеристики соответствующих недеформированных крыльев. Для случая тупой задней кромки (10) параметр 0 выбирался равным 0,1; 0,2; 1; в случае острой задней кромки (11) расчеты были проведены лишь для значения 0 = 0,2.
На фиг. 1—6 приведены некоторые результаты расчетов оптимальных форм крыльев и соответствующих им аэродинамических характеристик. На фиг. 1—4 даны зависимости 1Х, 1у, 5>К, •*/ (■*/ = сНт1<Иу — положение фокуса, производная бралась при неизменной форме тела) от хр для различных 0: 0 = 0; 0,1; 0,2; 1 в случае тупой задней кромки (формула 10) и 0 = 0,2 в случае острой задней
7—Ученые записки ЦАГИ Уз 6
97
кромки (формула 11, на фиг. 1—4 пунктирная кривая). Штрих-пунктирная прямая на фиг. 4 отделяет области статической устойчивости (х^ — хр>0) и неустойчивости. Отметим, что при одинаковой относительной толщине крыла влияние этой толщины на аэродинамические характеристики оптимальных крыльев больше в случае острой задней кромки. Зависимость 5/С (хр) позволяет определить величину потери аэродинамического качества на балансировку для крыльев, имеющих конечный объем.
На фиг. 5 и 6 приведены профили оптимальных крыльев (по потоку) для значений хр = 0,5 и 0,9 для г = 0 (центральное сечение) и г = 0,4. Пунктиром на графиках показана форма сечений несущей поверхности (0 = 0). При одинаковой относительной толщине крыла отличие формы срединной поверхности крыльев от формы несущей поверхности больше в случае крыльев с острой задней кромкой (отклонения существенны уже при 0 = 0,2, особенно по углам).
ЛИТЕРАТУРА
1. Николаев В. С. Оптимальная форма треугольного крыла при заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 6, 1972.
2. Николаев В. С. Профиль максимального качества в вязком
гиперзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 6. '
3 НиколаевВ. С. Оптимальная форма профиля при заданной
балансировке в вязком гиперзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6. 1970.
4, Галкин В. С., Жбакова А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.
Рукопись поступила 5/Х 1973 г.
