CC BY
16
dv
du2
d2H(u,v) , L d2H(u,v) + bl -—-+ t>2 -—-=0,
du2
dv2
d2f(u,v,h) | A d2f(u,v,h) 2 dv2 12 ЭиЭу
о
Здесь / (и, v, А) = lim / (и, v, А, e), *->o
ок + 1
OD
а„ = Х+е~*Я.[(1-а)к-1] + 0x2 Х Ь2 Ь1 '
°21 -I 1 аП ° -I
-^ = а„+ке = в»,
Ь
2Ьг = аР, Ьп=(аЬ/Ь)е-', где к=Х-1 /6, а # является корнем уравнения (6). (12) Можно показать, что является двумерным нормальным распределением и удшиктеоряет уравнению
где все коэффициенты имеют вид (12).
Обозначим Ф(А)= ^/(и,у,И)Н{и,л>)с1исЬ и —00-00
найдем функцию Ф(Ь), для чего домножим уравнение (11) на Н(и,у) и проинтегрируем почленно это соотношение по -оо<и, у<+ оо. После интегрирования по частям соответствующих слагаемых с учетом (13) получим
Ф'(А) = -(1 / ¿)е~'Ф(А). (14)
В результате решения (14) в силу начального условия Ф(0)»1 получаем равенство
Ф(А) = ехр
{-Н
— {(anи + al2v)Я(м,v)}+ öк
+ Т" {(«2.« + *22 V)#(«. *)} + ¿12
dv
d2H(u,v) dudv
откуда с учетом (7) следует соотношение (9). Теорема 1 доказана.
Заключение
В настоящей работе найдено .асимптотическое при Я-«х> распределение времени доставки сообщения в сети связи с протоколом случайного множественного доступа «синхронная адаптивная Алоха». Методом, изложенным в работе, может быть найдено распределение времени доставки и для других протоколов этого класса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом Алоха для конечного числа станций // Ав-
томатика и телемеханика. 1996. № 9. С. 91-100.
2. Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.
3. Фалин Г.И. О неустойчивости сети Алоха // Проблемы передачи информации. 1990. № 1. С. 79-82.
4. Одышев Ю.Д. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом «синхронная Алоха» для конечного числа станций // Ма-
тематическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998. С. 242-247.
5. Горнее AM, Назаров АЛ, Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск Изо-во Том. ун-та, 1978. ö.ÄraeÄLNrtvwrkaWroibybaycsianb^^ Cambnge,MA:Mrr,LaboratMyfcr Computer scicnce, 1985.
7. Михайлов B.A. Геометрический анализ устойчивости цепей Маркова в R"+ и его приложение к вычислению пропускной способно-
сти адаптивного алгоритма случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1988. № 1. С. 61-73.
8. Цетяин M.JI. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969.
9. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-воТом. ун-та, 1991.
10. Одышев ЮД. Исследование сети связи с протоколом «синхронная адаптивная Алоха» для конечного числа станций // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 115-119.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 20 марта 2000 г.
УДК 519.872
Я С. Шмырин
ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА СОБЫТИЙ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ
Рассматривается задача об оценке параметров потока событий с переключениями. Предлагается рекуррентный алгоритм расчета оценок параметров потока событий. Реализуется имитационная модель потока, приводятся результаты •численных расчетов.
Случайные потоки событий являются широко применяемой моделью для описания процессов в реальных физических, экономических, технических и других системах. Характеристики потоков событий, описывающих эти процессы, как правило, имеют случайную природу. Одной из распространенных моделей таких процессов являются МС-погоки событий - потоки, интенсивность которых является кусочно-постоянным марковским процессом с конечным числом состояний (такие потоки иначе называют потоками с переключениями [1]). Режимы функционирования реальных физических и технических систем обычно зависят от текущей интенсивности потоков событий, циркулирующих в системе; с другой стороны, параметры потоков, как правило, являются ненаблюдаемыми величинами. Вследствие этого важной является задача оценки параметров потока событий в произвольный момент времени по наблюдениям за этим потоком.
Постановка задачи
Рассматривается дважды стохастический пуассонов-ский поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс Я(0 с двумя состояниями: Я, и Хг, Я, >Я2.На участках стационарности (когда /1(0 = Я, либо Я(0 = Я2 ) имеет место пуас-соновский поток событий с интенсивностью Я, и Aj соответственно. Длительности пребывания процесса Я(0 в состоянии Я, распределены по экспоненциальному закону Ft (0 = 1- ехр(-а/0, / = 12, где а, - интенсивность смены первого состояния процесса Я(0 на второе, аг - интенсивность смены второго состояния на первое. Процесс Я(t) ненаблюдаем, параметры Я,, Aj, а,, а2 неизвестны. Результатом наблюдения за потоком событий являются моменты времени наступления
событий, / = 1Д____По этим наблюдениям необходимо
в любой момент времени t сделать оценку è{t) вектора 6 = (Х\,Лг,а1,аг) параметров процесса Я(/).
В [2] рассматривалась задача оценки аналогичного потока событий при условии, что моменты наступления событий потока измеряются с ошибками, т.е. t, = + г,, где t, - наблюдаемые моменты наступления событий, - истинные моменты наступления событий, т, -ошибки измерения. ПреДпйл&ЯлсОД «¿го'ойшбки измерений независимы и нормально распределены с нулевым средним и дисперсией а2. В [2] предложен оптимальный алгоритм оценивания параметров Я,, Я,, а,, а2 с использованием апостериорной плотности распределения вектора параметров 0 = (Х|Д2,а|,а2). В связи со сложностью расчетных формул алгоршм [2] сложно реализуем даже на современных ЭВМ В данной работе будем рассматривал» случай, когда ошибки в измерениях моментов наступления событий отсутствуют: tj = t°, i = 12,...,т.е. дисперсия ошибки измерений а2 = 0. Кроме того, предположим наличие дополнительной информации о параметрах процесса Я(0, а именно - ограничение на интенсивности переходе» процесса А(0 ю состояния в состояние: а, = а2 = а, а -неизвестный параметр. Данные предположения делаются с целью показать, что огпимальный алгоритм оценки параметров является работоспособным.
Алгоритм расчета оценок вектора параметров
В [2] в качестве оптимальной оценки m(t) вектора параметров в = (Я,, Я2, а,, аг ) МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий использовалось апостериорное среднее вектора 6 как оценка, обеспечивающая минимум среднеквадра-тического отклонения ошибки оценивания: m(t) =
= |9р(91 t)dd, где р(в\ 0 - апостериорная плотность
©
распределения вектора в в момент времени t, & - область значений вектора 0(Я, >0,аг, >0, аг >0). Для p(6\t) в [2] выведены формула расчета p(ff\t) в интервалах времени между моментами наблюдения t
p(ö|0 =
6)dx
р(9\11+ 0)
- Ur,0)</r
О)
p(e\ii+0)dd
/ = 0,1,2,...,/„=0, и формула пересчета p{&\ t) в момент наблюдения события
а(/,+1-о,еж9|/,+1-о)
p(Q\tM+0) =
I
a{t
i+i
-0)Л (2)
/ = 0,1,2,...
В (1), (2): - моменты наблюдения событий,
о(/, в) = (Л, (0 - Л2(0МЯ, 10 + Л2(0, (3) и(Я, 10 - апостериорная вероятность, что в момент I процесс Я(0 принял значение А., и, согласно [3], на участках между наблюдавшимися событиями удовлетворяет интегродифференциальному уравнению
dt
■ = а2 -ан<Х, |0 + (^i — Х.2)w(X., |/)х
00
х (1 — | 11 - аг)) ехр^- - ааг^ х х[{я, -(л, -ЦХ., |/-аг))ехр(-ааг)}х
</<*,+1,/ = 0,1,2.....
а в момент времени наблюдения события для ЦЯ, 10 имеет место формула
^1^+0) =
(4«м) - - 0) + Л('ж)'
/ = 0,1,2,...,
при этом в (4), (5)
00
Л,(0 = -7== +1Г2 ехр(-астг))х .
хм^Х, |г-аг)+Х2(я, -тс, ехр(-астг))х *|/-ог))ехр^—у^я, -(я, -
-и^Х., |/-<к))ехр(-ааг) J + + Х2я2)+
+ —TtjCXj -х2>ех]
Л2(0 = -==■ II Х,(л2 -n2 ехр(-астг))х
oo
irjt
xw(X,, |/-стг) + Х2(я2 exp(-aaz))x
( ^ x (1 - 11 - cz)) exp -
|/-az))exp(-aaz)J + + Х2я2)-
1 n , л [ (аа)2
а = а,+а2, щ = — , кг =
а
С = -ехр
Рассмотрим случай отсутствия ошибок измерений ((т = 0)сограничением а, = ог2 = а. Дня безошибочных наблюдений оптимальный алгориш расчета вероятности к(Л,Ю в (3) рассмотрен в [4]. Для а, = а2 = а :
м<Хг 10 = (и'2 - н<Х, | + 0)) - и-2 (и>, --и**., |/( +0))ехр{-(Х, -Х2)(и-2 -*,)}]*
х[и'2-и<Х| +0)-(м'1 I', +0))х
хехр{-(Х, -Я.2Хи-2 )}]"',
» - 0,1,2,...
(6)
w, =
2а + Д,-Я2->/(Я,-Я2)2+4 а1 Щ-Л,)
Щ — '
2а + Д1-Аг + >/(Л1-Я2)2 + 4а2
М-Ъ)
>КХ,|/0+0) = 0,5. Кроме этого, для /1,(0, А(0 > входящих в (3), при а = 0 и а, = а2 = а имеем Л, (0 = А,, Л^) = , так что
а№ = (Л[-Л2МЩ + Л2. (8)
При (6), (8) в выражении (1) для р(!\&)
Г
,f,,e) = exp|- Ja(x,6)A
= [(w211, +0))exp{-((X, -X2)w, +X2)x "(t-t,)}-^ 11, +0))exp{-((b, -X2)w2 +
+)('-',)}] ta-"-i]"'. так что (1) принимает вид
р(6ю-
/«¿„Qpjftt, +0)
в
Из-за сложности вычисления плотности р{в|0 - рекуррентность в расчете КЛЮ > сложные интегралы в (1) - в [2] предложен рекуррентный метод расчета вектора оценок т(0 и матрицы ковариаций оценок параметров с( 0 > основанный на приближенных формулах. Для безошибочных наблюдений и условия а, =а2 =а рекуррентный алгоритм расчета т(0, с(0 принимает вид:
1) в момент начала наблюдений /0 = 0 для вектора оценок /и( 0 и матрицы ковариаций оценок ф)в [2] задаются начальные (априорные) значения т(0), с(0):
ш(0) =
-J - > 1 "5/4 1/4 0"
,c(0) = 1/4 1/4 0
.2 2 0 0 1
(10)
2) полагая ¡ = 0, для любого момента времени /, £ г < (¡¡+1 - момент наступления (г +) )-го события), рассчитываем тк (/), су/(0,(*,./,/ = 1,3 ):
m
JM
* (0 = [л (',0)) Дх
g2/t(M„m(f,+0))
00,00,
х[/(М„/я(Г(+0))-Дх
S2/(f,f„m(f, +0))
cj;(/(+0) ]"',* = 1,3; (11)
СЛ 3
•I
/j,Î=1
00,00,
(0 = [f;/(/,/,, m(//+0))+Ix
,e,+o)]>
dîFJI(t,tnm(tl+ 0))
(9)
06,00, ([/(/,/(,m(r(+0)) + ix
И,5=1
здесь f{t,tt,9) определена в (9):
FJl(t,tl,Q) = (QJ-mJ(t,+Q))x
x(0, +0))/(/,/i,6)J,/ = Û; (12) вероятность +0) для (9) определена в (6), (7);
3) в момент наступления первого события определяются величины тк (fI+1 - 0), с;/(//+,-0) по формулам (И), (12);
4) пересчитыванлся оценки тк {tM + 0), с,, (f + 0) :
Щ <JM + 0) = [at (tM - 0, m(tM - 0))+\ x
■I
JM
d2ak(tM -0,m(ti+l -0))
50^50,
■0)]>
*[*('/+. -0,w(//+1 -0))+|x
3
lS
d2a(tM-0,m((l+l -0»
/(',>. -0) J',
"I
/1,5=1
50;50, *=ll,
(0 = |л (',♦■ - 0, m(tM - 0)) +1X
3 ^
—аё^ё:—
(13)
/1,5=1
d2a(t,+] -0,m(tHI -0))
59,50,
,(',♦.-o) J',
j, / = 1,3;
здесь а(/,б) определена в (8),
в* (',♦, " 0,0) = 0, а(г(+1 - 0,0),А = 1,3, -М',+.-О,0) = (е,-/яу(/,+1-О))х
х(0,-т,«м -0))а((1+1 -0,0),У,/ = О, (14) расчет вероятности ЦА, | /) для (8) определен формулами (6), (7);
5) повторяются пункты 2-4 алгортма для / = 1Д.... Заметим, что в силу рекуррентности расчета ЦА, | /), определенной в (6), (7) и входящей в состав (И) - (14), получить аналитический вид производных не представляется возможным (для реализации алгоритма необходимо численное их нахождение)
Результаты имитационного моделирования
Методом имитационного моделирования на ЭВМ для нескольких значений параметров А,, А,, а,, аг процесса Л(1) был реализован рассматриваемый поток событий. По полученным моментам наступления событий с помощью описанного выше алгортма были
получены оценки А,, Хг, а, = а, = а параметров потока Данные эксперимента представлены в табл. 1.
Таблица!
Оценки параметров для некоторых значений 0 = (Л},Л2,а1,а2)
Т т,(0) А,(Г) т2(0) А,(Г) ш3(0) а(Т) Ж0) А(Т)
А, = 2, Aj = 1, а, = а2 =0,8 70,06 1,5 1,901 0,5 0,93277 1,0 0,83229 1,2 0,19852
А, =5, А2 =3, а, = а2 =0,8 21,62 1,5 4,81752 0,5 2,54420 1,0 1,46254 6,2 1,30081
А, =6, Аг =2, а, =а2 =0,5 19,66 1,5 6,27892 0,5 2,19260 1,0 1,52191 6,5 1,49343
А, =10, А2 =1, а, = а2 = 1 31,63 1,5 7,0774 0,5 1,03231 1,0 1,29644 9,0 2,72101
Здесь Т - время наблюдения, т,(0), т2(0), м3(0), согласно (10), - начальные значения для
оценок А,(/), -^(0. «(0 соответственно, А(() -величина, характеризующая качество оценок и рассчитывающаяся как
А(0 = |х,-Х,(/)|+|ха-Ха(/)|+|а-а(г)|,
при этом ДО) характеризует различие параметров потока и априорных (начальных) оценок, А(Т) - качество оценок в момент окончания наблюдения.
Аналга данных таблицы показывает, что оценки параметров тем лучше, чем ближе истинные значения параметров к априорным (10). По мере удаления истинных параметров исследуемого потока событий от априорных значений оценок качество оценок ухудшается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горцев A.M., Нежельская Л.А., Шевченко Т.Н. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв.
вузов. Физика. 1993. № 12. С. 67-85.
2. Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии
ошибок в измерениях моментов наступления событий // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 19-27.
3. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии
ошибок в измерениях моментов наступления событий // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 52-66.
4. Горцев А.М., Нежельская JI.A. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника
средств связи. Серия: Системы связи. 1999. Вып. 7. С. 46-54.
Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 15 апреля 2000 г.
