CC BY
44
А.М. Горцев, О.В. Ниссенбаум
ОЦЕНИВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ И ПАРАМЕТРОВ АСИНХРОННОГО АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО ПОТОКА СОБЫТИЙ С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНЕГО СОБЫТИЯ
Рассматривается задача об оценке параметров асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием лишнего события, являющегося математической моделью информационных потоков заявок (событий), циркулирующих в системах и сетях массового обслуживания, а также математической моделью потоков элементарных частиц (фотонов, электронов и т. д.), поступающих на регистрирующую аппаратуру. Условия наблюдения за потоком таковы, что каждое зарегистрированное событий порождает период мёртвого времени, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. Исследуется случай непродлевающегося мёртвого времени, при этом длительность мёртвого времени — детерминированная величина. Находится плотность вероятностей интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке. Отыскивается, при известных параметрах потока событий, оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени. При неизвестных параметрах потока событий (с использованием метода моментов) находятся явные выражения для оценок этих параметров и выписывается уравнение для определения оценки длительности мёртвого времени.
Системы и сети массового обслуживания (СМО, СеМО) являются широко применяемой математической моделью реальных физических, технических, экономических и других объектов и систем. Случайные потоки событий, являющиеся основными элементами СМО и СеМО, в свою очередь, широко применяются в качестве математической модели реальных процессов. В частности, информационные потоки заявок, циркулирующие в системах и сетях связи, в цифровых сетях интегрального обслуживания, в измерительных системах, потоки элементарных частиц (фотонов, электронов и т.д.), поступающие на регистрирующие приборы в физических экспериментах, достаточно адекватно описываются случайными потоками событий. Задачи по оценке состояний и параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счёта фотонов, например, при лазерном зондировании высотных слоёв атмосферы, в оптических системах обнаружения, распознавания и сопровождения, работающих через атмосферу на предельно больших расстояниях, а также в оптических системах загоризонтной связи.
Условия функционирования реальных объектов и систем таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств можно сказать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков событий обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. С другой стороны, режимы функционирования СМО и СеМО непосредственно зависят от интенсивностей входящих потоков событий. Вследствие этого важной задачей является задача оценки в произвольный момент времени состояния и параметров потока событий по наблюдениям за этим потоком.
Одними из первых работ по оценке состояний дважды стохастических потоков событий, по-видимому, являются работы [1-4], в которых рассматривается асинхронный дважды стохастический поток событий с двумя состояниями (МС-поток событий или поток с переключениями). Дальнейшие исследования по оценке состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в различных условиях, проведены в работах [5-9].
В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие может повлечь за собой не-
наблюдаемость последующих событий. Одним из искажающих факторов при оценке параметров потока событий выступает мёртвое время регистрирующих приборов [10, 11], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мёртвого времени, недоступны наблюдению (теряются). По этой причине счётчик событий показывает, как правило, не истинную картину, а несколько искажённый ход явлений. В конкретных устройствах регистрации величина и характер мёртвого времени зависят от многих факторов. В первом приближении можно считать, что этот период продолжается некоторое определённое (фиксированное) время Т. Все устройства регистрации можно разделить на две группы. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мёртвым временем, которое не зависит от наступления других событий в пределах его действия. Ко второй группе относятся устройства регистрации с продлевающимся мёртвым временем. В последнем случае мёртвое время возникает после любого события, поступившего на вход устройства, вне зависимости от факта его регистрации, что приводит к увеличению общего периода ненаблюдаемости и, следовательно, к ещё большей потере информации.
Задачи по оценке параметров потока событий и оценке длительности мёртвого времени рассматривались в работах [12-19; 20. С. 18-23, С. 24-29; 21-23]. При этом в [12, 13, 15] получены результаты для пуассоновского потока событий, в [14, 22] - для синхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий, в [20. С. 18-23] - для синхронного дважды стохастического потока событий, в [20. С. 18-23; 21] -для полусинхронного дважды стохастического потока событий, в [16, 17] - для асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий, в [18, 19, 23] - для асинхронного дважды стохастического потока событий. В [13, 14, 18, 20. С. 18-23, С. 24-29] исследования проведены в условиях отсутствия мёртвого времени; в [12, 16, 19, 21, 22] исследования проведены для непродлевающегося мёртвого времени, в [15, 17, 23] - для продлевающегося мёртвого времени.
Настоящая статья посвящена оценке длительности мёртвого времени и параметров асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока с инициированием лишнего события (далее - поток с инициированием лишнего события) для случая непродлевающегося мёртвого времени. Подчеркнём, что рассматриваемый поток событий достаточно адекватен при описании цифровых сетей интегрального обслуживания и относится к классу МАР-потоков [25, 26].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается поток с инициированием лишнего события, интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс Х(/) с двумя состояниями: Ху) = X, Х(0 = 0. Будем говорить, что имеет место пер-
вое состояние процесса (потока), если Х(0 = X, и, наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока), если Х(/)= 0. Если имеет место первое состояние процесса Х(0, то в течение временного интервала, когда Х(/) = X, имеет
137
место пуассоновский поток событий с интенсивностью X. Длительность пребывания процесса Х(/), в первом состоянии есть случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону Г^) = 1 - е ““1(, где а1 - интенсивность перехода из первого состояния процесса Х(0 во второе. Если имеет место второе состояние процесса Х(/), то генерация событий в этом состоянии не производится. Длительность пребывания процесса Х(/) во втором состоянии есть также экспоненциально распределённая случайная величина с функцией распределения Е2(г) = 1 - е,
где а 2 - интенсивность перехода из второго состояния процесса Х(/) в первое. Возможная интерпретация этого следующая: момент перехода процесса Х(0 из первого состояния во второе «отключает» источник событий от их генерации (другими словами, источник событий в этот момент времени «ломается», выходит из строя, и необходимо некоторое случайное время на его восстановление либо на замену). При этом переход из второго состояния в первое инициирует наступление лишнего события (т.е.
источник событий восстановился и в момент восстановления сгенерировал лишнее событие потока). Так как переходы из состояния в состояние не связаны с наступлением событий исходного потока, то поток называется асинхронным. В сделанных предпосылках нетрудно показать, что Х(/) = X, Х(/) - марковский процесс.
После каждого зарегистрированного в момент времени ^ события наступает время фиксированной длительности Т (мёртвое время), в течение которого другие события исходного потока с инициированием лишнего события недоступны наблюдению. Будем считать, что события, наступившие в течение мёртвого времени, не вызывают продление его периода. По окончании мёртвого времени первое наступившее событие снова создаёт период мёртвого времени длительности Т и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рисунке, где 1 и 2 - состояния случайного процесса X(t); штриховкой обозначены периоды мёртвого времени длительности Т; и, /2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.
Процесс X(t)
-6-
Поток событий с инициированием лишнего события
----Ь'//М'////А
-О—О
-<//////////А О'//.'’•'////А
Схема создания непродлевающегося мёртвого времени
-О-
Н
-6-
І4
Наблюдаемый поток событий
Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (^, О, где ^ - начало наблюдений, t - окончание, пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить ^ = 0. Так как процесс X(t) является ненаблюдаемым, а на-
блюдаемыми являются только временные моменты и, ^,... наступления событий в наблюдаемом потоке, то необходимо по этим наблюдениям оценить (в момент t окончания наблюдений) параметры X, а1, а2 случайного процесса X(t) и длительность мёртвого времени Т .
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИНТЕРВАЛА МЕЖДУ СОСЕДНИМИ СОБЫТИЯМИ В АСИНХРОННОМ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНЕГО СОБЫТИЯ
Исследуем сначала случай отсутствия мёртвого времени, т.е. Т = 0 . Рассмотрим временной отрезок (^, 0 и обозначим п^0, 0 - вероятность того, что процесс X(t) в момент времени t находится в ]-м состоянии, ] = 1, 2 (п^0, 0 + п2(^, 0 = 1). Тогда для введённых вероятностей справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
П1 (0 ,t) = -а1п1 (0 ,t) + а2П2 (0 ,t),
П2 (t0,t) = а1п1 (t0,t)- а2П2 (0,t), решая которую вместе с начальными условиями п1 (0, t = t0) = п, п2 (0, t = t0) = 1 - п, (0 < п < 1), находим
+ 1 п —
Устремляя здесь t к бесконечности (t ^ да) либо t0 к минус бесконечности (^ ^ - да), получаем финальные априорные вероятности состояний процесса X(t) в виде
а 2 а,
(1)
Заметим, что апостериорные вероятности П1 и П2 состояний процесса X(t) в момент наступления события (в силу определения потока с инициированием лишнего события), очевидно, есть П1 = 1 , 7Г2 = 0 .
Покажем, что рассматриваемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать начиная с момента ti (момента наступления события). Подчеркнём, что поток с инициированием лишнего события, по определению, обладает свойствами стационарности и ординарности, поэтому он является потоком с ограниченным последействием (потоком Паль-
1
а
а
а
а
а
а
2
2
І
І
І
І
П1 =
2 =
а1 + а2
а1 + а2
-1а1 +а 2 Iі - І0
е
а1 + а2
ос
а
2
-і п-
а1 + а 2
ма) [26]. Итак, пусть момент времени ti — момент наступления события в рассматриваемом потоке. Тогда процесс X(t), по определению, находится в первом состоянии. Покажем, что дальнейшая эволюция потока с инициированием лишнего события полностью определяется состоянием процесса X(t) в момент времени ^ и не зависит от предыстории. Зарегистрированное в момент времени ti событие может быть либо событием, наступившим внутри временного интервала, когда имеет место первое состояние процесса X(t) (событие 1-го типа), либо лишним событием, сынициированным в первом состоянии в момент перехода процесса X(t) из второго состояния в первое (событие 2-го типа). Пусть наступившее событие есть событие 1-го типа. Тогда эволюция потока после момента ti определяется:
1) числом событий, которые наступят после момента А; но это число не зависит от того, как наступали события до момента ti, так как в первом состоянии поток событий - пуассоновский с параметром X;
2) временем пребывания потока в первом состоянии после наступления события в момент времени ^; но длительность пребывания потока в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону и не зависит от того, сколько времени находился поток (процесс X(t)) в первом состоянии до момента ^; переход же из первого состояния во второе определяет начало временного участка второго состояния потока (процесса X(t)), т.е. начало временного участка второго состояния также не зависит от предыстории. Пусть наступившее событие есть событие 2-го типа. Тогда момент наступления события 2-го типа определяет начало временного участка первого состояния потока (процесса X(t)), в те-ение которого имеет место пуассоновский поток событий с параметром X; но длительность пребывания потока (процесса X(t)) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону, обладающему свойством отсутствия последействия, поэтому эволюция потока после момента ^ в этом случае не зависит от предыстории.
Таким образом, поток с инициированием лишнего события обладает марковским свойством в моменты ti наступления событий. Тогда моменты наступления событий 4 ti+1, ... не зависят от моментов t—1, ^_2, ... . Отсюда следует, в силу произвольности i, что временные интервалы тi = ^+1 - ti будут взаимно независимыми для любых i. Кроме того, в силу исходных предпосылок (стационарность функционирования потока событий и стационарность процесса X(t)) следует, что плотность вероятностей интервала между соседними событиями потока р(т,) = р(т) для любых i. Всё это означает, что асинхронный альтернирующий поток с инициированием лишнего события, с другой стороны, является рекуррентным потоком.
Перейдём к нахождению плотности вероятностей р(т). Отметим, что моменты времени ^ ..., в которые
рассматриваемый поток обладает марковским свойством, образуют однородную цепь Маркова (вложенную цепь) [27]. Рассмотрим событие потока, наступившее в произвольный момент времени ti. Так как исследуется стационарный режим функционирования потока, то, не нарушая общности, припишем моменту наступления этого события момент т = 0. Наступившее событие при
этом может быть либо событием 1-го типа, либо событием 2-го типа. Если в момент т = 0 произошло событие потока, то возможны два варианта дальнейшей эволюции потока:
1) процесс X(t) остаётся в первом состоянии и на полуинтервале [т, т + Дт] наступает событие 1-го типа;
2) процесс X(t) на интервале (0, т1) переходит во второе состояние, пребывает в этом состоянии в течение временного интервала (т1, т) и на полуинтервале [т, т + Дт] переходит в первое состояние с одновременным инициированием события 2-го типа в первом состоянии.
Для первого варианта длительность интервала между соседними событиями потока есть экспоненциально распределённая случайная величина с плотностью вероятностей
— + а^ 1т
Р1 (т^^ + а!)е , (2)
для второго варианта — сумма двух экспоненциально распределённых случайных величин (т = т1 + т2, т1 -длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии, (т2 = т - т1 - длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии) с плотностью вероятностей
р2 (т) = а 2 ^ + а1)
-а 2 т “^X + а1 >
- е
7+ -------. (3)
X + а1 — а 2
Первый вариант эволюции потока заканчивается в момент т наступлением события 1-го типа, второй вариант - наступлением события 2-го типа. Тогда
Р(т)= ?1 Р1 (т)+ ?2 Р2 (т), (4)
где 4г - финальная вероятность того, что наступившее событие есть событие /-го типа (/' = 1,2), 41 + д2 = 1.
Так как моменты наступления событий образуют вложенную цепь, то для финальных вероятностей 41, 42 имеют место следующие уравнения:
41 = 41п11 + 42П 21; 42 = 42П 222 + 41П122 ; Ч\ + 42 = 1 , (5) где п/1 - вероятность того, что за время, которое пройдёт от момента т = 0, в который наступило событие /-го типа, поведение потока будет таковым, что следующим событием потока будет событие 1-го типа ( = 1,2); п/22
- вероятность того, что за время, которое пройдёт от момента т = 0, в который наступило событие /-го типа, поведение потока будет таковым, что следующим событием потока будет событие 2-го типа, при этом процесс X(t) перейдёт сначала из первого состояния во второе, а затем из второго состояния в первое с одновременным инициированием лишнего события.
Пусть теперь [0, т) - некоторый временной полуинтервал. Введём в рассмотрение вероятности: п,-1(т) -условная вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место первое состояние процесса X(t) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие потока /-го типа ^= = 1, 2); п,22(т) - условная вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место второе состояние процесса X(t) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие потока i -го типа, i = 1,2 (при этом процесс X(t) перейдёт на интервале (0, т) из первого состояния во второе).
Тогда л^т^Дт + о(Дт) - совместная условная вероятность отсутствия событий потока на интервале (0, т) и наступления события потока 1-го типа на полуинтервале [т, т + Дт], где Дт - достаточно малый интервал времени, при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие /-го типа (/ = 1, 2); л^^а^Дт + о(Дт) -совместная условная вероятность отсутствия событий потока на интервале (0, т) и наступления события потока 2-го типа на полуинтервале [т, т + Дт) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие /-го типа, / = 1, 2 (при этом процесс X(t) на интервале (0, т) сначала перейдёт из первого состояния во второе, а затем при переходе из второго состояния в первое сы-нициируется лишнее событие). Соответствующие условные плотности вероятностей при этом примут вид тсЛ (т)=Xпi1 (т), л/22 (т) = а 2 л/22 (т), / = 1, 2. Так как т -произвольный момент времени, то для нахождения вероятностей л/ь п/22 (/ = 1,2), введённых в (5), необходимо проинтегрировать соответствующие условные плотности вероятностей П/1 (т), П/22 (т), / = 1, 2, по т от нуля до бесконечности:
да да
п/1 = 1 ~,1(т)^т = ^
0 0
да да
П 22 = 1 ~/22 ()т = а2 1 П/22 ()т , (6)
00
П/1 + П/22 = 1 ( = 1, 2).
Для вероятностей лл(т), л/22(т), / = 1,1 справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
ПЛ () = ^ + а1 К (4 22 () = -а2П/22 () + а1п11 (т)
с граничными условиями П/1(0), пг22(0), / = 1,1, решая которую, находим
П/1 (т)= е ^ , П22 (т)= а
- е
— (X + а, )т
X + а, — а 2 (і = 1,2).
(7)
Подставляя выражения (7) в формулы (6), получаем
п= ^——, п.22 = т—1—, п., + п.22 = 1 (і = 1,2). (8)
і1 Х + а/ .22 Х + а/ л і22 v ’ 7 v 7
Подставляя выражения (8) в систему уравнений (5), находим финальные вероятности д. (і = 1,1) в виде
Х
42 =-
а.
41 + 42 =1-
(9)
X + а1 X + а1
Наконец, подставляя выражения (2), (3), (9) в формулу (4), выписываем выражение для плотности вероятностей интервала между соседними событиями потока с инициированием лишнего события:
p(т)=y(X + a1 )е ^ 1 ^ +(1 -у)а2е а2т, т > 0, (10)
где у = (X - а^/^ + а1 - а2), X > 0, а1 > 0, а2 > 0.
Отметим, что величина у в (10) может быть как положительной, так и отрицательной, при этом возможны три случая:
1) X > а2, X +а1 > а2, тогда 0 < у < 1 и плотность вероятностей (10) - убывающая функция переменной т (т > 0) с точкой максимума т0 = 0;
2) X < а2, X +а1 < а2, тогда у > 1, при этом плотность вероятностей (10) — убывающая функция переменной т (т > 0) с точкой максимума т0 = 0, если величина
( а А2
< 1, и плотность вероятностей (10)
а>
— X
X + а
1 /
при т > 0 имеет единственный максимум в точке
а Г а Л2 ■
-1п
т0 = -
1
а 2 — X — а1
а 2 — X
X + а1
> 0,
(11)
если а > 1;
3) X < а2, а2 < X + а1, тогда у < 0, при этом плотность вероятностей (10) — убывающая функция переменной т (т > 0) с точкой максимума т0 = 0, если а > 1, и плотность вероятностей (10) при т > 0 имеет единственный максимум в точке т0 > 0, определённой формулой (11), если а < 1.
Подчеркнём, что если а2 = X, то рассматриваемый поток, как следует из (10), вырождается в пуассонов-ский с параметром X. Наконец, если а2 = X + а1, то плотность вероятностей (10) приобретает вид
p(т) = [X + a1 (X + a1 )т]е ] 1 ^ , т>0. (12)
Если X > а1, то плотность вероятностей (12) — убывающая функция переменной т (т > 0) с точкой максимума т0 = 0; если X < а1, то плотность вероятностей (12) при т > 0 имеет единственный максимум в точке т0=(а1 -X)/a1 ^+а1 )>0.
ПЛОТНОСТЬ вероятностей интервала между соседними событиями
В НАБЛЮДАЕМОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим теперь случай, когда при регистрации событий потока с инициированием лишнего события присутствует мёртвое время длительности Т (см. рисунок). В силу того, что мёртвое время привязано к моментам наступления событий в исходном потоке, марковское свойство остаётся присущим и для моментов наступления событий в наблюдаемом потоке. Припишем, не нарушая общности, моменту ^ наступления события в наблюдаемом потоке момент т = 0. Обозначим через л,(т)условную вероятность того, что в момент времени т процесс X(t) будет находиться в состоянии ] (] = 1,2) при условии, что в момент времени т = 0 событие наступило. Тогда для введённых вероятностей справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
п1 (т) = -а1п1 (т) + а 2п2 (т), п'2 (т) = а1п1 (т) - а2п2 (т), решая которую, находим
(т) = А,+ А2е- а 1 +а2 )' ,
п2(т)»-^1-А1 -А,е“(а1 +а2 ■
В (13) А1, А2 - некоторые константы, которые определяются из граничных условий:
а1
А2 , п2\0/ = А1 А2 ,
(13)
п1 (о) = А1 + А2, п2 (0) = -^А1 — А2
а
(14)
а
2
где П/(0) - условная (финальная) вероятность того, что процесс X(t) в момент времени т = 0 находится в состоянии / ( = 1,2) при условии, что в этот момент времени событие наступило (п1(0) + п2(0) = 1). Так как рассматриваемый поток является асинхронным альтернирующим потоком с инициированием лишнего события, то события наступают (наблюдаются) только в первом состоянии процесса X(t), поэтому п1(0) = 1, п2(0) = 1. Тогда из (14) находим А1 = а2(а1 + а2)-1, А2 = = а1(а1 + а2)-1. Полученные выражения для констант А1, А2 совпадают с формулами (1) для финальных априорных вероятностей состояний процесса X(t). Так что окончательно выражения (13) примут вид
/ ч -1а1 +а2 )т
я1(т)=я1 + п2е ( 1 2; ,
/ ч -(а +а21т
п2 (т) = п2 - п2е ( 1 2; ,
(15)
где п1, п2 определены формулами (1).
Рассмотрим теперь временной интервал длительностью т = Т + /, состоящий из двух смежных интервалов: первый - длительностью Т, второй - длительностью /. Началом первого интервала является момент наступления события в наблюдаемом потоке, началом второго интервала - момент окончания мёртвого времени. Обозначим Р/(0 - вероятность того, что в момент времени t процесс X(t) будет находиться в /-м состоянии (/ = 1, 2) и на интервале (0, 0 событий наблюдаемого потока не произойдёт. Обозначим А - событие, заключающееся в том, что на интервале (0, 0 событий наблюдаемого потока не произойдёт и на полуинтервале [/, t + ДО, где Дt - достаточно малый интервал времени, произойдёт событие наблюдаемого потока. Тогда вероятность события А запишется в виде Р(А) = P1(t)XДt + Р2(0а Дt + + о(Д(). Здесь подчеркнём, что если процесс X(t) в момент времени t находится во втором состоянии, то на полуинтервале [/, t + ДО процесс X(t) с вероятностью а2(Д0 + о(Д0 переходит в первое состояние, при этом инициируется лишнее событие в первом состоянии. С другой стороны, если р(0 - плотность вероятностей длительности интервала между моментом окончания мёртвого времени и следующим событием наблюдаемого потока, то Р(А) = p(t)XДt + о(Д0. Из сравнения этих формул следует, что
р^Р^а^ (/). (16)
Для вероятностей Р/(0, / = 1, 2, имеет место следующая система дифференциальных уравнений:
Р1 (t) = -(X + а1 )р1 (), Р2 (/) = -а 2 Р2 ()+ а1Р1 (/), решая которую, получаем
Р1 ()= Р1 (0)е
р2 (t ) =
Р2 (0^
X + а1 — а 2
X + а 1 — а 2
Р (0)
Р1 (0)е'
(17)
мёртвого времени (в момент т = Т) процесс X(t) будет находиться в/-м состоянии (/ = 1, 2). Таким образом, для определения вероятностей (17) необходимо найти явный вид Р/(0), / = 1,2.
Введём в рассмотрение вероятность д1(Т) - финальную вероятность того, что наступившее событие в наблю-да-емом потоке есть событие /-го типа, / = 1,2 (д1(Т) + +?2(Т) = 1). Подчеркнём, что вероятности д/(Т) отличаются от вероятностей д/, определённых в (9), так как при формировании наблюдаемого потока часть событий исходного потока с инициированием лишнего события теряется из-за присутствия мёртвого времени (см. рисунок). Найдём явный вид вероятностей д/(Т), / = 1,2. Так как моменты наступления событий в наблюдаемом потоке образуют вложенную цепь Маркова, то для финальных вероятностей д/(Т) справедливы следующие уравнения:
?1 (Т)= ?1 (ТК + 42 (У21 ,
42 (Т)= 41 (ТК22 + 42 (Т222 , (18)
41 + 4 2 = 1
где вероятности п/1, п,22, / = 1,2 имеют тот же смысл, что и в (5), но для наблюдаемого потока событий. Таким образом, для определения вероятностей 4,(Т), / = 1,2, из уравнений (18) необходимо найти явный вид вероятностей п/1, п/22, / = 1,2.
Введём в рассмотрение условные вероятности 4/(7) -вероятность того, что процесс X(t) в момент времени т = Т (в момент окончания мёртвого времени) находится в /-м состоянии при условии, что в момент т = 0 имеет место событие /-го типа (/, / = 1,2). Пусть 0 < т < Т. Тогда для введённых вероятностей 4/(т) имеет место следующая система дифференциальных уравнений:
4,1 (т)=-а14,1 (т)+а 2 4/2 (т),
4'п (т) = а14/1(т) - а 2412 (т), / =1,2, с граничными условиями 411(0) = 421(0) = 1, 412(0) = 422(0) = 0, решая которую, находим
411 (т)= 421 (т) = п1 + п 2е
412 (т)= 4 22 (т) = п 2 -п 2 е
е-(а1 +а 2 /с
2" ( ■, (19)
-[а1 +а2 ■т
2е
где Р/(0) - вероятность того, что процесс X(t) в момент времени t = 0 находится в /-м состоянии (/ = 1, 2). С другой стороны, момент времени t = 0 является моментом окончания мёртвого времени длительности Т, поэтому Р/(0) - вероятность того, что в момент окончания
где п1, п2 определены формулами (1). Отметим, что 421(0) = 1, 4гг(0) = 1, так как события (и 1-го, и 2-го типов) наступают только в первом состоянии процесса X(t).
Припишем теперь моменту окончания мёртвого времени, по-прежнему, момент времени t = 0. Тогда на полуинтервале [^ t + Д), где Дt — достаточно малый интервал времени, с вероятностью X(Дt) + о(Д) произойдёт событие 1-го типа либо с вероятностью а2(Д) + о(Д0 произойдёт событие 2-го типа. Обозначим через р/(0 условную вероятность того, что на полуинтервале [0, 0 нет событий наблюдаемого потока и в момент времени t имеет место/-е состояние процесса X(t) при условии, что в момент времени t = 0 имеет место /-е состояние процесса X(t) (/, / = 1,2). Тогда ра^^Д/ + о(Д0 - совместная вероятность наступления события 1-го типа на полуинтервале [/, / + Д/) и перехода процесса X(t) из /-го состояния в первое за время / (/ = 1,2); р,2(0а2 Д/ + о(Д)= р,22(/)а2 Д/ + о(Д/) - совместная вероятность перехода процесса X(t) из /-го состояния во второе за время / с последующим переходом в первое состояние на полуинтервале [/, / + Д/) и инициированием
а
события 2-го типа на этом полуинтервале (/ = 1,2). Соответствующие плотности вероятностей (вывод аналогичен выводу формулы (16)) при этом определятся в виде ~/1 (/) = XР/l (/), 22 (/) = а2р/22 (/) , / = 1,2. Так как / - Про-
извольный момент времени, то вероятности перехода процесса X(t) из состояния / в состояние / (/, / = 1,2) за время от момента окончания мёртвого времени до момента наступления следующего события наблюдаемого потока запишутся в виде
Р11 =1 рй(ї)Л = Х1 Ра()Л >
(20)
Р/22 = | Й22 (/)'Ж = а2 | Р/22 (/)', / = 1, 2.
0 0
Интегрирование в (20) производится по бесконечному интервалу времени, так как момент наступления события в наблюдаемом потоке (после момента времени / = 0) может, в принципе, быть равным бесконечности. Таким образом, чтобы выписать переходные вероятности (20), необходимо найти явный вид вероятностей р/1(/), р/22(/), / = 1,2. Для этих вероятностей справедливы следующие дифференциальные уравнения:
Р'и (/)=-(X+al )Р,1 (/), / = I2,
р222 (/) = -а 2 р222 (/), р122 (/) = -а 2 р122 (/) + а1 р11 (/) с граничными условиями р11(0) = р22(0) = 1, р21(0) = =р122(0) = 0, решая которые, находим
«() —
Р 21 () — 0 >
Р1
X + а1 — а 2
(21)
,()—
е
Подставляя (21) в (20), получаем переходные вероятности в виде
Р11 =•
X
Р21 = 0> Р122 =-
Р222 = 1 • (22)
X
X + а1
а1 +а 2 + X
— (а + а 2 ІТ
X + а1
П/1 + п/22 = l, / = l,2,
где пь п2 определены в (1). Наконец, подставляя п/1,
п,22, / = 1,2, в (18), получаем явный вид финальных вероятностей 41(Т), 42(Т):
42
41 (т)—
(т) —
X
X + а1
— (а + а2 )Т
X + а1
а1 +а 2 + X
1 — е
— I а1 + а 2 1Т
(23)
где п1, п2 определены в (1). Подставляя в (23) Т = 0, получаем выражения (9) для случая отсутствия мёртвого времени.
Вероятностное поведение процесса X(t) в течение мёртвого времени описывается формулами (15). Так как события в наблюдаемом потоке делятся на события 1-го и 2-го типов, то вероятности Р^), / = 1,2, в выражениях (17) запишутся в виде
Р,(0) = 4,(Т)п1(т = Т) + 42(Г)п1(т = Т) = п,(т = Т), Р2(0) = 41(Т)п2(т = Т) + 42(Т)п2(т = Т) = п2(т = Т), (24)
где п,(т = Т), / = 1,2, определены формулами (15) при т = Т.
Подставляя (24) в (17), а затем (17) в (16) производя при этом необходимые преобразования и учитывая, что длительность т интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке есть сумма длительности мёртвого времени Т (Т - детерминированная величина) и длительности интервала между моментом окончания мёртвого времени и наступлением следующего события в наблюдаемом потоке / (т = Т + /), находим плотность вероятностей р(т) в виде 0, если 0 < т < Т,
Р(т) —
/ ч — X + а 1 Тт — Т) у^ + а1 )е 1 1 Л ] +
(25)
/ ч — а21т — Т)
+ (1 — у)а2е 1 1
X > 0, а1 > 0, а2 > 0,
У —
X + а1 — а 2
— + а 2 )Т
X + а, X + а,
В силу марковости процесса X(t) полученные переходные вероятности (19) и (22) позволяют (по известной формуле [26]) выписать выражения для переходных вероятностей п/ в виде п/ = 4й(Т)Ру + 4а(Т)Ру (/, / = 1,2), где 4//(Т) определены формулами (19), в которых т = Т; Р/ определены формулами (22); п,2 = п,22; р/2 = р/22, / = 1,2. Осуществляя подстановку в эту формулу выражений (19) и (22) (для соответствующих /, /), находим явный вид переходных вероятностей гс/-:
где пь п2 определены в (1). Положив в (25) Т = 0, приходим к формуле (10), т.е. к формуле для плотности вероятностей интервала между соседними событиями в асинхронном альтернирующем потоке с инициированием лишнего события.
Подчеркнём, что если а2 = X, то рассматриваемый поток, как следует из (25), вырождается в пуассонов-ский с мёртвым временем [12]. Если а2 = X + а1, то плотность вероятностей (25) приобретает вид 0, если т < Т,
1
Р(т) —
X + 2а 1
{(X + а1 )2 [ + а1 (т — Т)] —
— а2 [і— (X + а1) (т — Т)]
— (X + 2а1 ІТ
Положив здесь Т = 0, приходим к формуле (12).
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНКИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Пусть наблюдаются п + 1 событий наблюдаемого потока в моменты времени /1,..., /п+1. Рассмотрим величины т,. = //+1 - /;., / = 1, п . Так как наблюдаемый поток
событий - рекуррентный, то величины т являются взаимно независимыми и одинаково распределёнными. Будем полагать, что параметры X, а1, а2 случайного
71
2
СО
СО
ос
а
71
2
процесса X(t) известны. Тогда на основании выборки наблюдений ть..., тп необходимо оценить длительность мёртвого времени Т. Оценку осуществим методом максимального правдоподобия [28]. С учётом формулы (25) функция правдоподобия запишется в виде [28]
Ь(Т\
п )=П р(т \т/ ) =
= П
у(т )(x + a1 )е
-1X + а1 ) (т. - Т]
+ (1 -у(Т))а2е-а2(т' -ТУ
т.. >Т.
(26)
ь(г\
г(>)
,т(п) ) =
=П
, . , . — ^X + a1](т(,) - Т У
у(Т )(X + a1 )е 1 1 Л У +
-(1 -У(т ))а 2е
Рассмотрим функцию
-а2(т(/) -Т
-(1 -у(Т ))
р' \т(/) )=у(Т)(x + a1)
(/) - т
^ тах
0<Т <тт!п
-^X + a1 ](т ) -Т] е ( У +
/ = 1, п ,
(28)
где у(7) определена в (25); в обозначениях р(Т|т,), у(7) подчёркивается, что р(7|т,), у(7) являются функциями переменной Т.
Упорядочим наблюдения р(Т|т,), по возрастанию: ттт = т(1) > т(2) < ... < т(п). Тогда оценкой максимального правдоподобия Т длительности мёртвого времени Т будет являться решение следующей оптимизационной задачи [28]:
где у(7) определена в (25). Нетрудно показать, что функция (28) является возрастающей функцией переменной Т для любых /, X > 0, а1 > 0, а2 > 0. Если это так, то функция правдоподобия (26) также является возрастающей функцией переменной Т для любых X > 0, а1 > 0, а2 > 0. Отсюда следует, что решением оптимизационной задачи (27) является Т = тт1п . Таким образом, Т = тт1п есть оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени Т при любых X > 0, а1 > 0, а2 > 0. Аналогичный результат имеет место и для случая а2 = X + а1.
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЁРТВОГО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ МОМЕНТОВ
Вид плотности вероятностей (25) позволяет сделать вывод о том, что возможна оценка (например, методом максимального правдоподобия либо методом моментов) неизвестных параметров распределения X1 = X + а1, а2, у, Т. Это означает, что имеется возможность оценить три неизвестных параметра X, а1, а2 процесса X(t) и оценить неизвестную длительность мёртвого времени Т. Применение метода максимального правдоподобия при оценке параметров X, а1, а2 (оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени Т, как показано выше, есть Т =т т1п для любых
X > 0, а1 > 0, а2 > 0) влечёт за собой очевидные трудности, связанные с видом функции правдоподобия (26). Вследствие этого для оценки неизвестных параметров X, а1, а2, Т используем метод моментов, дающий оценки, обладающие достаточно хорошими свойствами при больших выборках наблюдений [28].
1 п
Рассмотрим статистики Ск =-Хтк, где
п ,=1
т, = /,+1 -
/ = 1,п, к = 1,2,..., т.е. наблюдаются п +1 событий потока. В силу взаимной независимости величин т. и их одинаковой распределённости имеет место М(Ск) = М(тк), где М — оператор математического ожидания. Более того, статистика Ск, к = 1,2,... , сходится почти наверное при п ^ да к М(тк). Тогда для оценки неизвестных параметров X1 = X + а1, а2, у, Т распределения (25) необходимо иметь четыре уравнения
М(тк)= Ск, к = 14, (29)
где
М (тк )= 1т кР(т)т = Тк + Хт-Т,Т
,=1 (- /)! (Xi1
У. +
а
2 У
В результате достаточно трудоёмких преобразований из системы (29) получаем уравнение для определения оценки длительности мёртвого времени:
Т6 - 6С1Т5 + 3(6С12 - С2 )т4 + 4(с3 - 6С13)т3 +
+ 3(с4 + ИС^Сг - 8С1С3)т2 +
+ 6(4С12С3 - 6С1С22 - С,С4 + 2С2С3 )т +
+ 4С32 - 24С1С2С3 + 18С23 - 3С2С4 + 6С12С4 = 0 . (30)
Очевидно, что решение уравнения (30) возможно только численно. В качестве оценки Т естественно выбрать корень уравнения (30) из полуинтервала (0, ттш], где тт1п = т1пт. (/ = 1, п). При этом возможны варианты:
1) если корень, попавший в полуинтервал (0, тт1п], единственный, то тогда этот корень и есть Т ;
2) если ни один из корней не попал в полуинтервал
(0, ттт], то тогда оценка Т = тт1п;
3) если в полуинтервал (0, тт1п], попадает более одного корня, то тогда для того, чтобы сделать оценку Т, необходима некоторая дополнительная информация либо, скажем, в качестве оценки Т выбирать среднеарифметическое этих корней.
Оценки и а2 при этом выражаются в виде
= -2 (- ь+у1 ь 2 - 4с ^, а2 = -2(-ь-V ь 2 - 4с
{ 2 (2 ^ ,^3 х{ Т4 - 4С1Т'3 + 6С2Т2 -
ь = { 2 (2Г3 - 6С1Т2 + 6<С2Т + С3 - 3С,С2 ) }х
- 6С,С2Т + 2С3Т - 2С1С3 + 3С22
Г •
{ 6 ( Т2 - 2С1Т - С2 + 2С12) }х
/=1
/=1
+
/=1
к—.
х { Т4 — 4С1Т’3 + бСТ —
— бС1С1Т + 2С3Т — 2С1С3 + 3С22 )—1 • (31)
При этом должны выполняться следующие неравенства: Ь2 — 4с > 0, Ь < 0, с > 0, так как оценки ?^1 и а2 должны быть положительными. Кроме того, так как
оценки ^1, (і2 , как видно из (31), являются корнями соответствующего квадратного уравнения, то при выборе корней принято, что X + а1 > а2 (в реальных ситуациях величины а1 и а2 обычно сравнимы между собой, а исходный поток событий достаточно интенсивен); если же имеется другая априорная информация о соотношении параметров процесса X(/), то нужно в (31) просто поменять местами
?^1 и а2. Оценка у выражается в виде
У —
а2 — ?^1
(32)
Если найдены (по формулам (30)-(32)) оценки у,
, Х2, Т , то имеется возможность найти оценку а1 с использованием формулы (25) для у:
\к - V - 1 ( - лМ -^а1 + Х2)Т
11X1 — а21у + а 2]а1 + 1а, + сх2 — X} Iа,е +
+ Х2 ^ — Х2 )( -1)= 0. (33)
В уравнении (33) оценки Т, , а2, у определяются выражениями (30) - (32) соответственно. Нако-
нец, оценка параметра X находится в виде
X = X, —сх, . (34)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты показывают возможность оценивания длительности мёртвого времени по результатам текущих наблюдений (в течение некоторого временного интервала) за потоком событий для регистрирующих приборов первого рода (приборов с непродле-вающимся мёртвым временем), а также возможность оценки параметров исходного асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишнего события.
Выражения (31), (32), (34) для оценок параметров распределения (25) получены в явном виде как функции статистик Ск и оценки Т , являющейся корнем полинома (30), что позволяет производить вычисления без привлечения численных методов решения уравнений (29).
Рассматриваемый случай характерен тем, что оценивание производится в условиях отсутствия априорной информации о параметрах потока событий. Однако если имеется дополнительная информация о параметрах потока событий (граничный случай — известны все параметры X, а,, а2), то качество оценки длительности мёртвого времени будет только улучшаться. В частности, для граничного случая оценка Т находится из уравнений (29) для к = 1 (т.е. система (29) вырождается в одно уравнение) либо в качестве оценки длительности мёртвого времени можно взять оценку максимального правдоподобия Т = тт1п, хотя она заведомо будет смещённой оценкой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Статистическое оценивание состояний дважды стохастического пуассоновского процесса // Тез. докл. III Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов». Ч. 1. М. 1988. С. 124-125.
2. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оптимизация параметров адаптера при наблюдениях за МС-потоком // Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. С. 20-32.
3. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Алгоритм оценивания состояний МС-потока // Сетеметрия, анализ и моделирование информационновычислительных сетей. М.: Изд-во АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», 1988. С. 28-38.
4. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Серия: Системы связи. 1989. Вып. 7. С. 46-54.
5. Горцев А.М., Нежельская Л.А., Шевченко Т.И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12. С. 67-85.
6. Горцев А.М., Куснатдинов Р. Т. Оценивание состояний МС-потока событий при его частичной наблюдаемости // Изв. вузов. Физика. 1998. № 4. С. 22-30.
7. Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальный алгоритм оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. 11. № 4. С. 419^29.
8. Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 52-66.
9. Горцев А.М., Бушланов И.В. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2003. № 6. С. 220-224.
10. Курочкин С.С. Многомерные статистические анализаторы. М.: Атомиздат, 1968.
11. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Университетское, 1988.
12. Горцев А.М., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника. 1991. № 12. С. 3-7.
13. Горцев А.М., Климов И.С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1994. № 8. С. 3-9.
14. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценка параметров синхронно-альтернирующего пуассоновского потока событий методом моментов // Радиотехника. 1995. № 7-8. С. 6-10.
15. Горцев А.М., Климов И.С. Оценивание периода ненаблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996. № 2. С. 8-11.
16. Горцев А.М., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10. № 3. С. 273-280.
17. Горцев А.М., Паршина М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий в условиях «мёртвого» времени // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 8-13.
18. Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 19-27.
19. Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. № 3. С. 179-184.
20. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2002. № 1 (I). С. 18-23.
21. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание периода мёртвого времени и параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий // Измерительная техника. 2003. № 6. С. 7-13.
22. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока событий // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2003. № 6. С. 232-239.
23. Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание длительности мёртвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. 69-79.
24. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process // Communications in Statistics Stochastic Models. 1991. Vol. 7. P. 1-46.
25. Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1994. Vol.
10. P. 575-598.
26.ХинчинА.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.
27. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., КоваленкоИ.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.
28. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 15 мая 2004 г.
