Оптимальная остановка для абсолютного максимума однородной диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Предожение 3. Пусть f(x) € QCa,a > 0 н ^ - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним,, единичной дисперсией и ковариационной функцией г (к), удовлетворяющей условию (2). Тогда имеет место утверждение предложения 2.

Мы видим, что в противоположность предложению 2 предложение 3 формулируется не в терминах характеристик "наблюдений" Х(к), а в терминах "скрытой" последовательности ¿¡д.. Поэтому при работе с реальными данными полезной может оказаться следующая лемма. Пусть р(х) — финитная гладкая функция, такая, что

оо — оо

Тогда последовательность Y(k) = р(Х(к)), к = 1,2,..., стационарна в широком смысле, обозначим ее ковариационную функцию через ру{к).

Лемма 2. Если ру{п) Inn —> 0 при п —>• оо; то r(n) Inn —> 0. Доказательство следует уже приведенной в п. 3 схеме (см. (12)-(15)). Работа поддержана РФФИ, проект №14-01-00075.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Embrechts P., Kluppelberg С., Mikosch Т. Modeling extremal events: for insurance and finance. Berlin: Springer, 1997.

2. Cont R. Long range dependence in financial time series // Fractals in engineering / Ed. by E. button, J. Levy-Vehel. L.: Springer, 2005. 159-179.

3. Resnick S.I. Heavy tail modeling and teletrafRc data: special invited paper // Ann. Statist. 1997. 25, N 5. 1805-1869.

4. Mikosch T. Modeling dependence and tails of financial time series // Extreme values in finance, telecommunications, and the environment / Ed. by B. Finkenstadt, H. Rootzen. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2004. 196-297.

5. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associated fluid model // Math. Oper. Res. 1998. 23, N 1. 145-165.

6. Cherny A.S., Douady R., Molchanov S.A. On measuring hedge fund isk, 2008. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract= 1113620 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1113620.

7. Piterbarg V.I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields // AMS Transl. Math. Monogr. Vol. 148. Providence, Rhode Island, 1996.

8. Лидбеттер M. P., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

Поступила в редакцию 09.09.2013

УДК 519.244.5(043)

ОПТИМАЛЬНАЯ ОСТАНОВКА ДЛЯ АБСОЛЮТНОГО МАКСИМУМА

ОДНОРОДНОЙ ДИФФУЗИИ

А. А. Каменов1

В статье исследуется задача об оптимальной остановке для функций, зависящих от абсолютного максимума однородной диффузии. Рассматриваются случаи бесконечного и конечного временных горизонтов. В обоих случаях найдено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимальной области остановки, и доказан принцип максимума для функций, удовлетворяющих условию однократного пересечения.

Ключевые слова: однородные диффузии, оптимальная остановка, процесс максимума, теорема об огибающей.

The article deals with the optimal stopping problem in case when the reward function depends on the absolute maximum of some homogeneous diffusion. We consider cases of infinite

1 Каменов Андрей Александрович — ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akamenovQgmail .com.

and finite time horizon. In both cases the differential equation for the optimal stopping boundary is obtained. Also, we prove that the maximality principle holds for reward functions which satisfy single-crossing condition.

Key words: homogeneous diffusions, optimal stopping, maximum process, envelope theorem.

В настоящей работе рассматривается задача об оптимальной остановке для целевых функций, зависящих от абсолютного максимума однородной диффузии. Аналогичным задачам посвящено большое число публикаций. В [1] исследовалась задача максимизации отношения величины процесса к значению абсолютного максимума в модели геометрического броуновского движения, при этом ответ в поставленной задаче остался неизвестным при определенных значениях параметров. Недостающий случай рассмотрен в [2], кроме того, в этой работе решена задача для обратного отношения. Другое обобщение предложено в [3]: рассмотрены также случаи поиска минимального значения, а также постановка абсолютного минимума процесса. Решены задачи о минимизации квадрата [4, 5] и произвольной степени [6] от разности текущих значения и максимума в случае броуновского движения. Отметим, что во всех упомянутых работах основным этапом решения было сведение задачи к случаю одномерного марковского процесса и функционала в форме Майера или Лагранжа. Альтернативный подход предложен в [7] для задачи об оптимальной остановке в случае произвольного функционала в LS-форме на бесконечном временном горизонте и произвольной однородной диффузии. В такой постановке получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимальной области остановки, и показано, что имеет место "ПрИНцИП максимума": из всех решений уравнения необходимо выбрать максимальное, не пересекающее диагональ, т.е. множество точек, где значение процесса совпадает с его текущим максимумом. В настоящей работе применен аналогичный подход, который затем был расширен на случай конечного горизонта, что позволило обобщить результаты работ [1-6].

Мы рассматриваем случай произвольной однородной диффузии

dXt = b(Xt)dt + a{Xt)dBt , (1)

где Bt — стандартное броуновское движение, согласованное с фильтрацией (J-t)t^o, а функции b и а липшицевы:

\b(x) - b(y)\ + \а(х) - а(у)\ ^ С \х - у\

для некоторой постоянной С, что обеспечивает существование и Р-п.н. единственность сильного решения (1). Также будем предполагать регулярность диффузии Xt — это не ограничивает общности в силу того, что любая диффузия представляется в виде композиции регулярных. Как известно, характеристический оператор для диффузии (1) имеет вид

Обозначим через J множество значений, которые может принимать процесс (Xt,Mt), и рассмотрим задачу об оптимальной остановке

V*(x,s)= sup Е xsf(XT,MT), (2)

T&RxU)

где предполагается, что функция f(x,s) € оценивающая "близость" значения процесса

в момент остановки к значению текущего максимума, удовлетворяет условию f's(x,s)| = 0, а fJRx(f) — множество всех моментов остановки т, удовлетворяющих условию supts;r \f(Xt, Mt)\ < оо, У(х, s) € J.

Наконец, предположим, что если Р( lim Xt = Ii) > 0, то Vs € I lim sup/(ж, s) < оо. Нарушение

этого условия для некоторого s означало бы, что V*(х, s) = оо при х < s.

Задача (2) является частным случаем задачи V* (х, s) = 8ирЕЖ5Л,(Хг, Мг+е), где е > 0 — некото-

risO

рая константа (возможно, равная бесконечности) для функции f(XT, Мт) = Е(h(XT, Мт+е\ХТ, Мт)).

Напомним, что функция масштаба, для однородной диффузии, удовлетворяющей стохастическому уравнению (1), задается формулой

Обозначим ц(х) = ^у = -\{\nL'(x))' =

Если та — момент достижения диффузией уровня а, а та¿ = min (та,ть), то при а ^х ^Ь

Р(Х - л! - ¿(6) ~ LР(Х L~ ¿(a)

Рх{ХТа -a)- m _ Ца) , Рх(ХТа -Ъ)- m _ Ца) .

Отметим, что у марковского процесса (Xt, Mt) вторая координата меняется только на диагонали, т.е. в точках, где Xt = Mt.

В силу супергармонической характеризации функции V*(x,s) в точках, не лежащих на диагонали (т.е. х < s), где выполнено

fxx(x, s) + 2¡i(x)f'x(x, s) > 0 , (3)

останавливаться неоптимально.

Для точек, лежащих на диагонали, инфинитезимальный генератор имеет более сложный вид. Тем не менее и для них условие (3) является достаточным для того, чтобы точка (х, х) принадлежала области продолжения наблюдений.

Лемма 1. Неоптимально останавливаться в точках (х,х), для которых либо f's(x,x) > 0; л,ибо f's(x,x) = 0 и выполнено (3).

Доказательство основано на том факте, что в условиях леммы при достаточно больших значениях к имеет место lim Еxxf(XTkg,MTkg) > 0, где Tk,s = inf{¿ : Xt = х + 5 или Xt = х — kö}. Подробное доказательство этого неравенства является сравнительно длинным, поэтому мы его опустим.

Метод решения задачи (2) характерен для задач об оптимальной остановке: предположим, что выполнено условие гладкого склеивания, а затем докажем верификационную теорему. Задача Стефана в данном случае имеет вид

LxV(x,s) = 0 при g(s) < х < s , w(x>s)\x=s- = 0 '

V(X'S)\x=g{s)+ = f(X'S) > %(X>S)\x=g(s)+ = fx(X>S) ■

Обозначим Vg(s) = Vg(s, s). Используя то, что X — строго марковский процесс, можем записать

m - L(x) Мх)-ЬЩ)

' L(s) - L(g(s)) + ôl ' L(s) - L(g(s)) '

Vg(s,x) = H (s) r7\ + Vä{s)r)l ■ (4)

Это равенство выполняется при всех х € (g(s), s). Возьмем предел при х 4- g(s)'-

lim = Um

L(x) - L(g(s)) xig{s)

Vg(x,s)-H(s) /L(x) - L(g(s))

x-g(s) / X — g (s)

Таким образом, из равенства (4) следует

Vg{s)-H{s) F {s)

dVg(x,s)

дх

F(s)

g(s) L'{g(s)) L'(g(s))

Цз) - ЬШ) иш) '

Выразив Уд (в) из последнего равенства, подставив ее в (4) и применив принцип нормального отражения, получим

Р{8) (Ь(х) - ЬШ))

Vg(x,s) =

+ H(s). (5)

ЖФ))

Обозначив A(g(s),s) = ущ^у^, в точке (g(s),s) будем иметь

// л = f's(9(s), s)A~1(g(s),s) + f"s(g(s),s)

9[) fMs),s) + 2»(s)K(g(s),s) ' U

Обозначим через I интервал, на котором принимает значения диффузия, а через Io тот же интервал со своей нижней границей lj.

Определение 1. Назовем полунепрерывную снизу границу д : I —> g(s) ^ s, допустимой, если точки (g(s),s) принадлежат замыканию множества {(ж,«) : Lxf(x,s) < 0} и при lj < g(s) < s функция g(s) удовлетворяет (6).

Продифференцировав (5) по g(s) (как по независимой переменной), получим следующее утверждение.

Лемма 2. Если при всех s выполнено неравенство gi(s) ^ g2{s), то Vgi(x,s) ^ Vg2(x,s). Далее, в силу того что решение дифференциального уравнения непрерывным образом зависит от начальных условий, существует максимальная допустимая граница g*(s). Будем говорить, что функция / удовлетворяет условию однократного пересечения, если для любого s существует граница x(s), такая, что hx(x,s) ^ 0 при х < x(s) и hx(x,s) ^ 0 при s > х > x(s).

Теорема 1. Пусть / удовлетворяет условию однократного пересечения. Если для момента остановки т* = inf{¿ > 0 : Xt ^ g*(Mt)} выполнено соотношение Е / (XTt, MTt) < оо; то он является оптимальным в задаче (2).

Доказательство. Пусть g(s) — допустимая граница. Применим формулу Ито к процессу Vg(Xt,Mt):

t t t

/от т с Г Г

<7(Xr)-^(Xr,Mr)dBr+ I *(Xr)^(Xr,Mr)dMr + I (hxVg)(Xr,Mr)dr .

ООО

(7)

t Qv

Интеграл по Mr равен нулю в силу принципа нормального отражения. Процесс f a(Xr)-g^-(Xr, Mr)dBr

о

t

является непрерывным локальным мартингалом, а процесс f(LxVg)(Xr, Mr)dr — невозрастающим

о

в силу условия однократного пересечения. Отсюда следует, что Vg(Xt, Mt) — локальный супермартингал.

Пусть т — произвольный момент остановки для X. Рассмотрим т' = inf{¿ ^ т : Lx(Xt, M¿) ^ 0}. Применив формулу Ито к процессу /(X¿,M¿), получим по аналогии с (7), что

f(Xt,Mt) = f(x,s) + Qt + Pt,

где Qt также является локальным мартингалом, a Pt = J (L xf)(Xr, Mr)dr возрастает при т ^ t ^ т'.

о

Выберем последовательность моментов остановки ап, являющуюся локализующей для Q и Q. Тогда

Еxsf(XrAan,MrAan) < Exsf(XT,Aan,MT,AaJ < ЕxsVg(XrAan,MrAan) < Vg(x,s)+ExsQT,Aan = Vg{x,s).

Устремив n к бесконечности и воспользовавшись леммой Фату, будем иметь Еxsf(XT,MT) ^ Vg(x,s). Взяв супремум по всем возможным т и инфимум по всем допустимым д, получим

V*(x,s) ^ inf Vg(x,s) = V9t(x,s),

равенство имеет место ввиду того, что V9t(x,s) = Еxsf(XTt,MTt).

Перейдем к случаю конечного горизонта. Рассматривается задача

V*(x, s, t) = sup Е Xstf(XT, Мт, т), где (f's(x, s, t)) I = 0 для любых sat, (8)

OsírsíT

важным частным случаем которой является

V*(x,s,t)= sup Еxsth(Xr,MT)

OsírsíT

для функции f(XT,MT,r) = Е(Л,(ХТ, Мт)\Хт, Мт, т).

По аналогии с предыдущим случаем для марковского процесса (X¿,M¿,t) справедлива Лемма 3. Если fxx{x, s, t)+2/j,(x)fx(x, s, t) + f¡(x, s, t) > 0; то останавливаться в точке (x, x, t) неоптимально.

Доказательство использует ту же идею, что и лемма 1, поэтому мы также его опустим. Чтобы вывести уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимальной области остановки, нам понадобится еще один вспомогательный факт.

Лемма 4. Производная (ж, •§+,£) существует и на множестве продолжения наблюдений С удовлетворяет уравнению

/я \

(9)

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку (xo,So,to) и докажем для нее требуемое утверждение. В силу открытости множества С можем выбрать 5 > 0 так, что {(ж, s,í)} € С при Sq ^ s ^ So + 6. Рассмотрим для произвольной границы g = g(t) момент остановки fg = inf{0 > t : Xq ^ so пли Xq ^ g(0)}. Определим функцию выплат:

w{Xi8it) = ÍV{so,s,t), если ж = so;

\f(x,s,t), если ж < so •

Наконец, положим w(x,s,t,g) = ~E¡xtW(Xfg,s,fg). Заметим, что поскольку Vj(so, s+, í)|s=s существует для любых t, то W дифференцируема, а значит, существует и w's. В силу того что граница g (а значит, и тд) не зависит от s, верно также соотношение

w's(x,s,t,g) =BxtW's(Xfg,s,fa).

Отсюда следует, что w удовлетворяет уравнению w"t + Ljf№s = 0.

Далее, при so ^ s ^ so + 6 выполняется w(xq, s, t, g) ^ V*(xo, s,to), при этом равенство достигается при g(9) = g*{s, в).

Обозначим через X замыкание семейства распределений (Xfg, Mfg,fg) при всех возможных тд. Оно плотно, поскольку при любом е > 0 для достаточно большого числа М случайная величина принадлежит компакту [жо — М,жо + М] х [so,So + М] х [0,Т] с вероятностью, большей 1-е. Следовательно, по теореме Прохорова X компактно (в топологии слабой сходимости). Далее, W, а значит и w, полунепрерывна сверху, что вместе с непрерывностью w's позволяет применить теорему об огибающей в формулировке следствия 4 из работы [8]. Отсюда получаем, что функция V*(x,s,t) = w(x,s,t, g*) дифференцируема по s справа и производная удовлетворяет (9). Лемма доказана.

Отметим, что в предположении гладкости g(s, t) из условия гладкого склеивания следует, что выполнено V¡(g(s,t),s,t) = f's(g(s,t),s,t) и V¡(g[s,t),s,t) = fl(g(s,t),s,t).

Выведем дифференциальное уравнение для поверхности, являющейся границей оптимальной области остановки процесса Mt,t). Определим моменты остановки тд = inf{¿ > 0 : X/ íC g(Mt,t)}, т0 = inf{í > 0 : Xt = Mt} и тд0 = тд А т0. Обозначим Vg{x,s,t) = Еxstf(XTg,MTg,Tg), также Vg(s,t) = Vg(s,s,t).

Применив формулу Ито к функции V¡,(x,s,t), получаем

Тд 0 Тд0

V¿(XTg0,s,tgo) = Va(x,s,t) + j (J^+Lx^jVs(Xr,s,r)dr + j a(Xr)^(Xr,s,r)dBr.

t t

Выбирая локализующую последовательность моментов остановки и снова пользуясь леммой Фату, заключаем, что V¡,(x,s,t) = EV¿(XT 0,s,Tgo), или

т т

V¿(x,s,t) = j V^s,s,e)d$h(x,s,e) + J V^g(s,e),s,e)d&(x,s,e) , (10)

t t

где Фн(х) = Р(тдо = го ^ ж) и Фг(ж) = Р(тдо = тд ^ ж). Первое слагаемое в (10) равно нулю в силу принципа нормального отражения. Воспользуемся гладкостью склеивания по s и продифференцируем по ж:

т

Vxa(g(s,t),s,t) = j fs(g(s,e),s,e)d^l)'x(9(s,t),s,e) . (11)

t

С другой стороны, дифференцируя по s исходное условие гладкого склеивания, получаем Vxs(g(s,t),s,t) + gs(s,t)Vxx(g(s,t),s,t) = fxs(g(s,t), s,t) + gs(s,t)fxx(g(s,t),s,t),

V¿'8(g(s,t),s,t) = f(g(s,t),s,t) ■gls(s,t) + f^s(g(s,t),s,t).

В совокупности с (11) это дает нам следующее уравнение:

т

2/ / Jf's(g(s,e),s,e)dii>(s,t,e)-fZMs,t),s,t)

Q'(st)-ñiMl.í__n2)

9Á,)~ 2 (fl + Lxf)(g(s,t),s,t) ' (i2j

где ip(6,s,t) = (Ф1)'х(д(8, t), s, в) находится как решение уравнения Вольтерры второго рода

г

KÁ9(s,t),g(s,r),r) = j Ф(g(s,e),g(s,r),r -e)dip(s,t,e)

t

для функции распределения Ф(x,y,t) = Р{Xt\jTo ^ у \ Хо = х). Перейдем к доказательству верификационной теоремы.

Определение 2. Назовем полунепрерывную снизу границу д : I х [0, Т) —> g(s,t) ^ s, допустимой, если в точках, где li < g(s,t) < s, функция g(s,t) является решением уравнения (12) и для всех (s,t), где g{s,t) > выполнено Lxf(g(s,t),s,t) ^ 0.

Будем говорить, что функция / удовлетворяет условию однократного пересечения, если для каждого s в интервале I существует граница ф, t), такая, что + L х) f{x, s,t) > 0 при ж > ф, t) и (|+Lx) /(ж, s,t) ^ 0 при х < x(s, t).

Определим Vg(x,s,t) при s ^ х ^ g(s,t) как решение задачи Коши для уравнения + Lx)Vg(x,s,t) = 0 с условиями мгновенной остановки и гладкого склеивания на границе д, а также с условием Vg(x,s,T) = f(x,s,T). Тогда аналогично предыдущему случаю доказывается, что Vg(Xt, Mt,t) является локальным супермартингалом.

Лемма 5. Если при всех s и t выполнено g\(s,t) ^ g2{s,t), то Vgi(x,s,t) ^ Vg2(x, s,t). Доказательство. Запишем для Vgi и Vg2 представления, аналогичные (7), с использованием локальных мартингалов Q], и Q2 и невозрастающих процессов Р/, Р2. Вычтем одно из другого и возьмем локализующую последовательность моментов остановки для Q2 — Ql • Тогда будем иметь

(V^-V^X^v^M^,^ , (13)

riVcrn

где Т\ — момент достижения д\. Последнее слагаемое, которое равно f (-щ + L х) Уд2 (Xr, Mr ,r)dr,

T2Vcrn

не меньше нуля.

При п —> оо выражение в левой части равенства (13) стремится к Vg2 (Хп, Мп ,т\) — Vgi (ХТ1, Мп, ri) = /(Xri,MTl,ri) — /(XTl,MTl,ri) = 0. Воспользовавшись леммой Фату, получаем Vg2(x,s,t) — Vgi(x, s,t) ^ 0, что и требовалось показать.

Наконец, докажем последний вспомогательный результат. Лемма 6. Существует максимальная допустимая граница g*(s,t).

Доказательство. Здесь, в отличие от случая бесконечного временного горизонта, вид уравнения для границы слишком сложен, чтобы показать существование максимального решения напрямую. Вместо этого заметим, что достаточно показать существование допустимого решения, имеющего минимальную из всех функцию (s,t) > Vg(s,s,t).

Действительно, предположим, что gi(s,t) и g2(s,t) — две допустимые границы, и пусть для всех s € I и t € [0,Т] выполнено Vgi(s,s,t) ^ Vg2(s,s,t). Тогда Vai(gi(s,t),s,t) = f(gi(s,t),s,t) ^ Vg2(gi(s,t),s,t), согласно лемме 5. Обозначим С\ = {(x,s,t) : s > х > g\(s,t)}, на границе этого множества Vg2(x,s,t) — Vgi(x,s,t) ^ 0. Поскольку при этом + Ljf) Vgi = 0 внутри С\, то в силу

условия однократного пересечения внутри С\ имеет место неравенство (Jj +Lx) {Vg2 — Vg-i) ^ 0.

Вместе с неравенством на границе С\ это означает, что Vg2 — Vgi ^ 0 на С\. При этом вне С\

аналогично имеем Vgi(x,s,t) = f(x,s,t) ^ Vg2(x,s,t).

Итак, если для некоторой допустимой функции g* для всех (s,t) выполнено Vgt(s,s,t) =

inf Vg(s,s,t) (где мы обозначили множество всех допустимых границ через Q), то для всех (x,s,t) g&G

имеет место

V9t (х, s, t) = inf Vg(x, s, t).

Предположим теперь, что для некоторой допустимой функции g и некоторых s и t выполняется неравенство g(s,t) > g*(s,t). Тогда Vg(g(s,t), s,t) = f(g(s,t),s,t) < Vgt(g(s,t),s,t), а это противоречит минимальности Vg(s,s,t).

Осталось показать существование функции д*, минимизирующей Vg(s,s,t). Рассмотрим функцию V(s,t) = inf Vg(s,s,t). Здесь инфимум определен, поскольку значения ограничены снизу вели-g&G

чиной f(s, s, t).

Наконец, определим V(x, s, t) как решение задачи Коши с условиями, заданными на диагонали: (&+Lx)V(x,s,t) = 0, V(x, s, t)

Поверхность V(x,s,t) пересечет f(x,s,t) по некоторой кривой g*(s, t), которая будет допустимой в силу того, что решение задачи Коши непрерывным образом зависит от начальных условий. Окончательный результат дает следующая

Теорема 2. Пусть g*(s,t) — максимальное допустимое решение. Тогда если для момента остановки т* = inf{i > 0 : Xt ^ g*(Mt,t)} выполнено Е/(Хг,Мг,т) < оо; то он является оптимальным в задаче (8).

Доказательство. Пусть т — произвольный момент остановки для процесса X. Выберем в представлении для Vg локализующую последовательность моментов остановки ап для Q. Тогда

Exstf(XTA(Tn, МтА(7п,т А (тп) ^ ExstVg(XTAan,Mta(7n,t Лап) ^ Vg{x,s,t) +BxstQTA(7n = Vg{x,s).

Устремим п к бесконечности и воспользуемся леммой Фату, тогда Еxsf(XT,MT) ^ Vg(x,s). Взяв супремум по всем возможным т и инфимум по всем допустимым д, получим

V*(x,s) ^ inf Vg(х, s) = Vgt(x,s)]

9

равенство имеет место в силу того, что Vgt(x,s) = Еxstf{XTt,MTt).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shiryaev А., Хи Z., Zhou X. Y. Thou shalt buy and hold // Quant. Finance. 2008. 8, N 8. 765-776.

2. du Toit J., Peskir G. Selling a stock at the ultimate maximum // Ann. Appl. Probab. 2009. 19, N 3. 983-1014.

3. Dai M., Jin H., Zhong Y. et al. Buy low and sell high // Contemp. Quant. Finance. 2010. 1. 317-333.

4. Graver sen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Theory Probab. and Its Appl. 2001. 45, N 1. 41-50.

5. du Toit J., Peskir G. The trap of complacency in predicting the maximum // Ann. Probab. 2007. 35, N 1. 340-365.

6. Pedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochast. Repts. 2003. 75, N 4. 205-219.

7. Peskir G. Optimal stopping of the maximum process: the maximality principle // Ann. Probab. 1998. 26, N 4. 1614-1640.

8. Milgrom P., Segal I. Envelope theorems for arbitrary choice sets // Econometrica. 2002. 70, N 2. 583-601.

Поступила в редакцию 02.06.2014

= v(s,t), mx,s,t)

УДК 519.718.7

О ЕДИНИЧНЫХ ТЕСТАХ ДЛЯ КОНТАКТОВ К. А. Попков1

Рассматриваются задачи проверки исправности и диагностики состояний N контактов путем составления из них двухполюсных контактных схем либо 7г-схем и наблюдения выдаваемых этими схемами значений на любых входных наборах значений переменных. Допускается обрыв или замыкание любого одного контакта. Требуется минимизировать

1 Попков Кирилл Андреевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirill-formulistQmail.ru.