CC BY
9Осталось показать существование функции д*, минимизирующей Vg(s,s,t). Рассмотрим функцию V(s,t) = inf Vg(s,s,t). Здесь инфимум определен, поскольку значения ограничены снизу вели-g&G
чиной f(s, s, t).
Наконец, определим V(x, s, t) как решение задачи Коши с условиями, заданными на диагонали: (&+Lx)V(x,s,t) = 0, V(x, s, t)
Поверхность V(x,s,t) пересечет f(x,s,t) по некоторой кривой g*(s, t), которая будет допустимой в силу того, что решение задачи Коши непрерывным образом зависит от начальных условий. Окончательный результат дает следующая
Теорема 2. Пусть g*(s,t) — максимальное допустимое решение. Тогда если для момента остановки т* = inf{i > 0 : Xt ^ g*(Mt,t)} выполнено Е/(Хг,Мг,т) < оо; то он является оптимальным в задаче (8).
Доказательство. Пусть т — произвольный момент остановки для процесса X. Выберем в представлении для Vg локализующую последовательность моментов остановки ап для Q. Тогда
Exstf(XTA(Tn, МтА(7п,т А (тп) ^ ExstVg(XTAan,Mta(7n,t Лап) ^ Vg{x,s,t) +BxstQTA(7n = Vg{x,s).
Устремим п к бесконечности и воспользуемся леммой Фату, тогда Еxsf(XT,MT) ^ Vg(x,s). Взяв супремум по всем возможным т и инфимум по всем допустимым д, получим
V*(x,s) ^ inf V„(х, s) = Vgt (x,s)]
9
равенство имеет место в силу того, что Vgt(x,s) = ЕXstf{XTt,MTt).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Shiryaev А., Хи Z., Zhou X. Y. Thou shalt buy and hold // Quant. Finance. 2008. 8, N 8. 765-776.
2. du Toit J., Peskir G. Selling a stock at the ultimate maximum // Ann. Appl. Probab. 2009. 19, N 3. 983-1014.
3. Dai M., Jin H., Zhong Y. et al. Buy low and sell high // Contemp. Quant. Finance. 2010. 1. 317-333.
4. Graver sen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Theory Probab. and Its Appl. 2001. 45, N 1. 41-50.
5. du Toit J., Peskir G. The trap of complacency in predicting the maximum // Ann. Probab. 2007. 35, N 1. 340-365.
6. Pedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochast. Repts. 2003. 75, N 4. 205-219.
7. Peskir G. Optimal stopping of the maximum process: the maximality principle // Ann. Probab. 1998. 26, N 4. 1614-1640.
8. Milgrom P., Segal I. Envelope theorems for arbitrary choice sets // Econometrica. 2002. 70, N 2. 583-601.
Поступила в редакцию 02.06.2014
= v(s,t), mx,s,t)
УДК 519.718.7
О ЕДИНИЧНЫХ ТЕСТАХ ДЛЯ КОНТАКТОВ К. А. Попков1
Рассматриваются задачи проверки исправности и диагностики состояний N контактов путем составления из них двухполюсных контактных схем либо 7г-схем и наблюдения выдаваемых этими схемами значений на любых входных наборах значений переменных. Допускается обрыв или замыкание любого одного контакта. Требуется минимизировать
1 Попков Кирилл Андреевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirill-formulistQmail.ru.
число схем, необходимых для проверки исправности и определения состояний всех контактов. В работе получены точные значения для минимально возможного числа указанных схем.
Ключевые слова: контакт, неисправность, контактная схема, 7г-схема, проверяющий тест, диагностический тест.
We examine problems of operability checking and state diagnosis of N contacts by means of composition two-pole contact circuits of them and observation of values produced by these circuits on any value sets of input variables. Break or closing of any single contact is permitted. It is needed to minimize a number of circuits required for operability checking and determination of states of all contacts. Exact values of the minimal possible number of mentioned circuits are obtained.
Key words: contact, fault, contact circuit, 7r-circuit, check test, diagnostic test.
В работе рассматриваются задачи проверки исправности и распознавания состояний контактов с использованием экспериментов, заключающихся в составлении из заданных контактов произвольных двухполюсных контактных схем с последующим "прозваниванием" этих схем, т.е. нахождением булевых функций, реализуемых составляемыми схемами. Изучен также случай, когда все составляемые схемы принадлежат классу 7г-схем (определение 7г-схемы см., например, в [1, с. 63]).
Постановка задачи диагностики контактов для случая произвольных двухполюсных контактных схем описана в [2, с. 30-31]. Всюду в настоящей работе предполагается, что среди рассматриваемых контактов неисправным может оказаться лишь один. Наряду с вышеуказанной задачей будем исследовать также задачу проверки контактов, отличающуюся от задачи диагностики контактов лишь тем, что не требуется определять тип неисправности (обрыв или замыкание) неисправного контакта, если такой контакт существует.
Основные определения и предварительные замечания. Будем называть неисправностью системы контактов одноэлементое множество, состоящее из упорядоченной пары (п,5), если контакт с номером п неисправен и реализует между своими концами константу 5, либо пустое множество, если все N контактов исправны.
Диагностическим т ест ом назовем такой набор двухполюсных контактных схем S\,..., Si, составленных из заданных контактов, что для любых двух различных неисправностей системы контактов наборы функций, реализуемых схемами, не совпадают (т.е. существует схема Sj, такая, что реализуемая этой схемой функция при первой неисправности не совпадает с реализуемой этой же схемой функцией при второй неисправности). Число I назовем длиной этого теста.
Проверяющим т ест ом назовем такой набор двухполюсных контактных схем S\,..., Si, составленных из заданных контактов, что для любых двух неисправностей системы контактов, при которых множества неисправных контактов различны, наборы функций, реализуемых схемами, не совпадают. Число I назовем длиной этого теста.
Содержательный смысл данных определений состоит в следующем: диагностический (проверяющий) тест — это такой набор двухполюсных контактных схем S\,..., Si, составленных из заданных N контактов, что по набору функций, реализуемых этими схемами, можно однозначно определить состояние (соответственно исправность или неисправность) каждого из N контактов. При этом проверяющий тест не обязан определять тип неисправности (обрыв или замыкание) неисправного контакта, если такой контакт существует.
Введем функции LC(N\,N2) и L^Ni, N2), равные длинам самых коротких проверяющего и диагностического тестов соответственно для N\ замыкающих и N2 размыкающих контактов, среди которых не более одного контакта неисправно. Пусть LC(N) = LC(N, 0) и Ld(N) = Ld(N, 0).
Отметим, что введенные определения диагностического теста и функций L^Ni, N2), L^N) полностью совпадают соответственно с определениями диагностического теста и функций L(NN2, к), L(N, к) из [2] при к = 1.
Если в определениях диагностического и проверяющего тестов заменить двухполюсные контактные схемы на 7г-схемы (что подразумевает сужение класса допустимых схем), то можно аналогично ввести функции L^(Ni, N2) и L^(Ni, N2), равные длинам самых коротких проверяющего и диагностического тестов соответственно для N\ замыкающих и N2 размыкающих контактов, среди которых не более одного контакта неисправно, в классе 7г-схем, и положить L^(N) = 0) и
Замечание 1. Если в некоторой контактной схеме S, входящей в проверяющий или диагностический тест, содержится изолированная вершина, отличная от полюса, или петля (контакт, концы которого совпадают), то такую вершину (контакт) можно удалить и функция, реализуемая схемой, очевидно, от этого не изменится вне зависимости от того, есть среди контактов неисправный или нет. Если же полюс является изолированной вершиной схемы S, то такая схема при любой неисправности системы контактов реализует, очевидно, одну и ту же функцию — тождественный нуль,
и поэтому ее можно удалить из теста. Кроме того, если полюсы схемы ¿> совпадают, то такая схема при любой неисправности системы контактов реализует, очевидно, тождественную единицу, и ее также можно удалить из теста. Поэтому далее без ограничения общности будем считать, что в рассматриваемых нами схемах нет петель и изолированных вершин, а полюсы каждой схемы не совпадают между собой.
Замечание 2. Из утверждения 1 работы [2] при к = 1 следует, что для нахождения оценок величины можно ограничиться рассмотрением таких контактных схем, в которых любым двум разным контактам отвечают разные переменные. Совершенно аналогично можно доказать подобное утверждение для величин ЬС(М1, N2), N2) и N2). Для этого достаточно заметить, что в доказательстве утверждения 1 [2] при переходе от набора схем (5*1,... ,¿>1) к набору схем ..., 7г-схемы остаются 7г-схемами (для величин N2) и N2)), и воспользоваться определением проверяющего теста вместо определения диагностического теста (для величин 1, ЛГ2) и N2))- Более того, внутри указанного более узкого класса схем можно ограничиться рассмотрением только таких схем, в которых каждому контакту с номером п, п € {1,..., N}, отвечает переменная хп. Действительно, от перенумерации переменных равные функции остаются равными, а различные — различными, откуда следует, что после такой перенумерации переменных, при которой каждому контакту с номером п, п (£ {1,..., ./V}, ставится в соответствие переменная хп, полученный набор схем также будет диагностическим (проверяющим) тестом. В дальнейшем будем рассматривать только схемы, в которых каждому контакту с номером п, п € {1,... , У}, отвечает переменная хп.
Замечание 3. В силу утверждения 2 работы [2] при к = 1 выполняются равенства
= ыт + м2, о) = ьа(м, о) = ьа(м).
Совершенно аналогично можно доказать равенства
Ьс(Мь М2) = Ьс(Мг + М2, 0) = ЬС{Ы, 0) = ЬС{Ы), ^(УЬУ2) = Ь^Мг + N2,0) = 0) = Щ(МЪМ2) = щт + N2,0) = ^(N,0) =
Для этого достаточно заметить, что в доказательстве утверждения 2 [2] при переходе от набора схем (5*1,..., 5г) к набору схем ..., 5г') 7г-схемы остаются 7г-схемами (для величин Щ и Щ), а если множества неисправных контактов различаются при неисправностях И\ и Н'2, то они будут различаться и при неисправностях Н\ и Н2■ Далее достаточно воспользоваться определением проверяющего теста вместо определения диагностического теста (для величин Ьс и Щ). Из выписанных равенств следует, что для нахождения ЬС(М1, N2), £/¿(N1, N2), N2) и ^(N1, N2) достаточно
знать только ЬС(У), Ь(¿(У), и 1^(У). Поэтому далее без ограничения общности будем счи-
тать, что все заданные контакты замыкающие.
Замечание 4. Поскольку в работе рассматриваются только единичные неисправности контактов, диагностический (проверяющий) тест будем также называть единичным диагностическим (проверяющим) тестом для N контактов.
Утверждение 1. Множества единичных проверяющих и единичных диагностических тестов для N контактов совпадают как в классе произвольных двухполюсных контактных схем, так и в классе тт-схем.
Следствие. Справедливы равенства ЬС(У) = 1^(У) и Щ(Ы) = 1^(У).
Доказательство утверждения 1 одинаково для рассматриваемых двух классов схем; проведем его для класса произвольных двухполюсных контактных схем. Из определений следует, что любой диагностический тест является проверяющим. Докажем обратное утверждение. Пусть (¿>1,..., ¿>г) — проверяющий тест, и пусть имеет место неисправность системы контактов, при которой оборван некоторый контакт К с номером п. Данная неисправность равносильна подаче вместо переменной хп значения 0 во всех схемах, где эта переменная присутствует. Так как (5*1,..., — проверяющий тест, то функция, реализуемая хотя бы одной схемой Si из числа 5*1,..., ¿>г, должна от этого измениться, поэтому данная функция существенно зависит от переменной хп (в случае, когда все контакты исправны). Но это означает, что при обрыве и при замыкании К схема Si реализует различные функции, откуда следует, что набор схем ¿>1,..., является диагностическим тестом. Утверждение доказано.
Замечание 5. В силу следствия из утверждения 1 для нахождения величин 1^(У) и 1^(У) достаточно знать только ЬС(У) и Поэтому после введения обозначений Ь(У) = ЬС(У) и
ЬЖ(И) = можно формулировать основные результаты в терминах величин Ь(У) и ЬЖ{И).
Формулировки и доказательства основных результатов. Основными результатами данной работы являются следующие утверждения.
Теорема 1. Справедливо равенство
17(Л0
1, если N = 1;
2, если N ^ 2.
Теорема 2. Справедливо равенство
ню =
1, если N = 1 шш N ^ 5;
2, если Ж € {2,3,4}.
Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть Б — контактная схема, составляющая единичный проверяющий тест длины 1 для N контактов. Тогда справедливы следующие утверждения:
(г) в схеме Б содержатся, все N контактов;
(И) в схеме Б не могут содержаться два параллельно соединенных контакта;
(ш) любая отличная от полюсов вершина схемы Б инцидентна, по крайней мере, трем контактам.
Доказательство. Утверждение (г) очевидно, так как если бы в схеме Б не содержалось некоторого контакта К, то невозможно было бы отличить случай, когда все контакты исправны, от случая, когда все контакты, кроме К, исправны, а контакт К неисправен (тип его неисправности здесь не важен).
Докажем утверждение (и). Предположим, что в схеме Б содержатся два параллельно соединенных контакта с номерами п и п', соединяющие вершины а и Ъ. Рассмотрим следующие две неисправности системы контактов Н\ и I¡¿: II\ = {(п, 1)}, I¡2 = {(п1)}. Функция проводимости между вершинами а и Ь схемы Б, очевидно, равна тождественной единице как при II \. так и при Н2, а так как все остальные контакты схемы Б исправны и при II\. и при I¡2- то функции проводимости между любыми двумя вершинами схемы Б, в том числе между ее полюсами, одинаковы при Н\ и //2- Но с учетом того, что множества неисправных контактов при неисправностях II \ и Н2 различны, это противоречит тому, что (Б) — проверяющий тест.
Докажем утверждение (ш). Предположим, что оно не выполнено, т.е. существует отличная от полюсов схемы Б вершина а, инцидентная не более чем двум контактам. Так как мы рассматриваем схемы без изолированных вершин, то возможны два случая.
1. Вершина а инцидентна ровно одному контакту К. В таком случае очевидно, что между полюсами схемы Б не существует ни одной несамопересекающейся цепи, содержащей контакт К. Отсюда следует, что при обрыве контакта К схема Б будет реализовывать ту же функцию, что и в случае, когда все контакты исправны. Но это противоречит тому, что (Б) — проверяющий тест.
2. Вершина а инцидентна ровно двум контактам К и К' с номерами п и п'. Пусть Б' — контактная схема, получающаяся из Б удалением контактов К и К'. Рассмотрим следующие две неисправности системы контактов Н\ и Н2: II1 = {(п, 0)}, I¡2 = {(та', 0)}. При каждой из неисправностей Н\ и I¡2 вершина а в схеме Б становится инцидентной только одному контакту и можно применить рассуждения, приведенные в случае 1. Из них следует, что после удаления этого контакта функция, реализуемая схемой, не изменится. Однако получающаяся после его удаления схема совпадает со схемой Б', откуда следует, что функции, реализуемые схемой Б при неисправностях II \ и Н2, совпадают с функцией, реализуемой схемой Б', и, следовательно, совпадают между собой. Но с учетом того, что множества неисправных контактов при неисправностях Н\ и I¡2 различны, это противоречит тому, что (Б) — проверяющий тест. Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 1. Очевидно, что всегда ЬЖ(М) ^ 1. Если N = 1, то схема, составленная из единственного контакта, которому отвечает переменная х\, принадлежит классу 7г-схем и составляет проверяющий тест длины 1, поэтому Ьж( 1) = 1. Пусть N ^ 2. Сначала докажем, что ЬЖ(К) ^ 2. Рассмотрим следующие две схемы 5*1 и ¿>2: 5*1 получается последовательным, а ^ — параллельным соединением всех N контактов (порядок контактов в схемах 5*1 и ¿>2 не важен). Очевидно, что обе данные схемы являются 7г-схемами. Если некоторый контакт неисправен и при этом замкнут, а все остальные контакты исправны, то схема 5*1, очевидно, реализует конъюнкцию переменных, отвечающих исправным контактам, а схема Б2 — тождественную единицу. Если некоторый контакт оборван, а все остальные контакты исправны, то схема 5*1, очевидно, реализует тождественный нуль, а схема Б2 — дизъюнкцию переменных, отвечающих исправным контактам. Если же все контакты исправны, то схемы 5*1 и Б2 реализуют соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию всех N переменных. Отсюда следует, что по функциям, реализуемым схемами 5*1 и ¿>2, можно однозначно определить исправность или неисправность каждого из N контактов, т.е. (5*1, ¿>2) — проверяющий тест и ¿""(ТУ) ^ 2, что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что ЬЖ(К) ^ 2. Предположим, что ЬЖ(К) = 1 для некоторого N ^ 2, т.е. существует 7г-схема Б, составляющая проверяющий тест длины 1 для N контактов. По утверждению (г)
.леммы 1 в ней содержатся все N контактов. Любая 7г-ехема может быть получена из простейших 7г-схем, состоящих из одного контакта, применением конечного числа операций последовательного и нараллельнох'о соединения двух схем (это следует, например, из соответствия между 7г-схемами и формулами специального вида в базисе {&, V, —■}-, описанного в [1, с. 62 63]). В схеме S содержится более одного контакта, поэтому она получена из простейших 7г-схем с помощью ненулевого числа таких операций. Будем считать, что число указанных операций, необходимых для построения схемы S, выбрано минимально возможным. В результате первой из этих операций получается схема <S(2), представляющая собой либо последовательное, либо параллельное соединение двух контактов. Так как число операций для построения схемы S выбрано минимально возможным, то схема S^) обязана входить в качестве подсхемы в схему S (иначе первая операция была бы бесполезной и ее можно было бы не проводить). Схема S^) не может представлять собой параллельное соединение двух контактов в силу утверждения (и) леммы 1. Значит, схема S^) представляет собой последовательное соединение двух контактов. Пусть а единственная отличная от полюсов вершина схемы S(2), тогда а инцидентна обоим контактам схемы S^), которые мы обозначим К и К'. В процессе построения схемы S к схеме S^) могут подсоединяться другие схемы только последовательно или параллельно, т.е. через один или два полюса схемы S(2), но не через ее вершину а. Таким образом, в получающейся схеме S вершина а инцидентна по-прежнему только двум контактам К и К'. Однако это противоречит утверждению (ш) леммы 1. Полученное противоречие доказывает неравенство Ln(N) ^ 2 для любого N ^ 2, а вместе с ним и теорему 1.
Доказательство теоремы 2. Очевидно, что всегда 1 ^ L(N) ^ ЬЖ(Ы) (второе неравенство верно в силу того, что класс произвольных двухполюсных контактных схем шире класса 7г-ехем). Отсюда и из теоремы 1 имеем L( 1) = 1, кроме того, L(N) ^ 2 при N ^ 2. Таким образом, достаточно доказать, что L(N) ^ 2 при N € {2,3,4} и L(N) ^ 1 при N ^ 5.
Пусть вначале N € {2,3,4}. Надо доказать неравенство L(N) ^ 2. Предположим, что L(N) = 1 для некоторого N € {2,3,4}, т.е. существует схема S, составляющая проверяющий тест длины 1 для N контактов. По утверждению (г) леммы 1 в схеме S содержатся все N контактов, а по утверждению (п) этой же леммы не более одного контакта может соединять полюсы схемы S. Отсюда с учетом отсутствия нетель в S и неравенства N ^ 2 получаем, что в S содержится некоторый контакт, хотя бы один конец а которого отличен от полюсов данной схемы. По утверждению (ш) леммы 1 вершина а инцидентна, по крайней мере, трем контактам, которые мы обозначим К \. К2 ■ Кл. Пусть Ь, V, Ъ" вторые концы контактов К \. К2 ■ Кз соответственно, тогда, согласно утверждению (п) леммы 1, эти три вершины попарно различны и ни одна из них не совпадает с а ввиду отсутствия петель в схеме S. Поэтому хотя бы одна из этих вершин (без ограничения общности b) отлична от а и от полюсов S. Снова по утверждению (ш) леммы 1 вершина b инцидентна, но крайней мере, трем контактам, которые мы обозначим К4, К~,. А"(). Ни один из контактов A4, К~,. К{, не может совпадать ни с одним из контактов К2■ Кз, так как концами контактов К2 и Кз являются соответственно вершины а, У и а,Ь", ни одна из которых не совпадает с Ь. Получаем, что контакты К2. А'з, К \. К~,. К{,. содержащиеся в схеме S, попарно различны, однако это противоречит тому, что общее число контактов равно N ^ 4. Таким образом, L(N) ^ 2, что и требовалось доказать.
Пусть теперь N ^ 5. Для каждого такого N построим схему S(N) рекурсивно следующим образом. Пусть 5(5) схема, изображенная на рисунке, с полюсами А и В (напомним, что для любого п € {1,... ,N} переменная хп отвечает контакту с номером п). Предположим, что уже построена схема <§(дг0), где N0 ^ 5. Схема S{N0+i) получается из схемы следующим образом:
1) если No нечетно, то к полюсу В схемы S(дг0) подсоединяется контакт с номером iVo + 1, второй конец которого не совпадает ни с одной из вершин схемы и объявляется полюсом В схемы S{No+1); полюс А схемы 5'(дг0+1) совпадает с полюсом А схемы дг0);
2) если No четно, то к схеме S(дг0) параллельно подсоединяется контакт с номером N0 + 1, соединяющий полюсы А и В, и полученная схема объявляется схемой <S(N0+i) (полюсы схемы 5'(дг0+1) совпадают с соответствующими полюсами схемы S(n0))-
Таким образом, для каждого N ^ 5 построена схема S^Ny Достаточно доказать, что (S^дг)) проверяющий тест для любого N ^ 5.
Лемма 2. Пусть N ^ 5 и имеет место некоторая •неисправность системы контактов. Тогда справедливы следующие утверждения:
(г) если N нечетно, то схема щ реализует функцию, отличную от тождественного нуля;
(и) если N четно, то схема Б^щ реализует функцию, отличную от тождественной единицы.
Доказательство. Докажем утверждение (г). В случае N = 5 оно проверяется непосредственно
с учетом того, что неисправно не более одного контакта. Пусть У ^ 7. По построению схема ¿>(лг) получается из схемы ¿>(дг_1) параллельным подсоединением к ней контакта с номером N. Если данный контакт не оборван, то при подстановке вместо переменной хм значения 1 схема ¿>(лг) будет, очевидно, реализовывать тождественную единицу. Если же он оборван, то все остальные контакты в схеме ¿>(дг) исправны и она, очевидно, реализует такую же функцию, что и схема б^дг^) в случае, если все входящие в ¿>(дг_1) контакты исправны. Но при х\ = ... = хм-\ = 1 схема а значит,
и схема ¿>(лг) выдаст значение 1, так как все контакты в схеме ¿>(дг_1) замыкающие и по построению данной схемы в ней существует цепь между полюсами. Утверждение (г) доказано.
Докажем утверждение (И). Ясно, что У — 1 ^ 5. По построению схема ¿>(дг) получается из схемы ¿>(N-1) последовательным подсоединением к ней контакта с номером У. Если данный контакт не замкнут, то при подстановке вместо переменной хм значения 0 схема ¿>(дг) будет, очевидно, реализовывать тождественный нуль. Если же он замкнут, то все остальные контакты в схеме ¿>(дг) исправны и она, очевидно, реализует такую же функцию, что и схема б^дг^) в случае, если все входящие в ¿>(N-1) контакты исправны. Но при х\ = ... = х^-1 = 0 схема лг-1)) а значит, и схема ¿>(дг) выдаст значение 0, так как все контакты в схеме ¿>(дг_1) замыкающие. Утверждение (й), а вместе с ним и лемма 2 доказаны.
Докажем по индукции, что для любого У ^ 5 схема ¿>(лг) составляет проверяющий тест длины 1 для У контактов. Для У = 5 это утверждение проверяется непосредственно, исходя из вида схемы <9(5)• При этом достаточно заметить, что при неисправности любого контакта в схеме ¿>(5) функция, реализуемая данной схемой, не зависит существенно от переменной, отвечающей неисправному контакту, и существенно зависит от всех переменных, отвечающих исправным контактам, а в случае, когда все контакты исправны, данная функция существенно зависит от всех переменных х\ — х^. Пусть утверждение доказано для У = Щ ^ 5; докажем его для У = Уо + 1. Пусть имеет место некоторая неисправность системы контактов. Рассмотрим два случая.
1. Пусть У четно. Если контакт с номером У исправен, то функция, реализуемая схемой б'(дг), очевидно, равна конъюнкции переменной хм и функции, реализуемой схемой ¿>(дг_1), которая, с одной стороны, не зависит существенно от переменной хм, а с другой — в силу утверждения (г) леммы 2 и того, что среди контактов с номерами от 1 до У — 1 может быть не более одного неисправного, отлична от тождественного нуля. Отсюда следует, что функция, реализуемая схемой б'(дг), существенно зависит от переменной хм- Если же контакт с номером У неисправен, то функция, реализуемая схемой б'(дг), очевидно, не зависит существенно от переменной хм- Таким образом, по функции, реализуемой схемой б'(дг), можно однозначно определить, исправен контакт с номером У или нет. Далее, если уже определено, что контакт с номером У исправен, то будем считать, что вместо переменной хм подано значение 1. Тогда среди контактов с номерами от 1 до У — 1 не более одного контакта неисправно, а функция, реализуемая схемой б'(дг), очевидно, совпадает с функцией, реализуемой схемой ¿>(дг_1) при рассматриваемой неисправности системы контактов. По предположению индукции (¿>(дг_1)) — проверяющий тест для У — 1 контакта, откуда следует, что по функции, реализуемой схемой ¿>(дг_1), можно однозначно определить исправность или неисправность каждого контакта с номером от 1 до У — 1. В результате указанной процедуры исправность или неисправность каждого из У контактов определяется однозначно, т.е. (¿>(лг)) — проверяющий тест для У контактов, что и требовалось доказать.
2. Пусть У нечетно, тогда У = Уо+1 ^ 7. Данный случай рассматривается аналогично случаю 1 с заменой выражений "конъюнкции", "тождественного нуля", "значение 1" на выражения "дизъюнкции", "тождественной единицы", "значение 0" соответственно с использованием утверждения (И) леммы 2 вместо утверждения (г) той же леммы.
Теорема 2 доказана.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 14-0Ю0598 ("Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем") и программы фундаментальных исследований ОМ II РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Попков К.А. Диагностика состояний контактов // Дискрета, матем. 2013. 25, вып. 4. 30-40.
Поступила в редакцию 25.06.2014
