CC BY
20Определяющие соотношения для реономных материалов с "перманентной памятью"
Кузнецов В.Н., Агахи К.А. [email protected]), Басалов Ю.Г., Ковальков В.К., Шестериков С.А.
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Работа выполнена при поддержке гранта № 04-01-00325 Российского Фонда Фундаментальных Исследований.
Предлагаются определяющие соотношения для описания реологических процессов деформирования, зависящих от времени (ползучесть, релаксация, нелинейно-вязко-пластические эффекты). Эти соотношения являются дальнейшим развитием определяющих соотношений, построеных авторами в работах [1-2] и основанных на результатах американских исследователей Фицджеральда (70-е годы), который следовал идее Коулмена и Нолла (60-е годы). Частично близкую идею высказал в 1943 году советский ученый Н.М. Беляев.
Вводится обобщенная деформация в безразмерных координатах у = Ц VI, где е -
up
деформация, а , p , £ - константы, ||s|£ - обобщенная норма Лебега:
s =
II iip
/р
p(t)JV(t) \s\F dt
_ 0 _
Здесь y/(t) — весовая функция, а p(t) — нормирующая функция. Материальные функции p(t) и y/(t) определяются экспериментально. Таким образом, у есть нелинейный оператор по времени t, зависящий от p, щ, p . Напряжение а и деформация s связаны следующим соотношением:
a(t) = F (y) + A 1 K (t -r)s(r)dr (1.1)
v Smax j 0
Здесь smax - максимальное значение s(t) на отрезке [0, t], A1 - константа, K - ядро оператора Вольтерры, F - материальная функция. Второе слагаемое в (1.1) описывает разгрузку или, точнее, процессы с убывающей деформацией. Когда деформации не убывают, второе слагаемое (1.1) обращается в ноль, так как s(t) = smax и определяющие соотношения (1.1) принимают следующий вид:
a(t) = F (Г) (1.2)
В опыте с постоянной скоростью деформирования это соотношение должно описывать кривую напряжение-деформация, что позволяет определить функцию F . На графиках 1-2 представлены сравнения результатов экспериментов Фицджеральда и расчетов по соотношению (1.1) (сплошная линия - эксперимент, пунктирная - расчёт).
а F ( £ , О О ( £, О
25
20
15
10
Рисунок 1. Зависимость напряжений от времени в опыте со сложной программой по
деформации (8 = 0.0342 )
8(0
Рисунок 2. Кривая деформирования в опыте со сложной программой по деформации
(8 = 0.0169, ^ = 0,4146min)
Пластические эффекты, прежде всего, наличие критического значения деформации, после которой возникает пластическое течение (наряду с вязким течением) учитывается следующим образом. Условие пластичности принимается как обобщение условия Мизеса, учитывающее влияние скорости деформирования, в следующем виде: £ = еб,(1 + к(8)) (в
трехмерном случае еи = ех (1 + кёи), еи = ^е^е^ ). Здесь к - экспериментальная функция, ег] - девиатор тензора деформаций.
При условии а< принимаем, что разгрузка описывается уравнением (1.2) и является нелинейной, но пластические деформации при этом отсутствуют; если а > в3, разгрузка описывается соотношением (1.1) и при этом имеют место пластические деформации. В
простейшем случае ц/ = 1, ((t) =
= 1
/л> 0. Тогда для деформирования с постоянной
скоростью s = at, a = const мы имеем a = E(a) • s в случае s < es и a = E(a) • (1 -a(s)) • s в случае s > es. Здесь E обозначает модуль упругости, зависящий от скорости деформирования a, a - функция пластичности Ильюшина [4] (a(s) = 0 в случае s < es, a(s) > 0 в противном случае).
В общем случае нагружения, когда s ^ const, определяющие соотношения при нагрузке записывается подобно тому, как это делается в теории пластичности малых упруго-пластических деформаций Генки- Ильюшина:
0, s < e„
При s> es a = F(y)(1 -a(y)), a(y) =
f(y) -o(y) f(y)
s> es
Р и Ф находятся из опыта на растяжение с постоянной скоростью, когда у = , причём Р(у) при а < в3 есть экспериментальная кривая, для которой выбирается аналитическая аппроксимация, допускающая аналитическое продолжение при а > ев (в теории Ильюшина Р - линейная функция).
Р(у) , Ф(^) для опыта на сдвиг с постоянной скоростью показаны на рисунке 3
экстраполяция
начального
участка
0 А
диапазон
нелин.
вязко-упруго сти
диапазон вязкоупругость+пластичность
Таким образом, определяющие соотношения имеют вид:
I
a = W(Y) + (1 - s/smax)JK(t - T)s(T)dT
(1.3)
^ (Y) = F (y)(1 -a(Y))
Таким образом, как это принято в реологии, определяющие соотношения (1.3) учитывают как нелинейную вязко-упругость, так и пластичность деформационного типа с естественным ограничением - только для пропорционального деформирования. Существенным свойством предложенной модели является то, что она допускает точное обращение в случае неубывающей по модулю деформации. Можно показать, что соотношение, обратное (1.4), иммет вид:
лв
s = ар5 p \^арщр5dt
(15)
где
с = (^-1(с))1/а, 3 = п/а, в = т-^—, С = с (1 "¿)в 4 ; (1 р
Отметим, что ^ 1 (с) известная функция от напряжений, обратная функция
^ (!) = F (Г)(1 -а(г)).
Из построенных соотношений (1.5) получаются явные выражения для кривых ползучести: задавая процесс по напряжениям, как линейное по времени возрастание до величины <с0, которая в дальнейшем поддерживается постоянной, получаем следующие
уравнения кривых "реальной" ползучести для t > t0:
I 1
\П I Г%т.-1 , ч ,-Шп\и Лт,-Ь ,\и ,, , .А-шд^
s(t) = BQ (((a)t) (j; (( (a)t) dt + (( (а)) (t -10У ^0-1 -1 (а0 ) = const, p = 1/tm, щ = 1, ao = const. (1.6)
Мы будем называть "реальной" кривой ползучести случай, когда начальное нагружение производится с достаточной малой скоростью, отвечающей понятию статического деформирования. "Идеальная" кривая ползучести отвечает абстрактной модели "мгновенного" нагружения вида а = а0к^), к^) - ступенчатая функция Хевисайда. Если допустить, что в этом случае кривая ползучести 8(1) является степенной
функцией времени ^ и потребовать, чтобы в (1.3) напряжение с оставалось постоянным, получим, что это имеет место, если п = Х-шд(ц + /Х) [1], и в этом случае имеем уравнение кривой ползучести:
8) = В0 (( (с)) tХ-шд(1.5') Можно показать, что для кривых реальной ползучести при достаточно больших по сравнению с t0 значениях t зависимость ) близка к степенной зависимости (1.5'),
которая получается, если принять ступенчатое возрастание напряжений во времени. Таким образом, для таких процессов материал обнаруживает свойство так называемой затухающей памяти.
Опыт на релаксацию описывается следующим образом: программа по деформации представляет собой возрастание деформации с постоянной скоростью до заданного значения, которое в дальнейшем сохраняется постоянным. Оставаясь в области малых напряжений, положим ш = 0 и в этом случае получаем выражение:
Г = <
Е (а)Та
(
(Р +1)
У р
р +1 рТ
У р
0 < т < Т0
т > Тл
- Т Т = —
_ Т>
При Т = 1 очевидно Г = Г0 = Е(а)аТ0 . Выражение в скобках соответствует убывающей части правой ветви дробно-линейной функции вида = X (X — Х0 ) и в силу р > 0, Т0 > 0, Т > Т0 имеем Г > 0 .
Таким образом, кривая релаксации описывается как положительная степень дробно-линейной функции времени в области Т0 < Т .
Величина напряжения Гю при Т очевидно равна
Г = (
( р + 1)У Р
Таким образом, остаточное напряжение Г отлично от 0 и зависит только от Г0, р и У, и не зависит от параметров деформирования на начальном участке, что означает
проявление затухающей памяти в опыте на релаксацию.
Для обращения определяющих соотношений с учетом разгрузки построено приближенное выражение следующего вида
в = В„)'(£рТ(1 -е/^в^'+ Чт) (1.7)
^ 0
Здесь первое слагаемое есть точное обращение, о котором речь шла выше, а второй оператор представляет собой сумму внеинтегрального члена и оператора Вольтерры с экспоненциальным ядром, которые умножаются на "скобку-выключатель". Проверка применимости такого представления проводилась следующим образом: задавая "треугольный процесс" с постоянной скоростью нагружения и разгрузки, вычисляем отклик по деформации, который подставляется в обратный оператор, что должно привести к исходному "треугольнику". На рисунке 4 показаны кривые нагружения-разгрузки; сплошной линией показаны заданные кривые, а пунктиром - восстановленные с помощью обратного оператора.
Рисунок 4. Кривые нагружения и разгрузки.
Таким образом, на большей и основной части процесса исходная и вычисленные кривые практически совпадают, обнаруживая различие только в конце процесса, при малых напряжениях, что свидетельствует о возможности использования представления (1.7) для практических расчётов с соответствующим ограничением.
На графике 5 дано сравнение экспериментальных и расчетных кривых для циклического процесса (эксперименты проведены в Институте механики МГУ).
Рисунок 5. Сравнение экспериментальных и теоретических кривых для циклического
нагружения.
Литература:
1. Ю.Г. Басалов, В.Н. Кузнецов. Определяющие соотношения для малых вязко-упругопластических деформаций ползучести. // Известия РАН, МТТ. 1998, № 1. С. 29-34
2. Ю.Г. Басалов, В.Н. Кузнецов, С.А. Шестериков. Определяющие соотношения для реономных материалов. // Известия РАН, МТТ. 2000, №6 С. 69-81
3. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear Characterization of Sand-asphalt Concrete by Means of Permanent-memory Norms // Proc. of he SESA. 1960. V. 30. No 2. P.504-510.
4. А.А. Ильюшин, В.С. Ленский. Сопротивления материалов // М. 1959
5. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела // М., Наука, 1977, 712 с.
