Определяющее соотношение для реологических процессов, его обращение и анализ свойств кривых ползучести модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

Определяющее соотношение для реологических процессов, его обращение и анализ свойств кривых ползучести модели

Хохлов А.В. ([email protected] )

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 04-01-00325

Эта статья - продолжение исследования предложенного в работе [1] нелинейного определяющего соотношения (ОС) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в случае монотонного изменения деформации (в частности, ползучести, релаксации, вязкоупругости, пластичности и сверхпластичности). Деформация не предполагается малой и потому используется логарифмическая деформация е(*) := 1п I(*)/1(0). В дальнейшем будем считать историю деформирования е(*) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией безразмерного параметра времени * > 0. Соответствующее (безразмерное) напряжение <с(*) строится в виде композиции двух независимых нелинейных операторов К и I, действующих по схеме е(*) ^ у(1) ^ с(*) :

с(*) = !(К0), КО = Ке, где Ка:=а(*)а*в ^[ее^ , * > 0, (0.1)

а, р, ц > 0, 0, в, х,®,® > 0 - (0.2)

материальные параметры (МП), способ определения которых по экспериментальным данным предложен в [1,2]; I(х), х > 0, - материальная функция (произвольная неубывающая кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию отсутствия начальных напряжений I (0) = 0). Реологический оператор К отображает деформацию е(*) в неотрицательную функцию у(*), которую будем называть квазинапряжением, так как текущее значение у(*) связано с с(.) функцией I. В определение К входят интегральные операторы Ьр ® и отображающие историю деформации е(т), 0 < т < *, в функции

(* ^1/р (* ¿р,4е]:=1 {((т)т®0))т и ^[е,ё]:= I {т1^(((т)Ц + \те(т)\9)т (0.3)

V 0 ) V 0 )

переменной * > 0. Они задают семейства снабжённых специальными весовыми множителями норм (квазинорм при р, ц е (0;1)) пространств Лебега Ьр [0; *] и Соболева ЖЦ [0; *], зависящих от параметра * > 0. Весовой параметр х > 0 позволяет регулировать относительную величину вкладов е(т) и ё(т) в значение оператора х ® [е, ё], причины введения множителей т, т®1 и

т®0 и вытекающие из этого возможности, указаны в работах [1-3] и п.1,3-6 этой статьи. В них показано, что от ® и в существенно зависят все основные математические и «физические» свойства модели. В частности они, позволяют регулировать показатели асимптотики функций у(*) при * —^ +0 и * — <х и моделировать эффект затухания памяти материала, т.е. обеспечить независимость асимптотик теоретических кривых релаксации и ползучести при * — <х от конкретного закона изменения деформации (или напряжения) в стадии перехода от нулевого до заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Такое определение затухания памяти (модели или материала) - более слабое требование, чем принятые в монографиях [4,5], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.

ОС (0.1) является обобщением предложенного в работе [6] соотношения

( * уп/р

с(*) = 1(у(*)), КО = Аеа Гв{|е(т)|рёт , г/> 0, а,р > 1, ве [0;1], (0.4)

V 0 )

которое, в свою очередь, было получено из трёхпараметрической модели Фицжералда [7] путём введения материальной функции Е и множителя Гв (более подробный обзор см. в статье [2]). В статьях [6,7] приведены сравнения результатов расчетов по этим моделям-прототипам с данными экспериментов, показавшим их применимость к описанию некоторых аспектов поведения таких материалов, как твёрдое топливо и асфальтобетон. Это мотивирует систематическое исследование их обобщения (0.1).

Цель введения в ОС (0.1) оператора $ЧХШ1, явно учитывающего скорость деформации (СД), -

распространение ОС на материалы, обладающие повышенной чувствительностью к скорости деформирования, в частности, углеродные и керамические материалы при высоких температурах. ОС (0.1) представляется перспективным для описания поведения металлов и сплавов в состоянии сверхпластичности. Сверхпластичность - способность материалов к очень большой пластической деформации в условиях сильной зависимости напряжения течения от СД, которая, как правило, наблюдается у металлов и сплавов с мелкозернистой структурой при достаточно высоких температурах [8]. Некоторые авторы рассматривают сверхпластичность как особый случай ползучести [9]. Самое популярное уравнение состояния сверхпластичных материалов имеет вид с(1) = Кё(1 )те(^)", где К, т > 0, п > 0 - материальные постоянные, причем т/п >> 1 >> п (чаще всего полагают п = 0 ). ОС (0.1) даёт близкую зависимость в случае х << 1, £ /(а-п) >> 1, Ч > 1 и Е(х) = Нхм , Н, М > 0 . Кроме того, оно позволяет учесть зависимость напряжения от истории деформирования и зависимость параметра скоростной чувствительности т от СД е, регистрируемую в испытаниях сверхпластичных материалов.

Наличие девяти свободных параметров и одной произвольной функции Е (х) в соотношении (0.1) предоставляет, как показано в [1], более широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений определяющих параметров с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. Определяющее соотношение (0.1) позволяет (в случае монотонных процессов деформирования е(1)) описывать не только отдельные эффекты реологического поведения материалов, но и целый их комплекс: ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, релаксацию, эффект затухания памяти материала, зависимость напряжения от деформации и СД, зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от СД.

В статьях [1-3] при любых допустимых значениях материальных параметров (0.2) выведены уравнения теоретических диаграмм деформирования с постоянной скоростью, кривых релаксации, кривых ползучести (КП) для мгновенного нагружения и кривых длительной прочности, аналитически исследована зависимость их свойств от МП и МФ Е. Из общих качественных механических свойств материалов, наблюдаемых в опытах (возрастание напряжения с ростом деформации и СД, возрастание деформации ползучести с течением времени и с повышением напряжения, убывание кривой длительной прочности, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т. п.) были выведены необходимые и достаточные дополнительные ограничения на МП:

ё > 0, т0 < 0, ё + т0 > 0, п1 < 0, (0.5)

где ё :=а + £-ц , т0:=в+£(щ -1) ~п®0 + -ПР1, П := 1 -щ - ч- - (0.6)

ключевые параметры модели, входящие в уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации, ползучести и длительной прочности. Каждое из этих ограничений возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели. Например, первые три неравенства (0.5) совместно с возрастанием МФ Е (х) необходимы и достаточны, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, время разрушения убывало, а функция ст = а(а,е), задающая теоретические кривые деформирования с постоянной скоростью а, возрастала по обеим переменным [3]. Ограничения п1 < 0 и т0 < 0 обеспечивают убывание напряжения с(1) при постоянной деформации и независимость предела сш при I ^го от начальной стадии деформирования (т.е. затухание памяти при релаксации) [1]. В п.2-6 будет

доказано, что условия (0.5) гарантируют существование степенной КП для мгновенного нагружения с показателем п е (0;1) и затухание памяти при ползучести.

Цель данной статьи - аналитическое обращение ОС (0.1), изучение свойств обратного оператора, вывод и анализ уравнений кривых ползучести, соответствующих произвольному закону нагружения на стадии перехода от нулевого значения напряжения к заданному постоянному уровню, исследование зависимости свойств КП от МП и доказательство независимости асимптотик КП при I — го от длительности стадии нагружения и конкретного закона изменения напряжения на ней (вывод условий затухания памяти при ползучести).

1. Действие реологического оператора Я из (0.1) на степенные функции и функции с дифференцируемой степенной асимптотикой при I — +0.

В дальнейшем будет неоднократно использовано следующее свойство ОС (0.1):

Лемма 1. Степенные функции е(^) = аГ, t > 0, а > 0, п е Е, (11)

принадлежат области определения оператора Я только при п > п*, (12)

где п* = max{n0,п1} в случае £ Ф 0 и п* = п0 в случае £ = 0, (1.3)

п0:=-щ0 - р_1, п1:= 1 -щ - ч _1. (1.4) причём оператор Я переводит степенные функции (1.1) с п > п* в степенные функции

у (г) = ОУ^ = , t > 0, (1.5)

где т = ёп + т0, т0:=в + £(щ -1)-П®0 + £Ч--ПР1 = в-£п1 + цп0 , (1.6)

& :=(х + ИГ )Ч (Р(п - п0)Г\ч(п - Щ)У£Ч1 > 0 (1.7)

При ё > 0 функция т(п) = ёп + т0 возрастает. Если £ = 0 или х > 0, то & > 0 и из леммы 1 следует, что оператор Я биективно отображает множество допустимых степенных процессов е^) = аГ, п > п*, на множество степенных процессов у(1) вида (1.5) с т > т*, где т* = ёп* + т0. В этом случае легко построить обратное отображение к ограничению оператора Я на множестве таких степенных процессов: если задана функция у(1.) = Ыт, т > т*, Ь > 0, то из (1.6) можно выразить п = (т - т0)ё- (если т > т*, то будет п > п*), вычислить & по (1.7) (п > п* > 0 влечёт & > 0) и найти а из условия Опаё = Ь .

Итак, оператор (0.1) переводит множество степенных функций вида (1.1) в себя. Это свойство сохраняется и для гораздо более широкого класса функций - функций с дифференцируемой степенной асимптотикой (ДСА-функций). Мы будем так называть функции, не только обладающие асимптотикой

е^)~ atn при t —^ +0, п > п*, а > 0, (1.8)

но и имеющие производную в правой окрестности точки t = 0 с асимптотикой е(Х) ~ antn-1.

Лемма 2. Оператор Я из (0.1) переводит функции с дифференцируемой степенной асимптотикой (1.8) в функции с дифференцируемой степенной асимптотикой

У^)~ при t — +0, (1.9)

где показатель т и коэффициент & > 0 по-прежнему вычисляются по формулам (1.6) и (1.7)

Наличие при t — +0 линейной асимптотики е^) ~ at, а Ф 0, равносильно тому, что е(+0) = 0 и существует ненулевая правая производная е(+0) = а. Дифференцируемость линейной асимптотики (ДЛА) равносильна тому, что е(+0) = 0, е(+0) ф 0 и е^) непрерывна справа при t = 0. Поэтому из леммы 2 (при п = 1 и т > 1) вытекает

Лемма 3. Оператор Я переводит любую ДЛА-функцию е(1) в дифференцируемую справа при t = 0 функцию у($) с начальным значением у(0) = 0 тогда и только тогда, когда ё + т0 > 1; при этом дополнительно ^(+0) Ф 0 (т.е. т(1) = 1) лишь в случае ё + т0 = 1 (110)

Из лемм 1 и 3 следует, что ограничение (1.10) необходимо и достаточно для того, чтобы оператор R переводил линейные функции s(t) = at в линейные функции y(t) ((1.5) с m = 1), а ДЛА-функции - в ДЛА-функции. В первом случае отношение квазинапряжения y(t) к s(t) не зависит от t: y(t) = E(a) s (t) , где E = Q,ad-X = ad-1(x + 1)£/9(p(1 - n0))n/p(q(1 - n1))~£/q. Для ДЛА-функций y(t) ~ Es(t) при t — +0.

Ограничение (1.10) будем называть условием линейной инвариантности (УЛИ). Оно не является безусловно необходимым, но его целесообразно наложить на параметры модели по нескольким причинам. Во-первых, УЛИ служит регулятором асимптотики y(t) и <c(t) при t —^ +0, во-вторых, оно упрощает уравнение теоретической диаграммы деформирования и процедуру идентификации F(х) по экспериментальной диаграмме c- s путём согласования её с

теоретической зависимостью c = F (Es) [3]; в-третьих, УЛИ облегчает исследование теоретической кривой ползучести, так как значительно упрощает её зависимость от параметров модели (см.п.2). Наконец, в п.4 будет установлено, что (1.10) играет ещё и роль своеобразного условия баланса свойств оператора R и ему обратного по отношению к асимптотике деформации s(t) и соответствующего квазинапряжения y(t) при t — +0 .

2. Кривые ползучести модели (0.1) при мгновенном нагружении.

Чтобы найти КП при мгновенном нагружении, нужно решить нелинейное интегральное уравнение (0.1) относительно s(t), считая, что c(t) = const, т.е. y(t) = const при t > 0. Благодаря лемме 1.1 это решение можно найти в классе степенных процессов

s = atn, n > 0, a > 0, (2.1)

потребовав, чтобы было y(t) = yc, t > 0, в (1.5), т.е. m = 0 и Qnad = yc. Отсюда

n = nc := -m0d-, a = ^ := (yc Q- fd, (2.2)

где в силу (1.7) Qc := Q^ = (x + nqe fq(p(nc - n()))n!p(q(nc - nj)q > 0 . (2.3)

Qc и nc не зависят от напряжения cc = F(yc) и материальной функции F(х). При разных cc

кривые ползучести подобны с коэффициентом ax/a2 = (y / у2 )1d .

При £ > 0 формула (2.2) выражает показатель степенной КП только в том случае, когда n > n*, так как формула (1.5) справедлива лишь при условии (1.2). Легко проверить, что n > n* автоматически следует из nj < 0 и m0 < 0 (см. (0.5)). Кроме того, поскольку деформация материалов при постоянном напряжении не убывает с течением времени, следует наложить на МП ограничение n > 0 , т.е. m0d-1 < 0. Т.к. d > 0, оно равносильно условию m0 < 0.

Если m0 = 0, то n = 0 и s = a = const, т.е. модель описывает материал без ползучести. При

n = 1 имеем ползучесть с постоянной скоростью: s = t. Если n > 1, то скорость ползучести возрастает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «третий участок» (такие экспериментальные КП встречаются у некоторых материалов при высоких уровнях напряжения). Если n < 1, то скорость ползучести убывает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «первый участок».

Так как в начальной стадии ползучести скорость ползучести большинства материалов не возрастает, а убывает или остаётся постоянной, то на МП следует наложить ограничение

n < 1, т.е. -m0 < d (2.4)

Если налагается условие линейной инвариантности (1.10), то ограничение (2.4) выполняется автоматически, неравенство m0 < 0 равносильно условию d > 1, а показатель КП (2.2)

выражается формулой n = 1 -d-1 и не зависит от параметров p,q,P,rni, входящих в формулу

(1.6) для m0. Таким образом, в этом случае для существования степенной кривой ползучести с

n е (0;1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия d > 1 и щ < 0 (см. (0.5)).

Типичные экспериментальные КП, как правило, состоят из трёх характерных участков: на первом скорость ползучести убывает, на втором скорость ползучести примерно постоянна, на третьем скорость ползучести возрастает. В зависимости от материала и уровня напряжения один

или два из этих участков могут отсутствовать. Степенная КП (2.1) с n < 1 описывает только первый участок. Чтобы расширить область применения модели, в работе [12] предложено обобщение ОС (0.1), содержащее дополнительную (вторую) материальную функцию Ф(х) и позволяющее моделировать кривые ползучести произвольной формы.

3. Обращение определяющего соотношения в случае £ = 0

Чтобы вывести уравнение кривой ползучести, соответствующей произвольному закону стадии нагружения a(t) (т.е. стадии перехода от нулевого значения напряжения к заданному постоянному уровню), нужно предварительно построить аналитическое обращение ОС (0.1). Это удалось сделать только в случае £ = 0, когда ОС (0.1) принимает вид:

С t Vr/р

<y(t) = F(r(t)), где Y(t) = Rs:=s(t)ate\\(t°°s{t))P dT (3.1)

V 0

В ОС (3.1) не входит явно скорость деформации S(t), и остаются только пять материальных параметров: а, р,/> 0, в,о0 - 0. Выражения для ключевых МП (0.6) и ограничения d > 0, m0 < 0, (см.п.2 и (0.5)) принимают вид: d :=а-ц, m0 = Р~ц(а0 + р1) = в + /п0, (3.2)

а>/, в<Г(( + Р-1) (33)

Докажем, что, если а >/ и МФ F (х) строго возрастает, то ОС (3.1) обратимо, и обратный к R оператор на множестве кусочно непрерывно дифференцируемых при t — 0 функций y(t) действует по формуле

С t \и/р

s(t) = nreAy(t)A\\(y{T)A )dT , t > 0, (3.4)

V 0 J

где A := а- > 0, л:=г(а-г)-1 =r\d- > 0, Q :=(1 -/A)Р =(dA)/Р > 0, о :=о0 - 0A. (3.5)

Так как а > /> 0, то л > 0 и 1 -r/A > 0 (поэтому выражение для Q имеет смысл и Q< 1).

Формула обращения (3.4) показывает, что обратный оператор R-1 имеет ту же структуру, что и R, с тем отличием, что показатели степени, в которые возводятся интеграл и множитель t перед ним, имеют противоположный знак по сравнению с (3.1).

Показатель о может не быть положительным (и потому подынтегральная функция может иметь особенность в точке t = 0), но он, как и о0, всегда удовлетворяет (при уже принятых

ограничениях m0 < 0, d > 0, в — 0) более слабому неравенству

ор +1 > 0, т.е. о > -р-1 (3.6)

Действительно, при £ = 0 имеем /d 1(о + р_1) = /d 1(о0 - ва-1 + р= -m0d+ ва-1 — 0, поскольку m0 < 0, d > 0, в — 0. Отсюда следует, что о = - р-1 только тогда, когда m0 = 0 & в = 0, что равносильно в = 0 & r = 0 (модель (3.1) без интеграла). Таким образом, при /> 0 выполняется строгое неравенство (3.6).

Параметр w :=ар +1 и неравенство (3.6) будут играть в дальнейшем очень важную роль, как при обращении оператора (3.1), так и при выводе и анализе уравнения КП с произвольным законом нагружения (п.5). В частности, условие (3.6) - критерий сходимости несобственного интеграла (3.4) для любой ограниченной в правой окрестности точки t = 0 функции y(t).

t / Докажем формулу обращения (3.4). Из (3.1) имеем: J(t°0s(t)) dT = (s(t)°tв /y(t)) . Дифференцируем по

0

t: (t(0s(t))) = р/ (tву-1 )-1+р/Г у- ((ocs^Stв + sавtв-1) - Y аtв),

аtyS + (ву-р)s = р~lryl+р/rS1+р-ар/rt1+р(0-рв'п . Таким образом, при t > 0 искомая функция s(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Бернулли S + g (t )s = f (t )sK , (3.7)

где к:= 1 + р -ра/ , g(t):= а"1 (вt--yy-), f (t):= /а-p-1Yp/rtp(O0-в/) , (3.8)

у(г) - известная функция. Заменой у = £Я , Л := 1 — к= р(а — 7])П 1, уравнение Бернулли сводится к

линейному: у + Л&(г)у = Л/(г). Его решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0, имеет вид

г

у (г) = Лу(г) \ / (т)/v(r) йт , где v(г) - какое-либо решение однородного уравнения у + Лg (г) у = 0, такое, что

v(t) Ф 0 при t > 0. v(t) = exp

- Л1 g(т)йт = ехр [—Ла 1п г — 1п у (г))] = ()г в ) . Поэтому

г

I/(г)/V(г) йт = п(ар)—1 ¡ур/птр(Юо—в/п)+вл/аг-л/айт = Пар)-1 ¡ур/атрФйт, где ф :=ф0 — 0А, и

0 0 0

г

у = Лп(ар) 1 г Лв1ауЛ1а¡ур/атрфйт. Из (3.6) следует сходимость этого интеграла для любой ограниченной в

0

правой окрестности точки г = 0 функции у (г). Отсюда можно найти е(г) = у1/Л лишь при Л > 0 (иначе Л1/Л не имеет смысла). Но первое из ограничений (3.3) как раз гарантирует, что Л := р(а — 7])П 1 > 0 .

Итак, s(t) = (1 -па ) t-р1ау

1/Л

t

1\1/&t-p/a 1/а

fyp/arpcodT

. Полагая /л := p/Л, получим (3.4). □

\м/p

В частном случае, когда в = а0 = 0 и p > 1, обращение ОС (3.1) указано в [6] (без формулировки условий, при которых оно существует). В этом случае a = 0 в (3.4).

4. Некоторые свойства обратного оператора (3.4).

Операторы (3.1) и (3.4) переводят любую непрерывую при t > 0 функцию в непрерывную, а дифференцируемую - в дифференцируемую. В точке t = 0 это свойство может нарушаться. Выясним, при каких условиях оператор (3.4) переводит функции со степенной асимптотикой y(t) ~ btm, m > 0, при t —^ +0 в функции s(t), такие, что s(0) = 0 (этого требует физический смысл s(t) ). Ответ на этот вопрос связан с корректностью модели, и получить его важно ещё и потому, что при построении обратного оператора (3.4) строилось решение дифференциального уравнения (3.7), коэффициенты которого, вообще говоря, сингулярны при t = 0. Полагая, чтоy(t) ~ btm приt — +0, найдём асимптотику функции-образа (3.4):

(t у/p

s(t) ~ Qt-eAbAtmA I \(rabArmA ) dr = QbA(1+u)t(m-e)A ((p(mA + a) +1)-1 tp(mA+a)+1 f V 0 J

т.е. s(t) ~ CtN, где C := QbA(1+u) (pmA + pa +1)u'p > 0, а N выражается формулой N := (m - P)A + ¿(mA + a) + ¿/ p = (m(1 + ¿u) - P)A + u(a0 - вА) + ¿/ p = (a-r)-1(m - в-цп0). В силу (3.2)

N = (a-ri)l(m - m0) = (m - m0)dl. (4.1)

s(t) — 0 при t — +0 тогда и только тогда, когда N > 0, т.е. m -m0 > 0 (так как d> 0). Отсюда следует, что условия d > 0 и m0 < 0 необходимы и достаточны для того, чтобы для любой функции y(t) с асимптотикой y(t) ~ btm, m > 0, при t — +0, функция-образ (3.4) стремилась к нулю при t — +0. Если выполняется строгое неравенство m0 < 0, то это верно и для m = 0 (см.п.2). Таким образом, ограничения d > 0 и m0 < 0, возникшие при анализе кривых ползучести в п.2 и кривых релаксации в [1], играют определяющую роль и в этом вопросе.

Следует отметить, что при m0 <0 оператор (3.1), в отличие от обратного к нему оператора

(3.4), переводит функции со степенной асимптотикой s(t)~ atN при t — +0 в функции y(t), обращающиеся в нуль при t = 0, не при всех N > 0, а тогда и только тогда, когда N > пс, где пс :=-m0d-1 >0 - показатель кривой ползучести (2.1) (в самом деле, m > 0 в (1.6) только при п > max{n*, пс} , а в случае £ = 0 имеем п* = п0 < 0 ).

При m0 = 0 оператор (3.1) переводит положительные постоянные функции s(t) = a , t > 0, в положительные постоянные функции y(t) = b, b := Q0ad, функции с нулевым показателем N степенной асимптотики s(t) ~ a > 0 при t ^+0 - в функции этого же класса, а функции с положительным показателем асимптотики N - в функции с положительным показателем m . Естественно, что и обратный оператор (3.4) переводит указанные классы функций в себя.

Формулу (4.1) можно также вывести леммы 2 (п.1), утверждающей что оператор R из (0.1) переводит в себя класс функций с дифференцируемой степенной асимптотикой. Если £ = 0, то дифференцируемость асимптотики не требуется: оператор (3.1) переводит в себя множество всех функций со степенной асимптотикой (1.8) (при £ = 0 имеем n* = n0 < 0 в силу (1.3)). Поэтому этим же свойством обладает и обратный оператор (3.4), в частности, он переводит функцию y(t) с асимптотикой y(t) ~ btm, b > 0, при t ^+0 в функцию s(t) с асимптотикой s(t) ~ CtN, где N = (m - m0)dв силу (1.6).

При m = 1 и N — 1 отсюда вытекает следующее свойство обратного оператора (3.4): для того, чтобы оператор (3.4) переводил любую функцию y(t), удовлетворяющую условию у(0) = 0 и имеющую ненулевую правую производную при t = 0, в дифференцируемую справа при t = 0 функцию s(t), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство d + m0 < 1.

В п.1 было установлено, что оператор R из (0.1) (в частности, оператор (3.1)) обладает аналогичным свойством при условии d + m0 — 1. Поэтому взаимно обратные операторы (3.1) и (3.4) одновременно сохраняют выполнение начального условия f(0) = 0 и существование ненулевой правой производной в точке t = 0 (т.е. сохраняют наличие при t ^+0 линейной асимптотики f (t) ~ at, a Ф 0), тогда и только тогда, когда d + m0 = 1, т.е. выполнено (1.10).

Таким образом, условие линейной инвариантности (1.10) играет ещё и роль своеобразного условия баланса свойств оператора R и ему обратного по отношению к асимптотическому поведению деформации s(t) и соответствующего квазинапряжения y(t) при t ^+0 .

Ещё одно важное свойство обратного оператора (3.4) (оно окажется полезным, в частности, в п.6) - сохранение при его действии равномерной сходимости внутри интервала t е (0; +го) параметрических семейств (в частности, последовательностей) функций: можно доказать, что оператор (3.4) переводит равномерно сходящиеся при v^v0 внутри (0; +го) семейства функций

yv(t) в равномерно сходящиеся внутри (0; +го) семейства функций sv(t) = R~lyv (если Yv (t) ^ Y(t) при v ^ v, то R-1 Yv (t) ^ R).

5. Кривые ползучести для модели (3.1) с учётом начальной стадии нагружения.

При подстановке в формулу обращения (3.4) постоянной функции y(t) = ус, t > 0, получается

КП (2.1), соответствующая мгновенному нагружению до напряжения ас = F(ус). Подставим теперь в (3.4) функцию y(t) = F l(c(t)) вида:

y(t) = ус <(t/T) при t е [0, T] и y(t) = ус = const при t > T, (5.1)

где функция <(х), задающая стадию нагружения, - произвольная неубывающая на [0;1] кусочно-непрерывная функция, такая, что <(0) = 0, <(1) = 1 (из этих условий следует, что Y(0) = 0, y(T) = ус и а(0) = F(0) = 0, a(T) = F(ус) ). Тогда

С t лл/р

при t е [0; T] s(t) = Qt~вAy<(t / T)AI J (t« / T)A ) dT (5.2)

V 0 J

где по (3.5) A :=а- > 0, л:=г(а-/)-1 =/d- > 0, Q = (ciA)'v =(/ + 1)-л/р > 0, а :=о0 - вА; а при t — T, учитывая неравенство (3.6) и полагая w := ар +1, получим:

¿(г) = ОгвСЛ [/ ((<Т)А) йт+]( ) йт

Бт )

V"/р

(

= ПгА(1+"(ф р +1)—"/рЕвЛ (гфр+1

т

\"/р

= Ог

У? Фт +г<

Лр

фр+1

фр +1

\"/р

= Оу1/ рг—вл+*"/р

\м/р

(1—Бтг -*)'

1

Ф ;= |хрф<(х)рЛйх > 0.

где Фт :=|(г>(г/Т)л)) = Фтфр+1 = Фт*,

0 0

Бт := тфр+1 — (фр + 1)Фт = Б<тфр+1 = Б, Б< := 1 — (фр + 1)Ф = 1 — *Ф , Так как * > 0 в силу (3.6), то для любых т и <р(х), описывающих стадию нагружения (5.1), верны следующие оценки для коэффициентов (5.4) и (5.5):

(5.3)

(5.4)

(5.5)

0

<Ф<| хфрйх = (фр + 1)—1

0 < Б<< 1

0 < Бт < Г

(5.6)

Условие (3.6) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (5.4) (он будет несобственным в случае ф < 0) сходился для любой кусочно-непрерывной на [0; 1] функции <(х) (ибо

хрф<(х)рА <МрЛхрф), т.е. для того, чтобы была верна формула (5.3).

Выражение (5.3) можно переписать в виде:

\"/р

где п := "(ф + р 1) — РА > 0, а :=Оу(

¿(г) = агп (1 - Бтг—*) = агп (1 — Бг—*, г > т

> 0, 0 = (йЛ)

Л(1+") —"/р _

= Пу

1/а М>~П/рй

"/р

> 0

(5.7)

(5.8)

При разных напряжениях ас = Е(ус), но одинаковых Бт, КП (5.7) подобны с коэффициентом а1 /а2 =(ух/у2)1/й . Параметры (5.8) не зависят от т и функции <(х), задающей нагружение (5.1), и совпадают с параметрами (2.2) КП (2.1) для мгновенного нагружения (при £ = 0). Как и подобает кривой ползучести, функция (5.7) возрастает при г >т, так как оба множителя положительны и возрастают в силу условий * > 0, Бт > 0, "/ р > 0, п > 0, а > 0, вытекающих из (3.3). Можно доказать, что для КП (5.7) с п е (0;1) скорость ползучести ¿(г) убывает и ¿(г) ^ 0 при г ^го. При п = 1 ¿(г) убывает, но ¿(г) ^ а > 0 при г ^го (т.е. скорость ползучести

практически постоянна при больших г), а КП (5.7) имеет асимптоту ¿ = аг. ¿/¿0

0.8

0.6

0.4

0.2

¿/у //// // //у

' ///у

0.5

1.5

2.5

г / г,

Рис. 1. Кривые ползучести (5.2), (5.7) при <(х) = х и т = 1;0.75;0.5;0.25 и кривая ползучести (2.1) (т = 0) для модели (3.1) с а = 3 , п, р, в,ф0 = 1 (показатель КП п = 0.5 ) при одном и том же уровне напряжений стс = Е(ус) , ус = 1.

1

0

0

1

2

Влияние функции tp(x) на КП (5.7) при t >T определяется только интегральной числовой характеристикой Ф (см. (5.4)). Для разных ср(x) с одинаковым значением Ф КП полностью совпадают при t >T. С ростом Ф (Ф е (0; w~l) в силу (5.6)) коэффициент убывает, и вся КП

(5.7) смещается вверх. Участки КП (5.7) и (5.2) непрерывно склеиваются при t = T для любой ср( x ), такой, что ср(1) = 1 (тогда квазинапряжение (5.1) непрерывно при t = T ).

6. Равномерная сходимость семейства кривых ползучести (5.2), (5.7) при T — +0 к кривой ползучести для мгновенного нагружения и затухание памяти материалов.

Так как по (3.6) w > 0 , то кривая ползучести (5.7) имеет асимптотику

s(t) ~ atn при t — œ (6.1)

Отсюда следует, во-первых, что КП (5.7) ограничена сверху только тогда, когда n = 0, т.е. m0 = 0

(см. (2.2)). В этом случае КП (5.7) имеет горизонтальную асимптоту s = a. Кроме того, из (6.1) следует, что КП (5.7) выходит при больших значениях t/T на КП для мгновенного нагружения (2.1). Последняя получается из (5.7) при BT = 0, т.е. при T = 0. С уменьшением T коэффициент BT = B9>Tw убывает, а значение функции (5.7) при любом t >T растёт, т.е. вся КП (5.7) смещается вверх (см. рис.1), оставаясь всё время ниже КП (2.1).

При T —^ +0 значения BT и s(T) = aTn ^ф)p (т.к. n > 0 ) стремятся к нулю монотонно.

Можно доказать, что T-параметрическое семейство кривых ползучести (5.2), (5.7) (соответствующих одному и тому же уровню напряжения ас = F(ус )) сходится при T — +0 к КП для мгновенного нагружения (2.1) равномерно на любом интервале t >т, где т> 0 (т.е. обратный оператор (3.4) сохраняет этот тип сходимости семейства функций (5.1) к постоянной).

Независимость асимптотики (6.1) кривых ползучести (5.7) при t — œ от конкретного закона изменения напряжения на любом фиксированном конечном интервале времени означает, что (при выполнении ограничений (3.3)) модель (3.1) обладает затухающей памятью при ползучести. Аналогичное свойство кривой релаксации модели (0.1) (при выполнении ограничений (0.5)) установлено в работах [1,2]. Такое определение затухания памяти модели или материала (при ползучести и релаксации) - более слабое требование, чем принятые в монографиях [4,5], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.

7. Об обратной форме ОС (0.1). ОС (0.1) выражает напряжение в текущий момент через заданную историю деформации. Построить его аналитическое обращение на множестве всех кусочно дифференцируемых процессов s(t) удалось только в частном случае, когда £ = 0 (п.3). Обращение общего ОС (0.1) получено только на классе степенных и кусочно-степенных процессов (п.1, следствие леммы 1). Поэтому ОС (0.1) с 0 пока плохо приспособлено к аналитическому описанию реологических процессов, в которых задаётся произвольная программа нагружения a(t) Ф const и нужно найти деформацию s(t) . Приятное исключение -случай, когда a(t) - кусочно-степенная функция, в частности, ползучесть при a(t) = const (см. п.2). В других случаях получить точное решение s(t ) нелинейного интегрального уравнения (0.1) с заданным c(t) не просто. Конечно, остаётся возможность его численного решения (например, итерационными методами), либо приближенное построение решения, основанное на аппроксимации (в частности, интерполяции) заданного u(t) кусочно-степенными функциями. Эти подходы требуют и заслуживают тщательного исследования и обоснования (для доказательства сходимости следует изучить в каких метрических пространствах функций и при каких условиях оператор R биективен, равномерно непрерывен, монотонен, дифференцируем и т.д.). Это направление весьма привлекательно для автора.

Но возможен и другой подход - видоизменить ОС (0.1) (конечно, постаравшись максимально сохранить его полезные свойства, обнаруженные ранее), переписать его в иной форме с целью приспособить именно к описанию процессов, в которых задаётся программа нагружения a(t ) и нужно найти деформацию s(t), в частности, к описанию различных эффектов при ползучести

(ползучести при ступенчатом нагружении, обратной ползучести, длительной прочности и т.п.). Самый естественный способ это сделать - поменять ролями a(t) и s(t) в ОС (0.1), сохранив структуру интегрального оператора R, связывающего их, т.е. задать ОС в виде:

s(t) = R'y, где Y(t) = f(°(t)) и R'y:=y(t)atß S^Jr, rf Ь^уГ, t > 0. (7.1)

(ограничения на параметры (0.2) и (0.5), обеспечивающие адекватное моделирование характерных особенностей механического поведения материалов, конечно, изменятся).

В пользу такого подхода свидетельствуют два существенных соображения. Во-первых, вся методология и техника исследования семейства операторов R из (0.1), развитая в этой статье и работах [1-3], не зависит от физического смысла функций из области определения оператора, и потому все математические свойства R , делающие его пригодным для описания реологических процессов, присущи и оператору R , а их механическая интерпретация просто приводит к другим ограничениям на материальные параметры (имеющие иной физический смысл). Во-вторых, в важном частном случае, когда £ = 0, обратный оператор R- является интегральным (см. п.3) и имеет в точности ту же структуру, что и оператор R, т.е. в этом случае точное обращение ОС (0.1) имеет как раз вид (7.1), где R' = R, f = F. В общем случае £ Ф 0 точное обращение ОС (0.1), вообще говоря, нельзя построить в виде (7.1), но при определённых условиях в семействе операторов R' можно найти квазиобратный для R из (0.1), т.е. так выбрать параметры в (7.1), что композиции R' ° R и R ° R' мало отличаются от тождественного отображения на достаточно обширном для моделирования множестве функций, и, в частности, модели (7.1) и (0.1) приводят к одним и тем же (или близким) диаграммам деформирования, кривым ползучести, релаксации, длительной прочности. При дополнительных ограничениях на параметры ОС (0.1) такой квазиобратный оператор R' можно подобрать даже в более узком семействе операторов (3.4). Но это - тема следующей статьи.

Заключение. В статье продолжено исследование нелинейного определяющего соотношения (ОС) (0.1) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в случае монотонного изменения деформации (в частности, вязкоупругости, ползучести, пластичности и сверхпластичности). Выведено уравнение теоретической кривой ползучести при мгновенном нагружении до заданного уровня напряжения, исследована зависимость её свойств от материальных параметров и напряжения.

Получено аналитическое обращение ОС (0.1) (выражение деформации через напряжение) в случае £ = 0, установлено, что обратный оператор Rявляется интегральным и имеет ту же структуру, что и оператор R, изучены его свойства (пп.3,4). С его помощью выведено уравнение (5.2), (5.7) семейства кривых ползучести, соответствующих произвольным законам нагружения на стадии перехода от нулевого значения напряжения к заданному постоянному уровню (п.5). Исследована их зависимость от материальных параметров и характеристик стадии нагружения, найдены ограничения на материальные параметры, обеспечивающие независимость асимптотик таких кривых ползучести при t ^œ от длительности стадии нагружения T и конкретного закона изменения напряжения на ней, т.е. условия затухания памяти модели при ползучести. Кроме того, доказана равномерная сходимость при T ^+0 семейства кривых ползучести (5.2),(5.7) к кривой ползучести (2.1) при мгновенном нагружении (на любом интервале t > т, где т > 0). Это свойство дополняет и усиливает при малых T свойство асимптотического затухания памяти при t ^œ, справедливое при любом T.

Затухание памяти при ползучести показывает, что уравнения кривых длительной прочности модели (соответствующие деформационному критерию разрушения и родственным ему интегральным критериям, предложенным в [3]), практически не зависят от начальной стадии нагружения (если только деформация в конце этой стадии мала по сравнению с критической деформацией, при которой происходит разрушение). Поэтому для прогноза длительной прочности можно пользоваться простым уравнением (2.1) кривой ползучести для мгновенного нагружения (с T = 0 ), дающим хорошее приближение уже при t > 2T.

Таким образом, показано, что ОС (0.1) позволяет адекватно моделировать целый комплекс

реологических явлений: зависимость диаграмм деформирования от скорости деформирования,

релаксацию, ползучесть, длительную прочность и затухание памяти материалов.

Литература

1. В.Н. Кузнецов, А.В. Хохлов, С.А. Шестериков. Определяющие соотношения для реологических процессов // Электрон. жур. "Исследовано в России", 16, С. 152-160, 2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/016.pdf

2. Кузнецов В.Н., Хохлов А.В., Шестериков С.А. Определяющие соотношения для монотонных реологических процессов // ПММ (в печати).

3. А.В. Хохлов. Определяющее соотношение для реологических процессов, критерии разрушения и моделирование кривых длительной прочности // ПММ (в печати).

4. Дэй У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. 192 с.

5. Клюшников В. Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1994. 190 с.

6. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н., Шестериков С.А. Определяющие соотношения для реономного материала // Изв. РАН. МТТ. 2000, №6. С. 69-81.

7. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear Characterization of Sand-asphalt Concrete by Means of Permanent-memory Norms // Proc. of the SESA. 1960. V. 30. № 2. P.504-510.

8. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Уфа: Гилем, 1998. 280с.

9. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1986. 96 с.

10. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

11. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

12. Khokhlov A.V. An Extension of the Constitutive Equation for Rheological Processes and New Properties of the Theoretic Creep Curves // Advanced Methods in Validation and Identification of Nonlinear Constitutive Equations in Solid Mechanics (EUROMECH Colloquium 458). Moscow, 2004. P.44-46.