CC BY
21
УДК 624.131.439:624.01
А.Н. Панин, асп., (4872)33-22-98 (Россия, Тула, ТулГУ), Н.И. Прохоров, канд. техн. наук, проф., (4872)33-22-98 (Россия, Тула, ТулГУ)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ И УПРУГОЙ ЗОНАХ ПРИ ВДАВЛИВАНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ГРУНТОВЫЙ МАССИВ
Описывается решение задачи по определению зоны разрушения грунта вокруг трубы вдавливаемой в грунт.
Ключевые слова: поля напряжений, инженерные конструкции, грунтовый массив.
При вдавливании трубы в грунтовом массиве образуются три зоны различного деформированного состояния грунта: первая - зона разрушения; вторая - зона пластических деформаций (зона уплотнения) и третья -зона упругих деформаций.
Для определения границы зоны уплотнения грунта примем следующую расчетную схему (рис. 1): в грунте выделен элемент, в центре которого расположено отверстие, к контуру отверстия приложены равномерно распределенные усилия р. Кроме того, значения напряжений на границе элемента известны.
Таким образом, вопрос сводится к определению контура, ограничивающего упругую область - задача Галина [1].
Рис. 1. Расчетная схема
Решение задачи сводится к определению контура, ограничивающего упругую область. Компоненты напряжения ах, ау и тху удовлетворяют условиям равновесия
да дт да дт
I ху = 0 у I ху
= 0
дх ду ду дх При этом в упругой области имеет место условие совместности:
' д2 д2 Л
дх2 ду2
ах + ау ) = 0
В пластической области условие пластичности:
(ах-ау) + 4Т
2
ху
4к2
Введя функцию напряжений ф1, удовлетворяющую уравнениям равновесия в пластической области, а составляющие напряжений представить в виде
1 ( д Л ^ а(1) _ д >1
а
.(1)
дг
а
то уравнение равновесия примет вид
1 д> д2 >
дг2
±2к.
(1)
"гв
0.
г дг дг
функция удовлетворяющее этому уравнению будет:
-кгг + ( р к '
Я
>1
р V 2
2
(2)
Компоненты в пластической области будут:
г г
а(1) = р - 2к -, а^^ = р + 2к - 2к -, твв = 0.
Я Я
Для определения компонентов поля напряжений в упругой области введем бигармоническую функцию
>3 =>2 - >1
где >2 - функция напряжений, удовлетворяющая уравнениям равновесия в упругой области; >3 - функция напряжений, удовлетворяющая уравнениям равновесия на границе зоны пластических деформаций.
С учетом этого функция >3 должна определяться с помощью соотношений Колосова-Мусхелишвили
Л + = 4*е [Ф3 (:) ]
дх2 д >
д >3 о/д >
дх2 ду2
21
дхду
2[2Ф3'(2) + ^3 (2)
г
Для определения границы зоны пластических деформаций отобразим внешнюю по отношению к Ь область на внешность единичного круга у (Ц > 1) так, чтобы бесконечно удаленная точка одной области переходила
в бесконечно удаленную точку другой. Отображающая функция сэ(С) может быть представлена в следующем виде:
2 = "(С) = 1 + g (С)
Если обозначить Ф3(|) = Ф3("(С)), ¥3(С) = ¥3 ("(С)), то из соотношений (3) получим д 2>3 д >3
дх2 ду2 д 2>3 д >3
4Яе Ф3 (I),
- 21
2
д >3
дхду
= 2
"(С)
Ф3 (С)+¥ 3 (С)
С учетом того, что напряжения на границе между пластической и упругой областями непрерывны получим
4Яе Ф3 (С) = 0,
2
При I ® ¥
4Яе Ф3 (С) = 4к
58ф3 о* 3(|)
= 0
(4)
/ ¥
а.
4к 4к
1 - Р - 1в Я + 1д с - 1д ||
2
"(С) "(С)
Ф 3 (С)+¥ 3 (С)
(5)
¥¥ = а, -а -2ке
-2 в
Из соотношений (4), (5) можно определить функции
Ф3 (С), ¥ 3 (С), "(С).
Функция Ф3 (С) может быть представлена следующим образом: Ф3 (С) = -к\%С + И (С). Здесь И (С) - функция, регулярная вне единичного
круга. Из соотношений (2) следует, что действительная часть И (С) равна нулю на контуре единичного круга и ограничена повсюду, в том числе и на бесконечности. На основании этого И (С) = 0. Таким образом,
Ф 3 (С) = -к . (6)
Так как И(С) = 0, то действительная часть Ф3 (С) на бесконечности равна -к \%С. Поэтому на основании (5) определится величина
с = Я ехр
Р
а„
а.
1
2к 4к 4к 2
Используя (6) из условий (5), получим при С ® ¥
оо оо
ч3(С) = ау
2
Для определения Ф3 (С), регулярной вне единичного круга, вос-
пользуемся условием
[*3 (С) 1 =
к
а(С) 1 а(С)С
Преобразуем выражение следующим образом:
1
к «>'(ст (с)
Функция g(С) функции со(£) может быть представлена в виде
1
g (С) = Е ап СП-.
п=1 Ь
а
1
(0=сс+Е ап ь
п=1
Следовательно, в силу того, что на контуре единичного круга
Ь С
0)(
(С) = су + Е апС
С
п=1
Итак, имеем
С+Е апС
Ъ п=1
1 3 (С)
Применим к обеим частям этого равенства, умноженным на С т, формулу Коши
I
1
с
Е апС
п=1
4-С=г
У- 7 J
С-
(С)С 3 (С)
1
с1С
Выражение (С) представляет функцию, регулярную вне
единичного круга, кроме бесконечно удаленной точки, где она имеет полюс первого порядка. Поэтому интеграл в левой части будет равен нулю при всех т > 1. Получаем следующие коэффициенты:
а
¥ ¥ а -а
у X
2к
ап = 0 (п > 1).
7
7
п
п
7
7
п
7
7
Таким образом, имеем
Эта функция отображает внешность эллипса на внешность круга. Таким образом, граница между пластической и упругой областью будет эллипсом
+
У
с2(1 + Я с2(1-Я
=1.
(7)
оо оо
О
где р -
2к
Подставляя отображающую функцию в уравнение получим
(0=
со(С) 1
Выразив С, на основании г:
к-
\\2cj
Найдем Ф3 (г):
2с
ч2 с/
Функция напряжений в упругой области ср2 может быть представлена в форме
Введем обозначения
В силу того, что (ръ-(р2- (рх и, следовательно, (р1-сръл- будет также иметь место <р2 - ср] + ср\. Это приводит к равенству
где Ф\(1) = ч\(1).
Сумма нормальных напряжений упругой области следующим образом выражается на основании Ф* (г):
(В)
ст|2)+(712)=4Ке[ф;(2)].
Также
¿2
, . 2 р-к
Я 2
, , г р+к Я 2
Делая подстановки получаем
р-к
ф
г2\
/
л
+ ■
-к 1§
V ^ /
2 /(2
-+ .
2с VI 2с
V
-р
Преобразуем это выражение, пользуясь формулой для с. В результате найдем
_оо _оо
, (7Х + <Т
к 1§
^Л-р
V- У
Л
С учетом (8) получим
+ сг(2) = сС + (ТГ + 4/с Яе
18
Л
(9)
Кроме того, имеем в упругой области
( \
Э>2 Э>2 2/.Э>2
Эх2 ду
Эх Эу +
дхду
(дг(ръ Э>3 2-3>з"||Г ЭУ Э>1 Э>1 1
(10)
дхду
дх2 ду2
дхду
Также
эу3 эу3 2/эу3_
Эх2 Эу2 ЭхЭу
= 2
ФзЮ+^Ю
Подставляя сюда значения ¿у(^), ^'(¿Г)? Фз(0 и ХР3(¿Г), получим
1
э Уз э Уз 2. эу3 _
Эх2 Эу2 Кроме того
дхду
= 2
1
1-4
С-Р
л
Э>, Э>, = 2ке~2ю = 2к—
дх2 ду2 дхду Подставляя в (10) найдем
(2) _ .
1+дг2
С, 1 1
Подставляя С получим окончательно
2с2 - 2с2b2 +(bz - z)(z + y]z2 - 4c2b)
л
sf-S 2) + 2t> = 2k
z
(11)
V
z (z + Jz2 - 4cb)
z
У
Выражения (9) и (11) дают возможность определить все компоненты напряжений. В результате решения поставленной задачи были найдены:
- напряжения в пластической и упругой областях грунтового массива окружающего вдавливаемую трубу;
- получено уравнение границы зоны пластических деформаций.
Полученные данные имеют практическое значение при определении зоны влияния вдавливаемой трубы на различные инженерные сооружения.
1. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи/ Л. А. Галин. М.: Наука, 1984. 232 с.
2. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 255 с.
3. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987. 221 с.
A.N. Panin, N.I. Prochorov
DEPENDENCES OF DISTRIBUTING STRESS FIELDS IN PLASTIC AND ELASTIC ZONES BY IMPRESSING ENGENDERING OBJECTS INTO SOIL MASSIF
Solving problem on determining zone of soil destruction around pipe of impressing into soil is described.
Key words: stress fields, engendering objects, soil massif.
Список литературы
Получено 12.11.12
