CC BY
15
технологии легкой промышленности
УДК 677.052.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФОРМЫ БАЛЛОНИРУЮЩЕЙ НИТИ
© 2007 г. Н.Л. Ушакова, Е.И. Ушаков
С целью усовершенствования конструкции коль-цепрядильной машины выявим пространственную форму баллонирующей нити, образуемую крутильно-наматывающим механизмом.
Полагаем, что пространственная форма нити определяется ее кривой, расположенной на виртуальной поверхности баллона. При этом форма баллона зависит от формы его образующей, которая, в свою оче-
0,04 0,12 0,20
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
\
а
\ ОБ
\
1
J 1
/
J Г
Y
редь, связана с такими параметрами, как высота H баллона; радиус кольца R ; максимальный радиус у тах баллона.
Рассмотрим форму баллона, у которой утах определяется установочными размерами кольцевого или пластинчатого ограничителя баллона (ОБ). При наличии кольцевого ОБ высота его расположения на кольце-прядильной машине определяет точку образующей баллона, имеющей у тах. При монтаже пластинчатого ОБ ее необходимо выявить, что усложняет решение задачи. Поэтому нами будет рассматриваться задача с установкой пластинчатого ОБ (рис. 1).
Поскольку баллон имеет волновую природу [1], то уравнение его образующей можно описать синусоидальной кривой вида [2]
X
Рис. 1. Форма образующей баллона
y = k sin ax,
(1)
где x, у - текущие (мгновенные) высота и радиус баллона соответственно;
a =
-у/ц O ю Б/ Tx
где д с, - линейная плотность материала нити; юБ -угловая скорость вращения баллона, определяемая угловой скоростью юВ вращения веретена; TX -вертикальная составляющая натяжения нити в баллоне.
Для вышеопределенных условий имеем [2]:
к = у max ' TX = Д О Ш Б H V[% ~~ ^^ у max ) 2. (2)
Во вращающейся цилиндрической системе координат рассматриваем элемент нити длиной dS, расположенный на образующей баллона, положение которого определяется радиусом y, аппликатой x и углом поворота ф образующей (рис. 2). При этом толщина образующей баллона равна диаметру d н нити.
На баллонирующую нить действуют: аэродинамическое сопротивление; сила тяжести G нити; центробежная сила инерции C и Кориолисова сила инерции F.
Рис. 2. Пространственная форма баллона и нити
Аэродинамическое сопротивление направлено против движения тела и раскладывается на лобовое сопротивление, подъемную силу и боковое сопротивление. Эксперименты с текстильными нитями не обнаружили боковой силы, поэтому она учитываться не будет [3]. Лобовое сопротивление Q и подъемная сила P определяются как [4]:
x
Q = 0,5Cxdнри ; P = 0,5Cydнри 2Í ,
(3)
(4)
где Cx, Cy - коэффициенты лобового сопротивления
и подъемной силы, соответственно, зависящие от угла атаки х (угла между направлениями касательной к элементу нити dS и скоростью потока и в рассматриваемой точке); р - плотность воздуха; £ - длина нити, перпендикулярная движению.
Поскольку элемент нити dS расположен на образующей баллона, то х = 90 ° и Cy = 0 [4]. Тогда выражение (4) равно нулю, т.е. подъемная сила отсутствует. Это соответствует постоянной величине TX для текущей формы баллона [5], поскольку в вертикальной плоскости на элемент dS действуют только силы тяжести G нити и вертикальной составляющей натяжения TX нити в баллоне, уравновешивающие друг друга. Или сила тяжести, отнесенная к единице длины нити в баллоне, равна ее вертикальной составляющей натяжения. Из этого с учетом (2) и зависимости G = д OLg , где L - полная длина нити в баллоне и g -ускорение свободного падения, следует:
д OШБH V[п - arcsin (Rymax )) 2 = д OLg ^
^ у max = Rsin (П - ). (5)
Из (5) ymax = f (R,H,шб, L), что по-новому интерпретирует зависимость [4]:
У max =V 3Д ORI2Р Cxd н .
Как будет показано далее, параметры д O, р, Cxdн определяют величину L , и поэтому (5) учитывает большее количество параметров баллона.
Силы C, F, Q действуют в плоскости, перпендикулярной оси вращения баллона. Сила dC направлена по радиусу вращения элемента dS , силы dF и dQ перпендикулярны радиусу вращения, при этом последняя направлена в сторону, противоположную вращению элемента dS . Сила dF вверху баллона (до значения у = у max) направлена в ту же сторону, что и сила dQ. Внизу баллона сила dF направлена в сторону вращения элемента dS .
Центробежная сила инерции dC, действующая на элемент dS , равна
dC = д O ш Б У dS , (6)
где dS = у]dx2 + dy 2 = ^ 1 + (y')2dx . (7)
Для текущего (мгновенного) положения баллона ( шб = const, a = const) из (6), (7) с учетом (1) и y' = kacos ax получим
С = д Oю Бkj sin ax yjl + (ka cos ax)2 dx + C1, (8)
где C1 - постоянная интегрирования.
Принимаем t =(ka cos ax)2 и разложим в ряд
F (x) = ^ 1 + (ka cos ax)2 = (l +1)1/2 с учетом зависи-
мости
(i+,г и i+mí+mím-H, 2+... v ' 1! 2!
m(m - 1)...(да - n + i) n "' + n! .
(9)
Отметим, что погрешность (9) можно сделать сколь угодно малой величиной. Для упрощения математических зависимостей положим п = 2. Получим
dS = F (x) dx = ^ 1 + (ka cos ax)2 dx =
= (l + k2a2 cos2 ax¡2-k4a4 cos4 ax/8)dx. (10)
После подстановки (10) в (8) с учетом зависимостей cos2 A = 0,5 (1 + cos 2 A), sin A cos B = 0,5 [sin (A + B) + sin (A - B)] и соответствующих преобразований имеем
C = дOюБk (k 4a 3/б4 - k 2a/l6-l/a)cos ax +
+ (k 4 a 3/l28 - k 2 a/48)cos3ax +(k 4 a 3/б40 )cos5ax + C
(11)
Из граничных условий C = 0 при yx=0 = 0 определим C1:
C1 = д O ю Б k (( a + k 2 a/12 - k 4 a 740).
При подстановке в (11) пределов интегрирования (0 < x < H или 0 < x < 1 - в безразмерных единицах) вычисляется суммарная сила C , воздействующая на длину нити, ограниченную значением аппликаты от 0 до x. Данная сила приложена к точке нити с аппликатой, равной 0,5x. Выскажем предположение о том, что суммарная сила C , действующая на всю длину нити в баллоне, должна быть приложена к точке нити, имеющей радиус y max . При этом центробежная сила CБ , действующая на бегунок, должна компенсировать мнимую суммарную силу C М, которая воздействовала бы на длину дуги кривой нити, находящейся за пределами бегунка (1 < x < %/a). Правомерность данного предположения, подтвержденная соответствующими расчетами, позволит в дальнейшем определить закон изменения угловой скорости юБ вращения бегунка.
Вычислим величину центробежной силы инерции CS для элемента dS, у которого y = y max и
пределы интегрирования равны x1 = 0,5 (п/a - dн),
x 2 = 0,5 (п/a + d н):
CS = д0ю2бк (к4a3/б4 - к 2a/16-1/a)cos ax +
+(a3/128-k2a/48)cos3ax+(k4a3/640)cos5ax]| X;2 .(12)
С учетом sin Л sin 5 = 0,5 [cos (Л - 5)-cos (Л + 5 )) после соответствующих преобразований (12) получим
CS = д O ю Б к |^(2/ a + к 2 a/8 - к 4 a 3/32)sin0,5ad н +
+ (к 4a 764 - к 2 a/24)sin1,5ad н-(к 4a 7320)sin2,5adK .
Поскольку форма баллона определяется воздействием центробежной силы инерции, то график C = g (x) подобен (1) и форме образующей баллона на рис. 1 с учетом масштабного коэффициента дC силы, равного:
Д C = С Б/У max. (13)
При У max = У max IН Фис 1) зависимость (13) примет вид дC = СS¡ ymax . Верхний индекс (*) здесь и далее означает безразмерные единицы.
Кориолисова сила инерции dF определится как:
dF = д 0июБ sin adS,
(14)
sin a =
tga/V 1+tg2a = y j ^1+(y')
а также (7), получим
F = д 0июБ J ka cos axdx = д 0июБ sin ax + C 2 ,
где C 2 - постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий F = 0 при y = y max , x = 0,5п/a , и равная C2 = д0июБк.
Величина Кориолисовой силы инерции FS для элемента dS равна
FS = д 0июБк sin axl*2 .
I x!
На графике значение силы FS откладывается с учетом коэффициента д C . При этом графическое
1-т *
значение FS силы равно:
FS= FslдC = FS УiLVСS .
Отметим, что при построении зависимости F = q (х) значения .р* сопоставляются с соответствующей длиной дуги ^ * образующей баллона, так как нить расположена на виртуальной поверхности баллона (рис. 3).
Определим по зависимости (3) лобовое сопротивление dQ. При этом значение Схйн выбирается из [4] в соответствии с параметрами д 0, X. Скорость потока равна и = юБу. Поскольку элемент dS расположен на образующей баллона, то £ = dS , и тогда
0,104
0,208
0,312
0,416
0,520
0,624
0,7 28
0,832
0,936
1, )42
F
S
Рис. 3. Кривая изменения Кориолисовой силы инерции
dQ = 0,5Cxd нрю Б У 2dS .
(15)
где и - текущая (мгновенная) линейная скорость движения элемента dS нити по контуру образующей баллона (текущая линейная скорость наматывания нити на початок); а - угол между направлениями векторов и и ю, равный углу между осью вращения баллона и касательной к его образующей, так как элемент dS лежит на образующей баллона.
Подставив в (14)
После подстановки (1), (10) в (15) с учетом sin2 Л = 0,5(1 - cos2Л),
cos Л cos В = 0,5 [cos (Л + В) + cos (Л - В)) и соответствующих преобразований получим
Q = 0,25C xd нрю Б к 2 (1 + к 2 a 2 /8 - 5 к 4 a 4/128 )x +
+ (к 2a/ 8 - 7 к 4 a 7256 )sin2ax --(к 2 a/ 32 + к 4 a 7512 )sin4ax +(к 4 a 7768)sin6ax
+ C 3.
Из граничных условий Q = 0 при ух=0 = 0 имеем С3 = 0 . Величина QS для элемента dS определяется подобно FS и переводится в безразмерные единицы (рис. 4).
Результирующая сила RS равна
Rs = Qs ± Fs = Qs ,
так как величина Fs по сравнению с Qs очень мала. Сила Rs определяет угол поворота ф образующей с расположенным на ней элементом dS : Ф =1^/пу .
Положение нити на поверхности баллона фиксируется бегунком, так как в нитепроводнике она не
0
закреплена. Поэтому радиус кольца определяет точку перегиба нити (рис. 4), которая, как правило, не совпадает с точкой, имеющей у тах .
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,104 0,208 0,312 0,416 0,520 0,624 0,728 0,832 0,936 1,042
Рис. 4. Кривая изменения аэродинамической силы
Направление изгиба нити на поверхности баллона относительно его образующей определяется движением бегунка. Полная длина Ь нити в баллоне равна
5 (х=1) .-
Ь = | V1+(я5)2^ ,
0
и практически соответствует длине кривой изменения аэродинамической силы на рис. 4, выраженной в безразмерных единицах.
Выводы
1. Показано, что центробежная, аэродинамическая силы, а также сила Кориолиса зависят от уравнения образующей баллона. Предложено эти силы определять в безразмерных единицах.
2. Аналитически определена пространственная форма баллонирующей нити, а также ее длина.
Литература
1. Barr A.E. A Descriptiv Account of Yern Tension and Ballon Shapes in Ring Spinning // J. of the textile Institute. 1958. № 2. P. 58 - 88.
2. Ушаков Е.И., Ушакова Н.Л. Определение адекватности двух решений уравнения плоского баллона в кольцепря-дении // Вестн. науч.-техн. общества. М., 2003. № 6. С. 20-27.
3. Каган В.М. Взаимодействие нити с рабочими органами текстильных машин. М., 1984.
4. Павлов Г.Г. Аэродинамика технологических процессов и оборудования текстильной промышленности. М., 1975.
5. Минаков А.П. О форме баллона и натяжении нити в крутильных машинах // Изв. Моск. текстильного ин-та. 1929. Т. 2.
Точка перегиба
ая
а ащ 2 у за р б а н о \
ба \
О
/
/
/
Q
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты 10 ноября 2006 г.
УДК 621.57 (075.8)
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПРЕССОРА ГЕРМЕТИЧНОГО АГРЕГАТА БЫТОВОГО ХОЛОДИЛЬНОГО ПРИБОРА
© 2007 г. Н.Н. Тропина, А.В. Сухарников, Г.М. Блатман, В.В. Левкин
Расчет цикличной работы холодильного агрегата основывается на следующих упрощающих предположениях: температура воздуха в холодильной камере (в охлаждаемом объекте) ^ постоянна; температуры кипения при пуске ^ и остановке компрессора /2 заданы; известна равновесная температура кипения /0рв при установившемся тепловом состоянии; известны к^и испарителя, его водяной эквивалент (В);
температура металлических и других частей испарителя равна температуре хладона; количество жидкого хладона в испарителе неизменно; колебания температуры конденсации не влияют на процессы в испарителе.
Основными выходными теплоэнергетическими характеристиками герметичного компрессора со встроенным электродвигателем являются холодопро-изводительность, потребляемая мощность и удельная холодопроизводительность. Результаты испытаний десятков компрессоров типа ХКВ показали, что их холодопроизводительность может быть представлена в виде
0 0 = ае »или 0 0 = 10 а Г 0 в, (1)
где а и в - константы; /0 - температура кипения рабочего тела, К; е - основание натурального логарифма.
