Определение положения трещины в стержне методом ударных импульсов Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г., 608 стр.

4. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. — 7-е изд., испр. — М.:высш. шк., 1986. — 351 с.:ил.

5. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Учебник для вузов. Изд. 4-е.: «Высш. школа», 1975.

6. Гелескул М.Н., Каретников В.Н. Справочник по креплению капитальных и подготовительных горных выработок. Москва «Недра», 1982.

УДК 534.113 © А.К. Томилин, 2013

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТРЕЩИНЫ В СТЕРЖНЕ МЕТОДОМ УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Теоретически получено соотношение, позволяющее определить место положения продольной трещины в стержне, если экспериментально измерены две частоты его собственных продольных колебаний. Ключевые слова: упругий стержень, продольные колебания, собственные частоты.

Известно несколько методов неразрушающего контроля: магнитный, вихретоковый, капиллярный, акустический, оптический, радиационный [1,2].

Метод ударных импульсов [3], основан на использовании связи между собственными частотами упругих колебаний и физико-механическими свойствами материалов и изделий. При этом для преобразования механических колебаний в электрические сигналы обычно используются пьезоакселерометры.

В статье Ахтямова А.М. и Каримова А.Р. [4] предлагается вычислять местоположение трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний. Трещины представляются в виде пружин. При этом исследуемая конструкция моделируется системой твердых тел, соединенных пружинами.

В настоящей работе используется более адекватная модель стержня с одной трещиной: два тела соединены пружиной, одно из тел считается упругим.

Моделирование вибрационных процессов

Стержень с поперечной трещиной моделируется системой, изображенной на рис. 1. Левая часть считается упруго деформируемой. Правая часть представляет собой твердое тело и закрепляется неподвижно. Трещина моделируется пружиной, ее эквивалентную жесткость обозначена с. Общую длину стержня Ь. Неизвестная координата, характеризующая положение трещины обозначена Ьг.

Возбуждать собственные колебания в системе, представленной на рис.1, можно ударом слева по деформируемой части. В этом случае левая часть системы совершает движение как твердое тело и, кроме того, в ней возникают деформации в виде продольных колебаний.

Запишем граничные условия для левой части стержня:

^ = 0, ^ V М) = -с (и) V dz ) г=о I dz ) ^

(1)

где и (z, ^) — функция смещений, Е — модуль упругости; £

площадь поперечного сечения стержня.

Квазитвердое движение тела происходит с частотой:

№

(3)

где р — плотность материала стержня. Получаем: 1

2

Ь,

И

Ь

■е-

Рис. 1

с

0

z p<Sra„ ( )

Однако определить Lz, используя только выражение (4), не представляется возможным, так, как значение жесткости эквивалентной пружины с не известно. Оно зависит от размера и формы трещины, поэтому не может быть задано наперед.

Рассмотрим упругие колебания, возникающие в стержне с учетом линейного внутреннего сопротивления с коэффициентом в :

„, (5)

&2 dt a2 dt2

2 E где a = — .

P

Применим процедуру Фурье к уравнению (5). Из граничного условия (1) на левом торце определим собственные амплитудные функции:

Zn (z) = cospZ , ( = 1,2,3,...), (6)

где pn — собственные частоты упругих незатухающих колебаний.

С учетом условия ортогональности получим систему независимых обыкновенных дифференциальных уравнений:

qk +вдк + p2kqk = „, k = {1,2,3,...}. (7)

Здесь qn (t) - обобщенные координаты. Определим набор демпфированных частот:

= ip2-J' k=(1'2'3'-) • (8)

Определение положения трещины

Используя граничное условие на правом конце части 1, получим уравнение частот для затухающих колебаний:

ES ^ = ctg ^ . (9)

ac a

Рассмотрим совместно выражения (4) и (9) при п = 1. Исключив жесткость эквивалентной пружины с, получим:

V = . (10)

Ь ю0

, 0

Значения частот ю0 и ю1 можно определить экспериментально. По известным значениям ю0 и ю1 путем численного решения из уравнения (10) можно определить Ь2, то есть место положения трещины.

В случае отсутствия трещины квазитвердое движение любой его части исключается. Первая частота затухающих упругих колебаний при этом определяется по известной формуле:

ю =

2 г\ 2

па) -Р-. (11)

2 Ь I 4

Таким образом, если первая измеренная в эксперименте частота совпадает с расчетным значением (11), можно сделать заключение об отсутствии дефекта в виде поперечной трещины.

Рассмотрим численный пример. Пусть заданы следующие

кг

параметры: плотность стали р = 7800—-; модуль упругости ста-

м

ли Е = 2,1 • 1011 Па ; длина исследуемого стержня Ь = 0,15м .

Оценим первую частоту колебаний бездефектного стержня по формуле (10):

па

р1 = — = 54308,867Гц = 54,3кГц .

Положим, что в ходе эксперимента определены следующие значения частот:

ю0 = • tg= 0,46кГц и ю1 = 60кГц . V Ь, а

Численно решив уравнение (13), получим:

L =

П E = „,1357м .

4PK +2

Заключение

Расчетную формулу (1„) можно использовать при экспериментальном диагностировании скрытых дефектов в стержневых деталях. Положение трещины позволяет сделать заключение об условиях эксплуатации изделия и исключить критические нагрузки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: Справочник в 2 кн. под ред. Клюева В.В. М.: Машиностроение, 1985. 326 с.

2. Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Техническая акустика. 2„„3. №3. http://cyberleninka.ru/article/n/sobstvennye-chastoty-izdeliya-kak-informativnyy-priznak-nalichiya-defektov

3. Левчин А.Е. Метод ударных импульсов// ООО «Комдиагности-ка» по материалам фирмы SPM Instrument. http://www.vibration.ru/ spm/spm.shtml

4. Ахтямов А.М., Каримов А. Р. Диагностирование местоположения трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний. Электронный журнал «Техническая акустика» 2„1„, № 3 http://www.ejta.org.