Диагностирование местоположения трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2G1G, 3

А. М. Ахтямов1, А. Р. Каримов2

1 Институт механики УНЦ РАН, 450054, г. Уфа, пр. Октября, 71,

e-mail: [email protected]

2ГОУВПО БашГУ, 450075, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, e-mail: [email protected]

Диагностирование местоположения трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний

Получена 28.12.2009, опубликована 03.03.2010

В статье предлагается метод, позволяющий вычислить местоположение трещины в стержне по собственным частотам продольных колебаний. Рассматриваются случаи упругого закрепления и заделки левого конца стержня. Первый случай моделируется механической системой с двумя степенями свободы, а второй — с одной. Трещина моделируется пружиной.

Ключевые слова: вибродиагностика, стержень, трещина, собственные частоты.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время получило широкое развитие направление, называемое вибродиагностикой. Оно позволяет судить о состоянии какой-либо недоступной для визуального осмотра части механической установки сложной структуры, проводить анализ её технического состояния, не используя дорогостоящую разборку и не нарушая приработку деталей. Это удобный и наиболее безопасный способ, не требующий больших затрат времени.

В данной статье рассматривается дефект типа трещина в элементах конструкции, которые можно представить как однородный стержень.

Механические системы, показанные на рис. 1, являются простейшими моделями стержня со свободным правым концом. Рассматриваются задачи о продольных колебаниях такого стержня для двух случаев закрепления левого конца — упругого и заделки. Первый случай моделируется механической системой с двумя степенями свободы (рис. 1(а)), а второй — с одной (рис. 1(б)). Стержень массы m = m1 + m2 считаем однородным. Трещину, как и в [1], моделируем пружиной с жесткостью k2 е [0;+го], где k2 = 0 соответствует полному расколу, а k2 = говорит об отсутствии повреждения, т. е. чем больше жесткость, тем меньше трещина.

Местоположение трещины моделируем отношением — (например, — = 0,5

m

m

соответствует случаю, когда трещина посередине стержня).

к2

т; ЛЛАЛ- т2

а)

б)

Рис. 1. Система из двух масс, соединённых пружинами

Для случая с упругого закрепленным стержнем известными считаем частоты о1,о2, общую массу m и жесткость пружины ^. По их значениям находим массы m1, m2 и жесткость пружины k2.

В случае заделки стержня, система будет иметь всего одну частоту сзх, из-за этого невозможно вычислить массы m1, m2, не зная значения жесткости пружины k2. Поэтому во второй задаче известными являются о1, m и k2, а искомыми — m1, m2.

Ранее колебания системы двух масс, соединенных пружинами, рассматривались в [1], где были найдены массы тел и жесткости пружин ml, m2, ^ по известным

собственным частотам о1,а2, общей массе m = m1 + m2 (или же общей жесткости системы k, заданной соотношением 1/k = 1/^ +1/k2), и частоте со*, полученной фиксацией массы m2.

1. СЛУЧАЙ УПРУГОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЛЕВОГО КОНЦА СТЕРЖНЯ

1.1. Прямая задача

Прежде чем приступить к решению обратной задачи, напомним прямую, а также приведём её численный расчёт в виде графиков.

Уравнения движения для системы (рис. 1 (а)) имеют вид:

где m1, m2 — массы, на которые трещина разделила стержень, т. е. m1 + m2 = m — полная масса, k1 — жесткость закрепления, k2 — жесткость моделирующая трещину. Из системы уравнений (1) находим собственные частоты ох,ю2.

(1)

(2)

Собственные частоты являются корнями определителя.

А(э) = m1m204 - {m1 + (k1 + ^ )m2 } + k1k2 = 0.

(3)

На рис. 2 приведены графики зависимости c^>■^(m■^) и ®2(m1) при различных значениях жесткости пружин k2. Из них видно, что увеличение m1, т. е. перемещение трещины вправо, приводит к увеличению первой частоты а>1 и уменьшению второй (о2, причём в тот момент, когда начинает замедлять свой рост, со2 наоборот начинает увеличиваться. Также графики говорят о том, что изменение жёсткости пружин k2 в большую сторону приводит к росту обеих частот б)1,а2, но

k2 не влияет на величину максимального значения сзх.

а)

б)

в)

г)

Рис. 2. Графики 6}^^^) (сплошная линия) и a)2(m■^) (штриховая линия) при (а) ^ = 1, k2 = 1, (б) ^ = 5, k 2 = 1, (в) ^ = 100, k 2 = 1, (г) ^ = 100, k 2 = 20

1.2. Обратная задача

Теперь определим местоположение трещины ( m1) и её величину ( k 2) исходя из известных а1,а2,m.

Сумма и произведение квадрата корней (о^®'2 уравнения (3) имеют вид:

m1m2 m2 m1

.22 _____ k1k2

m1m2

(4)

(5)

Далее, из (5) находим величину трещины

2 2

01 02 шш^

k 2 = 1 2 • (6)

К-1

Подставив (6) в (4) и заменив ш2 на ш — ш1 получаем

m1 + 11 = 0,

2 2 2 /" 22/ \

01 02 ш1 (01 02 (Ш — Ші) 2 _2

^1 ^2"*1 + kl

kl

----01 — 02

отсюда

12

Ш1 = 2 і .2і 2 2 ' (7)

01 І1 + 0 2 І1 — 01 0 2 Ш

Ш1

Теперь, умножив длину стержня на отношение —^ можем рассчитать расстояние от

ш

места крепления до трещины.

2. СЛУЧАЙ ЖЕСТКОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЛЕВОГО КОНЦА СТЕРЖНЯ

2.1. Прямая задача

Рассмотрим случай с жёсткого закреплёния левого конца стержня (рис. 1(б)).

В этом случае уравнения движения примут вид:

ш2и = — к2и. (8)

Из (8) находим:

12

V

___2_

ш2

(9)

2

Далее приводим графики зависимости частоты колебаний от массы тела а>1 (т2) при различных значениях жесткости пружины k2 (рис. 3). На данных графиках видно, что увеличение массы т2, т. е. перемещение трещины влево, приводит к росту частоты а>1. Также сравнивая значения а>1(т2) при различных k2, можем сделать вывод о том, что трещина, разрастаясь, уменьшает собственную частоту колебаний стержня.

Рис. 3. График со1(т2)

2.2. Обратная задача

Если частота о1 и жесткость пружины к2 известны, то из (9) следует, что к 2

т2 = 2 •

о

Далее, умножив длину стержня на отношение

расстояние от места крепления до трещины.

т

т

(10)

■, рассчитываем

3. ПРИМЕРЫ

3.1. Пример 1

Применение найденного метода рассмотрим на примере. Значения частот и продольную жесткость закрепления стержня возьмём из графиков прямой задачи к1 = 1 Н/м, о, = 2,32 рад/с, о2 = 0,878 рад/с (обозначены треугольниками на рис. 2), т.к. далее по ним можно будет проверить достоверность расчетов. Общая масса стержня т = 1 кг, длина I = 1 м.

Найдем жесткость в области трещины к2 и массы по обе стороны от неё т,,т2.

Подставим известные нам данные в (7):

12

ті =^2

2,322 • 1 + 0,8782 • 1 - 2,322 • 0,8782 • 1

= 0,4989, кг,

т2 = 1 - 0,499 = 0,5011, кг.

0 4989

Следовательно, трещина находиться в —---------------= 0,4989 м от закреплённого конца

1

стержня.

т1 т т2

Далее, подставив в (6) полученные значения т1 и т2, находим

2,322 • 0,8782 • 0,4989• 0,5011 , тт.

к 2 = —-----2-----2------2---= 1,03, Н/м.

2 1 Как видим, расчёты совпадают с данными прямой задачи.

3.2. Пример 2

Стержень массой т = 1 кг и длиной I = 1 м закреплён жестко. Собственная частота продольных колебаний сзх = 18,26 рад/с, жесткость в области трещины к2 = 100 Н/м (обозначены треугольником на рис. 3).

Подставив данные в (10), получаем 100

т2 =----- = 0,2999, кг.

2 18,262

Расчёты совпадают с данными прямой задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный метод может быть использован для определения местоположения трещины в стержне по его продольным колебаниям, а в некоторых случаях даёт также возможность судить о размерах трещины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 608 с.