Определение параметров расходящейся цилиндрической волны через полиномы Чебышева Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

3. Практические аспекты нагрузочного тестирования. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://ashirobokov.blogspot.com/2008/12/blog-post. html 20.12.2008.

4. Проблематика нагрузочного тестирования компонентов биллинговых систем [Электронный ресурс]: Режим доступа:http://www.software-testing. m/Hbrary/testing/performance-testing/82-bilHng-performance 21.01.2009.

5. Нагрузочное тестирование Web-приложений при помощи IBM Rational Performance Tester [Элект-

ронный ресурс]: Режим доступа:http://www.ibm. com/developerworks/ru/library/r-1211_lee-tham1/ index.html 04.01.2009.

6. Терминология. Нагрузочное тестирование. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www. software-testing.ru/library/testing/performance-testing/69-2008-10-13-19-00-07 20.12.2008.

7. Нагрузочное тестирование в MS Visual Studio 2005. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://art. thelib.ru/internet/game/nagruzochnoe_testirovanie_ vnb_pms_vi_ual_studio_2005 .html 04.01.2009.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСХОДЯЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА

А.В. ШМАКОВ, доц. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук

[email protected]

(1)

Рассмотрена плоская, нестационарная задача гидродинамики. Бесконечно длинный, жесткий цилиндр радиуса R, окружен идеальной сжимаемой жидкостью. На границе цилиндра задано давление, зависящее от времени и угловой координаты. Для определения параметров расходящейся волны использована система уравнений идеальной сжимаемой жидкости, записанная в безразмерном виде в цилиндрической системе координат dV__dP dU__1dP

dt dr ’ dt r 5ф ’

dP dV V \dU n

—+—+-+---------_ 0,

dt dr r r дф где P - давление в жидкости;

V, U - нормальная и тангенциальная скорость жидкости;

r, t, ф - текущий радиус, время, полярный угол.

В качестве масштабов выбраны величины:

[Р] = pa2, [V, U] = a, [t] = R / а, [r] = R, где p - плотность жидкости;

а - скорость звука в жидкости;

R - радиус.

Решение системы (1) ищем в виде разложения в ряд Фурье по угловой координате

ад

V(r, фД) _ £ Vn cos(^),

n_0

ад

U (r^,t) _£ Un sin(^),

P(r, Ф^) _ £ Pn cos(nф).

n_0

После исключения из третьего уравнения системы (1) скоростей V и U, для n-й гармоники ряда получим:

дК__dP dU_nP dt dr ’ dt r

d2P 1 d.dPn. 2P n ——(r—^) _ n Pn _ 0.

dt r dr dr

(2)

Рассмотрим расходящуюся акустическую волну, распространяющуюся от границы r = 1 .Уравнение фронта расходящейся волны определяется соотношением t - r + 1 = 0. Введем новую переменную z = (t + 1) / r. Значениям z < 1 соответствуют точки перед фронтом расходящейся волны, возмущения в которых будем считать равными нулю. Значение z = 1 соответствует фронту волны, на котором значения давления и скорости считаем равными нулю. Для определения параметров P Un, Vn за фронтом волны (z > 1) перепишем систему уравнений (2) относительно переменной z

dVn _ zdP U _ nP

dz dz ’ dz n ’ d2 P dP

(z2 _1)-p + z-f _ n Pn _ 0. (3)

dz dz

Дополним систему уравнений (3) условиями на фронте волны z = 1

Pn(1) = 0, Vn(1) = Un(1) = 0, n = 0, 1, 2...

С учетом условий на фронте волны решение системы уравнений (3) имеет вид

P0(z) = ^0Arch(z);

V0(z) = B0U*(z);

Pi(z) = BiU(z);

n_1

148

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009