CC BY
5
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
В.Э. Вишневский, О.А. Пустовалова, О.А. Иванова, М.В. Стрекопытова
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО РЕЖИМА СТАЦИОНАРНОГО МНОГООБРАЗИЯ
В данной статье рассматривается система дифференциальных уравнений с целью ее исследования на устойчивость по отношению к компонентам вектора. Приведены несколько теорем об устойчивости равновесного режима системы дифференциальных уравнений. Методика исследования основывается на детальном изучении систем непрерывно дифференцируемых функций, а также на сопоставлении положительно и отрицательно определенных функций.
Постановка задачи
Рассмотрим систему
X = ©(X),
(1)
где X = ,..., хп) — вектор фазового состояния системы, ©(X) — непрерывно дифференцируемая функция.
Пусть для системы (1) множество М, являющееся пересечением к поверхностей:
Ф1(х1,..., xn) = 0;
Фк(xn) = 0,
(2)
2. Функция V(У,X) ^ 0 равномерно по от-
У
ношению к Х0 е Еп;
3. Функция W(У, X) является отрицательно определенной по отношению к компонентам вектора У равномерно по отношению к компонентам вектора X,
то тогда равновесный режим (2) системы (1) асимптотически устойчив [2].
Доказательство. Покажем, что
|Y (t ,Yo, Xo)
X0eEn
0 при t
является интегральным многообразием, т. е. из X0 е М следует, что X (X, X0) е М при X > 0 , где X (X, X0) — решение (1), удовлетворяющее условию X = X0 при X = 0. Будем называть множество (2) равновесным режимом системы (1) [1].
Теорема 1. Если существует функция V(У, X), удовлетворяющая условиям:
1. V(У, X) — положительно определенная по отношению к компонентам вектора У равномерно по X;
т. е. по любому в > 0 можно указать Т(в):
IV(X,У0,Xo)|| <е УХ > Т(в), VXo е Еп .
Действительно, по заданному в можно найти 5 (5 < в), удовлетворяющее определению устойчивости. При этом возможны два случая:
1. Существует Т такое, что || У(Т, У0, X0) || <5 при || У0 || <5, X0 е Еп ; следовательно,
II У(Х,У),Xo)||<в УХ > Т, VXo е Еп ;
2. Не существует такого Т, т. е. Уt > 0 всегда будет || У (X ,У0, Xo)||>5.
Во втором случае, в силу условия 3, имеем, что функция W является положительно определенной относительно компонент вектора У равномерно относительно компонент вектора X , т. е. -W >а> 0 [3]. Следовательно, всегда
dV_ dt
<-а.
Интегрируя последнее неравенство, получаем:
V(Y(t,Yo,Xo),X(t,Yo,Xo)) <-Ш + V(Yo,Xo).
Правая часть этого неравенства с ростом I стремится к -да , а функция V удовлетворяет неравенству
V (У Хо), X (I ,Y0, Хо)) >Р> 0;
||У (1,Уо, Хо)||>5> 0.
Таким образом, возможен лишь случай 1, а тогда в силу теоремы 1 равновесный режим (2) системы (1) асимптотически устойчив [1].
Теорема доказана.
Пусть векторы bj = УФ; /1| Ф; || (] = 1,..., к) определены и линейно независимы в каждой точке М . Построим в каждой точке т е М ортогональное дополнение к подпространству, натянутому на векторы Ь1,Ь2,..., Ьк и выберем в нем произвольный ортонормальный базис Ьк+1,..., Ьп . Пусть векторы Ь1,Ь2,..., Ьп непрерывно дифференцируемы по компонентам вектора X в каждой точке М . Пусть р(Х, М) — расстояние от точки X до множества М; Я(М, 5) — множество точек X таких, что р(Х, М) < 5 . Введем в рассмотрение Рт — нормальную к М к-мерную плоскость, определяемую уравнениями
(X-тД^т) = 0, Я = к + 1,..., п ; (3)
Рт проходит через точку т е М [2].
Рассмотрим систему п уравнений (2), (3). Применим теорему о неявной функции. Рассмотрим функциональный определитель этой системы относительно компонент вектора т. Если якобиан системы п - к уравнений (3) относительно компонент вектора т = (т1,..., *
тп_к) отличен от нуля на М, то в некоторой окрестности М существует функция т = т^) , непрерывно дифференцируемая по компонентам вектора X.
Введем новую систему координат у1,..., уп с центром в точке т е М и ортами Ь1,..., Ьп . Матрицу перехода обозначим В. Получим следующие соотношения:
X = т(X) + ВУ ;
У = В - т^)) = Ф^). (4)
Отметим, что ук+1 =... = уп = 0 . Это следует из (3), (4). Составим систему дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют переменные у1,..., ук . Из (4), (1) имеем систему
у = В"1) -Ву + ©(у)_^©(X)\ (5)
где
Б(т1,..., тп) \дт1
= I,; = 1,...,п..
ОХ;
^ Б(хх,..., хп) Замечание. Из соотношения (4) мы имеем У = В"1(X - т(X)) = Ф^). В некоторых случаях можно выразить X через У в формулах (5). Это будет возможно, например, когда функции от X в правой части (5) являются функциями от Ф^). Тогда мы получим систему
У = G (У),
(6)
где
G (У) = В-1 (X (У ))(-ВУ + ©(X (У)) -- ^ (У )©(X (У)).
Теорема 2. Для того чтобы равновесный режим (2) системы (1) был устойчив (асимптотически устойчив), необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (6) было устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво по Ляпунову) [3].
Доказательство. Необходимость. Пусть равновесный режим устойчив (асимптотически устойчив). Тогда по любому в > 0 можно указать 5> 0 такое, что при X0 е Я(М, 5) выполнено
X (I, Xо) е Я (М, в ) для всех I > 0 (р(X(I,X0),М) ^ 0). Из соотношений (4)
следует, что
Xо - то = ВоУо, ||У,||<^.
_5_
4п
Интегральная кривая системы (6) определяется формулой
У«,Уо) = В-'^а,Xо)-т^а,Xо))).
Следовательно, при ||Уо ||<ъ4п выполняется неравенство
|| У(!,Уо)||<в (|| У(¿Уо)||^ 0).
Достаточность. Пусть нулевое решение устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво по Ляпунову). Тогда Уе> 0 существует 5> 0 такое, что при || Уо || <5 будем иметь
|№У0)||<е>/П для X > 0 (|| У (X, У0) II ^ 0). Тогда, выбрав X0 так, чтобы У0 в равенстве У0 = В_1(X0 - т0) удовлетворяло неравенству IIУ0 II <5 , будем иметь из формулы
X (X, Xo) - m(X (X, Xo)) = ВУ (X ,У0), что р(X(X, X0), М) <в при
X > 0 ((р^(X,Xo),М) ^ 0) [1].
Теорема доказана.
Прогнозирование состояния системы
В качестве примера на применение полученных результатов рассмотрим движение заряженной частицы массой т в постоянном магнитном поле с магнитной индукцией Ь. Уравнения движения в безразмерной форме имеют вид [2]
X = Y, mY = qY х b ,
(7)
где X = (х1, х2, х3) — вектор положения частицы (х1, х2, х3 — декартовы координаты; звездочка — знак транспонирования), т. е. Х — вектор-столбец; X — вектор скорости.
Требуется определить фазовое состояние частицы для любого момента времени, если известно ее начальное состояние при X = 0 . По определению фазовым состоянием является 6-мерный вектор с компонентами
^ ^ Л У2,У3 .
Система (7) может быть переписана в следующей форме:
X = У, У = ВУ, (8)
где
в=—
m
Ьз
-b2 >|
b о
X = X0 + j exp(Bx)Y0dX .
Изучим поведение фазового состояния (9), (10) при неограниченном изменении времени [2, 3].
Умножая второе уравнение (7) скалярно на b, получаем
b • Y = q b(Y х b).
m
Следовательно, (b,Y) = const, т.е. проекция вектора скорости на направление вектора b постоянна.
Умножая то же уравнение на вектор скорости Y, получаем:
YY = q Y(Y х B).
m
2 2 2
Следовательно, Y = const., или Y -Y0 ,
т. е. квадрат модуля вектора скорости постоянен. Сделаем замену в системе: переменные y1, y2, y3 заменим на x, y, z , причем ось z направим по вектору b, а оси x, y — перпендикулярно к нему таким образом, чтобы система была правой. Вычислим матрицу перехода. Орты новой системы
e3 = ez =i
I b |
( 0 "¿3 0
V Ь2 ~Ь1
Пусть задано начальное состояние X0, У0 . Тогда, интегрируя вторую группу уравнений (8), получаем формулу
У = ехр(В1 )У0. (9)
Подставляя выражение(9) в первую группу уравнений (8) и интегрируя в пределах от 0 до X, находим, что
(10)
В качестве e2 возьмем любой орт, перпендикулярный e3, например такой:
e2 = ey = -t-, b = (-¿¿,¿1,0).
II ¿ II
Тогда e1 = e2 x e3. В результате этой замены величина Y будет иметь вид
Y = xe1 + ye2 + ze3.
Подставив это выражение в дифференциальное уравнение (7), найдем:
Xe1 + ye2 + Ze3 = — [x(e1 x b) + y(e2 x b)], m
откуда
x = — II b II, y = -— II b II, z = 0.
mm Интегрируя последнюю систему уравнений, получаем:
x = x0 cos rat + y0 sin rat; y = -x0 sin rat + y0 cos rat;
z = Zо,
t
0
где = (^1,^0); ^ = ^^ *о = ^^
га = (д / т) || В ||.
Обозначим £ матрицу перехода (столбцами ее являются орты е1, е2, е3), а г() — следующую матрицу:
4(t ) =
( cos rat sin rat 0 ^ - sin rat cos rat 0 0 0 1
Тогда
Y = S
( x ^
y
V ^ y
= Sr,(t)S (Y0),
откуда
*
exp Bt = Sr(t)S .
Интегрируя уравнение (10), находим:
* *
X = X0 + sin rat (ee* + g2g2)Y0 + ra
**
A-e ,e2 + e2e, )Y0 +(1 - cos ra t)-—^—+ e3e3Y0t. ra
Перенесем в левую часть члены, не содержащие синусов и косинусов, и запишем выражение для квадрата модуля обеих частей. Выполняется соотношение
**
X - X0 - еЛ - fcaaiMS
2
ra
№)2 +
(11)
га
в плоскости, которая равномерно перемещается параллельно самой себе со скоростью, равной величине продольной составляющей начальной скорости, оставаясь перпендикулярной оси цилиндра. При этом параметрическое задание оси цилиндра дается формулой
* *
X = *о ♦ е,е-^ ♦
га
Если же поперечная составляющая начальной скорости отсутствует, то частица совершает движение по прямой:
*
* = + е3е3^ ,
и так как е3 = Ь/1| Ь ||, то будет выполнено равенство
X=X0 + bt х
3 ьУ
2
Начальная скорость Y0 может быть разложена на две составляющие: продольную — параллельную вектору Ь и поперечную — перпендикулярную вектору Ь, так первая будет равна (е3, Y0 )е3, а вторая — (е1, Y0 )е1 + (е2, Y0 )е2 . Отсю-
22
да следует, что величина (е1,Y0) + (е2,Y0) есть квадрат поперечной составляющей. Таким образом, как видно из соотношения (11), заряженная частица остается на цилиндрической поверхности, радиус сечения которой равен отношению величины поперечной составляющей начальной скорости к циклической частоте — это так называемый ларморовский радиус. На цилиндрической поверхности частица совершает равномерное вращательное движение
^ ь
Движение при отсутствии поперечной составляющей начальной скорости можно назвать равновесным, или установившимся движением.
В теории дифференциальных уравнений такие движения называют уходящими. Они гомео-морфны множеству параллельных прямых [3]. С точки зрения общей теории динамических систем класс таких решений как бы неинтересен. Однако, как показывает разобранный пример, многие задачи динамики заряженных частиц состоят в исследовании такого рода движений с точки зрения качественного анализа поведения изображающей точки в фазовом пространстве системы.
В настоящей статье доказано, что предлагаемые методы, полученные модификацией существующих, в пределах их локальной точности, их не ухудшают. Поэтому можно гарантировать точность, устойчивость, сходимость модифицированных методов, по крайней мере такие же, что и у исходных. Однако предлагаемые методы являются консервативными в том смысле, что они сохраняют существующие равенства, а при решении реальных задач — те физические законы, которым подчиняется исследуемый объект. При уточнении требований к правым частям интегрируемых систем дифференциальных уравнений здесь можно получить
большое число теорем о сходимости устойчивости и точности модифицированных методов. Эти параметры модифицированных методов были установлены в результате широкого вы-
числительного эксперимента, проведенного в ходе разработки новой электрофизической аппаратуры для задач ускорения и фокусировки пучков заряженных частиц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зубов, Н.В. Автоматизация проектирования устойчивости и надежности колебательных систем [Текст] / Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова. — СПб.: Мобильность-плюс, 2010. — 355 с.
2. Зубов, А.В. Математические методы безопасности управляемых систем и методы анализа неста-
ционарных систем управления [Текст] / А.В. Зубов, Н.В. Зубов, Н.И. Зубов. — СПб.: Мобильность-плюс, 2010. - 319 с.
3. Стрекопытова, М.В. Исследование равновесных движений [Текст] / М.В. Стрекопытова. — СПб.: СПбГУ, 2007. — 95 с.
УДК 517.97
В.П. Первадчук, Д.Б. Шумкова, Д.Н. Дектярев
ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ И ПОЛУЧЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДВУМЕРНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Теория оптимального управления распределенными системами, в том числе и системами, описывающими процессы тепломассопе-реноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В связи с этим важными и актуальными являются вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности в своих сильных формах.
Основными целями исследования явились построение обобщенного решения, получение условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой двумерным уравнением теплопроводности с граничным управлением. Изучена задача, линейная относительно функции управления, с распределенным наблюдением и компромиссным управлением, а также интегральным видом целевого функционала.
Рассмотрим задачу оптимального управления системой, описываемой эволюционным уравнением теплопроводности [1]:
т^л=1М г хТ^гА V
д1 г дг I дг I
| 9(} дТ(X, г, г)
дг I &
(1)
где Т(X,г, г) — температура; X—время; к, С , X — плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность материала соответственно, г, г—простран-ственные переменные. Время X е [0; т], переменные г е [г1; г2 ], г е [0; г1 ].
Введем обозначения (см. рисунок):
[0; т]х[/1; г2]х[0; г] = Ц;
об об
6Ц = Г( = Г1 ^Г2 ^Г4 ; дП = дЦ .
Уравнение (1) дополним начальным и граничными условиями вида
