CC BY
29
А. Н. Довбня, С. Г. Удовенко, А. А. Шамраев: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ МАГНИТНОГО СПЕКТРОМЕТРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
4. Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
Надшшла 20.11.2007 Шсля доробки 25.03.2008
Приводятся оптимальные по порядку алгоритмы приближения производной таблично заданной функции. Использование классических методов квазирешения и невязки сводит задачу численного дифференцирования к решению задач линейного программирования со специальной
структурой матрицы ограничений, которая позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
The algorithms of the approximation the derivative of the function given by table are given. Classic methods quasi-solution and discrepancy are used to numerical differentiation and lead the task to linear programming problems with special structure of distraction matrix, what allow us to decrease greatly computational complexity.
УДК 621.365.036
А. Н. Довбня, С. Г. Удовенко, А. А. Шамраев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ МАГНИТНОГО СПЕКТРОМЕТРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Разработан специализированный контроллер для цифрового управления магнитным спектрометром. По результатам активного эксперимента рассчитаны параметры модели анализирующего магнита, которая стала основой для синтеза адаптивного регулятора.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важных задач в технике линейных ускорителей является измерение энергетического спектра ускоренных частиц. Наиболее точным является метод измерений с использованием анализирующего магнита, устанавливаемого на выходе линейного ускорителя. Точность измерений определяется качеством системы управления магнитом, эффективность которой в значительной мере зависит от качества используемых при ее построении математических моделей, которые, с одной стороны, должны наиболее полно отражать свойства исследуемых объектов, а с другой быть удобными для реализации алгоритмов управления. Отсутствие полной информации об условиях функционирования объектов, а также об их динамических характеристиках и характере действующих помех обусловливают необходимость применения при управлении такими объектами адаптивного и робастного подходов, допускающих возможность использования при синтезе регуляторов упрощенных (в частности, линейных) моделей.
К основным методам построения математических моделей технических объектов можно отнести: эмпирический, который основывается на статистической обработке реальных данных, полученных в процессе функционирования объекта; аналитический, основанный на применении законов физики и химии; комбинированный, который объединяет рациональное планирование эксперимента, статистическую обработку экспери-
© Довбня А. Н., Удовенко С. Г., Шамраев А. А., 2008
ментальных данных и основные физико-химические закономерности; автоматическое построение математической модели с помощью цифрового вычислителя, подключенного к объекту через датчики и преобразователи.
В данной работе рассматривается решение задачи динамической идентификации анализирующего магнита с применением специализированного контроллера в комплексе с персональной ЭВМ для автоматизированного измерения энергетического спектра пучка ускоренных электронов на выходе линейного ускорителя ЛУ-40.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В общем случае задача построения математической модели объекта состоит в выборе ее структуры и оценке ее параметров таким образом, чтобы при использовании критерия минимума некоторой функции разности расчетных и экспериментальных данных соблюдалось условие близости модели исследуемому процессу.
В соответствии с априорными данными об анализирующем магните как объекте управления, он был классифицирован как одномерный объект с самовыравниванием, наиболее эффективным методом определения параметров модели которого является активный эксперимент. Для получения передаточной функции по результатам эксперимента целесообразно использовать модифицированный метод площадей Симою [1].
СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
На рис. 1 приведена часть схемы цифрового управления магнитным спектрометром, использованная для
Рисунок 1 - Система управления магнитным спектрометром
Рисунок 2 - Контроллер магнита
проведения активного эксперимента по определению динамических характеристик анализирующего магнита.
Текущее значение тока пучка, соответствующее плотности распределения электронов (выходной сигнал у), снимается с токоприемника, расположенного за анализирующим магнитом и оцифровывается восьмиразрядным аналого-цифровым преобразователем (АЦП) с частотой преобразования 30 МГц, который подключен к управляющей ЭВМ через шину ISA. Полученные данные принимаются ЭВМ для дальнейшей обработки и хранения.
Для обеспечения возможности дистанционного управления током магнита был разработан специализированный контроллер (рис. 2), формирующий сигнал опорного напряжения на входе схемы стабилизации тока анализирующего магнита (входной сигнал x). На-
46
пряжение формируется двенадцатиразрядным цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП), обеспечивая дискретность шага по току магнита менее 0,1 А (0,05 % от максимального тока анализирующего магнита). Ядро системы реализовано на базе микроконтроллера М8Р430Е1611, основными задачами которого являются формирование опорного напряжения на выходе ЦАП, стабилизация тока анализирующего магнита по сигналу обратной связи с выхода бесконтактного датчика Холла и обеспечение связи с ЭВМ. Обмен данными с управляющей ЭВМ осуществляется по оптоволоконному кабелю в последовательном формате по протоколу И8232С. Применение оптического канала связи обеспечивает гальваническую развязку контроллера от линии связи, что требуется для поддержания соответ-
ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2008
А. H. Довбня, С. Г. Удовенко, А. А. Шамраев: OПPEДEЛEHИE ПAPAMETPOB MOДEЛИ MAГHИTHOГO CПEKTPOMETPA ПO ЭKCПEPИMEHTAЛЬHЫM ДAHHЫM
ствующего уровня безопасности и помехозащищенности системы управления спектрометром.
Электропитание магнита осуществляется от генератора постоянного тока ПН145 с независимым возбуждением. Для обеспечения стабилизации и регулировки тока магнита обмотка возбуждения генератора подключена к управляемому источнику тока, при этом величина тока в обмотке возбуждения генератора задается контроллером магнита. Управляемый источник тока построен на базе импульсного источника напряжения и линейного источника тока.
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Для проведения эксперимента по определению переходных характеристик объекта использовался цифровой запоминающий осциллограф Tektronix TDS2014B, первый канал которого подключался к входу AЦП (вход измерения тока анализирующего магнита), а второй канал к выходу ЦAП (управляющее воздействие, которое задает ток в обмотке возбуждения гене-ра-тора). Весь диапазон изменения тока в обмотке возбуждения 0...600 мA был разбит на 12 интервалов с шагом 50 мA, внутри которых объект управления можно считать линейным. H рис. 3 показаны осциллограммы напряжений в указанных точках при задании уставки от 200 мA до 250 мA.
Peзультaты измерений использовались в качестве исходных данных для расчета параметров динамической модели объекта управления по модифицированному методу площадей Симою.
Рисунок 3 - Осциллограммы напряжений: 1 - отклик; 2 - уставка
Передаточная функция (2), полученная по кривой разгона, может быть однозначно преобразована к исходной модели (1).
Для получения кривой разгона в системе цифрового управления магнитным спектрометром, приведенной на рис. 1, устанавливается номинальный статический режим х = хн, у = ун. Затем система переводится в ручной режим (регулятор отключается, обратная связь разрывается) и на объект регулирования в начальный момент времени подается скачкообразное воздействие.
Величина запаздывания т определяется непосредственно по кривой разгона, как время, за которое отклонение выходной величины Ау(£) после подачи входного воздействия не превышает 0,5...1 % от Аууст.
Коэффициент усиления соответствует отношению:
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Динамические свойства идентифицируемого объекта будем аппроксимировать моделью следующего вида:
Wм i s) = i s ) e =
J + Ъ1 s + ^s2 + ... + ^ -= K e
2n 1 + alS + a2s + ... + ans
(1)
где К - коэффициент усиления, т - время запаздывания, а^ Ь£ - коэффициенты передаточной функции.
Преобразуем модель (1) к нормированной передаточной функции с единичным коэффициентом усиле-
K = АУуст
Ax
(4)
уст
Для определения коэффициентов передаточной функции используем подход, предложенный в работе [2].
Рассмотрим инверсную нормированную передаточную функцию модели
W^t i s) =
n
1 + alS + a2s + ... + ans
wм с s) 1 + Ъ^ + Ъ-s + ... + Ъ^п
(5)
Pазложим Wм i s) в ряд Teйлорa в точке s = 0:
Wмis ) =
1 + Ъ1 s + Ъ2s2 + . + Ъmsm 1 + alS + a2s2 + . + ansn
(2)
1 + al s + a2 s + ... + ans
1 + Ъ^ + Ъ^2 + ... + Ъms" = 1 + S1s + S2s2 + . + Sksk + ...,
W^^i s ) =
(6)
K = Wм( 0) = 1.
(3) где W]м i 0 ) = S0 = 1.
При известных площадях можно определить коэффициенты передаточной функции а,, ЬДля этого
умножим обе части равенства (6) на знаменатель Wм( s), в результате чего получим
(1 + 5 + a2s + ... + ans ) = = (1 + b1 s + b2s2 + ... + bmsm) x x(1 + S1s + S2s2 + ... + Sksk + ...). (7)
После очевидных преобразований уравнения (7) получим степенной ряд
1 + a1s + a2s + ... + ans =
= 1 + (b1 + S1) s + (b2 + b1 S1 + S2)s2 + ... +
( \
bk + ^ biSk - i + Sk
i = 1
k
s.
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях 5 слева и справа, получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов модели а,, Ь,:
а1 = Ь1 + ^1,
а2 = Ь2 + Ь1Я1 + S2,
а3 = Ь3 + Ь2Я1 + Ь1Я2 + ^
k -1
ak = bk + Sk + X biSk - i. i=1
(8)
При определении порядка модели примем т п- 1. Тогда
ak +1
ak + 2
= ... = 0,
Jk - bk +1 - ••• -k = n, n + 1,...
(9)
Коэффициенты а,, Ь,, г = 1, 2,..., п должны удовлетворять любому из уравнений (8). Сформируем систему из п уравнений (8) с учетом (9) для к = п + 1, = п + 2, ..., 2п:
0 = Яп + 1 + Ь1Яп + Ь2Яп - 1 + . + Ьп - 1S2, 0 = Яп + 2 + Ь1Яп + 1 + Ь2Яп + . + Ьп - 1S3,
\ =
Sk Sk + 1 Sn + 1 Sn + 2
S
n + 1
n + 1
n+2
SS
Jn + k Jn + k+ 1 S2n - 1 S2n
(11)
Из условия равенства нулю определителя (11), при котором система (10) имеет единственное решение, может быть определен порядок передаточной функции объекта.
При практических расчетах значения площадей Я определяются с погрешностью, вызванной как неточностью определения переходной кривой, так и ошибками численного интегрирования. Поэтому условие Ап = 0 может выполняться лишь приближенно.
Для оценки величины п целесообразно использовать критерий:
А
<8,
(12)
n - 1
где 5 - некоторая малая величина.
Описанная методика была использована для обработки данных активного эксперимента на различных интервалах диапазона изменения тока в обмотке возбуждения анализирующего магнита. В результате получена нормированная передаточная функция вида (2), наилучшим образом аппроксимирующая динамические свойства идентифицируемого объекта, со следующими значениями коэффициентов, отличных от нуля: а0 = 1, а1 = 2, 764, а2 = 2,136; Ь0 = 1, ^ = = -0, 152. На рис. 4 приведены нормированные кривые разгона, построенные по экспериментальным и расчетным данным.
Предварительное исследование режимов работы магнитного спектрометра свидетельствует о квазистацио-
0 = S2n + b1S2n - 1 + b2S2n - 2 + ••• + bn - 1Sn + 1. (10)
Определитель системы (10) имеет вид: 48 ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2008
Рисунок 4 - Нормированная кривая разгона: - экспериментальная кривая; —^г— ~ расчетная кривая
S
S
S
2
3
n
S
S
3
4
+
В. И. Дубровин, О. И. Юськив: МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ВЫБОРА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
нарности его динамических характеристик. Возможность изменения характеристик идентифицируемого объекта во времени объясняется наличием неконтролируемых внешних и внутренних возмущений, действующих на систему автоматизированного измерения энергетического спектра пучка ускоренных электронов.
В связи с этим представляется целесообразным использование принципов адаптации в схеме цифрового управления магнитным спектрометром.
Квазистационарность свойств спектрометра делает возможным использование адаптивного байесовского идентификатора при синтезе цифрового регулятора [3]. Для оценки необходимости текущей коррекции коэффициентов передаточной функции анализирующего магнита предусмотрена вспомогательная процедура анализа данных, регистрируемых в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1. В качестве начальной модели магнита может быть использована полученная в настоящей статье передаточная функция.
ВЫВОДЫ
Разработан специализированный контроллер для управления магнитным спектрометром, по экспериментальным данным рассчитаны параметры модели анализирующего магнита с использованием модифицированного метода площадей Симою. Полученная модель
использована для построения адаптивной системы цифрового управления магнитным спектрометром, испытания которой были проведены на базе линейного ускорителя электронов ЛУ-40 в НИК «Ускоритель» ННЦ «ХФТИ». Разработанная система управления показала удовлетворительные результаты при практическом применении в реальных измерениях. Дальнейшее развитие системы предполагает последовательное развитие ее программного обеспечения.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Симою М. П. Определение коэффициентов передаточных функций линеаризованных звеньев систем регулирования // Автоматика и телемеханика. - 1957. -№ 6. - С. 514-527.
2. Волгин В. В. Методы расчета систем автоматического регулирования / Учебное пособие. - М.: Изд-во МЭИ, 1972. - 192 с.
3. Бодянский Е. В., Удовенко С. Г. Субоптимальное управление стохастическими процессами. - Харьков: Основа, 1997. - 140 с.
Надшшла 14.01.2008
Розроблено спещал1зований контролер для керування магттним спектрометром. За результатами активного експерименту розраховано параметри модел1 магтту, що стала основою для синтезу адаптивного регулятора.
The specialized controller for control of magnet spectrometer is develop.The parameters of analyzing magnet model will be used for adaptive regulator design are calculated by active experiment data.
УДК 681.3.06:330.322.54
В. И. Дубровин, О. И. Юськив
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ВЫБОРА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
Рассмотрены основные составляющие оптимального портфеля (ожидаемая доходность портфеля и стандартное отклонение как мера риска), позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя полезность промежуточного по-тре-бления и (или) конечного капитала) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Проанализированы методы оптимизации (метод Марковица и Шарпа), а также рассмотрена роль функции полезности в формировании инвестиционного портфеля.
ВВЕДЕНИЕ
Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях характери-
© Дубровин В. И., Юськив О. И., 2008
зуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы [1, 2, 3]. В таких условиях традиционная портфельная теория [4] и классические методы финансовой математики [5] оказываются неадекватными и неспособными объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций по размещению капитала в рисковые активы теоретическим предсказаниям [6]. Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления, а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях изменения их доходности.
