Определение оптимальной формы воздействующего импульса озонатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372.4:537.52

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ВОЗДЕЙСТВУЮЩЕГО ИМПУЛЬСА ОЗОНАТОРА

Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова, О.П. Шпильная, Е.О. Кулешова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Показана возможность определения оптимального вида входного напряжения для электротехнических схем замещения первого и второго порядков барьерного разряда. Представлен алгоритм определения оптимальной формы воздействующего импульса напряжения, обуславливающего потребление минимальной энергии электротехническими элементами схемы замещения озонатора.

В системах газо- и водоочистки большой интерес представляет использование импульсного барьерного разряда. Успешно осуществляемая в данном разряде реакция образования озона является одним из немногих плазмохимических процессов, реализованных в промышленном масштабе, причем мощности озонаторных установок непрерывно растут. Этот тип разряда характеризуется, с одной стороны, сравнительно высокой средней энергией электронов 4...5 эВ и с другой - низкой температурой газа, которая близка к температуре электродов. При этом энергия, вложенная в разряд, выделяется в короткоживущих малоинтенсивных искрах - микроразрядах. Сочетание всех этих условий делает барьерный разряд эффективным для осуществления реакций конденсации: и действительно, кроме уже упомянутого процесса образования озона в нем можно проводить многие десятки органических и неорганических синтезов.

При феноменологическом описании электрических разрядов наибольшим успехом пользуется их описание как объектов электрической цепи [1-4]. В основе таких подходов лежит замена электрического разряда некой эквивалентной схемой замещения, состоящей из стандартных электротехнических элементов. Особенности протекания физических процессов определяются формой воздействующего напряжения. В ряде случаев эффективнее оказывается использование импульсного напряжения питания.

На рис. 1 приведена электротехническая схема замещения первого порядка для барьерного разряда, предложенная авторами [2]. Суть данной работы заключается в том, что бы выбрать такую форму воздействующего напряжения, при котором входной генератор выделял (затрачивал) бы наименьшую энергию для достижения заданного значения напряжения на конденсаторе в фиксированный момент времени. Рассмотрим решение такой задачи для схемы, представленной на рис. 1.

Для решения поставленной вариационной задачи [5, 6] необходимо определить переходную функцию по напряжению - к(1), связывающую входное напряжение и(7) с напряжением на конденсаторе и£(0.

Переходная функция - реакция цепи на единичное воздействие, поэтому, считая, что входное напряжение равняется единице, получаем:

h(t) = 1 -e RC.

(1)

Рис. 1. Электротехническая схема замещения первого порядка разрядного промежутка озонатора

Используя интеграл Дюамеля, можно записать напряжение на конденсаторе с учетом импульса воздействующего напряжения и полученной переходной функции (1):

*гёЬ(Г —т) 1 г ——^-т)

ис(О = |——— и(т)ёт = — |и(т)е Тс ёт. (2)

RC-

По условию задачи необходимо минимизировать функционал энергии генератора:

\ёк(Г —т) ( 1 \ ~тС(‘—т)ё

и° = • —ёт и = Тс • и(т)е Кс ёт. (3)

RC-

при ¡=Т и дополнительном условии выполнения (2).

Для вариации функционала необходимо выразить ток в цепи /(/), через входное напряжения ы($ и напряжение на конденсаторе ыс(1):

и(() — ис (()

i(t) = -

R

(4)

и, подставляя полученное соотношение (4) в выражение (3), с учетом(2) получаем:

T i T

W = J i(t)u (t)dt = — J (u (t) - uc (t))u(t)dt =

0 R 0

1 T ( 1 f -—(t-T) )

= — [I u(t)------Ju(x)e RC dx u(t)dt =

R[I RC[ J

1 T 1 T t __1 - )

= RJu2(t)dt - r— J Ju(t)e RC‘1 dxu(t)dt. (5)

Теперь можно осуществить условную минимизацию функционала (5) с дополнительным условием (2), которую формально можно записать так [5]: Ь = ж + Х- и,, 8Ь = 0,

8 (х -1) =

или с учётом фильтрующих свойств дельта-функции \ 0 при t ф х;

[да при t = х

и свойств функциональных производных [5]: Мх)) = д/х)) 8ср(х); 8ср(х)

Scp(t) dp Scp(t)’ Scp(t)

можно записать в развёрнутом виде:

= 8( х -1),

8L _ — [

R о du

1 T du 2( t)

1 y-8(t -t)dt -

J dt Ju T)8(t - t)e RTdx + R2C 0 0 du

—1— J dt Ju(t)8(t -t)e ™Tdx +

R —J 0 ^

+A8(t -T)e R—(T-TTdT _ 0.

ь [-

RC 0 du

(6)

После простых преобразований получаем, (пояснения приводятся на рис. 2):

Т t Т Т Т Т

| ё| ёт ёт |ё = |ё |ёт

8L _

0 0 1u (t)

0

t

R

C J dT u (t )e

-------(t - )

RC

R 2C

1 t

—j dx u t )e

-^(t-T) X -l^(T-t)

R 2C

RC

1u (t)

R R 2C

1 t

—j dx u t )e

-----|t-t\

RC

+

X -^T-t)

RC

-e RC ' = 0.

(7)

Таким образом, мы получили интегральное уравнение Фредгольма второго рода, относительно неизвестной функции и(7) - входного напряжения:

u (t)---1— [ dx u (t)e

W 1RCJ V'

RC'

2ЯС

__X_

_ 1Ce

RC

(t-t)

(8)

Осуществляя алгебраизацию ур. (8), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно искомой функции входного напряжения и(0

N

AtZ gks u + uk _-X• hk>

s_0

(9)

где

hk _— e RC

(T-tk)

1C

gk 1RCe

RC

gk ,s _ g (|tk - ts IX At _

N

- шаг дискретизации; д, ре0..Ж; N - число точек дискретизации временного интервала. Запишем решение уравнения (9) в матричной форме, введя обозначения, Е={1} - единичная матрица,

С={&,5} - матрица проводимости, Ь={-А.^} - матрица, образованная правой частью уравнения (9):

к = о+^ и = к-1 • ь.

Дt

На рис. 3 приведён результат восстановления фронта импульса входного напряжения для модельных параметров схемы Л=10 Ом; С=40 мкФ и длительности импульса Т=1 мкс.

На рис. 4 представлены расчетные графики энергий для трёх разных форм импульсов входного напряжения (рис. 4, а, б). Сплошной линией показано входное напряжение - оптимальной расчётной формы и соответствующая ему затраченная энергия генератора, пунктиром и штрих-пунктиром изображены неоптимальные импульсы входного напряжения и соответствующие им энергии. На графике видно, что энергия, выделяемая при оптимальной форме воздействующего напряжения, имеет меньшее значение по сравнению с энергиями, полученными в результате воздействия других импульсов.

Рис. 2. Расстановка пределов интегрирования в кратном интеграле

Рис. 3. Оптимальная форма импульса входного напряжения, полученная в результате расчёта

0 t

ЮС

50

25

IV, нДж

_ . - 7

/ /

. / /

/ /

, t, MKC

0,2

0,4

0,6

0,8

1

б

где p12 _ —

11 1 • R1• C1• R1 • C1

-R1 \C 1 + C1)-R1x

xC1 ±

\R12 C 1(C 1 + 1C1 + C12) +

+R1 • C1(C1 • R1 -1 • R1 • C1 +1 • C1• R1

- корни характеристического уравнения, А1, А2 -постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий по системе уравнений

А + А2 = 0;

1 А =—А = -

1

А Р1 + А Р1 _

R1 • C1

(Р1 - Р1) R1 • C1

Рис. 5. Схема замещения барьерного разряда - цепь второго порядка

Используя интеграл Дюамеля, можно записать напряжение на конденсаторе с учетом импульса воздействующего напряжения и полученной переходной функции (10):

■ёку — т)

-м)

dx

-u (t)dx _

Рис. 4. Различные формы модельных импульсов входного напряжения и соответствующее им распределение энергии

В ряде случаев необходимо учесть влияние проводимости межэлектродной субстанции (1/R2 на рис. 5), например, в цепи второго порядка. Рассмотрим алгоритм определения оптимальной формы воздействующего импульса, обуславливающей потребление минимальной энергии электротехническими элементами схемы замещения озонатора -цепи второго порядка на примере модельной задачи. Выберем в качестве величин цепи параметры: С1=5-10-11 Ф, С2=4-10-10 Ф, R1=15 Ом, R2=15 Ом.

Схема замещения барьерного разряда представлена на рис. 5, где С1 - ёмкость барьеров, ёмкость воздушной среды с вкрапленными каплями воды -С2, сопротивление схемы - R1, сопротивление межэлектродной субстанции - R2.

Для решения поставленной вариационной задачи, как было показано выше, определим переходную функцию по напряжению - h(t), связывающую входное напряжение u(t) с напряжением на конденсаторе ua(t) для схемы, изображённой на рис. 5.

Считая, что входное напряжение равняется единице, получаем:

h(t) _ A1ept + A1eP1t, (10)

1

_ J u(x)(px A1ep1(t-T) + p1 A1ep 1(t-T ))dx,

0

H(t - T) _ p1 A1ep1(t-T) + pAe^- \ t

uC1(t) _ Ju(t)H(t -t)dt.

(11)

По условию задачи необходимо минимизировать функционал энергии генератора:

W(t) _J i(t)u(t)dt,

(12)

при ¡=Т и дополнительном условии выполнения (11).

Для вариации функционала необходимо выразить ток в цепи г(0 через входное напряжение и(/) и напряжение на конденсаторе иа(0:

i(t) iR 1 (t) + iC 1 (t)

R

-+C1

dt

Подставляя полученное соотношение в выражение (12), с учетом (11) получаем:

0 V —

dt

1 t t d (t)

—Juc 1(t)u(t)dt +C1J — u(t)dt -

12 0 0 dt

1 T t _ — Ju(t)dtJu(t)H(t -t)dx +

t d (t

+C 1[u (t)dt—I [ u(t)H(t - x)dx

dt V

(13)

Теперь можно осуществить условную минимизацию функционала (13) с дополнительным условием (11), которую формально можно записать так:

Ь = Ж + Х-ис, 8Ь = 0,

1 т *

Ь = — | и(* )ё | и (т) Н (* — т)ёт +

— 0 0

Т

+С2 [и(*)Л— [и(т)Н(* — т)ёт 0 10

t

+ Я| и(т) Н (* —т) ёт = 0.

0

С учётом изложенного ранее, можно записать: д

' —

Г t

л

ди

1 Т *

—| Ши (* )| и (т) Н (* — т)ёт —2 0 0

1 Т

= — |ёт и(т)Н(|t —т|);

(14)

ди

и (т) Н (* —т)ёт

= !• Н (Т — *). (15)

Выразим в виде суммы двух слагаемых:

Н1(* —т) = р1А1ер1(*—т) + р2 А еР2( t—т) =

= Н^ — т) + Н2(* — т);

Н1(* —т) = ер*Н1 (—т); Н2(* — т) = ер*Н2 (—т),

тогда

Т

С2[и(*)ё*—I [и(т)Н(* — т)ёт =С2А1р1 [и2(*)ё* +

0 ё* у о ) 0

Т *

+С 2 рх | и(* )ё* | и (т)ёт Н! (* — т) +

0 0

т т *

+С 2 А2 р21 и 2(* )ё* + С 2 р21 и (* )ё* | и (т)ётН 2(* — т).

0 0 0 Как было показано выше в (6-8) _д_ ди

1

С 2 А1 р1 | и 2(* )ё*

Л

= С 2А1 р12и (*);

8_

ди

С 2 А2 р21 и 2(* )ё*

Л

= С 2А2 р22и ().

По аналогии с (14):

( Т *

д_

ди

С 2 р1 | и (*)и (т) ёт Н1(* —т)

0 0 . Т

= С2р1|ёт и(т)Н1(|* —т|);

ди

С 2 р21 и (*)ё*^ и (т) ёт Н2(* —т)

0 0 , Т

= С2р21ёт и(т)Н2(|* —т|).

(19)

Тогда результирующее выражение для минимизируемого функционала с учётом (14-19)

1 т

дЬ = — Г ёт и(т)Н(|* — т|) + 2 • С2(АХрх + А2р2)и(*) +

—2 0

Т

+С2р11ёт и(т)Н1 (|* —т|) +

0

Т

+ С2р21ёт и(т)Н2(|* —т|) + ХН(Т — *) = 0.

0

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно переходной проводимости неизвестной функции входного напряжения ы^):

1 т

2 • С 2 • (А1 р1 + А2 р2) • и(*) +-Г ёт и (т) Н (|* — т|) +

—20

Т

+С2 • р1 • ёт и(т)Н1(|* — т|) +

0

Т

+ С2• р2• ёт и(т)Н2(\* — т|) = —!• Н(Т — *). (20)

0

Осуществляя алгебраизацию уравнения (20), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно ы(/)

N

(21)

где

(16)

(17)

(18)

Д* Е §к ^ 'из +м • ик =—Х^ Ик >

5=0

М = 2 • С 2(А1 рх + А 2 р2); Нк = Н (Т — *к);

Як = -1 Н(|*к |) + С2рхН 1(| 1к |) + С2р2Н2(\*к |); —2

Як = я (*к— *5 У; Д* = ТIN

- шаг дискретизации; д,ре0..^ N - число точек дискретизации временного интервала. Запишем решение уравнение (20) в матричной форме, введя обозначения, Е={1} - единичная матрица,

С={&,5} - матрица проводимости, Ь={-ХНк} - матрица, образованная правой частью уравнения (21):

К = О + М Е, ^ и = К—1 • Ь.

Д*

Таким образом, представленный авторами алгоритм может быть использован для оптимизации работы озонатора. Энергия, выделяемая генератором озонатора при оптимальной форме воздействующего напряжения, имеет меньшее значение по сравнению с энергией, полученной в результате воздействия импульса неоптимальной формы.

д

20

д

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самойлович В.И., Гибалов К.В., Козлов В.К. Физическая химия барьерного разряда. - М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 176 с.

2. Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова ТЕ. Определение параметров двухполюсника при воздействии импульсного напряжения // Электричество. - 2003. - № 11. - С. 64-67.

3. Лунин В.В., Попович М.П., Ткаченко С.Н. Физическая химия озона. - М.: Изд-во Московского ун-та, 1998. - 198 с.

4. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. - М.: Наука, 1992. - 535 с.

5. Райзер Ю.П. Высокочастотный емкостный разряд. Физика. Техника эксперимента. Приложения. - М.: Изд-во МФТИ: Наука: Физматлит, 1995. - 320 с.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

7. Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1976. - 255 с.

УДК 621.372.4:537.52

ТОМОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДА И ЕМКОСТЕЙ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОДОВ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Ю.Н. Исаев, О.П. Шпильная, Е.О. Кулешова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Предлагается использовать метод реконструктивной томографии для расчета распределения зарядов и емкостей плоских проводников неканонической формы. Приводятся примеры восстановления распределения зарядов и ёмкостей на модельных задачах. Сравниваются результаты известных расчетов ёмкостей с томографическим подходом.

В реальных электротехнических устройствах происходят сложные процессы, связанные с накоплением, перераспределением энергии, протеканием токов смещения, проводимости. Поэтому при проектировании линий электропередач, кабелей, различных электрических и радиотехнических устройств возникает необходимость расчета электрической емкости.

Известно, что емкость зависит только от геометрических параметров проводников и диэлектрической проницаемости окружающей среды. В научнотехнической литературе достаточно подробно рассмотрены основные методы расчета емкости для проводников канонической формы, существует справочная литература по расчету емкостей [1], содержащая примеры расчета, готовые формулы, таблицы, численные результаты для проводников канонической формы. Для проводников более сложной формы в работах [1-3] применяют специальные методы, дающие приближенные результаты.

Как альтернативу существующим методам расчета емкостей плоских проводников авторы предлагают метод компьютерной томографии, претендующий на высокую точность расчетов даже для проводников сколь угодно сложной конфигурации.

Идея компьютерной томографии состоит в восстановлении (реконструкции) функции двух переменных ст(х,у) (распределения заряда) по их интегральным характеристикам - проекциям Р(х,у), полученным в результате измерений вне объекта [4-6].

да да

Р(р,д) = • / &(х,у)д(р —у<оъ(в) +х^т(в))ёхёу, (1)

—да —да

где д(х,у) - фильтрующая дельта-функция Дирака.

Решив ур. (1) относительно ст(х,у), получаем формулу, позволяющую восстанавливать распределения зарядов по проекциям:

х,у)=-1-2’пё^даёр. др(е-р)'др

2п2 0 —

p - y^COS(d)+x-sin(0)

(2)

Рис. 1. Получение проекции Р(р,в) при фиксированных значениях р и в для распределения зарядов и{х,у) на поверхности проводника

Интеграл (2) существует в смысле главного значения [4, 6]. Смысл переменных в формулах (1) и (2) ясен из рис. 1. В электростатическом поле потенциал и(х,у) проводника в любой его точке одинаков, заряд же распределен по поверхности неравномерно ст(х,у). Поэтому основной задачей при определении емкости является определение распределения зарядов по поверхности проводника при заданном потенциале проводника. Чтобы получить связь между зарядом проводника и потенциалом на его поверхности необходимо осуществить обратное проецирование. Суть обратного проецирования в следующем. Проекция Р(р,в) двумерной функции