CC BY
24
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
УДК 539.3
Н. С. Анофрикова, B.C. Белицкая
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ПРОДОЛЬНОГО УСИЛИЯ В ТРЕХСЛОЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ
ПЛАСТИНЕ
В работе описан метод решения модельной задачи об определении двумерной безмоментной составляющей в случае вязкоупругой трехслойной пластины, подверженной ударной нагрузке тангенциального типа на ее торце.
Рассмотрим полубесконечную трехслойную пластину, все слои которой выполнены из вязкоупругих материалов. Считаем, что вязкоупру-гое поведение материалов описывается моделью Максвелла [1]. Введем декартову систему координат xTx2z, совмещая плоскость 0х1х2 со срединной плоскостью пластины и направляя ось z по нормали к срединной плоскости. Примем следующие обозначения: / - номер слоя, 2hi - толщина l-го слоя, 2h толщина пластины. Будем предполагать, что наружные поверхности пластины свободны от нагрузки. Граничные условия на стыке слоев пластины - условия непрерывного контакта. Двумерные уравнения для безмоментной составляющей в указанном случае могут быть получены из трехмерных уравнений вязкоупругости методом асимптотического интегрирования. В случае симметричной по координате нагрузки последние имеют вид
олт! о2 о 3 о
дХТ- 2ph~^ = 02 dt £ h'E'F3W W й = ж (1)
i=1
где T1 - нормальное усилие, р - усредненная плотность, задаваемая формулой
hipi + h2p2 + h3p3 р =-h-•
Ui - перемещение вдоль оси х1? Ei ,vi - мгновенные значения модуля Юнга и коэффициент Пуассона материала l-го слоя, tu - характерное
время релаксации, F:it = f1^ + Jt> F« = -l^+f - VjJt, W = F32 - F42,
i = j = k = ТД 14 14
Предположим, что к торцу пластины хг = 0, находящейся в состоянии покоя, в начальный момент времени прикладывается ударное продольное воздействие тангенциального типа, симметричное относительно x2. В этом случае граничное условие на торце хг = 0 можно взять в виде
Ti = 2hIH (t). (2)
Здесь I - амплитуда, H(t) - единичная функция Хевисайда.
Таким образом, необходимо решить систему (1) при граничных условиях (2) и нулевых начальных условиях.
Перейдем в уравнениях (1), граничных условиях (2) и начальных условиях к безразмерным переменным и к безразмерным параметрам
£ = XI т = Ct ^ = Ctil h ' h' h '
где c2 = jh, E = ^3=1 Г-i- Также введем безразмерное усилие и перемещение
Ti = 2ET** , ui = hu*.
Применим к решению задачи, записанной в безразмерной форме, интегральное преобразование Лапласа по переменной т [2]. В результате получим следующее выражение для изображения продольного усилия:
г I*__
TL = — e v^ö. (3)
s
В формуле (3) введены обозначения: I* = E , A(s) = i 3=1 ^fi ?
F3L = ^ + s FL = -11^ - Vis = (F3L)2 - (FL)2, s г параметр интегрального преобразования, TL, uf - изображения по Лапласу функций T* , u1 соответственно.
Решение в оригиналах будем искать с помощью разложения изображения (3) в ряд по отрицательным степеням параметра интегрального преобразования. Для обращения членов полученного ряда воспользуемся формулой обратного перехода [3]
1
e-(s-S* ^ (CT-=A П/2 In(2х1д-£(ст - £)) H(ст - £) ,
sn+1 V cg£ J n V V c'
где In(t) - модифицированные функции Бесселя.
Выпишем окончательное решение, ограничиваясь первым членом ряда
г* — I/о (т - £)) Н(т - £). (4)
Здесь В! — X = -ЕЕ £3=1 Т-? + 2 ^^ к —
_ _2 п т - (Уг-!)(4у2+7уг+5)п « _
— 3 1-^2 _ 9(1-^2)2 пг> п _ тн '
На рис. 1, 2 представлены графики приведенного значения продоль-
Т1 с
ного усилия -р; относительно координаты
Численные расчеты выполнены для пластинок, физико-механические
свойства материалов слоев которых представлены в таблице [41.
Параметр Рг, кг/м3 Еь ГПа VI Т1, с
Материал 1 1200 1.1 0.3 0.001
Материал 2 1200 1.1 0.3 0.00025
Рассмотрены следующие варианты пластинок полутолщины к — — 0.5м: случай (а) - первый слой - материал 1, / — 0.1м; второй слой -материал 2, /¿2 — 0.3 м; третий слой - материал 1, кз — 0.1м; случай (б) - первый слой - материал 2, / — 0.1м; второй слой - материал 1, к — 0.3м; третий слой - материал 2, кз — 0.1м; случай (в) - все слои выполнены из материала 1; случай (г) - все слои выполнены из матери-
0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030
Рис. 1 Рис. 2
На рис. 1 сплошная линия соответствует случаю (а), пунктирная -г), точечная - (в). На рис. 2 сплошная линия соответствует случаю (а), пунктирная - (б). Анализ графиков, приведенных на рис. 1, показывает, что при увеличении времени релаксации поведение материала стремится к упругому, при этом также уменьшается максимальное значение усилия. Если слой из материала с меньшим временем релаксации расположить между двумя слоями из материала с большим временем релаксации, то это с одной стороны уменьшает максимальное значение продольного усилия, а с другой замедляет затухание решения по координате. Если сравнивать поведение трехслойных пластин, отличающихся расположением
слоев с различными значениями времен релаксации (рис. 2): то в случае (а) наблюдается достижение большего максимального значения продольного усилия с одновременным более быстрым затуханием решения по координате по сравнению со случаем (б).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бажанова Н. С., Коссович Л. К)., Сухоловская М. С. Нестационарные волны в вязкоупругнх оболочках : модель Максвелла // Изв. высш. учеб. завед. Сев. Кавк. Регион. Естеств. науки. 2000. JVS 2. С. 17-24.
2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., 1958. 207 с. "
3. Kapïunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.
4. Лапина П. А. Реконструкция трещиноподобных дефектов в вязкоупругой слоистой среде : дис. ... канд. фнз.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 2012.
УДК 539.3
Н. С. Анофрикова, Н. В. Сергеева
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
В работе представлен численный анализ дисперсионных уравнений, полученных для осесимметричной задачи в случае наследственно-упругого полого цилиндра.
Постановка задачи. Для решения задачи о распространении гармонических волн в бесконечном полом круговом наследственно-упругом цилиндре в [1] были выведены дисперсионные уравнения для задач растяжения-сжатия (1) и кручения (3).
ICmj | = 0, m,j = 1,4. (1)
Элементы определителя в уравнении (1) с номерами m = 1, 2, j = 1,4 имеют вид
2а
Сц = — (b2 — X2) Jo (as) H--Ji(as), C2i = —2ai%Ji(as),
s
2a
Ci2 = — (b2 — x2) Yo(as) — — Yi(as), C22 = —2aixYi(as), (2)
s
Cis = —2bixJo(bs) + ^ Ji(bs), C23 = — {b2 — x2) Ji(bs),
s
Ci4 = —2bixYo (bs) + ^ Yi(bs), C24 = — {b2 — f) Yi(bs),
s
