CC BY
18
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
УДК 539.3
Н. С. Анофрикова, М. В. Вильде
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЕ
В работах [1, 2] описаны асимптотические методы, разработанные для решения двумерных задач для упругих и вязкоупругпх однослойных пластин и тонкостенных оболочек с помощью асимптотических методов. В данной статье предложен метод решения модельной задачи об определении двумерной безмоментной составляющей в случае вязкоупругой двухслойной пластины.
Рассмотрим полубесконечную двухслойную пластину, оба слоя которой выполнены из вязкоупругих материалов. Считаем, что вязкоупругое поведение материалов описывается моделью стандартного вязкоупруго-го тела с условием упругого объемного расширения. Введем декартову систему координат (х1, х2, z), совмещая плоскость Ох1х2 со срединной плоскостью пластины и направляя ось г по нормали к срединной плоскости. Примем следующие обозначения: I—номер слоя (I = 1, 2), — толщина слоя, 2Н толщина пластины. Будем предполагать, что наружные поверхности пластины свободны от нагрузки. Граничные условия на стыке двух слоев пластины — условия непрерывного контакта. Двумерные уравнения для безмоментной составляющей в указанном случае были получены в [3] из трехмерных уравнений вязкоупругости методом асимптотического интегрирования. В случае осесимметричной задачи последние запишутся в виде
дТ1 , д\ 1 — 2рН—1 = 0,
дх1 дЬ2
2 [Н1£1/21/З1(/З22 — /?2) + Н2Е2/22/32(/321 — /¿)]
= (/з1 — /41Х/32 — /42)ТЪ — /2) + Н2Е2/22/
= (/31 — /421)(/32 — /42)Т2,
2 [Н1Е1/21/41 (/32 — /422) + Н2Е2/22/42(/31 — /¿)] ^
'■да л = (£ +!)> // = К1--? + 2т?) + I'/4' =
1 (1-2^ — — ^ = 3 = 1' 2; I = 2 их - перемещение
вдоль оси хъ Т — нормальные усилия, Ьх/ — характерное время релаксации, Ь2/ — характерное время ползучести, Е/, V/ — мгновенные значения модуля Юнга и коэффициент Пуассона материала 1-го слоя, р _ усредненная плотность, задаваемая формулой
рхН + р2 К2
р =-н— •
Предположим, что к торцу пластины хх = 0, находящейся в состоянии покоя в начальный момент времени прикладывается ударное продольное воздействие тангенциального типа, симметричное относительно х2. В этом случае граничное условие на торце хх =0 можно взять в виде
Т = 2 Н1И (Ь), (2)
где I— амплитуда, И (Ь) — единичная функция Хевисайда.
Начальные условия берем в форме
д и
и = = 0, при Ь = 0. (3)
Таким образом, нам нужно решить систему (1) при граничных условиях (2) и начальных условиях (3).
Перейдем в уравнениях (1), граничных условиях (2) и начальных условиях (3) к безразмерным переменным и к безразмерным параметрам
* = И'т = н'т= Т' (4)
где c2 = E = • Так же введем безразмерные усилия и пере-
,2 _ E ? — \ -2 El
~vi
мегцения
T = 2ET*, ui = hu*. (5)
Применим к решению системы уравнений, записанной в безразмерной форме, интегральное преобразование Лапласа по переменной т. В результате получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения изображения перемещения uf:
d2uf s2 т
# - AS)uL = 0 (6)
где s — параметр интегрального преобразования и
A(s) = Eh fe + Eh t = () (i-f +2 + s)-
( з (^ ) - vk sy
3 у T2fc
Lk = + 4 (К1-? + 2+ s) .
Выражение для изображения продольного усилия получаем в виде
TL = A(s) ^. (7)
Граничное условие (2) в изображениях принимает вид
Ih
TL = -с— п ри £ = 0. (8)
E s
Решение (6) имеет экспоненциальный вид, определяемый квадратным характеристическим уравнением. При построении безмоментного решения, затухающего с удалением от торца £ = 0, выбираем корень, имеющий отрицательную действительную часть. Подставляя полученное решение в (7) и удовлетворяя условию (8), получим следующее решение для изображения продольного усилия:
Ih
1 Es^ll уВД
TL = 4h exp Л . (9)
Решение в оригиналах будем искать с помощью разложения изображений в ряд по отрицательным степеням
Т? = | ехР (- (. + Д — Д) С) , (Ю)
Д = 1 ( Ьт — -) = 1Д — 1 (Т — С? — 2Д ) ,«■ = (1 — — ^,
2 V ai а2 7 2 2 \ ai а2 а2
bi = J^(nk + vfcmfc) (1 - v2) , ci = ^ {n\ - m2k) (1 - vf) + 4 (щ + vimi) (n + V2m2)
k=i k=i
a2 = ^ Pk (1 - v2) ,62 = ^ [ 2pi (nk + Vk mk) + рЛ n + — J (1 - vfH =
k=i k=i ^ V T21/ / E
С2 = ^ (pi (n2k - m\) + 2pi (m + — j (nk + vfcmfc) + pi — (l -k=1 Tki T2i
1/1 - 2v 1 +
— = тт--+ 2
3 V T2i T1i
1 /1 - 2vi 1 + Vi \ , , ,
mi = - ----- ,i = 1, 2, l = k = 1, 2.
3 V T2i Tii )
Воспользуемся формулой обратного перехода (см. [1
k
1 exp (- (S - g ) i ) ^ ( ^ П I J 2. ¡h (ст - i Л H (ст - i ),
вп+1 V \о в) ) \ од^ ) \ V с
где /п(£} — модифицированные функции Бесселя.
Выпишем окончательное решение, ограничиваясь первым членом ряда:
T{ = ^e-^Io (2yDÏF-ë)) H (т - £). (И)
Путем предельного перехода в выражении (11) при 111 ^ ж и
^ ж можно получить решение для упругой двухслойной пластины. Если кроме того в полученных выражениях положить E1 = E2 и v1 = v2, то придем к соответствующим решениям для случая однослойных пластин.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1101-00545).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Kapïunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. Academic Press, San Diego, 1998. 226 p.
2. Бажанова H. С., Коссович Л. К)., Сухоловская М. С. Нестационарные волны в вязкоупругнх оболочках: модель Максвелла // Изв. высш. учеб. завед. Сев.-Кавк. регион. Сер. Естеств. науки. 2000. JVS 2. С. 17-24.
3. Анофрикова Н. С., Шевцова Ю. В. Низкочастотные длинноволновые тангенциальные приближения трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругоети для случая двухслойных пластин // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 126-130.
