Об особенностях решения одной краевой задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения с отражающим отклонением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517.927.25

DOI 10.24411/2409-3203-2019-1937

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ОТРАЖАЮЩИМ ОТКЛОНЕНИЕМ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент,

стажёр кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Иркутский государственный университет Россия, Иркутск

Резюме: Рассмотрены вопросы классической разрешимости и построения решения одной нелокальной краевой задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром, спектральными параметрами и отражающим отклонением. Вычислены значения спектральных параметров, получены необходимые и достаточные условия существования решения краевой задачи. Разложены в ряд Фурье решения этой задачи, соответствующие разным множествам значений спектральных параметров. Доказана абсолютная и равномерная сходимость рядов, возможность их почленного дифференцирования по всем переменным и абсолютная и равномерная сходимость дифференцированных рядов.

Ключевые слова: Нелокальная краевая задача, интегральные условия, спектральные параметры, отражающее отклонение, классическая разрешимость.

ON SINGULARITY OF SOLVING OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A HYPERBOLIC TYPE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH REFLECTING DEVIATION

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor, Department of Math. Analyses and Diff. Equations Irkutsk State University Russia, Irkutsk

Abstract: The problems of classical solvability and construction of the solution of a nonlocal inverse boundary value problem for a hyperbolic type multidimensional integro-differential equation with a degenerate kernel, spectral parameters and reflecting deviation are considered. The values of the spectral parameters are calculated, the necessary and sufficient conditions for the existence of the solution of the boundary value problem are obtained. It is laid out in the Fourier series the solutions of the problem corresponding to different sets of values of spectral parameters. Proved absolute and uniform convergence of the series, the possibility of

their term-by-term differentiation in all variables and the absolute and uniform convergence of the differentiated series.

Key words: Nonlocal boundary value problem, integral condition, spectral parameters, reflecting deviation, classical solvability.

1. Постановка задачи

Интегро-дифференциальные уравнения являются математическими моделями протекания многих физических процессов и работы технических систем (см. напр. [1, 2]). В [3, 4] показаны приложения интегро-дифференциальных уравнений в теории систем автоматического регулирования. Нелокальные краевые задачи изучены в работах [5-9]. В работах [10-19] для интегро-дифференциальных уравнений ставятся и изучаются разные постановки задач. Интегро-дифференциальные уравнения с вырожденным ядром и нелокальными интегральными условиями рассматривались в [20-23].

В настоящей работе изучается разрешимость нелокальной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром, спектральными параметрами и отражением аргумента. В вопросе изучения разрешимости и построения решений важную роль играет наличие спектральных параметров и отражения аргумента. Вычисляются значения спектральных параметров, для которых устанавливается разрешимость рассматриваемой задачи и построятся соответствующие решения. Здесь отметим, что наличие отражения в аргументе приводит к изменениям в вопросе разрешимости краевой задачи при иррегулярных значениях спектральных параметров.

В трехмерной области П = {(?,х,у)\ -р<t < р, 0 <х,у <I} рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида

р

ип ^, х, у)-а2 [ПхХ ^, х, у) + Цуу ^, х, у)) = у | К ^, *)и(а-5, х, у) , (1)

-р

где а, р и I- заданные положительные действительные числа, а<р, а -положительный спектральный параметр, V- действительный спектральный параметр

отличный от нуля, о ф К(г,5) = ^а{ ^)Ь (*), (),bi (5) 6 С [- Р; р]- Здесь предполагается,

¿=1

что система функций а1 ^), i = 1, к, и система функций bi (*), i = 1, к, являются линейно независимыми.

Уравнение (1) будем рассматривать при следующих нелокальных условиях

р

U(р,х,y) =J U(t,х,y)dt, 0 < х,y <l, (2)

-р

и (Р, х, у) = р(х, у), и ^, х, у) = ф(г, х, у), t 6 [Р; р + а\, 0 < х, у < I (3)

и граничных условиях типа Бенара

и($,0,у)=и^,1,у) =и(г,х,0)=и(г,х,1) = о, -р<t<р, (4)

где р(х,у), (t,х,у)- заданные достаточно гладкие функции,

р( 0, у) = р(1, у) = р( х ,0) = р( х, I) = 0,

у(г ,0, у) = у(г, I, у) = у(г, х ,0) = у(г, х, I) = 0. Задача. Найти в трехмерной области О функцию и (г, х, у), удовлетворяющую уравнению (1) и заданным условиям (2)-(4) и также следующим условиям

и (г, х, у) еС (О) о С '(О')о С 2 (О), (5)

где О' = {(г,х,у)| -р<г <р, 0<х,у <I}, О = {(г,х,у)| -р<г< р, 0<х,у <I}.

2. Разложение решения задачи (1)-(5) в ряд Фурье

Нетривиальные решения задачи разыскиваются в виде ряда Фурье

гт . . 2 ^ . . . ж п . ж т ¡¿л

и (г, х, у) =у^ ип, т (г) Бт — х Бт — у, (6)

1 п т=1 1 1

где

г, l l

2 т т ж n ж m

ип, m (t) =tJJU (t'x' y)sin — x sin—ydxdy, n, m = 1,2,...

l 0 0 l l

Подставляя ряд (6) в уравнение (1), получаем

P к

Km (t) + Km C Unm (t) =У JE ai (t) Ъ (s) U «m (« " S) dS , (7)

-p i=1

где и =— V« + m .

^ ' n, m ^ *

С помощью обозначения

p

Тг,«,m = J Ъг (s) Un,m (« - s) ds (8)

-P

уравнение (7) перепишется в следующем виде

к

и" (t) + и2 со2и (t) =уУ a. (t) т. . (9)

n,m V ^ m п,m V ^ / j i V s i,n,m ^ '

i=1

Дифференциальное уравнение (9) решаем методом вариации произвольных постоянных

и (t) = c cos и o)(t + P) + d sin и o)(t + P) +

n,m\J n,m "n,m V r) n,m "n,m V r) у к *

+- ETi, n, m J sin Un, m C (t - S) ai (s) ds . (10)

Un, m C i=1 -p

Условия (2) и (3) записываем в следующем виде

Un, m (P) = = J J (U (p, x, y)) sin 7^~x sin 7^J~y dxdy = l 0 0 l l

21 i P жп жт P

=2 J J J U (t, x, y) dt sin — x sin --ydxdy = J un, m (t) dt, (11)

l 0 0 -P l l -P

*'П, m (Г) =2\\Ut Х , У) Sln Sln dxdy '

l 0 0 l l

==2¡¡ р( x' y)sin ~Tx sin ~7~У dxdy = (Рп-m •

0 0

(12)

Для нахождения неизвестных коэффициентов cn,m и dn,m в (10) воспользуемся условием (11)

c о, (о) = d ап (о) +S

n,m 1,n,m V / n,m 2,n,m V / з

' 0,n,m '

(13)

где

01, n,m (о) = °COs2Mn,m°P-Sln2Un,шOГ, 02,n,m (о) = 1 -COs2Un, Sln2Un,шOГ,

f V Vе ,

#0, n, m = I Лп ,m (t) dt-^n, m (Г) , Л n, m (t) = —^T<,n,m 7in,m (t) ,

-Г о i=1

1 t

Y,n, m (t) =- I sln Un ,m°(t - s) (s) ds •

U„, m -Г

Здесь возможны три случаев: 1) о1,n,m (о) = 0; 2) о2¡n¡m (о) = 0; 3) о,,n,m (о) *0, i = 1,2. Множества всех положительного решений уравнений оj,n,m (о) = 0 и о2,n,m (о) = 0

обозначим через Л1 и Л 2. Здесь Л1 пЛ2 = 0. Примем обозначение Л3 = (0; да)\(Л 1 и Л2).

С учетом это построим решения задачи (1)-(5).

Для каждого случая из (13) получаем, что

1) cn,m - произвольное число и d

^ 0,n,m

0, n, m

(о)

2) c

и dn,m - произвольное число,

3) c =d

n,m

01,n,m (о)

°2,n,m (о) S0,n,m

оеЛ;

1 1 5

оеЛ;

2 ?

°1,n,m И °1,n,m И

Г — k

Тогда с учетом того, что #0, n,m = J Лп, m (t) dt -Лп , m (Г) , Лп, m (t )= — , m Ж. 1t

-Г 1 Í.

(t) =- I slniÁn ma(t -5)ai (s)ds представление (10) принимает вид

Un, m -Г

о

м (t,о) = c cos и о(t + Г) +— У T. С. (t),

n,m V ' ^ n,m ^^ r^n,m V ^ / * i,n,m ^ i,n,m V y 5

где С,,п,„ (t) = fi, n, m (t) -

Un, m (t ,о) = c„, m sln Un,m°(t + Г) + ~ УТ i ,n,m Zi ,n,m (t) ,

о i=1

— k A

Un, m (t ,о) = cn, m^0(t) +— STi, n, m , n, m (t) , ^^

sln Un,m °(t +Г)

1 ' ©бЛ

2'

(14)

(15)

°2,n,m (о)

¡/i, n ,m (t) dt -Yi, n, m (Г)

i=1

i=1

(г) =

~ 1,п,т V у

СОв Мп, т^(г + р) а, (ю)

1, п, т V У

IV (г) а г -у (Р)

I / 1,п, т V у / 1,п, т V* у

+ (г),

А0,п,т (г) = а2,п,т(0) СТО Цп, тС (г + р) + Мп, тС(г + Р), 1= 1 к.

Воспользуемся теперь условием (12) и из (14)-(16) приходим к представлению

к

и (г —,ю) = ср в (г) + —У т. о (г), ,, ] = 1,2,3,

п,т ^ ? ? у ' п, т J, п, т V у / ^ 1 ,п, т J, 1, п, т V у' ] ^ 777

СО 1=1

(17)

где о (г) = А (г)

J , 1, п, т V у J, п ,т ^ у

IV (г) аг -V (Р)

I/ 1,п,т V у /1 ,п,т V* у

+ у (г) - в. (г) у' (р),

/ 1 ,п, т ^ ' J ,п ,т V у / 1 ,п ,т V* у?

в (г) = - с°з М, тю(г+рр %ш2КоРФ

1, п, т V / • ^ ' ' п, т ' '

^ Мп, тС(г + р) ■ Мп, тС(г +р)

А1, п, т (г) =--М п,т С(г + р) ■ СО*2М„,т Ср + М„,т + рЛ

а 2, п, т (Ю )

(г) = --,--„, ,-> соз2атрФ 0,

2,п,т V / ^ п ' ' п, т г ?

С СОв2Мп,тСр

А (г) =

2,п,т V у

1

а, (ю)

1, п, т V у

Г> ('Л— ^ п, т (0

ъ,п,т = А0^т(р):

вт2 м ю(г + р)

г+ , /э\ , ' п, т V у

собм ю(г + р) +--

Г^ п, т V ' у о

сов 2^М юр

' п, т '

С т (р) * 0,

„ /А СОвМп,тС(г + р) А0,п,т (г) . - р

А3,п,т (г) =-ТТ---ТГ 3т2Мп,т°р.

а1,п,т (ю) а 2, п,т (ю)

Для того, чтобы имело место представление (17) при требуется выполнение

условие з1п2мп тюр* 0, при юеА2 требуется выполнение условие соз2мп тюр* 0, а при &ек3 требуется выполнение условие А'0(Т)Ф0.

Решая уравнения Зп2мп тюр = 0, получаем

ю = ■

рж

Р£□ . Совокупность

решений

да

РЖ обозначим через 31. Решая уравнения соз2мп тюр = 0, получаем

2Мп,т р

р=1

,_ж(1 + 2р) „ Ьг(1 + 2р)

л--—, реи . Совокупность решении

4Мп.т р

4Мп,т р

обозначим через 3 2. Теперь

р=1

с°а2п т(ю)

рассмотрим уравнение А'0пт (Т) =--' ' ¿т2цп тюр + Хсоз2рп тюр = 0, т.е.

, , а1,п,т (°) , ,

а^т (ю)

уравнение Хаа2мптюр = ———— . Положительные решения этого уравнения обозначим

2, п,т

(С)

через Примем обозначения: Л^. =(0; оо)\3;. , у =1,2,3. Итак, на множествах

Ку=ЛупЛу , 7=1,2,3 имеет место представление (17).

Подставляя (17) в (8), приходим к системе алгебраических уравнений (САУ)

да

V тЪ ( ■ —

/ ^ 1.п.т ^ 11.п.т Ф п,т ^ Н,п,т ' ^ 5 ^ — 1,2,3,

а -

(18)

где Н'

р р

Отметим, что из линейной независимости систем функций аг () и Ь (*) следует, что САУ (18) однозначно разрешима при любых конечных Фесли

выполняется следующее условие

1 +

о

-я'

о

-Н'

к 1, п,т

а

У И1

а

\ + -Н'22 а

-Н'

к 2, п, т

а

-Не

1к, п, т

а

-Не

2 к, п, т

а

■ ■ 1 ~Г П кк,п,т

а

Ф 0.

(19)

Определитель А ,<э) в (19) есть многочлен относительно — степени не выше

со

к. Уравнение = ® имеет не более к различных корней. Их обозначим через

Х\ (/ = \,р, , 1<р, <к). Тогда счетные числа V = Уп+1 = Яп/// называются характеристическими (иррегулярными) числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1), где иёО . Другие значения спектрального параметра называются

регулярными. Примем следующие обозначения для счётных множеств Т(={(^о):г = £а/1г>еК(), Т г = {(у,со): уфсо Л,', 1 = \,ре ,\<р,<к, £ = 1,2,3.

На регулярных спектральных множествах П. решения САУ (18) записываются в

виде

А . —

где

1 + -И,,.

а

У И*

а

-Не

к 1, п, т

а

-И1

■■■ П1(Н),л,л

а

1 = 1,к, £ = 1,2,3, юеУ,

(20)

Фи,„,т ~Н\ СО

(г+1),п, т

... *н>

а

2 (г—1 ),п,т £ 2,п,т

Ф,-

н>

а

2 (¿+1),п,т

—НФ —Н

к (¿-1), п ,т (к ,п, т к (¿'+1), п, т

со со

-Не

1к, п ,т

а

-Не

1к, п ,т

а

... 1-Г п кк

а

Подставляя (20) в (17), получаем

ипЛ1^,(0) = (РпЛ.пЛ1^,(0), 1 = 1,2,3, ©еТ,

V х-^

где У,пт ^ ,V,о) = В,,Пт ^) + -£

03 ¿=1

Теперь (21) подставляем в ряд Фурье (6)

ОппЛ 0-

тт. . 2 ^ , . . жп . жт

и О , х , у ^,о) = - ^ Рп, тУ,, п,т (t ,V,о)Sl^ — х ЗШ—- у.

^ п,т=1 ^ ^

(21)

р

р

т

3. Сходимость ряда (22)

В трехмерной области О покажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (22) для всевозможных чиселп,т и (у,о>)еТ1,. Из-за того, что функции гладкие на отрезке [-р; р], мы положим, что они ограничены вместе со своими производными второго порядка: 1к,п,т(г—,С)\<С1, 1к''п,т(г—,ю)\<С, где 0<С1 = сотг.

Условия А. Пусть функция <(х,у) еС2 ([0;1] 1]) и на сегменте [0;1] имеют

кусочно-непрерывные производные третьего порядка и

<(0, у) = <(1, у) = <( х ,0) = р( х, 1) = 0,

У**(0, у) = <хх(1, У) = У**(х ,0) = <хх(х, 1) = 0

Руу (0, у) = Руу (1, у) = Руу (х ,0) = Руу (х, 1) = 0. Тогда справедливы

Рп, т I

1 \3 .„т

1 I <Рп, т

где, соответственно

Ж I п"

1 1

Р п, т I

1 \3 ти

1 I рп, т

„3

ж i т

(23)

2 Г Г ( \ • жп .жт

Рп,т =у| I Рххх(х,у)вт—х у йЫу

1

1

1 1 11 <

Р'п,т =~ | | Рхххууу (х, у^Ы — х 81П — у йхйу,

0 0

. жп . жт -х Б1П —

11

(24)

Из (23) получаем, что

= | 116 РПт

Рп ,т I I 33.

ж I п т

Для (24) справедлива неравенство Бесселя

X [ Рр,т ] 2 < -р.Г .11 [ Рхххууу (х, у) ] 2Лхау.

(25)

(26)

С учетом формул (25), (26) и применением неравенство Коши-Буняковского получаем оценку

2 да

I и (г, х, у, У,ю)\ < 2 X | Рпт Н П,пт (г — С |'

п,т=1

. жп Б1П — х

1

. жт Б1П-у

1

< 7С1 Х\Рпт \<

1

п, т=1

<У1 X

3 3 Р п, т У1

п, т=1 п т

п, т=1 п 6 т 6 \

да

X 1 [ Рп,т ]

п, т=1

<

2У1

1 V

X

п, т=1 п6 т6

1

11 [р.

,(х,у) ]2а.ау < да,

(27)

2I 1

где у1 = С-^— VI . Из (27) заключаем, что при выполнении условий А ряд (22) для

1 ж

всевозможных чисел п, т и сходится абсолютно и равномерно в области О.

Покажем непрерывность решения задачи (1)-(5) по граничной функции р(х,у).

Пусть

и1(г,х,у—,ю) и и2(г,х,у—,ю)- два различных решения нелокальной задачи, соответствующие двум различным значениям граничных данных: Р1( х, у) и Р2(х, у).

ШТОЖИ^ что | Р1 „тт - <2 „тт | < 5 Пт„ , где 0 <5Щт = С0^ таК^ что £ 8 п,т < да.

п, т=1

Тогда с учетом это из (22) имеем

I и | (г, х, у—,ю) - и 2 (г, х, у—,ю)\ <

2 да

< 2 И\Р1,п,т -Рг,п,т |'| К.п.т (г —,ю) [

п,т=1

. жп вт—х

1

. жт вт-у

1

<-С X 5 <да.

1 п, т

п, т=1

Теперь покажем, что при малых Рп>т, — е (-1; 0) ^ (0; 1) и достаточно больших значениях а решение краевой задачи (1)-(5) является малым. Функция и (г, х, у—,ю)

называется малой в О, если для любого малого числа 0 <£ и для всех ге[-р-; р]

выполняется неравенство \и (г, х, у—,ю)| <Е, где е = X £„ т- Для этой цели положим

п, т=1

I | епт1

\Рп,т | < ^ . Тогда при V е (-1; 0) ^ (0; 1) и достаточно больших а имеем оценку

|и (г , х, у — ю)\< 2 Х\Рпт |"| V, п, т (г —,С)\

. жп Б1П — х

1

. жт Б1П-у

1

<

2 да 2 да е 1 да

< 2<С1 X\Рп,m |< 2<С1 = X £п, т =£.

1 п, т=1 1 п,т=1 2С1 п, т=1

4. Возможность почленного дифференцирования ряда (22) и единственность решения задачи (1)-(5)

Для ряда (22) при всевозможных чисел п, т и (г.®) е Г, покажем непрерывность

всех производных, входящих в уравнение (1). Формально дважды дифференцируем ряд (22)

ГТ , .2 т.„ , ,. ж п .ж т

иг (г , х , у — ,ю) =- X Рп,тК,п,т (г — ,ю)81п — х 81П— у ,

1 п т=1 1 1

2

ТТ . . 2 т-л . | жп | . жп . жт

ихх (г, х, у —,ю) =уЛ Рп,т¥К п, т ( —,ю) К" I 81П~ Х 81П~ у ,

(28) (29)

1

6

2

2

тг . . 2 ^ .1 жт 1 . жп . жт

иуу (t, х, у ,V,о) = уЕ Рп,тУ,п,т (t ,V,C) —| 31П — х 8Ш — у.

2

(30)

С учетом формул (25), (26) и оценок (27), (34) для рядов (28)-(30) получаем

2

и„ ^, х, у < у Х|Рп,т |-| У, п, т ^ ,V,0)|■

<

п, т=1

211 I V

. жп 31П— х

г

. жт 31П-у

г

< 2 Е Рп,т <

Е

—ЛП6т6 V 11 1

п,т=1 * 0 0

11 [ Рхххууу (х , у) ] у <Ю ,

\Тг , ч| 2 11Т, , ,\(жпЛ2 2ж2 ^ 2| |

\ихх ^, х, у < 2 Ерп,т Н П,п,т (t •[ — I < — С \Рп,т \<

1 п т=1 \ 1 / 1 п т=1

Ю ^ I Ю |

< У 2 Е -3 I Р¥п,т \ <72 А Е

<

п, т=1 пт~

2У2

-I 2 6 4

= п т \

Ю

Е \ ^ рп,т ^

<

1 V

Е

—,п2т6 V 11 1

п, т=1 V 0 0

Ц \^Рхххууу (х , у) ] 2 йхйу <Ю ,

|иуу (t, х, у < 2 Е | Рп,т Н У,п, т 0 ,V,0) |-( — I < — С1 Ет Р

N 2 ~ 2

жт 1 2ж

<

<

272

1 V

Е

1

11 [р.

—,п6т2 V111

п,т=1 ¥ 0 0

(х,у) ^ йхйу < ю,

2ж2

где У2 = — С1.

Следовательно, решение задачи существует в области О и это решение и ^, х, у, v,о), определенное рядом (22), удовлетворяет условию (5).

Теперь покажем при всевозможных чисел п, т и (у,о)е Т, единственность решения задачи (1)-(5). Предположим, что р(х, у) = 0. Тогда Рп, т = 0. Поэтому

г 1

г г ж п ж т

Л и^,х,у)з1п—х з1п-у йхйу = 0, п,т =1,2,...

Отсюда в силу полноты систем собственных функций

^ 81

жп

31П -х

^ з1п ^^у | в 12[0,1\ заключаем, что и(I, х,у) = 0 для всех х,у б[0,1 \ и 16 [-р; р\.

5. Иррегулярный случай

Теперь рассмотрим иррегулярные значения спектральных параметров (V,©) е Т^, где ={ = , ое^}, 1 = 1,рг ,1 < р, < к, £ = 1,2,3.

1

1

п, т=1

1

Случай 1. Пусть —,о) еУ1 . В данном случае рассматривается однородная система алгебраических уравнений (ОСАУ)

Тг,п,т X ТМ,тК,«,т =0, 1 = 1 к , (—,С) еТ1 . (31)

ю м

Чтобы решения ОСАУ (31) имели отношения к задаче (1)-(5), требуется

выполнение следующего условия ортогональности

р

1 Ъг (г)сов рптю(а-г-р) аг = 0, юеК^ (32)

-р

Так как Ъ (г)Ф0, ге[-р; р\, условие (32) выполняется только в том случае, если

р

1 сов м„тю(а-г - р) аг = 0 при юеК1. Отсюда приходим к уравнению

-р

втМп тю(а-2р)-вт ¡u„,mюа = 0. которое эквивалентно совокупности двух уравнений: 1)

рж

8т2мптюр = 0, 2) соз2мПттю(а-р) = 0. Решения этих уравнений: ю = --- и

2 Мп,т р

я{\ + 2р)

® -/-Р > не содержатся в х. Поэтому ни для одного значения параметра

(а~р)

ю условие (32) не выполняется. Следовательно, краевая задача (1)-(5) на множестве ^ 1 не имеет решений.

Случай 2. При —,юС еТ 2 рассматривается ОСАУ

Тг,п,т XТ ], п, т , п, т = 0, 1 = 1 к , — ,С) еТ 2 . (33)

ю м

При этом требуется выполнение следующего условия ортогональности

р

1 Ъг (г)в1прптю(а-г-р)аг = 0, юеХ2. (34)

-р

Условие (34) выполняется только в том случае, если для юе^2 имеет место со5Мп,тю(а-2р)-созмп,т юа = 0. Отсюда получаем два уравнения: 1) ш2мпт®р = 0, 2)

з1п2мп тю (а -р) = 0. Решения этих уравнений имеют вид: ю=—Р—- и ю =-р-—,

, 2Мптр 2 Мп,т (а-р)

ре□ соответственно. При р = 2%, ^еП совокупность решений первого уравнения обозначим через ^Множество ^содержится в ^2. Поэтому для юе^20 условие (34) выполняется. Примем обозначение Т20 =| —,ю): — = , юеК20}.

При —,ю) еТ20 ОСАУ (33) имеет некоторое число р 2 линейно независимых

ненулев^1Х вектор-решений { т , ^п, т Тк!«,т }, 1 = 1 Р 2. Функции

и г^т (г — ,ю) = X Т^ т о 21, п, т (а - г) , 1 = ^2 , — ,С еТ 20

1=1

будут нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

к р

и п, т (г ,—,ю) = Л2 X О 21, п ,т (а- г) 1 Ъг (*)и пт (*—ю) а*, —,юС еТ20. (35)

1=1 -р

Общее решение однородного интегрального уравнения (35) можно записать в виде

Р 2

ипт ^ V,о) = Еа 2, 1,п,ти1,п,т ^,V,о), (v,о) бО 20 , (36)

1=1

где а 2,1,п,т - произвольные постоянные. Теперь (36) подставляем в ряд Фурье (6)

тг/ ч 2 ^ 1рг / ч • жп . жт , ч -у , ч

и (t, х, у,V,о) = - Е Еа 2,1, п,ти1,п,т (t ,V,о)S1n — х вШ — у, (v,о) бТ 20 . (37)

1 п, т=1 1=1 1 1

На множестве Т21 ={(V,®): v = оAг2, \ задача (1)-(5) не имеет

нетривиальных решений.

Случай 3. Пусть (v,о) 6 Т з. В данном случае рассматривается ОСАУ

V уЬ 1 —

Г,п,т--ЕТ},п,тНг],п,т = ^ = 1 к , (V,®) бТ3. (38)

° j=1

Требуется выполнение следующего условия ортогональности

р

1 ь ^)

-р

а2 (а)

-, п," . СОЭ ^ т° (а- t-р) + 31П т°(а- t-р)

СТ1,п,т (о)

и = 0, юеК3. (39)

Условие (39) выполняется только в том случае, если

р

1

-р

а2 (а)

, п, т СО3 Цпт°(а- t -Д) + ЭШ Ц п т°(а - ^ - р)

йt = 0 для ° 6К3. Отсюда приходим к

а (а)

1,п,т V У

совокупности двух тригонометрических уравнений: 1) з1п2цпт&р= 0 и 2) 2,п,т ( )-соз2^п,т0 (а-р) + в1п2 ¡ипта (а - р) = 0. Решение первого уравнения &=■ ^

а1, п, т (а) 2Мп, т р

при р = 2%, содержится в Здесь Но, все положительные решения

второго уравнения (их множество обозначим через ^ 30 ) принадлежат множеству ^ 3. Примем обозначение Т30 ={ (v,о): v = оЛг3, ое^}. При (v,с) 6 Т30 ОСАУ (38)

имеет некоторое число р3 линейно независимых

ненулевых вектор-решений { тЩт , ^2,п,т , . . . , Тк,п,т }, 1 = 1, Р3 . Функции

и^тС,v,®) =3 ЕЕDзi,n,m(а-0, 1 =1 Рз, (v,с) 6Т30

i=1

будут нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

к р

u п ,т (t ,v,®) = А3 Е £3^,,» (а-1) 1 Ь, (*) u п, т (* ,v,о) й*, (v,о) бТзд. (40)

¿=1 -р

Общее решение однородного интегрального уравнения (40) можно записать в виде

Р3

ип, т (t ,V,о) =Еа3,1и1, п, т 0 ,V,о), (v,о) бТ 30, (41)

1=1

где а31,п,т - произвольные постоянные. Теперь (41) подставляем в ряд Фурье (6)

тг/ ч 2 ^ А . . . жп . жт , ч -у , ч

и (t, х, у,V,о) =- Е Еа 3,1 ,п, ти1 ,п, т (t ,V,о)з1п—- х вШ — у, (V,о) 6 Т 30. (42)

1 п, т=1 1 =1 1 1

Постоянные а21 ,п,т, а31 ,п т - произвольные. Поэтому можно выбрать их таким

образом, чтобы сходились ряды (37) и (42).

На множестве Y31 =| (v,o):v = oÄf, ®еК3 \ K30J задача (1)-(5) не имеет нетривиальных решений.

5. Формулировка теоремы

Таким образом доказано, что справедлива следующая

Теорема. Пусть выполняются условия А. Нелокальная краевая задача (1)-(5) однозначно разрешима в трехмерной области Q при всевозможных n, m и спектральных

значениях из числового множества для каждого у = 1,2,3 в виде ряда (22). Это решение непрерывно по граничным данным p(x,y). Кроме того, если <p(x,y) мало, то и решение краевой задачи (1)-(5) мало при v е (-1; 0) ^ (0; 1) и достаточно больших 0>.

Кроме того, для всевозможных n,m и пар (v,o) eY20 краевая задача (1)-(5) в трехмерной области Q имеет бесконечное множество решений в виде ряда (37). Также для всевозможных n,m и всех пар (v,°) eY30 краевая задача (1)-(5) в трехмерной области Q имеет бесконечное множество решений в виде ряда (42). А для других пар (v,o) из множеств Y1 Y21 и Y31 краевая задача (1)-(5) не имеет нетривиальных решений в трехмерной области Q .

Список литературы:

1. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических цепей. - Новосибирск: Наука, 1988. 273 с.

2. Cavalcanti M. M., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoelastic equation with strong damping // Math. Methods in the Appl. Sciences. - 2001. - Vol. 24. - P. 1043-1053.

3. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2018. - T. 54. - № 12. - С. 1687-1694. DOI: 10.1134/S0012266118120108

4. Юлдашев Т. К. О разрешимости одной краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Журн. вычисл. математики и мат. Физики. - 2019. - Т. 59. - № 2. - С. 252-263. DOI: 10.1134/S0044466919020169

5. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 1. - С. 94-103 .

6. Гордезиани Д.Г., Самарский А.А. Некоторые задачи термоупругости пластин и оболочек и метод суммарной аппроксимации // Компл. анализ и его приложения. - М.: Наука, 1978. - С. 173-186.

7. Гулиев Г. Ф., Гасымов Ю. С., Тагиев Х. Т., Гусейнова Т. М. Об обратной задаче нахождения правой части волнового уравнения с нелокальным условием // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. - 2017. - Т. 49. - С. 16-25. DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/49/2

8. Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 4. - С. 547-564.

9. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для

абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Серия Математическая. - 2003.

- Т. 67. - № 2. - С. 133-166.

10. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения начальной задачи для системы интегродифференциальных уравнений в частных производных // Матем. заметки. - 2017. - Т. 102. - № 1. - С. 28-38. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11220

11. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро- дифференциальных уравнений. - Фрунзе: Изд-во Кирг. гос. унив-та, 1957. - 327 с.

12. Вайнберг М. М. Интегро-дифференциальные уравнения // Итоги науки. - 1962.

- М.: ВИНИТИ, 1964. - С. 5-37.

13. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. -2017. - № 46. - С. 24-36. DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/46/4

14. Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестник СамГТУ. Серия: Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - № 2. -С. 236-248.

15. Зарипов С.К. Об одной новой методике решения одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярным ядром // Матем. физика и компьютерное моделирование. - 2017. - Т. 20. - № 4. - С. 68-75.

16. Искандаров С., Халилова Г. Т. Об оценках снизу решений и их производных линейного интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка типа Вольтерра // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2017. - Т. 132. - С. 43-49.

17. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Изв. Иркутского государственного университета. Серия «Математика». - 2012. - Т. 5. - № 2. -С. 90-102.

18. Сидоров Н. А. Решение задачи Коши для одного класса интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими нелинейностями // Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4. - № 7. - С. 1309-1316.

19. Юрко В. А. Обратные задачи для интегро-дифференциальных операторов первого порядка // Матем. заметки. - 2016. - Т. 100. - № 6. - С. 939-946. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11112

20. Юлдашев Т. К. Обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром и интегральным условием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки. - 2016. - Т. 20. - № 4. - С. 644-655. DOI: 10.14498/vsgtu1502.

21. Юлдашев Т. К. Об одной спектральной задаче для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с интегральными условиями // Эпоха науки. - 2019. - № 18. - С. 172-182.

22. Yuldashev T. K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii journal of mathematics. - 2017. - Vol. 38. - № 3. - С. 547-553.

23. Yuldashev T. K. On inverse boundary value problem for a Fredholm integro-differential equation with degenerate kernel and spectral parameter. Lobachevskii Journ. of Math. - 2019. - Vol. 40. - № 2. - P. 230-239. DOI: 10.1134/S199508021902015X

♦

169