CC BY
27
Definition kinematic characteristics of hinge hooke analytical method Gorshkov A. (Russian Federation)
Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом Горшков А. Д. (Российская Федерация)
Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин,
Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь
Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [2]-[6], применение которого проиллюстрировано на примере расчета угловых скоростей пространственного механизма, в качестве которого выбран шарнир Гука. Проведено сравнение результатов, полученных другими методами. Abstract: this article proposes an analytical method for solving vector equations [2]-[6], the use of which is illustrated in the example of calculating angular velocities of a spatial mechanism in which the selected hinge Hooke. The comparison of the results obtained by other methods.
Ключевые слова: механизм, шарнир Гука, звено, кинематическая пара, угловая скорость.
Keywords: mechanism, the Hooke’s joint, link, kinematic pair, angular velocity.
Определим угловые скорости звеньев шарнира Гука аналитическим методом, используемым автором ранее для определения скоростей в плоских механизмах [2]-[6]. Для определения положения звеньев механизма используем углы Эйлера, и кинематическая схема механизма может быть представлена в виде (рис. 1). Вращательное движение от ведущего вала (звено 1) посредством крестовины (звено 2) передается ведомому валу (звено 3). Оси звеньев 1 и 3 расположены под углом а друг к другу.
Введем в рассмотрение две системы координат - неподвижная система (XYZ) и подвижная система координат (XYZ).
Таблица направляющих косинусов между осями подвижной и неподвижной системы координат будет такой:
Таблица 1. Направляющие косинусы между осями координат
X' yf z'
X cos a-cos (р2 COS (p: 0
У sin q>2 sin <p, 0
Z sin a- cos (p2 0 1
Систему векторных уравнений, связывающих между собой векторы угловых скоростей: O - входного звена, 02 - промежуточного звена 2 (крестовины), <э3 -
European science № 2(12) ■ 26
выходного звена и векторов относительного вращения Ю21 и ®23 звена 2 относительно звеньев 1 и 3 запишем в виде ([1], стр. 137).
Рис. 1. Кинематическая схема шарнира Гука (а) и углы Эйлера (б) ~ ~ ~ (1)
(2)
^2 — + £У21
Й?3 —(О2 + Ю32
или
Ю3—Юх+ Ю21 + Ю32 (3)
27 ■ European science № 2(12)
В работе ([1], стр. 138) уравнение (3) решено графическим построением в трехмерном пространстве. Решим эти уравнения аналитическим способом. Переход к проекциям векторов угловых скоростей на неподвижные оси координат производится по формулам, аналогичным формулам преобразования координат:
Таблица 2. Проекции векторов угловых скоростей на неподвижные оси координат
Oh Ohi 0)]2 00 j
ffix 0 cos <p, cos a ■ cos (p2 -sin a
Пр2 0 sin op-, sin op2 0
Прг 1 0 sm a■ cos q>2 cos a
I
Система уравнений для определения величин угловых скоростей т21, т32, т3 будет такой:
fcas^ cos a • cos - sin a^ f Q ( Ш21 f 0 ^
sin (p1 sin (p2 0 Q32 = 0 (4)
V 0 sina^ cos cos a j V Q3 j VQ1 j
Перед тем как численно решить систему уравнений (4), учтем, что из условия перпендикулярности осей (ОХ') и (ОУ) следует равенство
cos a- cos^ • cos + sin^ • sin^2 = 0,
откуда получим кинематическое уравнение ведомого вала
tgq2 = - cos a • ctgq, ^ф2= arctg(- cos a • ctg<px).
Зададим численные значения: ю1 = 60 1/c, ф1 = 30°, a = 10°, тогда решение системы уравнений (4) будет таким:
<q21 = 9,0921/c, со32 = 5,2691/c, со3 = 60,465 1/c.
Рассмотрим расчет шарнира Гука, приведенный в [1], стр. 138. Расчетная кинематическая схема приведена на рис. 2.
European science № 2(12) ■ 28
Рис. 2. а) схема движения крестовины и б) план угловых скоростей
Результат решения, приведенный в [1], стр. 138 имеет вид:
Щ = Щ
cos Р
11 - (sin Р ■ sin (рх)'
(5)
o2i = Щ ■ sin Р ■ sin фх (6)
Чтобы установить соответствие кинематических схем, приведенных на рис. 1 и рис.2, сделаем замену в формулах (5) и (6)
Р^а, ф]+л/2.
Значения угловых скоростей, полученные по формулам (5) и (6), будут равны полученным ранее
щ21 = 9,092 ]/с, Щ = 60,465 ]/с.
29 ■ European science № 2(12)
Заключение
Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод
решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических
параметров пространственных механизмов.
Литература
1. Теория механизмов и механика машин: Учебн. для втузов / Фролов К. В. и др.; М.: Высшая школа, 2003.
2. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. ХУ Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ! веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015-С 16-19.
3. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских механизмов. ХУ Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ1 веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015-С 19-22.
4. Горшков А. Д., Кузьминова Н. А. Применение аналитического метода в силовом анализе рычажного плоского механизма. European Research: Innovation in Science, Education and Technology // European research № 3(4) / Сб. ст. по мат.: IV межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 мая, 2015). М.. - 98 с.
5. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов. European Research: Innovation in Science, Education and Technology// European Research № 8(9) / Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 6-17 с.
6. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских многозвенных механизмов. European Research: Innovation in Science, Education and Technology // European Research № 8(9) / Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 17-28 с.
European science № 2(12) ■ 30
