Кинематический анализ пространственного рычажного механизма аналитическим методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Kinematic analysis of spatial linkage by analytical method Gorshkov A. (Russian Federation) Кинематический анализ пространственного рычажного механизма аналитическим методом Горшков А. Д. (Российская Федерация)

Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь

Аннотация: в статье рассмотрено определение кинематических параметров пространственного рычажного механизма. Для этой цели использовано два аналитических метода: матричный метод, изложенный в [1], и метод, предложенный в работах [2]-[6]. Проведено сравнение результатов, полученных в результате применения этих методов.

Abstract: in the article the definition of the kinematic parameters of spatial linkage is considered. For this purpose it is used two analytical methods: matrix method presented in [1] and the method proposed in [2]-[6]. The comparison of the results obtained by these methods is conducted.

Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение. Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.

Расчетную кинематическую схему механизма, выбор систем координат и направления углов вращения примем в соответствии с изложенным в [1].

х0

х,

Рис. 1. Рычажный механизм

Структурный анализ данного механизма приведен в [2].

На рис. 1 приведены системы координат, описывающие работу механизма:

£0 (Х0, у, ) — неподвижная система координат, связанная со стойкой, 5 (X, У\, 2) — подвижная система координат, связанная с кривошипом, $2 (X, У2, X ) — подвижная система координат, связанная с шатуном, 5*2 (х'2, у^, ) — подвижная система координат, связанная с шатуном, £3 (X, у3, 2 ) — подвижная система координат, связанная с коромыслом.

Требуется определить положение, скорости и ускорения всех звеньев механизма при заданном значении обобщенной координаты ф1, известных размерах, указанных на кинематической схеме: lAB, lBC, lCD, a, b и законах изменения углового ускорения и угловой скорости кривошипа.

Примем для определенности

lAB=30 cm, lBC=122,525 cm, lCD=40 cm, a=53 cm, b=97 cm,

3•Ж

e1=2 с'2, rn1=10 c1,^ =-= 135°.

1 4

1. Определение углов и координат кинематических пар.

Определение этих кинематических параметров проведем в соответствии с [1]. Значения углов в21, ф21 , фз получим из решения системы нелинейных уравнений, приведенной в работе [1, стр. 325]:

l^, • cos рх + lBC • cos 021 • cos(^ + рх) = lCD • cos р3 - a

L

lAB • sin <1 + he • cos 021 • sln(<21 + Pl) = 0 - /BC sln 021 = lCD • sln р + b

(1)

При выбранных исходных данных решение системы будет таким

в21 =-52,342°, р21 = 61,463°, р = 180,00°.

Координаты кинематической пары С в неподвижной системе координат будут такими

хп = -93 см, уп = 0,0 см, ^ = -97 см.

С0 ^ с0 с0

2. Определение скоростей и ускорений в кривошипно-шатунном механизме. 2.1.1. Определение скоростей матричным методом [1].

В этом случае для определения скоростей и ускорений дифференцируются выражения (1), откуда получаем систему линейных уравнений относительно 02х,ф21, Рз ■

(-1 lBC sm021 • cos(< + р) - 1bc • cos021 • sln(<21 +<1) lCD sln р ^ 021 ^

-1 lBC • sln(< + р) • sm021 lBC • cos021 • cos(<21 +<1) 0 р21 = (2)

v lBC • cos 021 0 l lCD cos р j р3 v -г 3 j

0

1 (lab • sln <1 + lbc • cos 021 • sln(<21 + <1))

ab

0 • (Iab • cos р + /вс • cos 021 • cos(< + cos р )) 0

lbc lbc

21 21 '

21 21

Подставляя в (2) численные значения, получим систему уравнений

A • Х = Р (3)

где

(-93,023 21,213 0 ^ ( 0 ^

A =

( о\

P =

930 0

X =

<21 <<3

- 27,489 - 71,787 0 74,855 0 - 40

\ ' У

Решение системы

в21 = -2,717 с-1, р21 = -11,915 с-1, р = -5,085 м/с. (4)

Линейная скорость кинематической пары С УС=203,4см/с.

Проекции угловой скорости б)2 на оси координат (х0, у0, г0) найдем из выражений (5-10)

^ ^ (5)

02=Щ+ 021,

0

= 021 + <21,

(6)

f 0 > f 01

а = 0 = 0

( У ,10У

0 • sin((21 + ( ) 1 '(_ 2,717) • sin(61,463° +135 ° )1 '0,769991

0 = _0 • cos((21 + () = _ 2,717 • cos(61,463° +135° ) = 2,60561 , (8)

0 V У 0 V У V 0 J

f 01 f 01

II t 0 = 0

(21 V 11,519 y

(9)

а

( x>)

= 021 • sin((21 + () = 0,76999 c'

а

21 Vr21 (J0) = GOs(^21 + ( ) = 2,60561 с'

®2Z0) =(»21 + ( = '1,519 с'1.

(10)

2.1.2. Определение скоростей методом аналитического решения векторных уравнений. Определим полученное ранее значение скорости точки С методом аналитического решения векторных уравнений.

Для определения скорости С векторное уравнение запишем в виде

Ус = Ув +32 хрс (10)

Вектор угловой скорости второго звена имеет вид

/

СО,

Оп -sm

-02l -COSI

fel+я)

{<Pn+<Pl)

4>21+<Pl

(11)

у

Отметим, что в этом случае нам не известны величины Vc ,02\, а известны только их направления (Рис. 1).

Проекции радиус-вектора кинематической пары С рс на оси координат будут такими

Pcx=Xc-Xb=-71,787 см, рат= Ус-Ув =-21,213 см, pcz= Zc-Zb=-97cm. Векторное произведение запишем в виде

i j к • sin(^2i + ~в21 • cos(^21 + q\) <p2l + щ

Pcx Pcy Pcz

(

а2 X Pc =

Л

= 0

f_^21 • PCZ • cos(( + ( ) _ (21 •PCY _ а1 • PCY ^ _ 021 • PCZ • sin((21 + (1) + (21 •PCX + а1 • PCX 021 • sin((21 + ( )Pcy + 021 • cos(21 + ()• Pcx

_pcz • COs((21 + () ^

_ Pcz • sin((21 + ( Pcy • sin((21 + (1) + Pcx • cos((21 + (1 }

^ ~ Pcy^

Pcx 0

а

f_Pci^ Pcx 0

cy '""vv21 1 w 1 rcx vr2i 1 л/j

Проекции векторов, входящих в соотношение (10) на оси неподвижной системы координат, приведены в таблице 1.

ф3 Vb ë1 ф21 6 21 pc

Прх lCD • sin фф = 40 • 0 = 0 -m1lABSinç1= 10300,707= -212,132 0 — Pcy = 21,213 — Pcz ■ cos(Ф2l + Ф1 ) = = -(-97) • (-0,95900) = = -93,023 -71,787

Пру 0 -m1lABCosç1= 10300,707= 212,132 0 Pcx=-71,787 Pcz • sin^21 + Ф1) = = -(-97) •(- 0,283340) = = -27,48942 -21,213

Пр2 lCD • cos ф3 = = 40 •(-1) = - 40 0 10 0 Pcy •sin (ф21 + ф1 ) + Pcx cos (ф21 +ф1 ) = = (-21,213) •(-0,28334) + +(-71,787 • (-0,959) = =74,854 -97

Систему алгебраических уравнений составим, исходя из векторного соотношения

Vc -6 хрс-фхрс = VB + 0ххрс

Система уравнений в проекциях на оси имеет вид

f- рС2 • cos(^21 + )1 Г- рсг 1 ГlCD • sin Ф3 + ф21 • Pcx + ф3 • 0

О J { 1cd • co^

6i •

Pcz • sinO 21 + Ф1) 0

л í-®1lab sinФl 1 Г-®1 •Рстл

-®1lab cosфl 0

®1 • Pcx 0

Подставляя численные значения из табл. 1, запишем

Г-93,023 21,213 0 - 27,489 - 71,787 0 74,854 0 - 40

Получили систему уравнений, аналогичную (3). Окончательно запишем

1 6 - 212,13 -10 •(- 21,213)

• < ф21 » = < 212,132 +10 • 71,787

J ф3 _ 0

Г 0 1

= 930

V 0 ,

621 - 2,717 "

ф21 » = < -11,915

ф3 , - 5,085

Система

2.2.1. Определение ускорений матричным методом [1].

Для вычисления ускорений по этому методу необходимо повторное дифференцирование соотношений (2), что также дает систему линейных уравнений относительно ф21, 1, фзо . уравнений имеет вид

в • г = о (12)

где

+

>

B =

(-lBC ■ sin021- ) - lBC • cos^- ) lCD ■ sin^

- lBC ■ sin(^21+^) ■ sin021 lBC ■ cos^- cos(^21+0) 0

lCD ■ COs03

lBC ■ cos621

0

(-93,023 21,213 0 ^ - 27,489 - 71,787 0 74,855 0 - 40

Q =

i~Sll4B sin Фх ~ (®1 )2 1.4B COS Фх ~ he COS °2X COS(Ф2Х + Фх ) +

+0f (ф21 + o\ ) sin 6>21 sin(^21 + ф1 )lBC -

-sJBC cos 6>21 sin(^21 + ф1) + (ф21 + col )021IBC sin 6>21 sin(^21 + ф1) -

~{ф21 + о\ f 1ВС cos(ф21 +ф,) + (ф3)21CD cosфъ)

(SX ]АВ cos ф1 - (щ f 1 ^ sin ф1 - (Of 1ВС sin(^21 + ф1) cos 6>21 -—д{ф21 + Í9j )/вс sin 02l COS(ф21 + фх ) +

+SX1BC COS 02l COS(ф21 + фх ) — + Í9j )/sc cos(^21 + фх) sin 02l —

-(ф + ®!>2cos^21 sin(^21 + ф )

0flBC sin 6>21 + (ф3 flCD sin ф3 Подставляя численные значения, получим

(- 2,166 ■Ю3 ^

Q =

3,041 ■Ю3 716,076

V У

Вектор неизвестных величин имеет вид

Y =

021 V0 у

Результат решения этой системы:

021 = 12,543 с"2, = -47,158 с"2, ^ = 5,553 с"2. (13)

2.2.2. Определение ускорений методом аналитического решения векторных уравнений. Для определения ускорения кинематической пары С аналитическим способом воспользуемся уравнением

(14)

ас = ав + s2 х рс + а2 х (со2 х рс )

Где

- вектор ускорения

^a^» ас I ас«

вектор аП направлен от С к Б и численно равен аВ =(ф3)21Со =1034,289 см/с2, вектор атс направлен перпендикулярно СБ и численно равен атс

проекции векторов на неподвижные оси запишем в виде

С- С0БрЛ

Бтр,

= 1034,289 •

Г1 1

V 0 у

Г1034,2891 0 0

Г-Бтр^ г40•01 Г 01

—с с 0 = р3 0 = р3 0

V- ШБр у V 40 •1У V 40 У

- вектор ускорения

вектор а"в направлен от В к А и численно равен апв = (р)21дд =10030=3103 см/с2,

вектор а направлен перпендикулярно АВ и численно равен а см/с2, проекции векторов на неподвижные оси запишем в виде

Г 0,707 1 Г 2,121 1

= (р )• 1ав = 2 • 30 = 60

Г- С0Б р 1

- Бтр = 3•ю3 •

. 0

- 0,707 0

- 2,121 0

• 103

у V

''-Бшр! Г- 0,7071 Г- 42,421

С0Бр 0

= 60

- 0,707 0

- 42,42 0

Г 2121 -42,42 1 Г 2078,58 1

- 2121 - 42,42 0

- 2163,42 0

■ согласно (11), вектор ускорения £ запишем в виде

( в21 БШр + Р ) + ^21 (р21 + Р )С0Б(Р21 +Р)Л

йа2

йг

£, =

в21С0Э(Р21 + Р ) + в21 (р21 +р1 М^Р + Р )

р21 + Р

- векторное произведение £2 X рс

£2 Х Рс =

в21 Б1п(р21 +Р1) +

в21 С0®(Р21 +Р ) + + в21(р21 + р1 )с0б(Р21 + Р) + в21(р21 + р1 )й1п(Р21 + Р )

рсх рау р€2

к

р21 + р1

Л

0

0

ап = ап

в

в

ас = ас

В "В

ав =

Подставляя численные значения, получим

(- вгх • 93,023 + ф21 • 21,213 +185,255^ (-93,023> ( 21,213 > (185,225Л

г2 х рс = - в21 • 27,451 - ф21 • 71,787 - 627,578 = - 27,451 + Ф21 - 71,787 + - 627,58

в • 74,847 V 21 J v 74,847 J v 0 J v 0 ,

- вектор Ф2 X (Ю2 хрс) = ф2(Ю2 -рс) - рс(^2)2. Подставляя численные значения, получим

Г 1016,123 ^

а2 X хРс ) =

- 249,853 v 715,98 у

Векторное уравнение (14) запишем в виде

(-93,023> ( 21,213 > ( 0 ^

в21 - 27,451 + Ф21 - 71,787 + Ф3 0

v 74,847 J v 0 J V- 40J

(1034,289^ ( 185,225 ^ ( 2078,58 ^ ( 1016,123 ^

- 627,58 0

- 2163,42 0

- 249,853

v 715,980 J

Окончательно систему уравнений запишем в виде

(-93,023 21,213 0 > в21 ^ (- 2165,992Л

- 27,451 - 71,787 0 Ф21 = 3041,155

v 74,847 0 - 40 J Фъ V 3 J v 715,980 j

Видим, что система уравнений аналогична системе (12), полученной матричным методом. Решение этой системы будет таким

в21 = 12,53 с"2, ф21 = -47,162 с"2, ф3 = 5,548 с"2

Используя полученные значения, по формуле (14) легко определить ускорение любой точки звена 2. Заключение.

Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических параметров пространственных механизмов.

Литература

1. Кинематический анализ пространственного рычажного механизма методом преобразования координат. Анципорович П. П., Акулич В. К., Дубовская Е. М. Белорусский национальный технический университет, Минск. Репозиторий БНТУ.

2. Горшков А. Д. Структурный анализ пространственных механизмов. // European Science. 2016. №. 2 (12). С. 17-20.

3. Горшков А. Д. Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом. // European Science. 2016. №. 2 (12). С. 20-26.

4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. ХV Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ! веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015. С. 16-19.

5. Горшков А. Д., Кузьминова Н. А. Применение аналитического метода в силовом анализе рычажного плоского механизма. // European research. 2015. № 3 (4). С. 98.

6. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов. // European Research 2015. № 8 (9). С.6.

7. Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф. (Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 6-17 с.

Kinematic study of the crank mechanism Gorshkov A. (Russian Federation) Кинематическое исследование кривошипно-шатунного механизма Горшков А. Д. (Российская Федерация)

Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Alexander — кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь

Аннотация: в статье рассмотрено определение кинематических параметров пространственного кривошипно-шатунного механизма. Для этой цели использовано два аналитических метода: метод, изложенный в [1], и метод, предложенный в работах [2]-[6]. Проведено сравнение результатов, полученных в результате применения этих методов.

Abstract: in the article the definition of kinematic parameters of a spatial crank mechanism. For this purpose, we considered two analytical methods: the method presented in [1 ] and the method proposed in [2]-[6]. The comparison of the results obtained by these methods.

Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение. Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.

В качестве расчетной кинематической схемы примем схему механизма, изложенную в [1] , стр. 94 (Рис. 1а).

Рис. 1. Кривошипно-шатунный механизм: а) углы Эйлера, б) векторы угловых скоростей.