CC BY
41
УДК Ю984.030.22
Е. Е. Алексеева
Балтийская государственная академия Калининград
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО РЯДА И ЕГО СВОЙСТВА. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ОБЩЕГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОГО РЯДА
Арифметический ряд [1] порядка т - сумма значений многочлена степени т:
Рт(п) = а0 + а1п + а2п2 +... + атпт, (1)
принимаемых им при последовательных целых неотрицательных значениях переменной п (п = 0, 1, 2, 3...).
При т = 0 арифметический ряд представляет собой обыкновенную арифметическую прогрессию вида
£ а0 = а0 + а0 + а0 +... + а0 +..., (2)
п=0
которая имеет место при разности г = 0. Общим членом этого ряда является выражение Р0 = а0.
При т = 1 арифметический ряд представляет собой арифметическую прогрессию вида
£ (а 0 + а1п) = а0 + (а0 + а1) + (а0 + 2а1) + (а0 + 3а1) +... + (а0 + а1п) +....
п=0
Общим членом этого ряда является выражение Р1 = а0 + а1п.
Это выражение - общий член арифметической прогрессии с ненулевыми значениями начального члена а0 и разности а1.
При т = 2 арифметический ряд принимает вид
£ (а0 + а1п + а2 п2) = а0 + (а0 + а1 + а2) + (а0 + 2а1 + а222) +... +
п=0
+ (а0 + а1п + а2п2) +... ,
а общий член - вид Р2 = (а0 + а1п + а2п2).
По аналогии можно записать арифметический ряд какого угодно порядка т .
Если составить ряд из разностей соседних членов арифметического ряда, затем для полученной последовательности разностей образовать их разности (вторые разности) и т. д., то на этапе под номером т окажется, что все (т - е) разности равны между собой. Номер разности т указывает степень полинома от аргумента п, которым описывается выражение общего члена арифметического ряда.
Так, например, для арифметического ряда
У ип = 3 +10 + 31 + 78 +163 + 298 + 495 +... (3)
п=0
последовательность разностей записывается в виде
У и 3 + 10 + 31 + 78 + 163 + 298 + 495 +...
п
п=0
А' 7 21 47 85 135 197 ...
А' 14 26 38 50 62 ...
А" 12 12 12 12 ... .
Из этих вычислений видно, что уже третьи разности А" одинаковы (имеют величину равную 12). Это означает, что порядок т данного арифметического ряда равен 3, а вид полинома (общего члена) -
Р(п) = а0 + а1п + а2п2 + а3п3.
Очевидно, что для практических целей важно знать не только порядок и вид общего члена ряда. Важно знать численные значения коэффициентов а0, а1, а2, а3 полинома для этого конкретного арифметического ряда, а в самом общем случае и для любого арифметического ряда.
Определение выражения общего члена арифметического ряда произвольного порядка т
Если имеется арифметический ряд, заданный конкретными числами в виде
ип = и + и + и 2 + и3 +... + ип +... , (4)
п=0
и необходимо записать выражение общего члена этого ряда, то прежде всего необходимо определить порядок т этого арифметического ряда.
Если этот ряд оказался самым простым арифметическим рядом нулевого порядка, то это означает, что в этом ряду все члены ряда равны
друг другу: и = и = и2 = и3 =... = ип = ....
На основании определения арифметического ряда в этом случае имеем тривиальную запись выражения общего члена Р0 (п) = а0 = и0.
В случае арифметического ряда первого порядка выражение его общего члена записывается в виде
Р(п) = а0 + а1п. (5)
В этом случае значения коэффициентов а0 и а1 уже не очевидны и их требуется определить с использованием членов арифметического ряда (4).
На основании определения арифметического ряда можно написать, что
Р(0) = и0,
05 (6)
Р(1) = и,.
Из выражения 5 можно написать:
Р(0) = а0, Р(1) = а + аР
(7)
Поскольку в выражениях 6 и 7 равны левые части, то равны и их правые части: а0 = и0, а0 + а1 = и1.
Разрешение этих равенств даёт:
Подставляя (8) в (5), окончательно получим Р1 (п) = и0 + (и1 - и0) • п.
(8)
(9)
Как видно из полученного выражения, величина (и1 — и0) в обычной арифметической прогрессии есть её разность г . Для выражения общего члена арифметического ряда второго порядка Р2(п) = а0 + а1п + а2п2 аналогичным образом получаются соотношения:
а1 = 1(-3и0 + 4и1 - и2), (10)
а2 = “(и0 — 2и1 + и2).
Выражение общего члена арифметического ряда второго порядка окончательно запишется в виде
1 1 2
Р2(п) = и0 + —(—3и0 + 4и1 — и2) • п +—(и0 — 2и1 + и2)• п .
Общий член арифметического ряда т-го порядка находится аналогично с помощью соответствующего определителя т-го порядка вида
а1 а2 а3 а4 ат Правая часть
0 0 0 0 0 и0
1 1 1 1 1 и1
21 22 23 24 2 т и2
31 32 33 34 3т и3
41 42 43 44 . . 4т и4
п1 п 2 п3 п 4 пт и т
а0 и0
а1 = и1 — и0.
а0 = и0
а
0
Ниже приводятся выражения общих членов арифметических рядов от нулевого до 6-го порядка.
РМ = ий,
Р (п) = и0 + (и1 — и0) • п,
Р2(п) = и0 +1(—3и0 + 4и1 — и2) • п +
+ ~(и — 2их + и2) • п ,
Р3(п) = и0 +1 (—11и0 + 18и1 — 9и2 + 2и3) • п +
6
1 2
+ — (6и0 — 15и1 + 12и2 — 3и3) • п +
6 0 1 2 3
+— (—и + 3и1 — 3и2 + и3) • п ,
6
Р4(п) = и0 + ~(—25и0 + 48и1 — 36и2 + 16и3 — 3и4) • п +
+ ^-(35и0 — 104и1 + 114и2 — 56и3 + 11и4) • п2 +
+---(—5ий +18и1 — 24и2 + 14и3 — 3^) • п3 +
14
+ — (и0 — 4и1 + 6и2 — 4и3 + и4) • п
24
+ ЭД- (3и0 — 14и1 + 26и2 — 24и3 + 11и4 — 2и5 )• п4 + + 11) (— и0 + 5и1 — 10и2 + 10и3 — 5и4 + и5 )• п5.
(11)
Р5 (п) = и0 + — (— 137и0 + 300и1 — 300и2 + 200и3 — 75и4 + 12и5 )• п + 5 0 60 0 1 2 3 4 5 + ~ (45и0 — 154и1 + 214и2 — 156и3 + 61и4 — 10и5 )• п2 +
+----(— 17и0 + 71и1 —118и2 + 98и3 — 41и4 + 7и5 )• п3 +
Р6(п) = и0 +-(-147и0 + 360и1 -450и2 + 400и3 -225и4 + 72и5 - 10и6)• и +
60
+——(812и0 -3132и1 + 5265и2 - 5080и3 + 2970и4 -972и5 +137и6) • и2 + 360 0 1 2 3 4 5 6 + -^-(-49и0 + 232и1 - 461и2 + 496и3 -307и4 +104и5 - 15и6) • и3 +
+ у1-(35и0 -186и1 + 411и2 - 484и3 + 321и4 -114и5 +17и6) • и4 +
+ 240 (-7и0 + 40и1 -95и2 +120и3 - 85и4 + 32и5 -5и6) • и5 +
+ 720 (и0 - 6и1 + 15и2 - 20и3 + 15и4 - 6и5 + и6) • и6.
Нетрудно заметить, что в выражениях (11) суммы численных коэффициентов в каждых скобках при ит равны нулю, что можно использовать для контрольных целей.
При помощи полученных выражений для любого арифметического ряда можно найти выражение его общего члена.
Так, например, для арифметического ряда 3, имеющего вид
У и = 3 +10 + 31 + 78 +163 + 298 + 495 +...
п
и=0
было показано, что третьи разности у него одинаковы. Это говорит о том, что он является арифметическим рядом третьего порядка. Следовательно, для определения его общего члена достаточно знать четыре первых члена ряда. Как видно из самого ряда, величины этих членов имеют значения и0 = 3, и1 = 10, и2 = 31, и3 = 78.
Подставляя эти значения в выражение полинома Р3(и), получим выражение общего члена для ряда 3:
Р3(и) = 3 + 4и + и2 + 2и3, а сам ряд можем записать в виде
У ии = 3 +10 + 31 + 78 +163 +... + (3 + 4и + и2 + 2и3) +... . (12)
п
п=0
Таким образом, описанная методика отыскания выражения общего члена арифметического ряда даёт инструмент для решения широкого класса задач с участием арифметических рядов.
Бесконечный арифметический ряд является сугубо расходящимся рядом, что весьма обстоятельно было показано на частном примере арифметической прогрессии первого порядка. Однако конечные арифметические ряды имеют сумму. Формула для определения п -й частичной суммы [2] записывается через начальный член и последовательные первые разности в виде
S = (n +1)4 + (n + 1)!D + (n + 1)!A; + (n + 1)!АГ + (13)
n (n)!-1! (n-1)|-2! (n-2)!-3! (n-3)!-4! ' )
Как уже отмечалось, арифметический ряд m-го порядка имеет m последовательных рядов разностей, причём последние m - е разности равны между собой. Последующие разности порядка m +1 и более равны нулю и не представляют интереса. Номер m постоянных разностей указывает порядок полинома, образующего данный арифметический ряд.
Так, например, ряд вида
1 + 8 + 29 + 76 +161 + 296 +... (14)
А/ ж // А ///
, А , А :
S 1 + 8 + 29 + 76 +161 + 296 +... ,
А 7 21 47 85 135 ... ,
А" 14 26 38 50 ... ,
А" 12 12 12 ... .
Номер последних значений разностей указывает порядок полинома Pm (n), который является общим членом ряда 7. В данном случае этот полином имеет вид
P3(n) = a0 + a1n + a2n2 + a3n3. (15)
Третья последовательность разностей А имеет постоянное значение (в данном случае равное 12), что можно записать в виде А = 12.
Эта прямолинейная зависимость от величины n показана на рисунке.
Зависимость третьих разностей А"(n) от номера по порядку n
Очевидно, что в самом общем случае график полинома 15 в зависимости от аргумента и представляет собой кубическую параболу и лишь третья производная от полинома (15) РДи) = 3 • 2 1- а3 даёт постоянную величину при изменении аргумента и . Приравняв значение третьей производной от полинома и третьей разности РДи) = А ^ (и), получим а3 = 2.
Таким образом, последнее слагаемое полинома (15) а3п может быть вычислено для всех значений п, начиная от 0, что и представлено ниже:
п 0 1 2 3 4 5
ап 0 2 16 54 128 250
Если численные значения а3пъ, приведённые выше, вычесть из соответствующих слагаемых исходного ряда 14, то получится новый ряд, общий член которого описывается полиномом второго порядка:
Р(п) = а0 + а1п + а2п2, (16)
а сам новый ряд записывается в виде
^а + ахп + а2п ) = 1 + 6 +13 + 22 + 33 + 46 + .... (17)
п=0
Для нового ряда находятся первые и вторые разности 5 1 + 6 +13 + 22 + 33 + 46 +... ,
А' 5 7 9 11 13 ... ,
А" 2 2 2 2... ,
а также вторая производная полинома 15 Р2 (п) = 2а2.
Из равенства Р2'(п) = А2 находится значение коэффициента а2, а2 = 1. Точно так же получается ряд для отыскания коэффициента а1 :
(а0 + а^п) = 1 + 5 + 9 +13 +17 + 21 +... ,
п=0
А' 4 4 4 4 4... ,
откуда аналогично находится его величина: а1 = 4.
Величина а0 = 1 получается аналогично из ряда
а0 = 1 +1 +1 +1 +1 +... .
п=0
Можно заметить, что операция отыскания а0 тривиальна, т. к. его значение всегда равно первому члену ряда.
С учётом полученных значений коэффициентов а0, а1, а2, а3 выражение общего члена ряда 15 окончательно записывается в виде
Р3 (п) = 2п3 + п2 + 4п +1.
Подстановка в этот полином значений п от 0 и далее позволяет воспроизвести слагаемые ряда 14. Из приведённых рассуждений нетрудно подметить и записать обобщённую формулу для отыскания коэффициен-
дО)
тов ат полинома арифметического ряда в виде ат =------------.
т!
Таким образом, для отыскания последнего коэффициента полинома, образующего арифметический ряд, достаточно знать порядок полинома т и численную величину постоянной (ненулевой) разности Д(т) . Значение коэффициента ат, вычисленное по этим данным, позволяет рассчитать численные значения составляющей т -го порядка полинома арифметического ряда и исключить их из слагаемых исходного ряда. Эта операция, повторенная т раз (с каждым последующим рядом и его полиномом), позволяет определить все коэффициенты полинома арифметического ряда.
При вычислении разностей арифметических прогрессий высоких порядков проще пользоваться их выражениями, записанными в функции от членов арифметического ряда:
Д* = м1 — и0,
Д* = и2 — 2и1 + и0,
Д"* = и3 — 3и2 + 3и1 — и0,
Д** = и4 — 4и3 + 6и2 — 4и1 + и0,
Д"** = и5 — 5и4 + 10и3 — 10и2 + 5и1 — и0
Здесь нетрудно заметить, что численные коэффициенты в последних формулах - это коэффициенты бинома Ньютона целых степеней, а их сумма в каждой разности равна нулю.
Способ последовательного понижения порядка полинома позволяет достаточно быстро и без громоздких вычислений определять выражение общего члена ряда, а применительно к последовательности частичных сумм ряда - и выражение его суммы.
Определение арифметического ряда [1] устанавливает, что аргументом п образующего полинома является последовательность целых неотрицательных значениях переменной п, начиная с нуля п = 0, 1, 2, 3....
Такое определение имеет право на существование, но нет никаких препятствий для того, чтобы рассматривать арифметическую прогрессию и в области изменения аргумента п , начиная с единицы или любого целого числа, как положительного, так и отрицательного. Строго говоря, начало счёта порядкового числительного начиная с 1 более конформно, чем с нуля [3]. В связи с этим рассмотрим и другую версию арифметического ряда, по которой счёт слагаемых по порядку начинается не с нуля, а с единицы.
В этом случае образующий полином записывается в виде
Рт (п) = а1 + а2п + а3п2 +... + атпт—\ (18)
Такая запись общего члена арифметического ряда означает лишь то, что счёт порядкового номера коэффициента ат начинается с единицы.
Естественно, что новое начало отсчёта аргумента п ведёт к изменению фундаментального определителя арифметического ряда, который переписывается к виду
1
а 2 а3 а 4 а5 •• а» Правая часть
1 1 1 1 1 и^
21 22 23 24 •• 2т-1 и 2
31 32 33 34 •• 3т-1 и3
41 42 43 44 .. 4т-1 и4
51 52 53 54 •• 5т-1 и 5
п1 п 2 п 3 п 4 •• пт-1 ип
Новые выражения общих членов арифметических рядов от нулевого до 5-го порядка получаются в виде
Р(п) = (2и1 -и2) + (и2 -ы1) • п,
2
Р2(п) = (3и1 -3и2 + и3)+ — (-5и1 + 8и2 -3и3) • п + — (и1 -2и2 + и3) • п ,
1
Р3(п) = (4и1 - 6и2 + 4и3 -и1) + —(-26и1 + 57и2 - 42и3 +11и4) • п
6
+ — (3и1 -8и2 + 7и3 -2и4) • п2 + 1(-и1 + 3и2 -3и3 + и4) • п3,
1
2 ' 1 2 3 4' 6 Р4(п) = (5и1 - 10и2 + 10и3 -5и4 + и5) +
— (-231и1 + 642и2 - 702и3 + 366и4 - 75и5) • п + 36
+ (142и - 472и2 + 588и3 - 328и4 + 70и5) • п2 +
(19)
+-(-214и1 + 78и2 - 108и3 + 66и4 - 15и5) • п3 +
36 1 2 3 4 5
+ ~ (и1 -4и2 + 6и3 -4и4 + и5) • п4
а
1
Р5 (п) = (6и1 - 15и2 + 20и3 - 15и4 + 6и5 - и6)
+—(-522и1 + 1755и2 -2540и3 + 1980и4 -810и5 + 137и6) • п 60
1 2
+ ~ (116и1 - 461и2 + 744и3 - 614и4 + 260и5 - 45и6) • п
+ -1-(-31и1 + 137и2 -242и3 + 214и4 -95и5 + 17и6) • п3 + ^(4и1 - 19и2 + 36и3 -34и4 + 16и5 -3и6) • п4
+ -^(-и. + 5и - 10и + 10и -5и + и)• п5.
120 1 2 3 4 5 6
Все операции с арифметическими рядами, в которых аргумент п представляет собой натуральное число п = 1, 2, 3, 4, ..., ничем не отличаются от таковых для арифметических рядов в области изменения аргумента п от нуля и далее п = 0, 1, 2, 3, 4, ... .
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов. энцикл., 1988. - 846 с.
2. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1977. - 224 с.
3. Алексеева Е. Е., Лушников Е. М. Проблемы и решения в теории рядов. - Калининград: Янтарный сказ, 2004. - 256 с.
Получено 21.06.06
THE DEFINITION OF ARITHMETIC SERIES AND ITS PROPERTY: A TECHNIQUE FOR FINDING COMMON TERM EXPRESSIONS OF ARITHMETIC SERIES
E. E. Alekseeva
The methods of finding common term expressions of arithmetic series for random order as a function of initial term of this series are considered in the article. The generalized determinant of polynomial coefficients of arithmetic series is also submitted there. As an example the author uses formulas for finding common term expressions for series from zero up to the fifth order inclusive. The paper presents a method of finding common term expressions of arithmetic series by means of sequential defiation of polynomial generating.
