Двусторонние оценки гамма-функции на действительной полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 517.581 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-2-205-221

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ ГАММА-ФУНКЦИИ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПОЛУОСИ

А. Ю. Попов (г. Москва)

Аннотация

В статье получены новые двусторонние оценки гамма-функции на действительной полуоси. Эти результаты дают в качестве следствия двусторонние оценки факториала, более сильные, нежели известные ранее. Найденные двойные неравенства для п! верны при всех п > 1. Для Г(ж + 1) выведен ряд оценок; одни из них верны при всех х > 0, другие — при всех х > 1/2, а некоторые — при всех х > 1. Основные из полученных оценок связаны с понятием обвёртывания функции её асимптотическим рядом (если этот ряд является знакопеременным) в усиленном смысле, однако такая усиленная обвёртываемость пока доказана только для нескольких первых частичных сумм асимптотического ряда. Высказана гипотеза о том, что асимптотический ряд для логарифма гамма-функции обвёртывает его в усиленном смысле. В этом же духе получены новые неравенства для чисел сочетаний из 2п по п. Эти рассмотрения свидетельствуют о перспективности дальнейших исследований в данном направлении и дают метод получения новых двойных неравенств для функций, чей асимптотический ряд является знакопеременным.

Ключевые слова: гамма-функция, двусторонние оценки, асимптотическая формула.

Библиография: 15 названий.

TWO-SIDED ESTIMATES OF GAMMA-FUNCTION ON THE REAL SEMIAXIS

A. Yu. Popov (Moscow) Abstract

In this paper we present new two-sided estimates of gamma-function r(x + 1) on the real semiaxis x > 0. Based on this result, we improve well-known estimates for the factorial n!, which hold for all n > 1. Some of obtained estimates of gamma-function r(x + 1) hold only for x > 1/2 and some only for x > 1. The main estimates are connected to the notion of alternation round of a function by asymptotic series in the strong sense. However such a strong alternation is proved only for several partial sums. We have a conjecture that the asymptotic series alternates round a logarithm of gamma-function in strong sense. Similary we propose new inequalities for the number of ^combination from 2n. These considerations indicate that next investigation is promissing and give a method for construction of new two-sided estimates for functions having alternating asymptotic series.

Keywords: gamma-function, two-sided estimates, asymptotic behavior.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Во многих учебниках по математическому анализу доказывается асимптотическая формула Стирлинга

Г(ж + 1) ~ 5(х), х ^ где 5(ж) = ххе-х\[2кх,

и следующее её «неасимптотическое» уточнение:

5(х) < Г(ж + 1) <5(ж)ехр(-^) Ух> 0. (1)

у 12Х !

Статья посвящена дальнейшим уточнениям двойного неравенства (1). В книге [1, гл. 12] доказано, что разность

<р(х) = 1пГ(ж + 1) - 1п5(х) (2)

при х ^ имеет асимптотический ряд

- £ <3>

Через В2к обозначены числа Бернулли [2](гл. 4, §2)), [3] (гл. 4, §3). Они образуют знакопеременную последовательность: В2к = (-1)^-1|^2к|; поэтому асимптотический ряд (3) является знакопеременным. Там же в [1] доказано, что значение функции ф(х) при любом х > 0 всегда лежит между суммой т и суммой т +1 членов ряда, каково бы ни было натуральное число т. Обозначим

™ (-1)*-1|^ L 1-2к 2к(2к - 1)

°т(х) = ^ ' /Гх1

к=1

Цитированный результат влечёт за собой справедливость двойных неравенств

5(х) ехр(и2м(х)) < Г(ж + 1) < 5(ж) ехр(а2м+1(х)) (4)

при любых х > 0 и N £ N. Таким образом неравенство (1) можно рассматривать как вырожденный случай (4), соответствующий значению N = 0. В случае N = 1 неравенство (4) принимает вид

5(ж) ехр (тЬ - з«Ь) < г(ж +1) < 5(ж) ехр (^Ъ - + .1 > (5)

Это неравенство недавно было переоткрыто Ю. Мачисом [4]. Оно было доказано им только при х £ N (тем самым, речь шла о двусторонней оценке факториала), но совершенно иным способом, нежели в [1].

В середине 20-го века Г. Роббинс [5] вывел оценку снизу для факториала

Б(п) ехр (12тГ+1) <п! Уп £ N. (6)

Неравенство (6) слабее левого неравенства (5), поскольку при положительных значениях ж имеем

1 1 1 6 + ^66 „„

< ^--^ Ж > —— = 0.4708 ....

12ж +1 12ж 360ж3 30

Но если бы в левой части (6) вместо п € N стояла бы переменная х > 0, а в правой части -обобщение факториала Г(ж + 1), то получился бы новый результат, поскольку он усиливал бы оценку Сонина [6,7]

5(х)ехр ( тТё) < Г(ж + 1) > 0, (7)

которая, несмотря на её давность, даже в 70-е годы 20-го века не была перекрыта (естественно при малых ж) и приводилась в математической энциклопедии [8].

В статье усилено двойное неравенство (5). Доказано, что при всех х > 0 верна двусторонняя оценка

(12ж 360ж3 + 12ж ) < Т(Х + 1) < 5(ж) еХР ( 12ж 360ж3 + 1260ж5 + 360ж3 /

Заметим, что справедливы тождества

1 1 1

12ж 360ж3 + 12ж 12ж + 0.4ж-1'

(9)

12х 361ж3 + 1260ж5 + 360ж3 12ж + 0.4Ж-1 - . ^

Из тождества (9) и левого неравенства (5) получается оценка снизу

5"(ж)ехр(-1-г )< Г(ж + 1) ^х> 0.

1 ; + 0.4ж-1/ ;

Как видно, она нуждается в усилении при малых ж. В связи с этим доказана следующая теорема.

Теорема 1. Положим а(х) = 0.4ж-1 при ж > 0.5 о,(х) = 0.8 при 0 < ж < 0.5. Тогда при любом х > 0 верно неравенство

ад<ЯР (12:^) < Г(1 +1'- (11)

Из (5) также видно, что если рассмотреть функцию 5(ж) ехр ^ 12Ж+взяв ^ € (0, 0.4), то она при всех достаточно больших значениях ж даёт оцепку Г(ж + 1) сверху. Если же положить Ь = 0.336, то оценка сверху будет выполняться при любом ж > 1.

Теорема 2. При любом ж > 1 верно неравенство

Г(ж + 1) <5,(ж)ехр(-1—— ), где а0(ж) = 0:336. (12)

\ 12ж + а0(ж) / ж

Следствие 1. При любом ж > 1 справедливо двойное неравенство

5(ж) ех^12^2 +2/5) < Г(ж + 1) < ех^12^2 +1/0 .

Принципиальную роль в доказательстве теоремы 2 сыграло небольшое усиление оценки (8) при ж > 1 (см. §2).

Неравенства (11) и (12), как и каждый результат подобного рода, допускают дальнейшее уточнение.

Теорема 3. Выполняется двойное неравенство

Б (х) ехр + Й1 (ж) у < Г(ж + ^ < ^(х) ехр у 12х + (ж)

, (13)

в котором

. , 0.4 - 0.1(ж + 0.5)-2 . . 0.4 - (53/525)ж-2 а1(х) =--'-—, а2 (ж) =--'--. (14)

Левое неравенство верно по крайней мере при х > 0.5 о, про,вое - при любом х > 0.

Замечание 1. Из тождества (10) и правого неравенства (5) получается оценка сверху

Г(ж + 1) < Б(х)ехр I —- 1-106ж-1— I . (15)

V 12Х + 0.4Х 1050ж2+265 /

Видно, что оценка сверху (13) является огрублением (15). Тем не менее постоянная 53/525 в выражении (14) для функции й2 является точной: её нельзя заменить меньшей. Это следует из асимптотики (см. выше (3),(4))

1пГ(х + 1> = 1п «<*> + 1Ъ - 33Ш + Т260? + 0 (?) ■ - - (16>

которую можно переписать в виде

1пГ(ж + 1) = 1п 5 (ж) +--,--Д---5-——:-, ж — +гс>. (17)

12ж + 0.4ж-1 - (53/525)ж-3 + 0(ж-5)' 1 ;

2. Усиление оценки сверху гамма-функции

Теорема 4. Рассмотрим три пары, чисел (х0,с):

(жо = 0, с = 360), (Ж0 = 1/2, с = 567), (ж0 = 1,с = 711). (18)

При любом х > х0 справедливо неравенство

О,

г(, + 1) <ЭДехр(^ - + 1260х; + ^ I , (19)

где (х0, с) - любая из пар (18). Для второй и третьей пары (х0,с) неравенство (19) верно также при х = ж0.

Замечание 2. Асимптотика (16) показывает,, что усиление неравенства (19) возможно только за счёт увеличения с; другие константы в этом нера венет ее точные.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим функцию

^с(ж) = 1пг(ж + 1) - 1п ад+ 1 1

12ж 360ж3 1260ж5 + сж3'

Неравенство (19) равносильно отрицательности Fc(x) на луче Жо < х < А так как согласно (16) имеем lim Fc(x) = 0, то достаточно доказать неравенство

Fc(x) < Fc(x + 1) Ух> хо. (20)

Действительно, из (20) сразу же следует, что ситуация > Хо : ^с(С) > 0) невозможна, поскольку тогда + П)]пеN окажется возрастающей последовательностью положительных чисел, а это противоречит стремлению к нулю ¥с(ж) при ж ^ Согласно определению функции ¥с и тождествам

1пГ(ж + 2) - 1пГ(ж + 1) = 1п(ж + 1)

1п 5(ж + 1) - 1п 5(ж) = 1п(ж + 1) + (ж + 1) 1п () - 1,

неравенство (20) равносильно следующему

(21)

(х + 1) 1п (£ + 1) - 1 < .1 (1 )

V + V V х ) 12 V ж Ж + 1/

310 (ж3 (ж -11)0 + 1260 (ж5 + Лж3 (ж + 1)5 + Л(ж + 1)3 ^ ^

Л = с/1260, ж > жо. (23)

Обозначим х + 1/2 = у. Тогда неравенство (22) принимает вид

/ у+ 1/2 \ 1 3у2 + 1/4

У % у- 1/2/ - < 12(у2 - 1/4) - 360(у2 - 1/4)3 +

+ 5 у4 + 5у 2/2 + 1/16 + Л(3 у2 + 1/4)

+ 1260(у2 - 1/4)3 ((у2 - 1/4)2 + Л(2у2 + 1/2) +Л2), 1 '

у € (жо + 1/2, +го). Положим £ = (2у)-1 (тогда переменная £ пробегает интервал 0 < £ < < (1 + 2жо)-1) и разложим левую часть неравенства (24) в степенной ряд:

Правая же часть неравенства (24) окажется равна

у-2 3 у-4 + у-6/4 + 5у-6 + 5 у-8/2 + у-10/16 + Л(3 у-8 + у-10/4)

1Ч1 - ¿0 360 (1 - 4Р)3 1260 (1 - 4^(1 - ^ )2 + Л(2у-2 + у-4/2) + Л2у-4)

е 2(344 + ¿6) + 16(5*6 + 10*8 + ¿10 + Л(12 ¿8 + 4410))

3(1 - ¿2) 45(1 - £ 2)3 315(1 - ¿2)3((1 - ¿2)2 + 8 Л(*2 + ¿4) + 16 Л2^)'

В результате этих преобразований, разделив обе части (24) на ¿2 = и и обозначив 4Л = придём к задаче доказательства неравенства

^ ига-1 1 2(3и + и2)

^ 2п + 1 < 3(1 - и) - 45(1 - и)3 +

16 (5и2 + 10и3 + и4 + ^(3и3 + и4)) 1

+ 315(1 - и)3((1 - и)2 + 2^(и + и2) + и2), 0 <и< (1 + 2Ж0)2. (26)

1- и>0

те те

(1 - и) а«ига-1 = а1 + - а*;)

га=1 &=1

Получим, что требуется доказать неравенство

те / к=1 4

1 1 \ к 16(5и2 + 10и3 + и4 + ц(3и3 + и4)) 2(3и + и2)

2 к + 3 - 2кП)и < 315(1 - и)2 ((1 - и)2 + 2ц(и + и2) + ¡¿и2) - 45(1 - и)2 ^

7 3 + и < 8 5и + 10и + и + ц(3и + и )__и_ (27)

(1 -и)2 < (1 -и)2((1 -и)2 + 2ц(и + и2)+ц2и2) + к=1 (2к + 1)(2к + 3). 1 ;

Докажем неравенство более сильное, чем (27), а именно получающееся в результате замены ряда в правой части (27) его первыми четырьмя слагаемыми:

„ 3 + и 5и + 10и2 + и3 + ц(3и2 + и3) 2 35 3

7--^ < 8--г^-775-^-^-^^Т + 21 + 9и + 5и2 + — и3 ^

(1 -и)2 (1 -и)2( (1 -и)2 + 2 ¡(и + и2)+ц2и2) 11

. 40и + 80и2 + 8и3 + 8ц(3и2 +и3) / п г 2 35 Л ^ ,2 ^ 7(3 + И) < (1 - и)'2 +2„(и + и2)^д2ц2 ' + + 9и + 5и2 + П*3) (1 - ">2 «

40 + 80и + 8и2 + 8ц(3и + и2) 24и2 - 15и3 + 35и4

^ 40 < (1 -и)2 + 2ц(и + и2)+ц2и2 + 8и + 11 .

После умножения последнего неравенства на положительную функцию

(1 - и)2 + 2ц(и + и2) + ц2и2 = 1 + (2ц - 2)и + (1 + ц)2и2,

раскрытия скобок, перенесения всех слагаемых в правую часть, записи её в виде многочлена

и и > 0

неравенства

5

0 <Р(и,ц), 0 <и< (1 + 2ж0)-2, где Р(и,ц) = ^Ьк(ц)ик, (28)

к=0

Й0(ц) = 168 - 56ц, Ь1 (ц) = -40ц2 - 56ц - 45^9, ^(ц) = 8ц2 + 20^ц + 25,

24/^ + 18^+89 -15ц2 + 40ц - 85 ^ 1_^2,-и Ь3(ц) =-11-, &4(ц) =-11-, Ь5(ц) = 35(1 + ц) /11.

Покажем, что многочлен Р(и, ц) является на отрезке 0 < и < 1 выпуклой функцией и ц > 0. 4

Рчч(и, ц) = 2&2(ц) + 663(ц)и + 1264(ц)и2 + 2065(ц)и3.

Поскольку коэффициенты 62 &3 ^5 положительны при любом ц > 0 ^(ц) < 0, то при любом и € [0,1] выполняется неравенство

Рчч(и,ц) > (2&2(ц) +663(ц) + 1264(ц)) и2 = 4и2(35ц2 + 259ц - 109)/11.

Нетрудно проверить, что 35 ц2 + 259 ц - 109 > 0 ц > 0.4

Рчч(и, ц) > 0 (Уи € [0,1] Уц > 0.4).

Рассмотрим первую из пар (18): х0 = 0, с = 360. Из (23) находим ц = 4Л = 4с/1260 = 8/7, и согласно (28) требуется доказать неравенство

0 < Р (и, 8/7), при 0 <и< 1. (29)

Непосредственным вычислением выводятся тождества

5 5

Р(1, /) = ^ Ьк(/) = 128 - 80/ - 28/2, Р„(1, /) = ^ кЬк(/) = -7/2 + 36/ - 32,

fc=0 fc=0

которые влекут за собой равенства

Р (1,8/7) =0, Р„(1,8/7) = 0. (30)

Из (30) и выпуклости функции Р(и, 8/7) на отрезке 0 < и < 1 следует, что min {Р(и, 8/7) | 0 < и < 1} = Р(1, 8/7) = 0, и неравенство (29) выполняется.

При рассмотрении второй и третьей пар (18) достаточны более грубые оценки. Поскольку Ь5(/) > 0 &4(/) < 0 ¿4/) > 0 т0 ПРИ и G (0,1) имеем

63(/)и3 + 64(/)и4 + 65(/)и5 > 63(/)и3 + 64(/)и4 > (Ь3(/) + 64(/))и3 = (9/ + 58// + 4)и3/11 > 0. Следовательно,

q(u, /) = 60(/) + 6i(/)u + 62(/)и2 < Р(и,/) Vu g (0,1), п мы вправе заменить (28) более сильным, но более простым неравенством

0 < q(u, /), 0 < и <ио = (1 + 2жо)-2, (31)

и = и0

Возьмём вторую из пар (18) х0 = 1/2 с = 567. Тогда и0 = 1/4 / = 1.8,

в(«о,/0 = в(1,1.8) = 60(1.8) + MÎS + М18» = -1.9 + А + MIS. (32)

^v 4^4, ; 0i ; 4 16 ш 16 v ;

2( / ) > 8 / 2 + 20 / 2( / )/16 > 0.5 / 2 + /

> ^ + 1.8 = 3.42. (33)

16 2 v ;

и = и0

третьей пары х0 = 1, с = 711 имеем и0 = 1/9 / = 79/35,

Л 1 79 \ , ( 79 \ 1 ( 79 \ 1 ( 79 \ 193 1 1 ( 79 \

Q("0- ^ = Ч1 ' Ч = ЧЧЧ + 8ï4Ч = -2155 - ï! + 8î'HЧ.(34)

2 2( / ) > 8 / 2 + 20 /

39) > 62(2) > 32 + 40 = 72. (35)

и = и0

Для доказательства (31) при всех и G (0, и0) осталось заметить, что функция q(u, /) убы-0 < и < 1 / > 0

¿4/) и включения и G (0,1) имеем

33

q„(u, /) = 6i(/) + 2u62(/) < bi(/) + 2&2(/) = -24/2 - 15—/ - 41— < 0.

Таким образом неравенство (28) доказано для всех трёх пар (18), причём для второй и третьей пары также и при и = (1 + 2х0)-2. Согласно проведённым выше рассуждениям этим установлена справедливость неравенства (20), причём для второй и третьей пары также и при х = х0. Теорема 4 полностью доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Согласно теореме 4 при любом х > 1 верно неравенство

Т(х + 1) < ОД ехр (ц^ - 360ж3 + 1260ж5 + 711ж3) . Поэтому для доказательства теоремы 2 достаточно вывести оценку

1 1 +ЮМ„51 ^ „3 <^^1 > ^ где к = 0.336. (36)

12ж 360ж3 1260ж5 + 711ж3 12ж + кх-1 Перепишем соотношение (36) в эквивалентной форме

1 ж 1 1 к 1 1

--< „„» о - т—— о тт^-т <--

12ж 12ж2 + к 360ж3 1260ж5 + 711ж3 12ж2 + к 30ж2 105ж4 + 59.25ж2'

Умножив обе части последнего неравенства на 30ж2 и обозначив ж2 = V, получим равносильные (36) неравенства

21 1 1 4 + 0.7

< 1 - с , ^^с ^ 0 с , ^^с < ос , ^ 25у + 0.7 < (3.5 г; + 1.975)(4и + 0.7),

25^ + 0.7 3.5^ + 1.975 3.5^ + 1.975 25^ + 0.7

которые требуется доказать при v > 1. Последнее неравенство после раскрытия скобок, переноса всех слагаемых в одну часть и приведения подобных принимает вид

p(v) = 14v2 - 14.65v + 0.6825 > 0.

Оно действительно выполняется при любом v > 1, поскольку р(1) = 0.0325 > 0 и многочлен р возрастает на луче [1, +го). Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим функцию

f(,) = 1пГ(, + 1) - msм - • <37>

Неравенство (11) означает положительность функции F. Доказательство положительности F(ж) начнём со значений ж > 0.5. Убедимся в том, что неравенство

F(ж + 1) < F(ж) Ух > 0.5 (38)

влечёт за собой положительность функции F на луче [0.5, +то). Действительно, если бы существовала точка £ е [0.5, +го), в которой F(£) < 0 то вследствие (38) {F(£ + п)}пеN оказалась бы убывающей последовательностью отрицательных чисел, а это противоречило бы предельному соотношению lim F(ж) = 0 (см. (1)).

х^+те

Из (37) и определения функции а(х) = 0.4/ж при ж > 0.5 заключаем, что неравенство (38) равносильно такому

т + 1 т

1пГ(Ж + 2) - 1п^(Ж + 1) - 12(я + 1)2 + 0 4 < ^ + 1) - ^И - 12ж2 + 0.4 , * > 0.5. (39)

С помощью тождеств (21) перепишем неравенство (39) в следующей эквивалентной форме

Х Х + 1 { + ^ 1 (40)

12ж2 + 0.4 - 12(ж + 1)2 + 0.4 < Vе - 2/ V ж ) - . '

Покажем, что неравенство (40) выполняется на самом деле при любом ж > 0. Перейдём к переменной у = ж + 0.5, а после - к переменной 4 = (2у)-1 = (2ж + 1)-1, как это было сделано в §2. Левая часть неравенства (40) равна

12(ж + 1)2 + 0.4ж - 12ж2(ж + 1) - 0.4(ж + 1) 12у2 - 3.4

(12ж2 + 0.4)(12(ж + 1)2 + 0.4) 144у4 - 62.4у2 + 11.56

12у-2 - 3.4у-4 48^2 - 54.444 342 - 3.444

144 - 62.4у-2 + 11.56у-4 144 - 249.642 + 184.96^4 9 - 15.6¿2 + 11.56^4'

Правая часть неравенства (40) разложена в степенной ряд (25). Поэтому приходим к задаче доказательства неравенства

342 - 3.444 ~ 42га „ , ,

-о-7 <> --€ (0,1). 41

9 - 15.642 + 11.5 644 ^ 2п + 1 ( , ) 1 ;

га=1

2

тате замены степенного ряда в правой части (41) его первыми двумя слагаемыми: 3 - 3.442 1 42 5.442 - 11.5644 42 2 7 - 57.842

< тг + V ^ тгтт;-^-< — ^ —-——75—„ , < 1.

9 - 15.642 + 11.5644 3 5 3(9 - 15.642 + 11.5644 ) 5 27 - 46.842 + 34.6844

Последнее неравенство верно при любом 4 € (0,1), поскольку знаменатель дроби, стоящей в его левой части, положителен, а числитель меньше знаменателя. Доказательство неравенства (38) завершено.

Теперь докажем неравенство (11) при 0 < ж < 0.5. В этом случае

¥(ж) = 1пГ(ж + 1) - 1п5(ж) - (12ж + 0.8)-1, (42)

и требуется проверить положительность ¥ (ж) на интервале 0 < ж < 0.5. Это будет сделано с помощью разложения функции ¥ (ж) в ряд

¥ (ж) = ¥ (0.5) + ^ ага(1 - 2ж)га, 0 < ж < 1. (43)

га=1

(Разложение возможно ввиду голоморфности ¥ в правой полуплоскости.) Поскольку ряд (43) является рядом Тейлора функции ¥ с центром разложения 0.5 (записанным в несколько иной форме), то его коэффициенты находятся по формулам

(_1)«р("0(0 5)

ап = ( 1) ; , (0.5), п € N. (44)

Для их вычисления найдём производные функции ¥ всех порядков, используя стандартное

те

обозначение Ф(-г) = Г'(,г)/Г( г) и тождество [9] (стр. 775) Ф(т)(,г) = (- 1)т-1т! ^ (й + ,г)-т-1,

к=0

т € N -2 € С. Имеем

^'(ж) = Ф(ж + 1) - 1пж - 0.5/ж + (ж + 1 /15)—2/12, (45)

F"(x) = ^(к + х)-2 - 1/х + 0.5ж-2 - (ж + 1/15)-3/6, (46)

к=1

(-1)nF (п)(г) 1 г1-п т-п 1 / 1 \-п-1 ( 1) t (Ж)=9у(к + х)-п-- + ---— ж + —) , п > 2. (47)

п! п ' п(п -1) 2п 12 V 15

к=1 v ' 4

Из (42) находим

* (2И -122 > 0-006 («>

Из (45) и равенств Ф(1/2) = -7 - 1п4, Ф(ж + 1) = Ф(ж) + 1/ж [9] (стр. 774) находим

F'(0.5) = 364/289 -7 - 1п 2 < -0.01 (49)

(7 = 1im Е 1/к - 1пп = -Ф(1) = 0.577215 .. п^те \к=1 J

п > 2

1 те п _ 2 1 /15 \п+1

ап = , В2к + 1)- + 6,,, гда ь. = 2пп-5 - Д^) . («Ч

ап п > 9

ф,) = 3ÖL-2 ( 15)

v ; ж -1 \ 17/

х+1

Имеем с'(х) = 3(ж - 1)-2 + (ах - 1)(15/17)ж+1, где а = 1п(17/15) > 1/8. Отсюда видно, что с'(х) > 0 (Уж > 8) и функция с возрастает на луче [8, +те). А так как с(9) > 0, то с(х) > 0 на луче 9 < х < Осталось заметить, что ап > Ьп = с(п)/(6п). Поэтому все слагаемые ряда (43) с номерами п > 9 положительны на интервале 0 < х < 0.5 и верно неравенство

8

F (ж) >F (0.5) + ^ап(1 - 2ж)п, 0 <ж< 0.5. (51)

п=1

Оценим снизу числа ап при 3 < п < 8. Непосредственные вычисления дают следующий результат

1 154 -17729 2 1 155 -98893 2

04 =---= - >--04 =---= - >--

3 12 6 ■ 174 12 ■ 174 113' 4 12 6 ■ 175 12 ■ 175 172'

3 156 _ -3524793 -2 _ 1 157 _ -33619529 -1

5 = 40 - 6 ■ 176 = 40 ■ 176 > 547, 6 =15 - 6 ■ 177 = 30 ■ 177 > 366,

5 158 -1001681545 -1

Ь7 =---=- >-

7 84 6■178 84■178 584'

3 159 -3041058009 -1

Ь8 = — - , =-г„ ^- >

56 6 ■ 179 56 ■ 179 2 1 60'

Отсюда и из (50) находим

1 те 1 7

а3 = 1 Е(2к + 1)-3 + h > 1 Е(2к + 1)-3 + h =

3 7 3 3

к=1 к=1

4645519862131 2 2 -12 -1

+ ь3 > тттт - тттг = ,^ >

274195945398375 3 119 113 13447 1120'

1 , . 4 , 1 \ , 1 1 1 -101 -1 А4 = - > (2Л + 1)-4 + 64 = 7 — — 1 + 64 > + > — — = —— > —,

(эб 1

' 4 4\96 / 4 273 4 273 172 46956 464'

к=1

..те 1 з

05 = 1 + 1)-5 + 65 > 1 + 1)-5 + 65 =

к=1 к=1

_ 57365351 = 63814078125

1 . , 1 Л , 1

1 . . 1/6 \

06 =, + 1)-6 + »6 = 1 (96о — ..... 4156

к=1

2 547 = — 1679 608811 — 1 > 360,

1 —1895 —1 > 400,

366 760548

1 , ч_7 , 1 1 1 —14725 —1

07 = + 1)- + ¿>7 > + > ^09 — 584=8940456 > 600,

к=1

А 111111 1457 1

> ап >------------=-->--.

^ 1120 460 360 400 600 2160 139104 95

п=3

Следовательно, выполняется неравенство

8

^ ап,гп > — *3/95 Уг е (0,1). (52)

п=3

Из (51), (52), положив г = 1 — 2ж, находим

¥ (ж) >¥ (0.5)+012 + 02-г2 — 4/95, 0 <ж< 0.5. (53)

А так как согласно (44) имеем а1 = —¥'(0.5)/2, а2 = ¥''(0.5)/8, то из (53), (48), (49) выводим неравенство

¥ (ж) > 0.006 + 0.005,г + ¥''(0.5) ,г2/8 — ,г3/95, г = 1 — 2ж, 0 <ж< 0.5.

Полученное неравенство показывает, что для доказательства положительности ¥ (ж) на интервале 0 < ж < 0.5 достаточно проверить положительность числа ¥''(0.5). Из (46) находим

. , , 2 4500 — 8 4500 3.142 — 8 45 45

¥''(0.5) = 4 > (2Л + 1)-2--=--->---= 0.9298 --> 0.

1 ; ; 4913 2 4913 2 49 49

к=1

(0, 0.5)

рема 1 полностью доказана.

5. Доказательство теоремы 3.

ж > 0

' о ■

Из (54) и тождества

Г(ж + 1) < 5(ж) — ^ + Т260ж5"Г360ж3 ^ , ^

1 1 1

--1--=- ж > 0

12ж 360ж3 1260ж5 + 360ж3 12ж + 0.4ж-1 — ' '

следует неравенство

Г(ж + 1) < 5(ж) ехр --- _1 <

( ) () \12ж + 0.4ж-1 -

< 5(ж) ехр ( —-——-——т ) = 5(ж) ехр 1

-) ^ (ж)еХ^12ж + А2(ж))

х12ж + 0.4ж-1 - -Ц—/ V 12ж + а 2 (ж) /

Выведем оценку снизу (13). Для этого рассмотрим функцию

Ф(ж) = 1пГ(ж + 1) - 1п5(ж) - (12ж + а1(ж))-1, (55)

Оценка снизу (13) означает положительность этой функции. И если доказать неравенство

Ф(ж + 1) < Ф(ж) Уж > 0.5, (56)

то вследствие стремления Ф(ж) к нулю при ж ^ положительность Ф(ж) на луче

0.5 < ж < будет доказана. Ввиду (55) неравенство (56) принимает вид

1пГ(ж + 2) - 1п5(ж + 1)--,--,-- < 1пГ(ж + 1) - 1п5(ж)--—---. (57)

12(ж + 1) + а1(ж + 1) 1 ' 12(ж) + а1(ж) 1 ;

Воспользовавшись тождествами (21), перепишем неравенство (57) в следующей равносильной форме:

12ж +1а1(ж) - 12(ж + 1)+а1(ж + 1) < (ж + 2) 1п О^) - 1, ж > 0.5. (58)

Обозначим Ь(ж) = жа1(ж) = 0.4 - 0.1(ж + 0.5)-2 и преобразуем левую часть неравенства (58), сделав последовательно замены переменной ж + 0.5 = у, 4 = (2у)-1 (если 0.5 < ж < то 0 <4 < 0.5). Получим тождества

1 1 ж ж+1

12ж + а1(ж) 12(ж + 1)+а1(ж + 1) 12ж2 + Ь(ж) 12(ж + 1)2 + Ь(ж + 1)

_ 12ж(ж + 1) + ж(Ь(ж + 1) - Ь(ж)) - Ь(ж) _

= 144ж2(ж + 1)2 + 12ж2 Ь(ж + 1) + 12(ж + 1)2 Ь(ж) + Ь(ж)Ь(ж + 1) =

_ 12у6 + 24у5 + 8.6у4 - 6.8у3 - 3.1у2 +0.2у + 0.05 _

= 144у8 + 288у7 + 81.6у6 - 124.8у5 - 53.24у4 + 20.72у3 + 7.28у2 - 1.88 г/ - 0.33 =

_ 3г2 + т3 + 8.бг4 - 13.645 - 12.446 + 1.647 + 0.848

= 9 + 364 + 20.442 - 62.443 - 53.2444 + 41.4445 + 29.1246 - 15.0447 - Б.2848 . Теперь увеличим последнюю дробь, немного упростив её. Нетрудно проверить, что числитель и знаменатель этой дроби положительны на полуинтервале 0 <4 < 0.5, поэтому, уменьшив знаменатель дроби (оставляя его положительным), мы увеличим саму дробь. Поскольку

29.1246 - 15.0447 - 5.2848 > 29.1246 - (15.04/2)46 - (5.28/4)46 = 20.2846 при 4 е (0, 0.5],

то верна следующая оценка сверху левой части неравенства (58):

1 1 342 + 1243 + 8.644 - 13.645 - 12.446 + 1.647 + 0.848

<

12ж + а1(ж) 12(ж + 1) + а1(ж + 1) 9 + 364 + 20.442 - 62.443 - 53.2544 + 41.445 + 20.2846 ' 11

в которой х € [0.5, 4 = (2х + 1) 1 € (0, 0.5]. Правая же часть неравенства (58), как было

те

показано в (25), равна сумме ряда ^ 4 2п/(2п + 1). Поэтому после деления обеих частей (58)

п=1

на 42 и применения оценки (59) получаем, что достаточно доказать неравенство

3 + 124 + 8.642 - 13.643 - 12.444 + 1.645 + 0.846 ^ 42п~2 9 + 364 + 20.442 - 62.443 - 53.2544 + 41.445 + 20.2846 2п + 1, < < . . ^ '

п=1

1/3 2

сильному (60) неравенству

1.8 + 7.24 + 5.3542 - 12.243 - 5.9644 ^ 42п"4

9 + 364 + 20.442 - 62.443 - 53.2544 + 41.445 + 20.2846 2п + 1, < < . . ^ '

п=2

1/5 2

доказательства неравенства

6.35 + 1.44 + 23.4542 - 41.443 - 20.2844_ ^ 42п~6 <

45 + 1804 + 10242 - 3 1 243 - 266.2544 + 20745 + 101.446 2п + 1, < < .. ^ '

п=3

1/7

менатель и числитель дроби, стоящей в левой части (62) положительны, причём знаменатель остаётся положительным даже после его уменьшения - удаления двух последних слагаемых. Следовательно, удалив два последних слагаемых из знаменателя дроби, стоящей в левой части (62), мы увеличим дробь, и таким образом достаточно доказать неравенство

6.35 + 1.44 + 23.4542 - 41.443 - 20.2844 1 45 + 1804 + 10242 - 31243 - 266.2544 < 7, 0 <* < ( ]

Ввиду положительности знаменателей дробей в (63) данное неравенство равносильно такому:

7(6.35 + 1.44 + 23.4542 - 41.443 - 20.2844) < 45 + 1804 + 10242 - 31243 - 266.2544 ^

^ 0 < 0.55 + 170.24 - 62.1542 - 22.243 - 124.2944 0 <4 < 0.5. (64)

При 4 € (0, 0.5] имеем

170.24 - 62.1542 - 22.243 - 124.2944 > 1704 - 6442 - 2443 - 12844 >

> 1704 - (64/2)4 - (24/4)4 - (128/8)4 = 1164 > 0.

Отсюда сразу же следует, что неравенство (64) выполняется. Доказательство теоремы 3 завершено.

6. Заключение. Обвёртывание функции асимптотическим рядом в усиленном смысле

Напомним одно определение из теории асимптотических рядов [10], [11] (гл. 13), [12] (отдел I, глава 4). Пусть на луче (0, заданы действительнозначим функция / и система положительных функций {Дудовлетворяющих условию lim (Д+1(ж)/Д(ж))= 0 (V& £ N).

те

/(ж) - E(-!)fc-1/fc(ж), ж ^ (65)

fc=i

то есть при любом N £ N верно соотношение

N

/(ж) - Е(-1)"-1 л(ж) = (ж)), Ж ^

к=1

Определение 1. Функция / обвёртывается рядом, (65) на, луче (ж0, если при любом т £ N0 м лю&ш ж > ж0 верно двойное неравенство

2т 2т+1

Е(-1)к-1 /к (ж) < /(Ж) < Е (-1)к-1/к (ж). (66)

к=1 к=1

При т = 0 двойное неравенство (66) принимает вид

0 < /(ж) < Д(ж) Уж > жо. (67)

т = 1

Л (ж) - /2 (ж) < /(ж) < Д(ж) - Д(ж) + /э(ж) Уж > жо. (68)

ж

ж

функций /1, /2, /3.

N

Положим §к (ж) = 1//к (ж) и обозначим ^ (ж) = Е (- 1)к-1/5'к(ж) N-ю частичную сумму

к=1

ряда (65). Дадим следующее определение.

Определение 2. Будем говорить, что ряд (65) усиленно обвёртывает функцию / на луче (жо, если при любом т £ N и любом ж > ж0 верно двойное неравенство

^2т-1 (ж)--——1--- < /(ж) <СТ2т(ж) + -——1---. (69)

52т(ж) + #2т-1(ж) #2т(ж) + #2т+1(ж)

Неравенство (69) является одновременным усилением двух двойных неравенств ^2т(ж) < /(ж) < 02т+1(ж), ^2т-2(ж) < /(ж) < 0"2т-1(ж). т = 1

^ - !й(ж)+91(ж) < /(ж) < йЬ - ¿)+ 92(ж)+ 9з(ж) ■ (70)

Нетрудно убедиться в том, что неравенство (70) одновременно усиливает (67) и (68).

В отношении асимптотического ряда (2) для функции р автором доказано неравенство (70), которое в данном конкретном случае есть неравенство (8). Это - усиленная об-

т = 1

обвёртывает функцию р (это давно известно), но и усиленно обвёртывает её на луче (0, Доказать её пока не удалось.

Тем не менее, идея проверить, верны ли равенства (70), усиливающие одновременно (67) и (68) оказалась плодотворной и в другой актуальной задаче - двусторонней оценке центрального биномиального коэффициента ('П /' Ввиду справедливости асимптотики

П л/^П

п сю,

п

удобно рассматривать последовательность

тг/2

Сп = 4-п ^= 2 J (sini)2radi. 0

Последовательность сп встречается в ряде классических формул математического анализа. Приведём только два примера [13] (гл. 5):

тг/2

те 0 те

(1 - (?)-1/2 = ^ Сп2 (1 - <?2 8Ш2^)-1/2^ = ^ С2(?2п, |<?| < 1.

п=0 Ж 0 п=0

п

п

п функции

С (ж) = 4-жГ(2ж + 1)Г-2(ж + 1).

Из (2) нетрудно вывести представление 1пС(ж) = -0.5 1п(та) + ^>(2ж) — 2<^(ж), которое вместе с (16) даёт асимптотику

1пС(ж) = —1 1п(^ж)--— +----7—5" + ^, ж ^

2 1 ' 8ж 192ж3 640ж5 Чж7/'

Выяснилось, что неравенство вида (70) для функции

^1(ж) = 11п(^ж) + 1пС (ж) = ^>(2ж) — 2<^(ж)

справедливо, а именно

-8ж + 192^ - 640ж5 + 192ж3 < ^(ж) < -81 + 192ж3 + 8ж Уж > 0. (?1)

Метод доказательства двойного неравенства (71) в точности такой же, как и двойного неравенства (8). Двойное неравенство (71) после несложных преобразований даёт двусторонние оценки

1 : exp |--1—;— ) < сп < exp |--1—) Vn е N.

Ч 8n + зп+W ^ \ 8n + 3п)

V™ V 8n + зп+рг/п / V™ V 8n + зП

Проведенное исследование показывает, что когда какая-либо функция имеет знакопеременный асимптотический ряд, то проверка её усиленной обвёртываемости этим рядом может дать новые более сильные двусторонние оценки этой функции.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Whittaker Е.Т., Watson G.N. A Course of Modern Analysis. 4th ed. Cambridge: Cambridge University Press, part 2, 1927. 616 pp.

2. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 432 с.

3. Lang S. Elliptic functions. London. Amsterdam. Dod Mills. Ontario. Sydney. Tokio, Addison-Weslev publishing company, Inc, 1973. 326 pp.

4. Мачис Ю. Ю. О формуле Стирлинга. // Liet. Matem. Rink., 2007, V. 47, spec.nr., p. 526-530.

5. Robbins H. A remark on Stirling's formula // The American mathematical monthly, 1955, V. 62, № l(Jan), p. 26-29.

6. Sonin N. Sur les termes complémentaires de la formule sommatoire d'Euler et de celle de Stirling // Annales de l'Ecol norm., 1889, ser 3., t.6, p. 257-262.

7. Сопин H. Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах. М.: ГИТТЛ, 1954. 244 с.

8. Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия, Т.1, С. 866-870. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1977.

9. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды, т. 1. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

10. Федорюк М.В. Обвёртывающий ряд. Математическая энциклопедия, Т.З., С. 1096. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982.

11. Hardy G. H. Divergent Series. Oxford Univ. Pr, Oxford, 1949. 396 pp.

12. Polva G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis I, Reihen. Integralrechnung. Funktionentheorie [Texte imprime], Berlin : Springer , 1925. 338 s.

13. Ахиезер И. И. Элементы теории эллиптических функций. Изд. 2-е, перераб., М.: Наука, Гл. ред. физ. -мат. литературы, 1970. 304 с.

14. Белов А. С. Оценка остаточного члена в асимптотическом решении одной экстремальной задачи, связанной с неотрицательными тригонометрическими полиномами // Матем. заметки. 2016. Т. 100, Вып. 2. С. 303-307.

15. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Полиномы Бернштейна: старое и новое// Математический форум 4.1. Исследования по математическому анализу, Т. 8, IOMII ВИЦ РАН и РСО-А, Владикавказ, 2014. С.126-175.

REFERENCES

1. Whittaker, Е.Т. к, Watson, G.N. 1927, A Course of Modern Analysis., 4th ed., Cambridge: Cambridge University Press, part 2, 616 pp.

2. Gelfond, A.O. 1967, Ischislenie conechnyh raznostej [Calculus of Finite DifferencesJ., Nauka, Moscow, 432 pp.

3. Lang, S 1973, Elliptic functions. Addison-Wesley publishing company Inc., London. Amsterdam. Dod Mills. Ontario. Sydney. Tokio, 326 pp.

4. Machis, Yu. Yu. 2007, "About Stirling's formula", biet. Matern. Rink., vol. 47, spec.nr., pp. 526530.

5. Robbins, H 1955, "A remark on Stirling's formula", The American m,at,hem,atical monthly, vol. 62, no l(Jan), pp. 26-29.

6. Sonin, N 1889, "Sur les termes complémentaires de la formule sommatoire d'Euler et de celle de Stirling", Annales de l'Ecol norm., ser. 3., t. 6, pp. 257-262.

7. Sonin N. Ya. 1954, Issledovaniya о cilindricheskih funkciyah i specialnyh polinom,ah [Investigations of cylinder functions and special polynomials]., GITTL, Moscow, 244 pp.

8. Kupcov L. P. 1977, "Gamma-function", Matematicheskaya-ehnciklopediya, Sovetskaya ehnciklo-pediya, Moscow, vol. 1, 866-870 pp.

9. Prudnikov, A. P., Brvchkov, Yu.A. & Marichev, O.I. 1981, Integraly-i-ryady /Integrals and series]., Nauka, Moscow, vol. 1, 800 pp.

10. Fedorvuk, M. V. 1982, "Wrapping series", Matematicheskaya-ehnciklopediya, Sovetskaya ehnci-klopediya, Moscow, vol.3, 1096 p.

11. Hardy, G.H. 1949, Divergent Series, Oxford Univ. Pr, Oxford, 396 pp.

12. Polva, G. & Szego, G. 1925, Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis I, Reihen. Integralrechnung. Funktionentheorie [Texte imprime], Springer, Berlin, 338 s.

13. Ahiezer, N. I. 1970. Ehlementy-teorii-ehllipticheskih-funkcij [Elements of the theory of elliptic functions], 2nd ed., Nauka, Moscow, 304 pp.

14. Belov, A. S. 2016, "An estimate of the remainder term in the asymptotic solution of an extremal problem connected with nonnegative trigonometric polynomials", Mat. notes., vol. 100, no. 2, 303-307 pp.

15. Tihonov, I.V., Sherstvukov, V. B. k, Petrosova, M. A. "Bernstein polynomials: old and new" Matematicheskij forum ch.l Issledovaniya po matematicheskomu anal,i,zu,(Mathematical forum Ch. 1. Studies in mathematical analysis), Vladikavkaz, 2014. vol. 8, pp.126-175.

Получено 10.03.2017 г. Принято в печать 12.06.2017 г.