CC BY
11
УДК 621.921.34:621.7.044.2
Описание формирования микрогеометрии поверхности трения износостойких порошковых покрытий на основе теории марковских процессов
Г.Г. Винокуров, О.Н. Попов1
Институт физико-технических проблем Севера им. В.П. Ларионова СО РАН, Якутск, 677980, Россия 1 Институт математики и информатики, Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,
Якутск, 677891, Россия
В работе для описания формирования микрогеометрии порошковых покрытий при трении скольжения предложен статистический подход на основе теории непрерывных марковских процессов. В рамках данного подхода получено статистическое обоснование гипотезы о нормальности распределения координат равновесной поверхности трения. Исследованы статистические характеристики линейных износов поперечных профилей, распределение которых определяется уравнением Фоккера-Планка.
Ключевые слова: порошковое покрытие, трение скольжения, износ, поверхность трения, микрогеометрия, статистическое моделирование, марковский процесс
Description of the formation of friction surface microgeometry of wear resistant powder coatings on the basis of Markov process theory
G.G. Vinokurov and O.N. Popov1
Larionov Institute of Physical and Technical Problems of the North SB RAS, Yakutsk, 677980, Russia 1 Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677891, Russia
A statistical approach based on the theory of continuous Markov processes was put forward to describe the formation of powder coating microgeometry in sliding friction. The hypothesis of normal distribution of the equilibrium friction surface coordinates was statistically justified in the frame of this approach. The statistical characteristics of the linear wear of cross section profiles whose distribution is determined by the Fokker-Planck equation were studied.
Keywords: powder coating, sliding friction, wear, friction surface, microgeometry, statistical modeling, Markov process
1. Введение
В настоящее время для упрочнения и восстановления изношенных деталей техники широко используются высокоэнергетические технологии нанесения порошковых покрытий [1, 2]. В последующей эксплуатации техники износостойкие порошковые покрытия на обработанных деталях подвергаются в основном трению скольжения. При этом проявляются механизмы изнашивания, зависящие от структуры и физико-механических свойств порошкового материала, условий трения [3-6].
Изнашивание материалов при трении скольжения также зависит от бесчисленных случайных факторов контактного взаимодействия — локальных свойств ма-
териалов образца и контртела, микрогеометрии поверхностей и др. Поэтому наряду с известными детерминистическими подходами, основанными на теории усталостного разрушения материалов [4-6], для описания процессов изнашивания были разработаны различные статистические модели [7-15]. В основополагающих работах [7, 8], которые были одними из первых в этом направлении, изложены основные предпосылки для статистического описания процесса изнашивания материалов при трении скольжения по усталостному механизму. Авторами [7, 8] впервые было выдвинуто предположение о том, что образование частиц износа вследствие усталостного разрушения является случайным марковским процессом.
© Винокуров Г.Г., Попов О.Н., 2016
Как известно, математический аппарат теории марковских процессов подробно разработан, имеет многочисленные приложения в физической кинетике, химической физике, радиофизике и т.д. [16-18]. Поэтому в настоящее время развивается идея использования случайного марковского процесса для описания изнашивания материалов при трении скольжения, появилась возможность эффективного использования компьютерных технологий. Авторами работ [14, 15] исследовано контактное взаимодействие трущихся шероховатых поверхностей: компьютерное моделирование проводится с учетом упругого и пластического деформирования ~10000 элементов поверхностей (полусферических выступов) и последующего их усталостного разрушения. Изменения высот элементов в результате сдвига и контактного взаимодействия описываются случайными функциями преобразования, которые задаются в параметрическом виде. Показано, что при этом последовательность значений высот представляется простой цепью Маркова, для нее построена матрица перехода [14, 15].
Авторами данной работы ранее для описания формирования микрогеометрии порошковых покрытий при трении скольжения были разработаны статистические подходы на основе использования биномиального закона распределения и однородного марковского процесса [19, 20]. Дело в том, что при описании процессов трения скольжения материалов целесообразно рассматривать профили, поперечные пути трения, который является выделенным направлением (рис. 1). При таком подходе поперечные сечения покрытия можно представить двумерными случайными упаковками частиц или задавать изменение случайной функции профиля. Тогда изнашивание сечений описывается законами классической теории вероятностей и теорией случайных марковских процессов [19, 20]. Актуальным является обобщение предложенного статистического подхода на основе однородного марковского процесса.
Целью настоящей работы является разработка статистического описания формирования микрогеометрии поверхности трения порошковых покрытий на основе общей теории непрерывных марковских процессов.
нами классической теории вероятностей [19, 20]. Таким образом, объектом статистического моделирования является профиль поверхности порошкового покрытия, поперечный пути трения (рис. 1).
Для разработки математической модели на основе теории марковских процессов можно применить схему трения скольжения, которая используется в усталостной теории износа [4]. Рассмотрим трение двух тел с номинально плоскими поверхностями, одно из которых (покрытие) имеет порошковую истираемую поверхность, другое — жесткое и шероховатое. Как известно, в усталостной теории износа внедренный и разрушенный объем вычисляется с использованием функции распределения высоты профиля истираемой поверхности с учетом деформации при контакте [4]. В предлагаемой модели исходим из допущения, что изменение линейного износа поперечного профиля поверхности покрытия при трении скольжения является непрерывным марковским процессом по пути трения I.
Тогда линейный износ поперечного профиля характеризуется плотностью условной вероятности Р(I, х/10, х0), причем Р(I, х/10 , х0)дх есть вероятность того, что при пути трения I линейный износ находится в интервале [х; х + dx], если при 10 < I был реализован линейный износ х0 (рис. 1).
Рассмотрим диффузионное приближение, когда плотность условной вероятности удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка [16-18]. Для упрощения расчетов коэффициенты D, К (К > 0) в уравнении полагаются постоянными:
—=* Ы^ - „ дР.
д1 дх дх
(1)
Функция плотности условной вероятности удовлетворяет условию нормировки; начальное условие имеет вид Р(I, х/10 , х0) = Р0(х, х0), где Р0 — функция распределения линейного износа при I = 10. Так как линейный износ покрытия не может уменьшаться, имеем D > 0, т.е. всегда существует систематическое увеличение случайной функции. В общем случае функцию Р можно найти, интегрируя дифференциальное уравнение (1) с учетом вида Р0 (х, х0) при начальном условии и соотношения нормировки.
2. Марковский процесс изнашивания порошковых покрытий при трении скольжения
При статистическом описании процессов трения скольжения материалов путь трения является выделенным направлением, тогда в перпендикулярных к нему плоскостях характеристики микрогеометрии предполагаются статистически однородными величинами. При таком упрощении одномерные (высотные) характеристики поперечного профиля поверхности порошковых тел описываются теорией случайных процессов и зако-
Рис. 1. Схема элемента поверхности порошковых покрытий при трении скольжения
Рассмотрим частный случай:
¡о - 0, хо
- 0
Р0 (х, х0) - 28(х), где 8(х) — дельта-функция Дирака. Это означает, что за начальное значение 10 выбрано начало пути трения, когда линейный износ равен нулю, и рассматривается изнашивание изначально гладкой порошковой поверхности.
Уравнение Фоккера-Планка (1) с данным начальным условием и соотношением нормировки можно решить методом преобразования Лапласа. Решение имеет вид [20]
Р^1, х) -
1
D
2К
(пК )1/2 Dx
К
ехр
(х - Dl )2 4К1
ехр
-
ег&
х + Dl
\
(2)
2( К1)1/2
Выражение (2) представляет собой функцию распределения координат поперечного профиля порошковых покрытий при трении скольжения. Средний линейный износ можно найти интегрированием как математическое ожидание плотности условной вероятности (2). Поэтому в работе коэффициенты уравнения Фок-кера-Планка оценены из экспериментальных данных среднего линейного износа [20].
Для стадии установившегося изнашивания (при больших значениях пути трения) из выражения (2) предельным переходом I ^ ^ можно получить распределение координат равновесного профиля порошковых покрытий при трении скольжения. При этом второе слагаемое (2) стремится к нулю, а первое представляет собой нормальное распределение координат поперечного профиля.
Как известно, классические представления трибологии [4-6] основываются на общепринятом положении, что координаты профиля равновесной поверхности трения описываются нормальным распределением, симметричным относительно математического ожидания.
Таким образом, предлагаемый статистический подход, основанный на теории непрерывных марковских процессов, обосновывает данный экспериментальный факт для поперечного профиля равновесной поверхности трения порошковых покрытий.
3. Формирование микрогеометрии поверхности трения покрытий
При трении скольжения на поверхности износостойкого порошкового покрытия происходит образование характерных продольных борозд, рисок вдоль пути трения. Математически это выражается тем, что появляется корреляционная связь линейных износов двух поперечных профилей поверхности покрытия (рис. 1).
Статистический подход на основе теории марковских процессов позволяет описывать данную взаимосвязь исследованием корреляции двух случайных вели-
чин — линейных износов соответствующих поперечных профилей порошкового покрытия. Для описания взаимосвязи поперечных профилей вдоль пути трения необходимо рассчитать коэффициент корреляции двух непрерывных случайных величин х (I), у (I + dl) — значений линейного износа поперечного профиля при двух значениях пути трения I и I + dl по условной вероятности Р(I + й1, у/1, х). Таким образом, необходимо построить двумерное распределение, которое есть условная вероятность случайной величины у(1 + dl), если при пути трения I линейный износ составлял х(1). Следует отметить, что поскольку линейный износ не может уменьшаться, выполняется двойное неравенство у(1 + dl) > > х(1) > 0.
Двумерное распределение также зависит от переменных I, dl. По его виду можно оценить уровень взаимосвязи значений линейного износа покрытия в зависимости от пути трения. Приращение dl является существенно положительной величиной, поэтому увеличение пути трения означает переход к последующим поперечным профилям порошкового покрытия.
Для построения двумерного распределения и расчета его характеристик воспользуемся найденным частным решением уравнения Фоккера-Планка (2). Тогда искомое двумерное распределение можно задать интегралом:
Р(I + й1, у/1, х) - Р1(1, х)-
IР^, у - х)&
й1
(3)
где Р1(1, х) — плотность условной вероятности (2), у >х.
Как видно из данного выражения, условная вероятность зависит от износа при пути трения I и его значений в интервале [I; I + dl]; область определения функции (3) на плоскости х, у есть половина первого квадранта, лежащая выше биссектрисы у = х. Для двумерного распределения должно выполняться условие нормировки:
7/р1(1, х)Р^, у - х)йхйу -1. (4)
о о
В тождественном выполнении данного условия можно убедиться непосредственным интегрированием с учетом соотношения нормировки для Р1 (I, х) и области определения функции двумерного распределения.
Рассмотрим результаты расчетов характеристик построенного двумерного распределения (3). Все вычисления в работе проведены при различных значениях пути трения I, его приращения dl и коэффициентов уравнения Фоккера-Планка D, К.
На рис. 2 приведены характерные поверхностные графики двумерного распределения (3). Как видно из графиков, функция имеет ненулевые значения, обусловленные областью определения у > х, и с удалением от
Е(1 +&1, у/1, х), м 1.5 • 1010-
-2
0
2 . 10
у(1 +dl), м
3 • 10-
Рис. 2. Двумерное распределение линейного износа поверхности покрытия в зависимости от расстояния между профилями: / = 30 м, d/ = 50 (а), 500 м (б); D = 0.4-10-8, К = = 0.9-10-12 м
биссектрисы у = х постепенно снижается. Увеличение приращения пути трения приводит к снижению максимума функции с расширением области ненулевых значений (на рис. 2 графики построены в одинаковых масштабах). Ненулевые значения двумерного распределения в области линейного износа уже свидетельствуют о том, что существует корреляция износов поперечных профилей вдоль пути трения (рис. 2).
Количественные характеристики двумерного распределения (3) — математические ожидания (х(/)), (у(! + + d/)), дисперсии, среднеквадратические отклонения ах, ау и коэффициент корреляции К двух случайных величин — линейных износов х(/) и у(/ + d/) можно рассчитать по известным формулам теории вероятностей.
Рис. 3. Математические ожидания линейного износа поверхности покрытия в зависимости от пути трения: (х(/)) (1), (у(/ + dl)) (2); d/ = 300, D = 0.4-1011, К = 0.9-10
-14 „
На рис. 3 приведены зависимости математических ожиданий от пути трения в стадии приработки, рассчитанные по формулам теории вероятностей при одинаковых значениях пути трения. Среднее значение линейного износа, вычисленное по двумерному распределению (3), отличается от математического ожидания, полученного по одномерной функции распределения (2). Кривая среднего износа 2 расположена выше 1. Для математических ожиданий (средних значений линейного износа при значении) приращения d/ = 300 м уже практически не наблюдается характерных участков приработки. Линейное возрастание соответствует стадии установившегося износа.
На рис. 4 приведены результаты расчета коэффициента корреляции R в зависимости от приращения пути трения d/, которое есть расстояние между двумя поперечными профилями. Как видно из графиков, с увеличением расстояния между профилями коэффициент корреляции их линейных износов снижается значительно — от 1 до -0.4 при d/ = 100 м (рис. 4). Увеличение пути трения приводит к повышению уровня корреляции линейных износов поперечных профилей от -0.4 до -0.7 даже при d/ = 100 м: начинается формирование равновесной микрогеометрии поверхности трения, поперечные профили с ростом пути трения начинают становиться схожими. Дальнейшее повышение корреляции отражает формирование равновесной микрогеометрии контактной поверхности порошковых покрытий.
Рис. 4. Зависимость коэффициента корреляции от расстояния между поперечными профилями покрытия и пути трения: / =
= 10 (1), 30 (2), 50 м (3); D = 0.4-10"11, К = 0.9-10
П-14 ,
Проведенные расчеты показали, что уровень и характер изменения корреляции практически не зависят от значений коэффициентов уравнения Фоккера-План-ка D, К, оцененных по экспериментальным данным.
4. Равновесная микрогеометрия поверхности трения покрытий
Была исследована взаимосвязь поперечных профилей равновесной поверхности трения при установившемся изнашивании, когда следует ожидать существенную корреляцию линейных износов. Для этого расчеты проведены при больших значениях пути трения I. Для построения двумерного распределения и расчета коэффициента корреляции также воспользуемся частным решением уравнения Фоккера-Планка (2). Тогда, предполагая, что установившемуся изнашиванию соответствует однородный марковский процесс, искомое двумерное распределение можно задать произведением:
Ри (I + И, у/1, х) - р (I, х)р (ё1, у - х), (5)
где Р1(1, х) — плотность условной вероятности (2), у >х.
Как видно из данного выражения, при однородном марковском процессе условная вероятность зависит от износа при пути трения I и разницы dl [16], область определения функции (5) на плоскости х, у есть половина первого квадранта, лежащая выше биссектрисы у = х. Для двумерного распределения, очевидно, также выполняется условие нормировки (4).
Следует отметить, что в общем случае марковского процесса для получения двумерного распределения вместо выражения (5) необходимо интегрировать по пути трения в интервале от I до I + dl с учетом возможных значений линейного износа (3).
На рис. 5 приведены поверхностные графики двумерного распределения (5). По сравнению с распределением (3) функция имеет более узкую область ненулевых значений в направлении, обусловленном ростом средних значений линейных износов, вне области резко снижается (рис. 2 и 5). Это объясняется тем, что при установившемся изнашивании формируется равновесная поверхность трения с более стабильными характеристиками микрогеометрии. Рост приращения пути трения также приводит к снижению максимума функции с расширением данной области (рис. 5, б).
Ранее авторами в биномиальной модели изнашивания поперечного профиля было получено аналитическое выражение для коэффициента корреляции [19]:
^--^(6) ст(1 + д1) \1 + И
Разработанная биномиальная модель описывает стадию установившегося изнашивания, когда средний износ возрастает линейно [19]. При исследовании корреляции износа поперечных профилей представляет инте-
Рис. 5. Двумерное распределение линейного износа равновесной поверхности: / = 5000 м, d/ = 100 (а), 500 м (б); D = = 0.4-10-8, К = 0.9-10-12 м
рес сравнение разработанного подхода на основе теории марковских процессов с биномиальной моделью изнашивания. Результаты расчетов коэффициента корреляции следует сравнивать для стадии установившегося износа в случае равновесной микрогеометрии поверхности трения с двумерным распределением износа (5).
На рис. 6 приведены результаты сравнения расчетов коэффициента корреляции для обоих подходов; маркерами обозначены результаты расчета по распределению (5), линиями — по формуле (6). Как и следовало ожи-
Рис. 6. Коэффициент корреляции поперечных профилей при установившемся износе: D = 0.4-10 и, К = 0.9-10 14 м (а); D = 0.4 -10-8, К = 0.9 -10"12 м (б); / = 1000 (1, 4), 3000 (2, 5), 5000 м (3, 6); маркеры — распределение (5), линии — формула (6)
дать, для равновесной поверхности трения наблюдается высокий уровень корреляции — выше ~0.9. Как видно из графиков, наблюдается совпадение результатов расчетов обоих подходов с высокой точностью, которая практически не зависит от значений коэффициентов уравнения Фоккера-Планка D, К (рис. 6). Это свидетельствует о том, что аналитическое выражение коэффициента корреляции (6) адекватно отражает корреляционную связь износов поперечных профилей равновесной поверхности трения на стадии установившегося износа.
Таким образом, разработанный статистический подход на основе теории непрерывных марковских процессов позволяет качественно описывать формирование и структуру рельефа поперечных профилей равновесной поверхности порошковых покрытий при трении скольжения.
5. Выводы
Для описания формирования микрогеометрии по-
верхности порошковых покрытий при трении скольже-
ния предложен статистический подход на основе теории
непрерывных марковских процессов. Показано, что в рамках разработанного подхода можно получить статистическое обоснование гипотезы о нормальности распределения координат равновесной поверхности трения.
Установлена взаимосвязь поперечных профилей поверхности трения покрытия. Она описывается корреляцией значений их линейного износа, распределение которых определяется уравнением Фоккера-Планка.
Для стадий приработки и установившегося изнашивания вычислениями условных вероятностей построены двумерные распределения линейных износов поперечных профилей, зависящие от пути трения. Проведены расчеты математических ожиданий и коэффици-
ента корреляции линейных износов поперечных профилей при трении скольжения. При увеличении расстояния между профилями и пути трения коэффициент корреляции снижается (от ~1 до -0.4 при d/ = 100 м). Коэф-
фициенты уравнения Фоккера-Планка слабо влияют на корреляцию износа профилей.
Для стадии установившегося изнашивания, которой соответствует однородный марковский процесс, установлен высокий уровень взаимосвязи линейных износов поперечных профилей (с коэффициентом корреляции >0.9). Показано, что аналитическое выражение коэффициента корреляции, полученное по биномиальной модели, удовлетворительно описывает корреляцию износов поперечных профилей равновесной поверхности трения.
Таким образом, показано, что статистический подход на основе теории непрерывных марковских процессов качественно описывает формирование микрогеометрии поверхности трения порошковых покрытий.
Литература
1. Хасуи А., Моригаки О. Наплавка и напыление. - М.: Машиностроение, 1985. - 240 с.
2. Бороненков В.Н., Коробов Ю.С. Основы дуговой металлизации. Физико-химические закономерности. - Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2012. - 268 с.
3. Тушинский Л.И., Плохое А.В. Исследование структуры и физико-механических свойств покрытий. - Новосибирск: Наука, 1986. -200 с.
4. Крагелъский И.В., Добычин М.Н., Комбалое В. С. Основы расчетов
на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 526 с.
5. Справочник по триботехнике. В 3 т. Т. 1. Теоретические основы / Под ред. М. Хебды, А.В. Чичинадзе. - М.: Машиностроение, 1989.- 400 с.
6. Мур Д. Основы и применения трибоники. - М.: Мир, 1978. - 488 с.
7. Кордонский Х.Б., Харач Г.М., Артамоновский В.П., Непомнящий Е.Ф. Вероятностный анализ процесса изнашивания. - М.: Наука, 1968. - 56 с.
8. КордонскийХ.Б. Приложения теории вероятностей в инженерном деле. - М.: ГИФМЛ, 1963. - 436 с.
9. Лининъш О.А., Рудзит Я.А. Расчет интенсивности изнашивания пар трения скольжения с применением случайных полей к описанию шероховатости // Трение и износ. - 1991. - Т. 12. - № 4. -С. 581-587.
10. Цитрин А.И., Белоусов В.Я. Вероятностно-статистические методы прогнозирования изнашивания материалов потоком абразивных частиц // Трение и износ. - 1986. - Т. 7. - № 4. - С. 701-709.
11. Белоусов В.Я., Цитрин А.М. Вероятностно-аналитический подход к вопросам изнашивания композиционных материалов при трении
скольжения по монолитному абразиву и его практическое применение // Трение и износ. - 1983. - Т. 4. - № 6. - С. 1038-1045.
12. Холодилов О.В., Калмыкова Т.Ф. Вероятностный подход к построению количественных критериев оценки состояний фрикционного контакта // Трение и износ. - 1990. - Т. 11. - № 5. -С. 921-925.
13. Кудиш И.И. Статистический расчет износа и усталостного выкрашивания подшипников качения // Трение и износ. - 1990. - Т. 11.-№ 5. - С. 933-944.
14. Тигетов Д.Г., Горицкий Ю.А. Марковская модель механического взаимодействия шероховатых поверхностей в процессе трения // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2010. - 3. - С. 3-12.
15. Горицкий Ю.А., Главатских С.Б., Бражникова Ю.С. Марковская модель взаимодействия шероховатых поверхностей // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2014. - № 2. - С. 11-20.
16. Рытов С.В. Введение в статистическую радиофизику. - М.: Наука, 1966. - 404 с.
17. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. - 528 с.
18. Зельдович Я.Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика. - М.: Наука, 1984. - 374 с.
19. Винокуров Г.Г., Попов О.Н. Теоретико-вероятностный подход для описания микрогеометрии поверхности износостойких порошковых покрытий при трении скольжения // Физ. мезомех. - 2014. -Т. 17. - № 5. - С. 97-102.
20. Винокуров Г.Г., Пермяков П.П., Винокурова С.Г., Попов О.Н. Использование теории марковских процессов для описания поперечных профилей поверхности трения порошковых покрытий и материалов // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2015. -№ 8. - С. 6-12.
Поступила в редакцию 19.11.2015 г., после переработки 09.02.2016 г.
Сведения об авторах
Винокуров Геннадий Георгиевич, к.т.н., внс, зав. сект. ИФТПС СО РАН, [email protected] Попов Олег Николаевич, к.т.н., доц. ИМИ СВФУ, [email protected]
