OPERATOR USULI YORDAMIDA OʻZGARMAS KOEFFITSIENTLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI INTEGRALLASH Текст научной статьи по специальности «Математика»

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific

journal of Fergana branch of TATU named after

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-

Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU

Farg‘ona filiali “Al-Farg‘oniy avlodlari”

elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252

Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

OPERATOR USULI YORDAMIDA O‘ZGARMAS KOEFFITSIENTLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI INTEGRALLASH

Muxtarov Ya., f.-m.f.n, prof.

Sh. Rashidov nomidagi Samarqand davlat universiteti e-mail: [email protected]

Obilov H.,

Magistr,

Sh. Rashidov nomidagi Samarqand davlat universiteti e-mail: [email protected]

Annotatsiya. Operator (simvolik) usuldan foydalanish o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamalar yechimlari xossalari bo‘yicha bir qator teoremalarni isbotlashni soddalashtirish imkonini beradi. Maqolada teskari operatorning xossalaridan foydalangan holda o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan differentsial tenglamalar sistemasini yechish usuli ko‘rsatilgan.

Kalit so‘zlar: Operator, simvolik, chiziqli, bir jinsli, bir jinsli bo‘lmagan, differentsial tenglamalar sistemasi, integrallash, umumiy yechim

Kirish. Ma'lumki oddiy differensial tenglamalar fanida o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamalarni yechimini topisda Eyler usuli qo‘llaniladi. Ko‘p hollarda, ayniqsa xarakteristik tenglamaning ildizlari karrali va bir jinsli bo‘lmagan tenglamalarning umumiy yechimini topishda bu usul qiyinchiliklar tug‘diradi. [1,2] maqolalarda qaralgan operator (simvolik) usuli va uni takomillashtirish shu qiyinchiliklarni artaraf etish imkonini beradi. Operator usuli bu algebraik tenglamalar sistemasi uchun Gauss usulini umumlashmasi bo‘lib, bu usul yordamida operator ko‘rinishida yozilgan differensial tenglamalar sistemasi asosiy yoki kengaytirilgan matritsasini elementar almashtirishlar bajarib uni diagonal shaklga kletirishdan iborat. Maqolada o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan differentsial tenglamalar sistemasini teskari operatorning xossalaridan foydalanib yechish usuli ko‘rsatilgan.

Adabiyotlar tahlili va metodologiya. [1,2,3] maqolalarda o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamalarni yechish bo‘yicha bir qator teoremalarni isbotlashni soddalashtirish va tenglamalarni integrallashning samarali usullarini ko‘rsatish. [4] maqolada teskari operatorning xossalaridan foydalangan holda

o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan differentsial tenglamani yechish usuli ko‘rsatilgan.

t bo‘yicha differenasiallash D operatori

n m n + m m n

D D =D =D D xossaga ega.

l(D) = anDn + a^iD,n-1 +...+aD+aD0, a GR, i = 0,n

chiziqli operator aynan nolga teng bo‘lishi

a =0, (i =0, n)

uchun bo‘lishi zarur va yetrali.

Elementlari ij ( )bo‘lgan A(D) matritsa

D - matritsa deyiladi. Sistemaining A( D)

matritsasini determinanti D - determinant deyiladi.

Elementar almashtirishlar bu:

1. Satrlar o‘rnini almashtirish;

2. Biror satr elementlarini noldan farqli a songa ko‘paytirish;

3. Biror satr elementlaridan boshqa satr elementlaridan olingan k -tartibli hosilalarini mos ravishda qo‘shish;

5 o- S'

Bu almashtirishlarni mos ravishda ij ( Si va Sj satrlarning o‘rinlarini almashtirish), a Si (

184

https://al-fargoniy.uz/

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific

journal of Fergana branch of TATU named after

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-

Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU

Farg‘ona filiali “Al-Farg‘oniy avlodlari”

elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252

Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

Si

satr elementlarini a

songa ko‘paytirish),

Mu (D) У1 + M12 (D) У 2 +... + Mm (D) Уп = f (x),

Si+ DkSj (Sj

satr elementlariga D - k-tartibli

differensial operator bilan ta'sir etib uningmos

S

elementlarini satrning mos elementlariga qo‘shish) lar bilan belgilaymiz.

Natijalar. O‘zgarmas koeffitsientli koeffitsientli chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar sistemasini ko‘ramiz

dy1

1 = any + an У2 + ... + а1пУ dx

n

dy2

2 = a2i У! + a22 У2 + ... + a2 пУп, dx

M,i (D) У1 + M,2 (D) У2 +... + M,n (D) у, = f. (x). (2)

Bunda Msk(D) ixtiyoriy darajadagi operator f( x) f( x) f( x) kophadlari va -71 , J2 Jn funksiyalar

etarli marta differensiallanadi deb taxmin qilinadi.

Elementlari Msk (D) operator polinomlari bilan bir xil koeffitsientlarga ega bo‘lgan ko‘phadlar Msk (2) bo‘lgan

chiqamiz

oddiy

matritsani

ko‘rib

Mu (2) ...

M in 2

dyn

dx

=a У +a У +...+a У ,

n1 1 n2 2 nn n

M(2)=

(1)

ma'lumki, sistemalarni integratsiyalashning

Mni (2) ...

M, (2

(3)

usularidan biri - bartaraf etish usuli bo‘lib unda

va uni determinantini

sistemadan y 2’’"’Уп funksiyalarni yuqotib У1 funktsiya uchun tartibi -n bo‘lgan o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli differentsial tenglama olinadi. Demak, (1) chiziqli sistemada undagi har qanday nomalum funktsiya uchun yuqotish usulidan foydalanib, tartibi sistema tartibidan kichik yoki teng bo‘lgan o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamani olish mumkin.

Yo‘q qilish usuli - bu umumiy va normal ko‘rinishdagi o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini yechishning asosiy usuli, chunki o‘zgarmaslarni variatsiyalash usuli yordamida normal bir jinsli bo‘lmagan sistemaning xususiy yechimini topish ko‘pincha operator usulidan foydalanadigan nomalumlarni yuqitish usuliga ko‘ra ko‘proq hisoblarni talab qiladi.

Ixtiyoriy tartibi, п ta noma'lum funktsiyaga qatnashgan n ta tenglamalar sistemasini ko‘rib chiqaylik. D operatoridan foydalanib, uni quyidagicha yozish mumkin:

M11 (2) ...

M in (2)

А(2) =

Mni (2) ...

Mnn(2)

(4)

darajasini

yechimi m ixtiyoriy

bilan

deb belgilaymiz.

А(2)

ko‘phadning belgilaymiz. (2) sistemaning o‘zgarmaslarni o‘z ichiga oladi, shuning uchun m soni

matrisasi (3) bo‘lgan sistemaning tartibi deb ataladi. (4) determinantning Msk (2) elementining algebraik

to‘ldiruvchisini Nsk (2) bilan belgilaymiz. (2)

sistemadagi barcha y'."'"Уп funksiyalarni bartaraf

qilish va У1 uchun tenglamani olish uchun algebrada qo‘llaniladigan usulga o‘xshash usuldan foydalanamiz. Birinchi tenglamaga N11(D), ikkinchisga N21(D) ..., oxirgisiga Nn1(D) operatorlar bilan ta'sir qilamiz

va natijani qo‘shamiz

m

JN1 (D)• MA (D) = А(D); JNA (D)• Msk (D) = 0, k = 2,n.

s=1s=1

185

https://al-fargoniy.uz/

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific

journal of Fergana branch of TATU named after

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-

Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU

Farg‘ona filiali “Al-Farg‘oniy avlodlari”

elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252

Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

Natijada y1 uchun o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamani olamiz:

д(D)■ У1 = N (D) f +... + N„ (D) fn. (51)

Keyingi ustunlarning algebraik to‘ldiruvchilari yordamida, quyidagi tenglamalarni olamiz:

A( D) ■ y = N,2 (D ) f +... + Nn 2 (D) fn, (52)

A( D )■ y, = N,n (D ) f, +... + N,„ (D) fn. (5,)

Agar A(D) aynan nolga teng bo'lmasa, u holda y,,..., yn larni aniqlash uchun chap tomoni bir xil bo‘lgan tenglamalarga ega bo‘lamiz va shu sababli noma'lum funktsiyalarning har biri uchun bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimining tuzilishi bir xil bo‘ladi.

Д( D) y = 0

bir jinsli tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi (X)’'"’^т (x) bo‘lsin va

Y1(x)(x) funksiyalar mos ravishda (51),., (5n) tenglamalarning xususiy yechimlari bo‘lsin. Bu holda tenglamalarning har birining umumiy yechimi У1 = A (X) + ... + '' (x) + (x) , (6)

yn=c, \ (x)+...+cm (x)+y, (x) (6n)

ko‘rinishda bo‘ladi.

Biroq (51),..., (5n) tenglamalar birta (2) sistemadan olingan va ularning (61),., (6n) yechimlarini bir-biridan ajratilgan holda ko‘rib chiqish mumkin emas. Bu n ■m — ta ixtiyoriy o‘zgarmaslar o‘rtasida bog‘liqlik mavjudligi kelib chiqadi. Ular o‘rtasida bog‘lanishni o‘rnatish uchun sistemaga (6) funktsiyalarni qo‘yish va ayniyat hosil bo‘lishini talab c(k) -

qilish kerak. Hosil bo‘lgan c larga nisbatdan

n ■m — ta noma'lumli algebraik tenglamalar sistemada m — tasi ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lib qoladi va qolganlarini ular orqali ifodalash mumkin. Bu

ifodalarni (6) formulaga qo‘yib, m — ta o‘zgarmaslarga bog‘liq bo‘lgan (2) sistemaning umumiy yechimini topamiz.

Agar A(D) 0 bo‘lsa, u holda sistema

birgalikda bo‘lmaydi, yoki uning yechimi bir yoki bir nechta ixtiyoriy funksiyalarga bog‘liq. Ikkinchi hol (2) sistemaning bir yoki bir nechta tenglamalari boshqalaridan songa ko‘paytirish, qo‘shish va differentsiallash amallari bilan olingan holda hosil bo‘lishi mumkin.

Izoh. Normal sistemani yo‘q qilish usuli bilan yechimini topishda, ko‘pincha (5) ko‘rinishdagi tenglamalardan birini integrallashgandan so‘ng, yangi ixtiyoriy o‘zgarmaslar kiritmasdan, sistemadan qolgan noma'lum funktsiyalarni topish mumkin.

Misollar qarymiz.

1-misol.

— = 3x + 2y + 18tet, — = x + 2y dt dt

sistemaning umumiy yechimini topamiz.

Yechilishi. Sistemani operator ko‘rinishda

yozamiz

(D—3)x—2y =18tet, —x+(D—2)y =0.

Sistemaning kengaytirilgan masritsasida elementar almashtirishlar bajaramiz

rD — 3 —2 18te (D—3}^ ) Г 0 D2 — 5D + 4

—1 D — 2 0 J D — 2

natijada

(D2 —5D+4)y =18tet, — x+(D—2)y =0

operatorli sistema hosil qilamiz. Sistemaning birinchi tenglamasining yechimini topamiz, buning uchun D — 5D+ 4 operatorni ko‘paytuvchilarga ajratib teskari operatorli tenglama hosil qilamiz va teskari operatorning xossalaridan foydalanamiz [1,4]:

y=

1

(D —1)( D — 4)

18tet = et

1

D (D — 3)

18t =

t

= — e

Г 6

— + 2 t = —et (3t2 + 2t).

ID J

186

https://al-fargoniy.uz/

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific

journal of Fergana branch of TATU named after

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-

Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU

Farg‘ona filiali “Al-Farg‘oniy avlodlari”

elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252

Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

Bundan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

y = c e4t + c et - et (3t2+ 2t ).

Sistemaning ikkinchi tenglamasidan x ni anilaymiz. Natijada sistemaning umumiy yechimini topamiz

x=2ce4t -c et +et(3t2 -4t -2), y =ce4t +c et -et(3t2 +2t). 2- misol.

d2x dx dy td2x dy t —. + 5— + 2— + y = 6e, 3—T + 5x + —+ 3y = 18e dt 2dt dt dt 2dt

sistemaning umumiy yechimini topamiz.

Yechilishi. Sistemani operator ko‘rinishda

yozamiz

(D2+5D)x+(2D+1)y =6et, (3D2+5)x+(D+3)y =18et.

Sistemaning kengaytirilgan masritsasida

( D2 +5D 2D +1 6e' '

к 3D2 + 5 D + 3 18e' 7

1-misol kabi elementar almashtirishlar

0

-5(D -1)2 (D+1)

bajaramiz

-5( D -1)2 (D +1)

0

к

Natijada, x va tenglamalar

(D -1)2(D +1)x = 6et,

ko‘rinishda va

(D + 3) 6e'-(2D + 1)18e' " (D2 + 5D)18e' - (3D2 + 5)6e' , y larni topish uchun

(D -1)2(D +1) y = -12e'

A( D ) = ( D -1)2 (D +1)

berilgan tenglamalar sistemasining xarakteristik ko‘pxadi bo‘ladi. Teskari operatorning xossalaridan foydalanib [3]

x=

1

(D -1)2 (D +1)

6e' = e'

1

D2 ( D + 2 )

1 2 '

6 = t e ,

2

1

(D -1)2 (D +1)

12et = -et

1

D2 (D + 2)

12 = -t 2et

bir jinsli bo‘lmagan tenglamalarning xususiy yechimini topamiz.

Demak, sistemaning yechimi

x = (c + c21)e* + ce ' +112e', y = (c4 + c')e' + c6e ' -12e'

bo‘ladi.

c ,..., c

Oltita 1 6 o‘zgarmaslar orasida o‘zaro

bog‘langanlar soni D) ko‘phadning darajasiga teng, ya'ni uchga teng. Bular orasida boglanishni topish uchun, topilgan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga qo‘yamiz va ayniyat hosil bo‘lishligi

shartini qo‘yamiz

(q + c- + 2q)e + ce - + e + 2te +1t2e + 5(q + c- + q)e -

+(c +c t)et +c e-t -t2et =6et.

2t

Barcha te qatnashgan hadlar yeyishadi, bu

t t -t

hisoblashlarni to‘g‘riligini ko‘rsatadi. e , te va e

funksiyalar chiziqli bog‘lanmaganligi sababli, ularni

koeffisiyentlarini tenglashtirib uchta tenglama hosil

qilamiz va tenglamalardan c4,c5,c6 o/zgarmaslarni

c1,c2,c3 orqali ifodasini topamiz:

2

c4 2c1 c2 + ,

c = - 2c - 1,

c6 = -4c3.

Natijada berilgan tenglamalar sistemasining umumiy yechimi quyidagicha bo‘ladi x=(c+c2t) e+ce+112e,

( 2 к

y = -2c1 - c2 +--(2c2 + 1)1 e

к 3 7

- 4 c e - t - t 2 et .

O‘garmaslar orasidagi bog‘lanishlar chiziqli bog‘lanmagan bo‘lganligi sababli x va у larni ikkinchi tenglamaga qo‘shish shart emas, chunki o‘zgarmaslar soni D) ko‘phadning darajasiga teng bo‘lishi kerak. Shu sababli x va у larni ikkinchi tenglamaga qo‘yish natijasida c lar uchun olingan bog‘lanishlar birinchi tenglamaga qo‘yish natijasida olingan bog‘lanishlarning natijasi bo‘ladi.

Xulosa. O‘zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini o‘zgarmaslarni variatsyiyalash usuli bilan topish mumkin. Biroq, amalda bu usul katta hisoblashlar bilan bog‘liq. Operator polinomiga teskari

187

https://al-fargoniy.uz/

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific

journal of Fergana branch of TATU named after

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-

Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU

Farg‘ona filiali “Al-Farg‘oniy avlodlari”

elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252

Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

operatorning kiritilishi tenglamaning o‘ng tomoni ixtiyoriy, xususan, kvazipolinom bo‘lganda ham hisoblashlarni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Розенблюм А.А. Интегрирование

дифференциальных уравнений операторным методом. Учебное пособие. Изд. ГГУ, Горький, 1980.

59 с.

2. Малышев Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. с. 59-66.

3. Малышев Ю.В., Атаманов П.С.

Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 176 с.

4. Muxtarov Y., O‘roqov N.O. Chiziqli

differensial tenglamalarni yechishda operator usulini qo‘llash. Buxoro DU. Ilmiy Axboroti 2023, № 4, 33-36 b.

188

https://al-fargoniy.uz/