CC BY
8
Abriyev N.T. assistent
Jizzax politexnika institute O'zbekiston, Jizzax Abdusaidov S. U. assistent
Jizzax politexnika institute O'zbekiston, Jizzax
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
SISTEMASINI INTEGRALLASH
Annotatsiya. Bu ishda bir jinsli sistemaning formal yechimlarini tuzish o'rganilgan. det[B0(r) — wA0(r)] = 0 bir jinsli sistemaning xarakteristik tenglamaning nol ildizlari yo 'q bo 'lgan va nol ildizlari bo 'lgan hollar uchun 2n-ta har xil formal yechimlarini tuzish qaralgan.
Kalit so'zlar: bir jinsli sistema, ildiz, formal, asimptotik, fundamental yechim, asimptotik xususiy yechim.
Abriyev N. assistant
Jizzakh Polytechnic Institute Uzbekistan, Jizzakh Abdusaidov S. assistant
Jizzakh Polytechnic Institute Uzbekistan, Jizzakh
INTEGRATION OF A SYSTEM OF SECOND-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
Abstract. In this work, the formation offormal solutions of a homogeneous system is studied. Formulation of 2n different formal solutions of the characteristic equation of the det[B0(r) — wA0(r)] = Ohomogeneous system for cases with and without zero roots is considered.
Keywords: homogeneous system, root, asymptotic, fundamental solution, asymptotic eigensolution.
Quyidagi
d ^c • n ? j. \
A(r, e) + eC(r, e)-^ + B(r, e)x = P(r, E)el6(t-£) (1)
ko'rinishdagi parametrga bog'liq bo'lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini integrallash masalasini qaraymiz, bunda
x(t, £)-n-o'lchovli vektor r = Et- sekin o'zgaruvchi vaqt e < 1-kichik haqiqiy parameter; 6(t, e)- skalyar funksiya, i = V—l; A(t, e), B(t, e), C(t, e) — (n x n) matritsalar P(r, e)- n-o'lchovli vektor, quydagi shartlar bajarilsin:
A(r, e), B(t, e), C(t, e) matritsalar va P(t,e)-vektor funksiya berilgan r E [0, L] oraliqda e parametrning darajalari bo'yicha yaqinlashuvchi qatorga yoyilsin:
CO CO
C(t, = ^ esCs (t), P(t, = ^ esPs (t), (2)
s=0 s=0
CC
A(x, e) = ^ esAs (t), B(t, e) = ^ esBs (t)
s=0 s=0
VtE [0,L],detA0(r) * 0(3)
dQ
d(t, e) funksiya'ning — hosilasi sekin o'zgaruvchi funksiya, ya'ni
* dO
Tt = m(*)
(2) qatorlarni koeffisientlari As(t), Bs(t), C(t), Ps(t)s = 0,1,2,... va k(r) funksiya berilgan [0,L] kesmada cheksiz differensiallanuvchi sistemani o'rganishda uning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi
det[B0(r) — wA0(t)] = 0(5) tenglama muhim ahamiyatga ega. Sistemani umumiy yechimini tuzish uchun uni
N d2x ^dx , N
A(t, e)—^r + e C(t, e) — + B(t, e)x = 0 (6) dt* dt
bir jinsli qismining 2n ta chiziqli bog'lanmagan
x(1\t,e),x(2\t,e),.......,x(2n\t,e) yechimlarni topish zarur, shuningdek bir
jinsli bo'lmagan (1) sistemani qandaydir x(t,e) xususiy yechi mni aniqlash kerek [1]. U holda (1) sistemaning umumiy yechimi
2n
c
x(t, e) = ^ cix(V)(t, e) + x(t, e). i=1
ko'rinishda ifodalanadi,bunda c^i = 1,2n)- ixtiyoriy o'zgarmas. Agar t berilgan kesmada o'zgarganda colon (x(l\t,e),^-)^) ,i =
l/2n
ustunli vektorlardan tuzilgan ( 2n x 2n) — matritsaning determinant noldan farqli bo'lsa, u holda bir jinsli sistemaning x(l\t,e),,x(1\t,e) yechimlari chiziqli bog'langan bo'ladi. Bunday yechimlar to'plami (6) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Shuning uchun ikkita masalani qaraymiz.
(6) bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini asimptotik ko'rinishida ifodalash;
(1) bir jinsli bo'lmagan sistemaning asimptotik xususiy yechimni tuzish, bu hol uchun quydagi hollarni qaraymiz: a) "rezanans" bo'lmagan hol, ya'ni k2(r) funksiya (5) xarakteristik tenglamaning Wi(r)(i = 1,n) ildizlardan hech biriga teng bo'lmagan; b) "rezanans" bo'lgan hol ya'ni k2 (r) funksiya (5) tenglamaning ildizlaridan hech bo'lmasa bittasiga teng bo'lgan hol.
Faraz qilaylik (5) xarakteristik tenglamaning barcha wi(r)(i = l,n) ildizlari [0,L] kesmada wi(r) ^ 0,wi(r) ^ Wj(r),(i,j = l,n) shartlarni qanoatlantirsin. Bu hol uchun (6) bir jinsli sistemani yechimini quydagi teorema ko'rsatadi.
1-Teorema. Agar (5) xarakteristik tenglamaning ildizlari [0, L] kesmada noldan farqli va bir-biroga teng bo'lmasa, u holda [0, L] kesmada (6) Sistema
x(t, z) = v(r, z)y(t, z)(7) ko'rinishdagi 2n ta formal yechimga ega bo'ladi, bunda y( t,z) funksiya
dy
-ft = A(r, z)y(8)
tenglamadan aniqlanadi, n-o'lchovli v(r,z) vektor va A(r,z) skalyar funksiya darajali qatorga yoyiladi:
co co
v(r, z) = ^ zsvs(r), X(r, z) = ^ zsAs(r) . (9)
s=0 s=0
Isbot. (7), (8) larni (6) sistemaga qo'yib ushbu ayniyatga ega bo'lamiz: A(r, z)(z2v"(r, z) + zA'(r, z)v(r, z) + 2zA(r, z)v'(r, z) + X2(r, z)v(r, z)) + +z C(r, z)(zv'(r, z) + X(r, z)v(r, z)) + B(r, z)v(r, z) = 0(10) bu ayniyatda z parametrning bir xil darajalari oldidagi koeffisientlarni tenglashtirib va (2), (9) qatorlarni etiborga olib cheksiz algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo'lamiz
(B0 + ^H = 0(11) (B0+¿lA0)vs = bs,s = 1,2,3... (12)
bunda
bs(r) = -2X0*sA0v0 + fs,s = 1,2,3,... (13)
s s—1 s-i s-i-j s—1 s-i
fs(r) = Bivs—i - ^^ ^ XiXjAkvs—1—i—j - ^^ ¿0¿iAjvs—i—j -
i=1 i=1 j=0 k=0 i=1 j=0 s k—1s—1—i s—1 s—1—i
-^¿0A0vs—i-^ ^ ¿iCjvk—1—i—j-0-2^ ^ XiAjv'k—1—i—j-
i=1 i=0 j=0 i=0 j=0 s— 2 s— 2
- ^ Civ's—2—i - ^ Aiv'sl—2—i s = 1,2,3,... (14) i=1 i=1 Teoremaning shartiga asosan bu ildizlar oddiy, u holda ularning har biriga
bitta p¿r) xos vektor mos kelib
(B0 - WiA0)(i = 0
munosabatni qanoatlantiradi va noldan farqli bo'lgan ixtiyoriy skalyar ko'paytma aniqligida aniqlanadi. Bu holda B0 matritsaga qo'shilgan A0 vektor mavjud bo'lmaydi. Bu holda
(B0 - WiA0)z = A0pb (i = l/n) (lS) tenglama yechimga ega emas. (11), (12)tenglamalar sistemasini qaraymiz. (11) tenglama noldan farqli yechimga ega bo'ladi faqat va faqat qachonki
¿2 = -Wi, (i = 1/n) bo'lsa, bundan 2n-ta har xil Ä0(r) larni aniqlaymiz:
Яo(r) = ±i^Wi(r), (i = %n)(16)
U holda (11) dan n ta har xil v0(r) vektor funksiyalar aniqlanadi:
v0(r) = Pi(r),(i = ln)(l7) bunda (pi(r), A0(r) matritsaga nisbatan B0(r) matritsaning hos qiymatlari. (16) munosabat orqali aniqlangan Я0(г) funksiyalardan bittasini w2(r) orqali belgilaymiz, hos qiymatga mos keluvchi A0(r) matritsaga nisbatan B0(r) matritsaning hos vektorni pz(r) deb olamiz. Buni etiborga olib (12)tenglamani
( B0-w0A0) = bss = l,2,3,...(l8) ko'rinishda yozamiz.
Isbotlangan 1 teorema (1.5) bir jinsli sistemaning xarakteristik tenglamaning nol ildizlari yo'q bo'lgan va nol ildizlari bo'lgan holler uchun 2n -ta har xil formal yechimlarini tuzish imkoniyatini beradi. Agar bu yechimlar qaralayotgan [0,L] oraliqda chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, u holda bu (5) sistemaning umumiy formal yechimini tuzish imkoniyatini beradi.
Adabiyotlar:
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, -М.: Мир, 1973. -464с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотический метод в теории нелинейных колебаний. - М.: Физматгиз, 1963, 410 с.
3. Фешенко С.Ф, Шкиль Н. И, Николенко Л. Д. Асимптотические методы втеории линейных дифференциальных уравнений. -К: Наук думка, 1966. -252с.
4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотическое разложение сингулярно возмущенных уравнений. -М.: Наука, 1973, 272 с.
