Оператор Fa,b в функциональных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

алгебра и математическим анализ

УДК 517.51

оператор ¥аЪ в фукциональных пространствах

А. В. ГУЛЯЕВ, Е. В. ДУДАКОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

Изучаются свойства оператора ¥а ъ в функциональных пространствах Са, Ьр, 0 <а< 1, р > 2. Установлено, что оператор ¥а Ъ вполне непрерывен и отображает пространство Ьр на пространство Са . Изучены также дифференциальные свойства этого оператора.

теорема 1. Пусть Ф(2) = Ра ъ/(2) , тогда |ф(2 )< М • Ьр (/, у), 2 е Е. Доказательство. Бк = < К Бг = < г^, 0 < г < К .

ра,ъ1 (^ )=^ Ьа+Ъс т/^ сп,

2п 0

УП —тЪ2

где / (п)е Ьр (у), р > 2 , п = К е'ф , а,Ъ > 0, у — граница области Бк . Оценим (*) по модулю: |ф(г)| =

2к 0 0 (Я. е^-хЪ2)

К равенству (1) применим неравенство Гельдера:

,2('(К-* / (К • е'ф) '

|Ф( 2 )|<

Так как т < г , г < К, Уте[а,Ъ], то

/ (К • е'У) р

сС ф

_ 0 \ /

}т(а+Ъ) чСг\-

КсСф

0 К • ещ -тЪ2\

ъАд

1 +1 = 1, 1 < д < 2 .

р д

К • е'Ч—тЪ2 1

> К — тЪ2 > К — г, Vz е т [а, Ъ], 1

К• е'Ф— АГ (К — г)

Из неравенств (2) и (3):

Ф(2)< КЬр М

2п

п к —1/1 К

Пусть г = К--, к > 1, тогда

1 т(а+Ъ)д

д

2п| -

0 (К — г) К

К — г К [1 — К—1 к

к

-С т

д = к.

(2п)д

—1

К

(а + Ъ )

д +1 К — г р

Ьр (у)

(*)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

< К зависит от К .

Из (3), (4), (5) следует, что |ф(г) < Ьр (/)----- = М • Ьр (/). Константа М = -----

11 г (а + Ъ )д +1 г (а + Ъ)д +1

Из теоремы следует, что оператор Раъ е Ьр, р > 2 .

теорема 2. Пусть 21, 22 е Е, (21 Ф 22 ), / (п)е Ьр (/, у), К > 1, тогда |ф(^2 )— Ф(21) <М1 • Ьр (/, у) 2 — 22|а ,

а = 2 — д , 1 < д < 2, 0 < а < 1. д

Радиус г выбирается так, что точки 21 и 22 е Бг .

1

Доказательство.

)-ф(*1 )=22—21 !та+2Ьс т/

I (п)сп

2п

Ь Ь

п-т 21 п-т 22

(6)

Применим к (6) неравенство Гельдера:

2%

2% I (Я. в'Ф) Р

сС ф

_ 0 V /

}/а+2Ь)Чс1 0 0

0С ф

Я . в^-ХЬ22

Пусть 2 е Бг = {?| < г}, где 0 < г < Я , тогда |я • в'* - т > Я - г > Я - г, Ут е [0,1] Аналогично |я • в'* -т Ь22| > Я - г, Ут е [0,1] Из (7)-(9) следует, что

Ф(*2)-Ф(^1 )<^ 1р (I.Г)

(7)

(8) (9)

2п| т

0

! т(а+2Ь^ Я2Ст т (Я - г У (Я - г )

11

|22 - 21| 2п

ьр (/»

(а + 2Ь +1

(2п)д

2q-2

я ^ í1 - г

' я

(10)

Здесь мы учли, что 1 < Я^ < Я , так как по условию 1 < q < 2. к -1

Пусть г = Я-, к > 1,

к

г к -11

тогда 1 - _ -1 - __1 = ±.

Я к к

Пусть 2 - 221 = 2тг, 0 < т < 1, тогда г =

= |21 - 22|

2т

Из (11)-(13) следует

¡21^=я^, я = к

2т

(к -1)2й

•| 21 - 22 =1 ] 21 - 22|

(2д-2)

С учетом последних равенств 21 - 22 • Я

2- q

2(l-q)

= 21 — 22 q • /

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

2(1—д)

— — 2 к Таким образом, |ф(22 )-Ф(21 )< к2 Ьр (/, у)/ q |21 - 22 ^ , а =-д, 0 <а< 1, 1 < q < 2, к > 1, / > ^ .

Замечание. Если / >1 > -

-, то к > 2.

2 (к -1)

В этом случае / q < 1 и [ф^ )-ф(2 )< к 2Ьр {/,у\21 - 22 [ = М • Ьр - 221".

Из последнего неравенства следует, что FaЬ — линейный вполне непрерывный оператор в пространстве

Ь (у ), отражающий это пространство на Са (у ), а = Р—2, р > 2.

Р

Теорема 3. Пусть /(2)е Са, 0 < а < 1, тогда функция ^ (2)= Ь/(2) ограничена в каждой из областей 5+ = {2| < Я} и Д- = {2| > Я}.

1 1 / ( )

Доказательство. Пусть 2е Б+, тогда у (2)=-!та+ЬСт!—п, т Ь2| < Я, Ут е [0,1],

2п' „ \ п — т 2

(16)

Ч

Ч

1

ч

2

к

ч

у (г)= Нт—7та+ъССП .

е^о 2пг

П -т г

Функция Ф(г) = | (т0 Сп при VI е [0,1 -е] непрерывна в Б+ и аналитическая в Б+, следовательно, она

,П-т г

ограничена в Б+.

1-е

Пусть |Ф(г)<М^те[0,1 -е], тогда |у(г)|<//»г | М-та+ъСт-—М— <М . Таким образом, )<М в об-

е^о

+ Ъ +1

ласти Б . Пусть г е Б , тогда у (г)

)= £!та+ЪС^П+ 2ЬГ^тЦ^/П ,

(17)

П-т г

т0 =

Г Я Тъ

VI

Я > |г| , причем |и| - тъг < Я при V! е [0, т0 ].

ПУсть У (г )=У1 (г)+^2 ).

(г)< | ха+ъ ф(Л)

С т< М

а+Ъ+1

( Я пг

(18)

Если те(т0,1], то |и| > 1. Для оценки Р 2 (г| та+ъСЪ-Сп разложим Р2 (г) в ряд в окрестности

П-т г

бесконечно удаленной точки по степеням 1:

Р2 (г )--£ ^ }та+ъс тХ-тъ^)^ п-^-ё *.

■(тъг ) к-1 2

к-12п' 0 у1Г г

(19)

1-

' Я Т

с* Хп*-1 /(п)Сп, Хк--1-

* * а + 2ъ - ък +1

у

Из разложения (19) следует, что Р2 0 или в О-символике Р2 (г)- О (г). С учетом (18) получим, что Р1 (г )< М

а+ъ+1

г Я Г1Т

+ О

г е П~ .

Теорема 4. Пусть / (г)е Са(у),у-{г| - Я^. Тогда функция у(г)-—Ц- |та+ъС т^ -п) Сп, и-тъг (**) при-

2п1 п и

/ \ 0 У

надлежит Са (Е), Е - комплексная плоскость. Доказательство. Введем обозначения:

ф(и)-_I. Г/Сл)Сп, и -тъг 2п/' п-и

(20)

Пусть /(п)е Са(у), то для точек и, и2 е и D имеет место неравенство (см. Мусхелишвили [1],

стр. 71):

|ф(их)-Ф(и2 )< Н (/)|их - и2|а ,0 < а < 1 е [0,1 -е],

|ф(и ) - Ф(и2 ) < Н (/)тъа - г2 |а , Vт е [0,1 -е]

Пусть точки и х2 е у , тогда Щ - тъ < Я, Vте[0,1 -е], е> 0 . С учетом последних неравенств:

(21)

(22)

0

г

Из (**) и (22) следует:

1-е

—(2 )- —(22) — Нпп | Та+Ь+Ьа.н\г1 -22|а Ст = Нш|2 -22|а • Н • -

а+Ь+Ьа+1

Т

- — Н\2Х -22|а ,0<а< 1.

5^0

- I I Ь| I К V . . Ь| I

Пусть 2Х и 22 еБ , тогда |иг| = т |2г|<К,Vтe[0,т0],т0 = -р-т , |иг| =т |2г|>К,Уте[т0,1],т0 =

II 2\)

е^-01 а + Ь + Ьа +1

1 1

ъ

( К Ль

,2

41 I)

—(2 )=_1_ ] та+Ьс1 тГ ^ сп+_Цт*+Ьс тГ ^ сп

2п1 п- и •> п- и

П - и

,1 = 1,2. (23)

Для (г) = — Г та+ЬСт Сп,|и| < К .

0 у 1

Т Т

0 л 0

|—(ц)- —(22 — —г | Та+Ь • Н |и1 - 2|2 с = = Н|г1 - -2|а 0 0а+ЬтаЬсЬс =Н\2Х - -2|а£ —

— Н • 21 - 221

( К V

а+Ь+аЬ+1 Ь

41 I)

— Н|1 - 22 [

(24)

„а+Ь+аЬ+1

где к =

а+аЬ++Ьа+Ьа+Ь1+

41 I)

<1 по условию.

где -(2

а+Ь+аЬ+1

Из последних неравенств следует, что |—(2Х)- — (22) — Н1 2 -22|а, 21,22 е Е, Н1 = 2Н . Аналогично рассматривается случай, когда 21,22 е Б+ .

Из последнего неравенства следует, что оператор Рар отображает пространство Са в себя, где 0 < а < 1. Теорема 5. Пусть / (п)е Са (у), 0 <а< 1, тогда 3 аь—(2 )=(а + Ь +1)—+ Ь£\—,

(2)= —|та+ЬСсп,и = ТЬ2 , 3аЬ— = (а + Ь +1)—+ Ь(2—2 + 2 — 2).

2гсг * •' л - и

0 у 1

д

д

Доказательство. Введем в рассмотрение оператор Бк = к2--+(2 -к)2—,ке К . Для этого оператора:

д2 ^

2—,к е! д2

б-а[2]=Х2, [2 ]= 2 -к, 2| ]=| 2|, Бя

( Л

2 1 |к = 0, Бк / 2 1 |к

2 2 4)

= 0.

Пусть „=Г +(и )'1"1 <К'"

уП-и [/-(и),|и| >К,те[0,1].

Если 2 < К , то \и\< К, VI е [0,1].

< К, VI е[0,т0 ),

Если 2 > К, то |и|<

> КУт е [т0 ,1],т0 = С учетом этих обозначений

( к ль

у (2) = \%а+Ь/+ (хЬ2) ах, 2 е = {|2\ < К}

Х0 1

^ ( 2 )=\1а+Ь/ +(%Ь2) С X + \ 1а+Ь/ - (%Ь2) С Т, 2 6 Б- = {| 2 > К} .

(25)

(26)

ь

2

)

0

1

В интеграле (25) проведем замену переменной полагая, что т = ь ',0 < ' < |г|ь,Ст = ь Ж' . Подействуем оператором Ох на левую и правую части (27):

А

(а+ь+1)Х " ь у (г)

, (о+Ь+1> =ь / ),

Х(а + ь +1)у(г)+ ьОху(г)=Х/ +(2),|г| < К . Если X = 0, то -22 — = 0; или у2 = 0, Vz е О+ .

Из последнего неравенства следует, что функция у (г) аналитическая в области О + .

Если Х = 2, то 2(а + ь + 1)у(г)+2йьу/г (г)= 2/+ (г) или JaЬ,у(z)= /+ (г) = —)Ж< К .

га ^ п г

(27)

(28)

(29)

Пусть г е О = > К }, т = ь • ', тогда

(а+ь+1)Х

Как и в первом случае

(а+ь+1)Х

(г) = |'а+ь ь /

А \

т

VII у

I (а+ь+1)Х

Ж' +| га+ь\г\ ь /

А \ 'ь

г

VII у

± х-1

Ж','1 = Кь ь .

О,

г ь

)

а+ь+1 (а+ь+1) ,-1;

А А А

К

г ь

/+

к2

- / -

V V му

А ЛА , (а+ь+1), ТЛ 2 А, I I-

К^г + — к ь .

к ь11

V I 1уУ

(30)

Точка К т-г при любом фиксированном 2 принадлежит окружности у, так как

ы

кЛ

=к .

По формуле Сохоцкого /+

а \

к2

- / -

а \ к2

= / +(п)_ / (п)= /(п),п е у.

После упрощений равенства (30) получим:

(а + ь + 1)Ху(г )+ьО,у(г ) =

а+ь+1

а к пг

и,

VI 1У

(X-1) / (г )-Х/ -(г ).

При X = 1:

(а + ь + 1)у(г)+ь (ту2 + г)= / (г),

) = / "(г )■ ^^ '^ > К.

У

(31)

(32)

(33)

Формулы (29) и (30) устанавливают операторную связь функции у (г) с интегралом типа Коши

Ja,ьУ(z) = 2"Же О+иО- .

У

При X = 0

а+ь+1

2г у и =-

А К Г ь

/(г).

(34)

Из этого равенства следует, что функция у (г) в области О является обобщенно аналитической. Отметим, что если /(п)е Са (у), то у2 е Са (Ь~) и у2 е Са (Е).

ь

г

г

г

, г

VI 1У

список литературы

1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

УДК 517.55

о подвижных областях аналитичности оператора То

а ,Ь

А. В. ГУЛЯЕВ, Р. А. КАРМЕЕВ Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В работе изучаются свойства оператора Т в некоторых функциональных пространствах. В зависимости от расположения фиксированной точки г0 на комплексной плоскости определены области аналитичности этого оператора. Установлено, что область аналитичности зависит от расположения фиксированной точки г0 и точки г, в связи с

Го

.

а ,Ь

§ 1. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА Т®ь В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Теорема 1.1. Пусть О+ круг радиуса Я с центром в точке (0,0), функция /(г)е С2 (О+ ), тогда имеет место следующее интегральное представление

ß _

f(z)=_ljv+bd.j^^md^-—кч^ " ; — (*)

2m 0 Jr V- и ™ о D Z-u

£ = /Л + iv ; и = TbZ + (l -Tb ) z0 =Tb (z - z0) + z0 , z0 e D+ = {z| < R j-, z0 - фиксированная точка.

z z0 e D+ - ИГ" У -о

т0 w ^ г , ,ч w ч , ч ~ ✓ ч д

^аь/(г ) = (а + Ь +1) / (г )+ ьО/ (г ), О1 =(г — г0)--+ ( — г0)--линейный дифференциальный оператор,

дг ^ ' дг у - граница области О+ , а,Ь > 0.

Доказательство. Заметим, что если г е О+ , то \и\ =

тьг + (1 -ть)г0|<гь|г| + (1 ~ть)|г0\<тЯ + (1 -г)Я = Я ,

VI е [0 ,1]. Таким образом, |и| < Я , если г и г0 е О+ и при любом фиксированном т е [0,1] и точка и е О+. Согласно формуле Помпейю

/ (и, й)=± г Лм2 ± ГГ^Т / ^ ^ (1.1)

2от • 77-и ж! О и

Установим справедливость двух равенств

[та+ь+1/(и, й )Х =( а + ь + 1)га+ь/(и, й ) + га+ь+1 (/\и\ + / <-й\) = = (а + ь + 1)га+ь/(и,и ) + га+ь+1 (/\(г - г)ь^1 + Г- ()ь^1 ) = (а + ь + 1)та+ь/(и, и ) + та+ь (Ги (г - ^) Ыь + Г- () ) =

((а + ь +1)/ + тьь (/\(г - ^) + /и р^))) (1.2)

= 1 а

= za+b Iiа-