Об эквивалентных интегральных операторах для абстрактных параболических уравнений в пространствах Соболева по временной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911 ББК 22.161 П 56

Пономарев С.С.

Студент 6 курса математического факультета Воронежского государственного педагогического университета, Воронеж, e-mail: [email protected]

Об эквивалентных интегральных операторах для абстрактных параболических уравнений в пространствах Соболева по временной переменной

(Рецензирована)

Аннотация

Исследуются свойства оператора суперпозиции в пространствах Соболева. С помощью полученных результатов изучается зависимость решении абстрактных параболических уравнении в бесконечно мерном пространстве от параметра.

Ключевые слова: дифференциальныеуравнения, пространство Соболева, оператор суперпозиции.

Ponomarev S.S.

Six-year student of Mathematical Faculty, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, e-mail:

[email protected]

Equivalent integral operators for abstract parabolic equations in the time variable in Sobolev spaces

Abstract

In this paper, we study properties of the superposition operator in Sobolev spaces. The obtained results are used to investigate the parametric dependence of abstract parabolic equations solutions in the infinite dimensional space.

Keywords: differential equation, Sobolev spaces, superposition operator.

Исследованию оператора суперпозиции в пространствах Lp [О, Т] посвящены классические работы М. А. Красносельского [1, 2]. В этих работах установлены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие действие оператора суперпозиции из пространства Lp[О,Т] в Lq[0,T]. Кроме того, в этих работах изучена дифференцируемость оператора суперпозиции и в частности, установлено, что оператор суперпозиции дифференцируем, только если он является аффинным по второй переменной. В различных задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве такое условие является обременительным. В настоящей работе на примере задач о непрерывной зависимости решений абстрактного параболического уравнения от начальных данных и периодических решений от параметра предпринимается попытка изменить это условие.

1. Необходимые понятия и результаты, используемые в статье

1.1. Теорема о неявной функции

Ключевую роль в исследовании играет следующая теорема о неявной функции.

Теорема 1. Пусть X, Y, Z - нормированные пространства, причем Y - полное пространство; О ={(х, у) Е X X Y \\\х —х0\\ < а \\у — у0|| < /?} - окрестность точки С*огУо) В произведении X х Y пространств .Y, F.

Если отображение Е: О-----» 2 удовлетворяет условиям:

2. Ру определено в О и непрерывно в точке (х0, у0 );

3. Ру (х0, у0 ) - обратимый оператор;

4. определено в О и непрерывно в точке (х0, у0 );

то найдутся окрестность Л7Х = (х0) точки %0 в Л', окрестность Ы2 = А^(Уо) точки у0

в У и отображение *р: N-1^-* Лг2 такие, что:

1. ^ X ]У2 с О ,

2. С/7 (х, у) = 0 е X Л^2 ) «-» (у = ф(х) где х 6 А/1( а ф{х) £ Л/2);

4. дифференцируема в точке х0.

Доказательство теоремы приведено в [3].

1.2. Сильно непрерывная полугруппа операторов

Всюду в дальнейшем предполагается, что неограниченный оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу линейных непрерывных преобразований ем банахова пространства Е, т.е. семейство линейных ограниченных операторов, удовлетворяющих

следующим требованиям:

1. Операторы связаны между собой полугрупповым свойством, т.е.

еА1еМ _

2. При t = 0 выполнено равенство еАг = I.

3. При любом з: £ £и { ^0 I операторы ем сильно сходятся к тождественному преобразованию, т.е. емх — х по норме, заданной в пространстве Е.

Всегда найдутся числа С и (3 такие, что будет выполнено неравенство

\\ем\\<СеР*. (1)

Заметим, что на множестве Б (А) области определения оператора А - операторы ем и А коммутируют при любом значении t £ [ОД].

Доказательства приведены в [1].

1.3. Дифференциальные свойства оператора Коши

Лемма 1. Если функция к £ С1-1-1 ([0; Т], Е), где ([0; Т] , Е) - пространство непрерывно дифференцируемых функций со значениями в банаховом пространстве, и оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу Е, то на сегменте [О, Г] корректно определена функция д, задаваемая равенством

=

и справедливы утверждения:

1. При любом значении аргумента t ё [0, Г] значения функции д принадлежат об-

ласти определения оператора А, т.е. д(ґ) Е О (А)

2. При любом значении аргумента ґ Е [ОД] верно равенство

,At

+ е

ls.

/0 (2)

3. Производная функции д в точке г Е [ОД] может быть представлена в виде

Доказательство этой леммы приведено в [4].

Сформулируем обобщение приведенной выше леммы для функций

2. Свойства нелинейного оператора Коши

2.1. Обобщение леммы 1

Лемма 2. Пусть к Е И^,1 ([0; Г], Е), тогда на сегменте [0, Т] корректно определена функция д, задаваемая равенством

где оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу линейных непрерывных преобразований ем банахова пространства Е. И, кроме того, тогда справедливы утверждения:

1. При любом значении аргумента t Е [ОД] значения функции g принадлежат области определения оператора Л, т.е. g (t) Е D{À).

2. При любом значении аргумента t Е [ОД] верно равенство

-t

= eAt)

+ І е

>0

Ait-s

ls.

(4)

9'

3. Производная функции д на сегменте [ОД] может быть представлена в виде Для доказательства достаточно перейти к последовательности функций

і г-

Lnîn=0 '~

] Д ], £■), аппроксимирующих функции h Е Иу

применив к

ним лемму 1, и перейти затем к пределу производных функций в пространстве

2.2. Дифференцирование нелинейного оператора Коши

При изложении дальнейших результатов используется дифференцируемость оператора Коши, заданного формулой

= Г

о

A(t-s

где функция /: [0, Т] х Е -» Е принадлежит классу С{2\ Если функция /г принадлежит пространству №^[0, Г], то и ее образ ](А) также принадлежит И/,1 [О, Г], Для этого дос-

1 принадлежит ¿р([0,Т],Е). В силу приведенной выше

таточно показать, что

й

леммы, справедливо равенство

+

ь

I еА^~5}кі

Очевидно, что функция, имеющая такое представление, принадлежит

Теорема 2. Оператор / дифференцируем в пространстве Н^ЧО,Т].

В следующем равенстве

[х +

е —(я, х( дх у

обозначим последнее слагаемое символом

9^" '

Г еА{Х

Ц.

ІН II 1.1/1

Чтобы доказать, что норма

\\к\\р = с(р)7||/г(0)||р + с

ИЙ" 11 ИЙ

С при

С, вводится эквивалентная

І сі г 1

№.

Используя неравенство Гельдера и непрерывность старших производных функции /, можно получить оценку

:р < 8с

+

I с IIі Нір +

+

где 3 > 0 может быть сделано сколь угодно малым. Из этой оценки и неравенства

ЛИИ#

'Ир1

<

т2ПЗп I

т.

следует, что N5*11^1

ИЙ" 11 Ий

3. Зависимость решения параболического уравнения

от начального значения

Перейдем теперь к рассмотрению задачи Коши

А /( )

(5)

х(0) = ж0, (6)

где оператор А, как и ранее, порождает сильно непрерывную полугруппу линейных не-

прерывных преобразований eAt банахова пространства Е Пусть функция /: "С. обладает следующими свойствами:

1. Для каждого множества вида [О, Т] х В (х, г), где В (х, г) - шар банахова пространства Е радиуса г с центром х, найдется соответствующая константа С такая, что

э2/ э2/ ” _

2. Функции и тттт; непрерывны на множестве [О, Т] х Е.

Решением дифференциального уравнения (5) на отрезке [О, Т] назовем функцию .С. Г — Е, удовлетворяющую следующим требованиям:

1. Функции А<р и ф непрерывны на отрезке [О, Т].

2. Функция (р обращает равенство (5) в тождество, т.е. ф (t) = Aq>(t) + f(t, <р (t)) при t Е [О, Т].

Будем говорить, что решение удовлетворяет начальному условию (6), если верно равенство <р(0) = х0. Докажем, что решения дифференциального уравнения (5) дифференцируемо зависят от начальных значений. Ввиду того, что оператор А определен не на всем пространстве Е, и, следовательно, не для всякого начального значения х0 Е Е может быть предъявлено решение, построим полное нормированное пространство Еа = D(A) с нормой, определенной равенством = |i?||E + ||^v||£.

%

-t

Отображение F:EAX WJ- [0,'

_C. ■■ _ определим следующей формулой:

i0lXj

[s, x(.

IS.

Докажем, что Г удовлетворяет требованиям теоремы о неявной функции. Предположим, что функция х Е 1¥р [О, Т] является решением дифференциального уравнения (5) и удовлетворяет (6) при х0 Е ЕА . Тогда, очевидно, Р(х0, х) = 0. Покажем, что отображение Е непрерывно дифференцируемо по первому аргументу, который входит в него линейно и принимает значения из Ел. Так как

= ~еМАх0,

іх0(ґ) = —емАх0. Следовательно, || ^'.^(хо, х)|| < Се^т. Последняя оценка верна при любом х0 Е ЕА. В силу свойств оператора ], приведенных в начале статьи, следует существование отображения Р;2)(х0,х); которое может быть представлено

то

формулой

F(2) froi*]

Ait~sfa(s’x(

(7)

Очевидно, что отображение непрерывно на множестве Ел X И^1. Покажем, (2) 0е 0| х) является изоморфизмом. Отображение Е(2) (х0.. ж) непрерывно В [О, Г].

Покажем, что оно биективно и что обратное к нему (^(2)(х0,х)) непрерывно. Зададимся произвольным элементом у Е и^([0; Т],Еа)

и покажем, что найдется единст-

венный элемент h Е Wp(

] , ЕА\ такой, что У - F,

{2 )■

: Для этого достаточно

показать, что уравнение

П0 + f

(8)

эквивалентное (7), имеет единственное решение в пространстве \¥р [О, Т]. Доказательство проводится методом итераций. Последовательность элементов {/гп}, аппроксимирующих решение уравнения (8), строится следующим образом:

,A(t-s) _L

дх

(s,:

і ds.

(9)

Используя неравенство Гельдера и рекуррентное соотношение (9), легко получить оценку

£П + 1^П+3

l^n+i — hn IItv < С\\кг — h0

которая гарантирует сходимость функционального ряда 2“=о(^л+1 “ Кг) в пространстве Ир.Ч[О, Т],Е). Следовательно, существует ИтГ[^,0 /гп = /г. Переходя к пределу в (9), получим равенство

y(t) + I еА^ — (s, x(s)) h(s)ds.

Последовательность {0П}“=1 построим следующим образом:

Фг(. ') У( ) + С С ), )0( )

Аналогично построим последовательность функций лежащих в про-

странстве 1/Гр1([0; Т], ЕА), такую, что <рп = <р при любом значении п. Итак

1 У’П+З

О <

<

<p\\w*

1)!

Переходя к пределу по п, получим оценку 0 < \\<р - ф11 <0. Из нее следует равенство <р = ф. Следовательно, уравнение (7), при любом значении у, имеет единственное решение в и£4[0,TIE). Последнее завершает доказательство биективности отображения (х0, х): Wp ([0; Т], Ел) -» Wp ([0; Т], ЕЛ).

Из теоремы Банаха о гомеоморфизме следует, что F^2y(x0,x) непрерывно обратимо, а следовательно является изоморфизмом. Таким образом, отображение F удовлетворяет всем требованиям теоремы о неявной функции, следовательно, решения дифференциального уравнения (5), дифференцируемо зависят от начальных значений, принадлежащих области определения оператора А.

4. Зависимость решения параболического уравнения от параметра

Теперь изучим зависимость решений дифференциального уравнения

A fi )

от параметра ц, принадлежащего некоторому банахову пространству М. Предполагается, что отображение /:[0, +ао) х Е х М -» Е является функцией, периодической по первому аргументу, с периодом Т , т.е. fit -f Т, х, /л) = fit, х, ¡л). Функцию "С. — ; — Г будем называть Г-периодическим решением дифференциального урав-

нения (10) при фиксированном значении параметра /¿, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1. Функции А<р и <р непрерывны на полуинтервале [0, +со).

2. При любом t е [0, оо) верно равенство ф (t) = A<p(t) + f(t,<p(t), pi).

3. При t E [0, +oo) выполнено равенство <p(t + T) = <p(t).

Потребуем, чтобы функция /: [0, +оо) х E X М -» Е удовлетворяла следующим требованиям:

1. Для каждого множества вида [О, T] х B(x.,r) X В(Д,р), где В(х,г) и В(¡¡.,р) -шары банаховых пространств Е и М соответственно, найдется соответствующая константа С такая, что ||/(t, x,fï)\\ < С при (t, х, ¿0 Е [О, Г] х В(х,г) х Б(Д/э).

э2/ а2/

2. Частные производные второго порядка и т—- непрерывны на множестве

;с. - - ; х г.

3. Функция / непрерывно дифференцируема по параметру Я

Пусть ¡i0 - фиксированное значение параметра и В (Д0, р), содержащий его шар, а Е ’. ■* : _С. Г_ .£ !, соответствующее параметру, решение дифференциального уравнения (10). Выберем шар В(х,г) так, чтобы x(t) Е £>(х, г) при любом t Е [0, +оо). Пусть на множестве [О, Т] х B(x,r) X р) верно неравенство ||/72)(t, x,/.i)|| < L Важным

х0' ]

для дальнейшего является предположение, что полугруппа е т. е. справедлива оценка

At

является сжимающей, (11)

и что у > Ь. Заметим, что если функция <р является решением дифференциального уравнения (5) на отрезке [0, Г] и <р(0) = <р(Т), то она может быть непрерывно продолжена на всю положительную полуось. В самом деле, если £ > Г, то найдутся натураль-

ное число п и вещественное число t Е жить по определению

Так как производная слева

такие, что s = пТ + t. Тогда можно поло-

+ t) =

и производная справа

совпадают, то производная функции <р также непрерывно продолжима на всю положительную полуось. Покажем, что для изучения зависимости периодических решений от параметра можно использовать оператор, действующий в пространстве функций Соболева ^([О, Т],Е), который задается формулой

= ем{1 - еАТ) 1

еА(Т s)fíSrX\

is +

е A(t

is.

Заметим, что существование и непрерывность оператора (/ — елг)_1 гарантируются условием (11). Оператор Ф t переводит каждую функцию из Wp[0,T] в функцию, значения которой принадлежат области определения оператора А. Для доказательства этого факта используется лемма 2 и коммутативность операторов А и (7 — ел:г)_1 на области определения D(A) оператора А. При любом х Е Wp[0,T] значения функции

‘V Е и£[

на концах отрезка [О, Т] совпадают: ДО) = )(Т). Кроме того,

совпадают значения односторонних производных на концах:

Следовательно, любая функция Фх может быть продолжена на всю положительную полуось способом, который был описан для решений уравнения (5).

Чтобы исследовать зависимость Т-периодических решений, заданных на полуоси, от параметра, мы будем использовать отображение

F: Wp(

заданное равенством

- ем{1 - еАТ) 1

L-Sj х I

is —

[S,

is.

В силу теоремы 2 заданное таким образом отображение дифференцируемо по первому аргументу д, принимающему значения в №^([0, Т\,Е). Докажем, что отображение Р(2) (х> /-0 = / - Ф'ц СО является изоморфизмом пространства Ир1 ([0, Т], Е). Для удобства введем обозначения й = (/ - еу47’)-1 и Ф^(х) = V, т.е.

V(h)(t) =eAtR І еАs-* — (s,:

dx

(s>

и не будем обозначать зависимость функции ^ от параметра ¡і. Оператор V сжимающ в пространстве С([0, Г], Е). В самом деле,

тах

ÍE[0T]

- ¿>ATу 1

< max LІ

te [от] \

дх

,~П

(v

ís +

І

|í(s.

,-yt

,-yt

,-ут

У

У

L

У

і с>

и у > L. Следовательно, оператор І -V непрерывно обратим в пространстве

С([0, Т],Е) Покажем, что если функция /г принадлежит №^([0, Т]. Е), то и функция и/ = (7 - V-)-1/г принадлежит К последнему равенству применим опера-

тор / - V и докажем, что V (и/) = VI/ - ¡г принадлежит 1УрЧ[0, Г], Е ). Введя обозначение г = - ¡г, представим функцию г в следующем виде:

= ем

Я I еА—(я, *(5)) (г +/г) (У) ¿5

(я,

(г) + У(Л)(г)

ОХ

Vі

+ гпО)

к—1

Покажем, что ряд Кь(Ь)(0 сходится к функции г по равномерной норме пространства С ([О, Т],Е). Для произвольного натурального п будем иметь:

< а

у)

РЯД И”=і Vті1'(7і)(ґ) сходится к функции г, так как

Vі

к=1

и

п

С *=1

п к= 1

<

й-=1

Ф)’

1С 1-і У

' о”

Значит £“=1 Ук (Ю = 2 = — к принадлежит С ([О, Т\,Е). Заметим, что каждый

член является непрерывно дифференцируемой функцией. Поэтому исследуем

Хсо

, . , , . *=1 лі-

СІ СІҐ

м ■- в пространстве

[У(Л)КО = емЯ [ еА(-т~^ (Л"

+ 1 еА{* Л)(/(21)(®*ЗС

’О, Г], £■). Справедливо равенство:

]

г, її

і£ )а£

о

[Ґ, х(

Запишем общий вид производных членов ряда

' d

— V

dt .

-/¡äfc

Или, используя рекуррентное соотношение, получаем

п

У (yk-ivvn~k( h) + у fe_1/(2) (-,*(•

гп-к і

к=1

Из следующей оценки d

гіг+іі

dt.

n=l

п=1

СО

<

n=1

Vі

L

У

k-lyyn-k

+

'к-

7(2) (-,х0

k=l

n-1

+

)V'

ГП-ІС

<

вытекает равномерная сходимость ряда производных, а значит он сходится и по норме пространства ¿р([0,Г],£). Таким образом установлено, что функция г принадлежит

И^рЧіД Т],Е}. Так как и? представима в виде № = г + /г - суммы двух функций из И#([0,Н Ю, то она принадлежит ТУр1 ([О, Г], Е). Мы доказали, что ограниченный оператор / -Фц (х), заданный на всем пространстве 1/Гр1([0 ,Т], Е\ биективен. Из теоремы Банаха о гомеоморфизме следует существование непрерывного оператора

('-ф; 4-1

Примечания:

1. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. М.: Наука, 1966. 500 с.

2. Красносельский МЛ. Непрерывность оператора Еи(х) = /[х,и(х)] // ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 2. С. 138-156.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2006. 572 с.

4. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений. Ярославль: Яросл. гос. ун-т., 2003. 108 с.

References:

1. Integral operators in spaces of summable functions / M.A. Krasnoselskiy, P.P. Zabreyko, E.I. Pustylnik, P.E. Sobolevskiy. M.: Nauka, 1966. 500 pp.

2. Krasnoselskiy M.A. Continuity of the operator Fu(x) = f [x,u(x)] // DAN of the USSR. 1951. Vol. 77, No. 2. P. 138-156.

3. Kolmogorov A.N. Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. M.: Fizmatlit, 2006. 572 pp.

4. Kolesov A.Yu., Kulikov A.N. Invariant tori of the nonlinear evolutionary equations. Yaroslavl: Yarosl. State University, 2003. 108 pp.