CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 44-58
УДК 519.17
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (95,40,12, 20)1
А. А. Махнев, Н. В. Чуксина
Выяснено строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов простых порядков сильно регулярного графа с параметрами (95, 40, 12, 20). Как следствие, доказано, что точечный граф частичной геометрии р02(4, 9) не является вершинно симметричным.
Ключевые слова: сильно регулярный граф, автоморфизм графа, частичная геометрия.
Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь — вершины графа Г, то через й(а, Ь) обозначается расстояние между а и 6, а через Г (а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии г от вершины а. Подграф Г(а) = Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а], если граф Г фиксирован. Через а^ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а. Пусть & — семейство графов. Граф Г называется локально &-графом, если [а] £ & для любой вершины а £ Г.
Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г. Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (у, к, А), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к и каждое ребро Г лежит в А треугольниках. Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (у, к, А, если Г реберно регулярен и подграф [а] П [Ь] содержит ^ вершин в случае й(а, Ь) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [а] П [Ь] обозначим через А (а, Ь) (через ц,(а,Ь)), если й(а,Ь) = 1 (если й(а,Ь) = 2), а соответствующий подграф назовем А-подграфом.
Через КТОь...)ТОп обозначим полный п-дольный граф с долями порядков т1,... , тп. Если т1 = ... = тп = т, то соответствующий граф обозначается через Кпхт. Если т ^ 2, то граф К1,т называется т-лапой. Для подграфа А через |Д| обозначим число его вершин, а через Х»(А) обозначим множество вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А.
Частичной геометрией рОа(в,Ь) называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит в + 1 точку, каждая точка лежит на Ь +1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой Ь, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих Ь. Если а = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником
© 2009 Махнев А. А., Чуксина Н. В.
1 Работа выполнена при финансовой п проект № 08-01-00009, и РФФИ-БРФФИ, проект № 08-01-90006).
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
и обозначается GQ(s,t). Если a = t, то геометрия называется сетью. Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на одной прямой. Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(s,t) сильно регулярен с параметрами v = (s + 1)(1 + st/a), k = s(t + 1), A = (s — 1) + (a — 1)t, ц = a(t + 1). Любой сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых a, s, t называется псевдогеометрическим графом для pGa(s, t).
В [1] доказано, что связный вполне регулярный граф, окрестности вершин которого являются псевдогеометрическими графами для pG2(4, t), либо является графом Тэйло-ра, либо сильно регулярен с параметрами (210, 95, 40,45) (и окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (95,40,12, 20)). В данной работе найдены возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (95,40,12, 20) и определены подграфы их неподвижных точек. Для автоморфизма g через a^(g) обозначим число пар вершин (u, ug) таких, что d(u, ug) = i.
Теорема. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (95,40,12, 20), g — элемент простого порядка p из Aut (Г) и П = Fix (g). Тогда верно одно из утверждений:
(1) П — пустой граф, p = 5, ai(g) =50 и Г имеет кликовую (д)-орбиту или p = 19, ai (g) = 38;
(2) П является n-кликой, p = 3 и либо n = 2 и ai (g) сравнимо с 6 по модулю 12, либо n = 5 и ai (g) делится на 12;
(3) П является m-кокликой и либо
(i) p = 5, m = 15, a1 (g) = a1 (g2) = 20 или m = 10, a1 (g) G {10, 70}, либо
(ii) p = 2, m нечетно, m ^ 17 и a1 (g) — 2m — 2 делится на 12;
(4) П содержит 2-лапу и либо
(i) p = 3, a1(g) = 0 и |П| G {11,17, 23, 29}, либо
(ii) p = 2, П не является кокликой, |Г — П| = 2t, 27 ^ t ^ 43 или t = 24, и каждая вершина из П смежна с вершиной из Г — П.
С помощью этой теоремы получаем
Следствие. Пусть Г — точечный граф частичной геометрии pG2(4, 9). Тогда Г не является вершинно симметричным.
§ 1. Предварительные результаты
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (v, k, A, ц) и неглавными собственными значениями r, s, s < 0. Если А — индуцированный регулярный подграф из Г степени d на w вершинах, то
w(k — d)
s ^ d----1 ^ r,
v—w
причем одно из равенств достигается тогда и только тогда, когда каждая вершина из Г — А смежна точно с w(k — d)/(v — w) вершинами из А.
< Это утверждение хорошо известно (см., например, §2 из [2]). >
Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (95, 40,12, 20) и неглавными собственными значениями 2, —10. Если А — индуцированный регулярный подграф из Г степени d на w вершинах, то
, w(40 — d) —10 ^ d----- < 2.
95 w
Поэтому число вершин в коклике (клике) не больше 19 (не больше 5). Если С является 19-кокликой из Г, то любая вершина из Г — С смежна точно с 10 вершинами из С.
Лемма 1.2. Пусть Г — сильно регулярный граф, имеющий параметры (V, к, А, ц). Тогда либо к = 2ц, А = ц — 1 (так называемый половинный случай), либо неглавные собственные значения п — т, —т графа Г — целые числа, где п2 = (А — ц)2 + 4(к — ц), п — А + ц = 2т и кратность п — т равна к(т-1)(к+т). Далее, если т — целое число, большее 1, то т — 1 делит к — А — 1 и
к — А — 1 к — А — 1
ц = А + 2 + (т — 1)--, п = т — 1+--.
т 1 т 1
< Это лемма 3.1 из [3]. >
Доказательство теоремы опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [4]. При этом графу Г отвечает симметричная схема отношений (X, {Ео,..., Е2}), где X — множество вершин графа, Ео — отношение равенства на X, Е1 — отношение смежности в Г, Е2 — отношение смежности в дополнительном графе Г. Если Р и Q — первая и вторая матрицы собственных значений схемы, то
1 1 1 Р = | к г в
V — к — 1 —г — 1 —в — 1
PQ = QP = VI. Здесь V — число вершин; к, г, в — собственные значения графа Г кратностей 1, /, V — / — 1 соответственно (указанные кратности образуют первый столбец матрицы Q).
Подстановочное представление группы О = Аи (Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы О в ОЬ(V, С). Пространство С является ортогональной прямой суммой собственных ф(О)-инвариантных подпространств Wо ф ф W2 матрицы смежности графа Г. Пусть Хг — характер представления . Тогда для любого д £ О получим
2
Хг(д) = ^^ аз ^ з=о
где а^ (д) — число точек х из X таких, что (х, х9) £ Е-/. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и если правая часть равенства для Хг(д) — число рациональное, то Хг(д) — целое число.
Лемма 1.3. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (95,40, 12, 20), О = Аи1 (Г), д £ О и Х1 — характер, полученный при проектировании ф(О) на подпространство размерности 75. Тогда Х1(д) = (10ао(д) + а1(д) — 50)/12.
< Рассмотрим сильно регулярный граф Г с параметрами (95,40,12, 20). Тогда Г имеет неглавные собственные значения п — т = 2, —т = —10 кратностей 75, 19 и
1 1 1 1 1 1 Р = | 40 2 —10 I , Q = | 75 15/4 —25/6 54 — 3 9 / \ 19 —19/4 19/6
и значение характера, полученного при проектировании на подпространство размерности 75, равно xi (g) = (15ao(g) + 3/4ai (g) — 5/6a2(g))/19. Подставляя в эту формулу значение a2(g) = v — a0(g) — ai (g), получим x1(g) = (10a0(g) + ai (g) — 50)/12. В частности, 2 делит ai(g). >
Лемма 1.4. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (v,k,A, А — индуцированный подграф с N вершинами, M ребрами и степенями вершин di,..., dN. Тогда
(v — N) — (kN — 2M) + ^AM + — m) — g (*)) = xo + g f — ^
где ж» = Xi(A).
< Подсчитав число вершин в Г — А, число ребер между А и Г — А и число троек вида (a, {b, c}), где а £ Г — A, b, c £ А П [а], получим равенства:
v — N = ^ ж j, kN — 2M = ^ ixi,
AM + , (С) — M) — g (?) = E(2)ж,-
Вычитая второе равенство из суммы первого и третьего, получим требуемое. >
§2. Автоморфизмы графа с параметрами (95,40,12, 20)
В этом параграфе Г — сильно регулярный граф с параметрами (95,40,12, 20), g — автоморфизм простого порядка p графа Г и П = Fix (g).
Лемма 2.1. Если П — пустой граф, то выполняется одно из утверждений:
(1) p = 5, ai(g) =50 и Г имеет 5-кликовую {g)-орбиту;
(2) p = 19, ai (g) = 38.
< Так как 95 = 5 ■ 19, то p € {5,19}.
Пусть p = 5. Тогда ai (g) = 5w и 12 делит 5w—50, откуда w = 10 и ai (g) = 50 = ai (g2). Пусть t — число 5-кликовых ^)-орбит. Тогда 2(50 — 5t) + 5t ^ 95, откуда t ^ 1. В частности, Г имеет 5-кликовую ^)-орбиту.
Пусть p = 19. Тогда ai (g) = 19w. Из целочисленности Xi(g) следует, что 12 делит 19w — 50, откуда w = 2 и ai(g) = 38. >
В леммах 2.2-2.10 предполагается, что g — автоморфизм простого порядка p графа Г и П = Fix (g) содержит вершину а. Положим Xj = Xj(n) и Xj = |Xj|.
Лемма 2.2. Пусть П является n-кликой. Тогда p = 3 и либо n = 2, Xo = 27, Xi = 54, X2 = 12 и ai (g) сравнимо с 6 по модулю 12, либо n = 5, X2 = 90 и ai (g) делится на 12.
< Подсчитав число ребер между П и Г —П, а также число треугольников с основанием в П и вершиной в Г — П, получим равенства ^Xj = 95 — n, ^iXj = n(41 — n), ^ Q)Xj = (2) (14 — n).
Ввиду границы Хофмана для клик имеем n ^ 5.
Пусть n = 1. Тогда p делит 40 и 54, поэтому p = 2. Пусть u € [а]. Тогда подграф [u] П [ug] является g-допустимым, содержит четное число вершин и единственную неподвижную точку, противоречие.
Пусть п = 2. Тогда р делит 12 и 27, поэтому р = 3. Из целочисленности Х1^) следует, что «1(5) сравнимо с 6 по модулю 12. Далее, ж» = 0 для г > 2 и вышеуказанная система имеет единственное решение жо = 27, Ж1 = 54, Ж2 = 12.
Пусть п = 3. Тогда р делит 11 и 27. Противоречие.
Пусть п = 4. Тогда р делит 10 и 27. Противоречие.
Пусть п = 5. Тогда р делит 9 и 27, поэтому р = 3. Из целочисленности Х1^) следует, что 12 делит «1(5). Так как для О достигается равенство в границе Хофмана для клик, то каждая вершина из Г — О смежна с 2 вершинами из О, т. е. Ж2 = 90. >
Лемма 2.3. Пусть О является т-кокликой (т ^ 2). Тогда ^ ж» = 95 — т, ^ гж» = 40т, ^ (2)ж» = 20 (') и верно одно из утверждений:
(1) р = 5 и либо т = 15 и а1(^) = а1(^2) = 20, либо т = 10 и а1(^) € {10, 70};
(2) р = 2, т нечетно, 5 ^ т ^ 17, а (5) — 2т — 2 делится на 12, в случае т = 3 имеем ж0 = 32 и ж2 = 60, а в случае т = 5 имеем ж0 = 15, ж2 = 50 и ж4 = 25.
< Уравнения для ж» получим, как и в лемме 2.2. >
Для различных вершин а, Ъ € О элемент д действует полурегулярно на [а] П [Ъ], [а] — Ъ^ и на Г2(а) П Г2(Ъ) — О, поэтому р делит 20 и 33 — (т — 2). Отсюда либо р = 5 и т делится на 5, либо р =2 и т нечетно. Из целочисленности Х1(д) следует, что «1(5) — 2т — 2 делится на 12.
Ввиду границы Хофмана для коклик имеем т ^ 19 ив случае т =19 любая вершина из Г — О смежна точно с 10 вершинами из О.
Пусть р = 5. Если т = 15, то «1(5) € {20, 80}. Но в случае «1(5) = 80 получим а1(д) + од^2) ^ 100 и Г имеет 5-кликовую ^-орбиту и. Противоречие с тем, что а смежна с 0 или 5 вершинами из и. Значит, «1(5) = о^^2) = 20.
Если т = 10, то «1(5) € {10, 70}.
Если т = 5, то «1(5) = 60. Отсюда «1 (5) + «1 (52) = 120 и снова Г имеет 5-кликовую (5)-орбиту и, противоречие.
Пусть р =2. Если т = 19, то «1(5) — 4 делится на 12 и каждая вершина из Г — О смежна с 10 вершинами из О. Допустим, что вершины и, ид смежны. Тогда [и] П [ид] содержит 10 вершин из О и еще 2 вершины ад, адд. Пусть а, Ъ — различные вершины из О — [и]. Если вершины а, ад несмежны, то [а] П [Ъ] содержит не менее 22 вершин из [и] и [ид], противоречие. Значит, [ад] содержит О — [и] и 1 вершину из [и] П О, и [а] П [Ъ] содержит ад, адд и по 9 вершин из [и] — [ид], [ид] — [и]. Теперь для вершин с, е € О — ([и] и {а, Ъ}) подграф [с] П [е] содержит по 18 вершин из ([и] — ([ид] и [а])) и ([и] — ([ид] и [Ъ]) и из ([ид] — ([и] и [а])) и ([ид] — ([и] и [Ъ]), противоречие. Значит, «1(5) = 0, противоречие с тем, что «1(5) — 4 делится на 12.
Пусть т = 3. Тогда ж0 = 32 и ж2 = 60.
Пусть т = 5. Тогда ж0 + ж2 + ж4 = 90, 2ж2 + 4ж4 = 200, ж2 + 6ж4 = 200. Поэтому ж0 = 15, ж2 = 50, ж4 = 25. >
Лемма 2.4. О не является объединением т (т ^ 2) изолированных клик порядков п1,..., пт и п1 ^ 2.
< Если а, с — несмежные вершины из О, то 5 действует полурегулярно на [а] П [с] и р делит 20.
Пусть п1 ^ 2 и а, Ъ — смежные вершины из п1-клики, лежащей в О. Так как 5 действует полурегулярно на [а] — Ъ^ и на [а] П [Ъ] — О, то р делит 27 и 12 — (п1 — 2), поэтому р = 3, противоречие. >
Лемма 2.5. Выполняются следующие утверждения:
(1) если Г содержит полный двудольный подграф Кт,п, то тп ^ 100;
(2) если ж £ П, и £ Г — П — [ж] и [ж] П [и] содержится в П, то р = 2;
(3) П не является сильно регулярным графом с параметрами («', к', 12, 20) и р ^ 19;
(4) П не является сильно регулярным графом с параметрами (V', к', 12, 20 — р) или (V', к', 12 — р, 20).
< Если Г содержит полный двудольный подграф А = то наименьшее собствен-
ное значение графа А равно — у/тп и не меньше —10, поэтому тп ^ 100. Утверждение (1) доказано.
Пусть х £ П и и £ Г — (П и [ж]). Если [х] П [и] С П, то |П П [и]| ^ 20 и подграф и^
является кокликой. Отсюда |П П [и]| = |П П [и®]| =20 и [и] П П = [и®] П П. Заметим,
что |Г2 (и) П Г2(и®)| =33 и степень ж в графе Г2(и) П ^(и®) равна 20. Если р ^ 3, то
2 2
Г2 (и) П Г2(и®) содержит вершину и® и степень и® в графе Г2 (и) П ^(и®) равна 20. Противоречие с тем, что [ж] П [и® ] = [и] П [и®]. Значит, р = 2. Утверждение (2) доказано.
Пусть П — сильно регулярный граф с параметрами («', к', 12, 20). Тогда п2 = (А — ^)2 + 4(к' — = 4к' — 16 и 20 делит к'(к' — 13). Поэтому к' = 29 и п = 10. Но в этом случае 20 не делит к'(к' — 13). Противоречие.
Допустим, что р ^ 23. Тогда Ап = 12, ^п =20 и П — сильно регулярный граф с параметрами («', к', 12, 20). Утверждение (3) доказано.
Пусть П — сильно регулярный граф с параметрами («', к', 12, 20 — р). Тогда п2 = (А — ^)2 + 4(к' — = 4к' + р2 — 12р — 16 и 20 — р делит к'(к' — 13).
Допустим, что П — полный многодольный граф Кахь. Тогда (а — 1)6 = 20 — р и (а — 2)6 = 12, поэтому 6 = 8 — р делит 12, откуда р = 2 и П = К4Х6, либо р = 5 и П = Кбхз.
В случае р =19 имеем п = 15, к' = 27 и П имеет собственное значение —2, противоречие.
В случае р =17 имеем п2 = 4к' + 69 и 14 ^ (п2 — 69)/4 ^ 39, п нечетно. Тогда п £ {13,15}. При п = 13 имеем к' = 25 и П имеет собственное значение —2, противоречие. При п = 15 имеем к' = 39 и П имеет собственные значения 12, —3, причем кратность собственного значения 12 равна 2 ■ 39 ■ 42/(15 ■ 3), противоречие.
В случае р =13 имеем п2 = 4к' — 3 и 14 ^ (п2 + 3)/4 ^ 39, п нечетно. Тогда п £ {9,11}. При п = 9 имеем к' = 21 и П имеет собственное значение —2, противоречие. При п = 11 имеем к' = 31, противоречие с тем, что 7 не делит к'(к' — 13).
В случае р =11 имеем п2 = 4к' — 27. Тогда п £ {7, 9,11}. Так как 9 делит к'(к' — 13), то п = 9, к' = 27 и П имеет собственные значения 6, —3, причем кратность собственного значения 6 равна 20. Итак, П имеет параметры (70, 27,12, 9). Противоречие с тем, что р = 11 не делит 40 — 27.
В случае р = 7 имеем п2 = 4к' — 51; тогда п £ {3, 5, 7, 9}, поэтому к' £ {15,19, 25, 33}. Противоречие с тем, что 13 не делит к'(к' — 13).
В случае р = 5 имеем п2 = 4к' — 51; тогда п £ {3, 5, 7, 9}, поэтому к' £ {15,19, 25, 33}. При п = 3, к' = 15 имеем к' = ^ и П — полный многодольный граф КбХз. Но по лемме 1.1, примененной к подграфу П степени I = 15 на т = 18 вершинах, имеем противоречие с тем, что
, т(40 — I) —10 ^ I----- ^ 2.
95 — т
При п = 5, к' = 19 противоречие с тем, что 15 не делит к '(к' — 13). В случаях п = 7, к' = 25 и п = 7, к' = 25 противоречие с тем, что не выполнены условия целочисленности.
В случае р = 3 имеем п2 = 4к' — 43. Тогда п £ {5, 7, 9}. Так как 17 делит к'(к' — 13), то п = 5, к' = 17 = противоречие.
В случае р = 2 имеем п2 = 4к' — 36; тогда п/2 £ {3,4, 5}, поэтому к' £ {18, 25, 34}. Так как 18 делит к'(к' — 13), то п = 6, к' = 18, причем к' = ^ и П — полный многодольный граф ^4x6. По лемме 1.1, примененной к подграфу П степени й = 18 на т = 24 вершинах, имеем
, т(40 — й) —10 < й----- < 2.
95 — т
Противоречие с тем, что 24 ■ 22/71 > 36.
Пусть П — сильно регулярный граф с параметрами (V', к', 12 — р, 20). Тогда п2 = (А — ^)2 + 4(к' — = 4к' + р2 + 16р — 16 и 20 делит к'(к' — 13 + р).
Допустим сначала, что П — полный многодольный граф Кахь. Тогда (а — 1)6 = 20 и (а — 2)6 = 12 — р, поэтому 6 = р +8 делит 20, откуда р = 2 и П = Кзхю. По лемме 1.1, примененной к подграфу П степени й = 20 на т = 30 вершинах, имеем
, т(40 — й) —10 < й----- < 2.
95 — т
Противоречие с тем, что 30 ■ 20/65 > 18.
В случае р =11 имеем п2 = 4к' + 281 и 21 ^ (п2 — 281)/4 ^ 39, причем п нечетно. Противоречие.
В случае р = 7 имеем п2 = 4к' + 145, поэтому п = 17, к' = 36, но нарушается условие целочисленности. В случае р =5 имеем п2 = 4к' + 89, поэтому п = 15, к' = 34 и 20 не делит к'(к' — 13 + р). В случае р = 3 имеем п2 = 4к' + 41, поэтому п = 13, к' = 32 и 20 не делит к'(к' — 13 + р).
В случае р = 2 имеем п2 = 4к' + 20, 25 < п2/4 ^ 44, п/2 = 6, к' = 31, противоречие с тем, что нарушается условие целочисленности.
Итак, П не является сильно регулярным графом с параметрами (V', к', 12 — р, 20). >
Пусть и £ Г — П. Отметим следующее свойство:
(*) если и смежна с ид, то |Г — (и^ и (ид=27 и |П| не больше 39; если же и несмежна с ид, то |Г — (и^ и (ид)^)| =33 и |П| не больше 53.
Аналогично получается свойство:
(**) если орбита и^ содержит треугольник (3-коклику), то |П| ^ 11 (соответственно |П| ^ 32).
Лемма 2.6. Выполняются следующие утверждения:
(1) р = 19;
(2) р = 17 и р = 13.
< Пусть р = 19. Тогда любое ребро графа П лежит в 12 треугольниках, а для несмежных вершин а, 6 £ П подграф П(а) П П(6) содержит 1 или 20 вершин, причем ввиду леммы 2.5 обе возможности встречаются. Далее, |Г — П| = 19^, 1 ^ £ ^ 4. Заметим, что вершина из П смежна с 19 или 38 вершинами из Г — П. С другой стороны, вершина из Г — П смежна не более чем с 12 вершинами из П (если для вершины и из Г — П ее (д)-орбита является кокликой, то каждая вершина из Г — (д) смежна точно с 10 вершинами из (д) и [и] не пересекает П). Отсюда 191П| ^ 12(95 — |П|), |П| ^ 36, поэтому |Г — П| = 76 и |П| = 19. Таким образом, каждая вершина из П смежна с 38 вершинами из Г — П (если вершина а из П смежна с 19 вершинами из Г — П, то |П(а)| = 21). Противоречие с тем, что каждая вершина из П — а^ смежна с единственной вершиной из П(а) и степень вершины из П(а) в графе П не меньше 9.
Пусть р = 17. Тогда любое ребро графа П лежит в 12 треугольниках, а для несмежных вершин а, 6 £ П подграф П(а) П П(6) содержит 3 или 20 вершин. Далее, |Г — П| = 17£,
1 ^ Ь ^ 4. Заметим, что вершина из П смежна с 17 или 34 вершинами из Г — П. Если вершина а из П смежна с 34 вершинами из Г — П, то |П(а)| = 6, противоречие. Таким образом, каждая вершина из П смежна с 17 вершинами из Г — П. С другой стороны, вершина из Г — П смежна не более чем с 12 вершинами из П и Ь = 4. Тогда |П| =27 и |Г — П| = 68. Противоречие с тем, что для смежных вершин а, с £ П подграф П содержит а, с, 12 вершин из [а] П [с] и по 10 вершин из [а] — с^ и из [с] — а^.
Пусть р = 13. Если и £ Г — П и |[и] П П| ^ 2, то [и] П П — коклика. Если и^ — также коклика, то по лемме 2.5 имеем |[и] ПП| ^ 7. Если же и^ содержит ребро, то |[и]ПП| ^ 12. Далее, Ап = 12 и для несмежных вершин а, Ь £ П подграф П(а) П П(Ь) содержит 7 или 20 вершин, причем ввиду леммы 2.5 обе возможности встречаются. Далее, |Г — П| = 13Ь, 1 ^ Ь ^ 6. Заметим, что вершина из П смежна с 13 или 26 вершинами из Г — П. Поэтому 13|П| ^ 12(95 — |П|), |П| ^ 45 и 4 ^ Ь ^ 6.
В случае Ь = 4 получим |П| =43 и по свойству (*) имеем а1(д) = 0. Из целочислен-ности Х1(д) следует, что 10ао(д) — 50 = 380 делится на 12, противоречие.
В случае Ь = 6 получим |П| = 17 и П — сильно регулярный граф с Ап = 12, ^п = 7, противоречие. В случае Ь = 5 получим |П| =30. Для несмежных вершин а, Ь £ П подграф П(а) П П(Ь) содержит не более 20 вершин, поэтому |П| ^ 2 + 14 + 20, противоречие. >
Лемма 2.7. Верны неравенства р = 11 и р = 7.
< Пусть р =11. Тогда любое ребро графа П лежит в 1 или в 12 треугольниках, а для несмежных вершин а, Ь £ П подграф П(а) П П(Ь) содержит 9 или 20 вершин. Далее, |Г — П| = 11Ь и по свойству (*) имеем 4 ^ Ь ^ 7. Заметим, что вершина из П смежна с 11 или 22 вершинами из Г — П (соответственно с 29 или 18 вершинами из П). Пусть П содержит вг вершин, смежных с 11г вершинами из Г — П.
Пусть Ь = 6. Тогда |П| =29 и П — сильно регулярный граф степени 18 с А' = 12 и = 9. Противоречие с леммой 2.5.
Пусть Ь = 5. Тогда |П| =40 и по свойству (*) имеем а1(д) = 0. Из целочисленности Х1 (д) следует, что 10ао(д) — 50 = 350 делится на 12, противоречие.
Пусть Ь = 4. Тогда |П| =51 и по свойству (*) имеем а1(д) = 0. Из целочисленности Х1 (д) следует, что 10ао(д) — 50 = 460 делится на 12, противоречие.
Пусть р =7. Тогда любая (д)-орбита длины 7 является кликой, кокликой, семиугольником или дополнительным графом к семиугольнику. Далее, любое ребро графа П лежит в 5 или в 12 треугольниках из П, а для несмежных вершин а, Ь £ П подграф П(а) П П(Ь) содержит 6, 13 или 20 вершин. По свойству (**) имеем |П| ^ 32. Вершина из П смежна с 14, 21 или 28 вершинами из Г — П (соответственно с 26, 19 или 12 вершинами из П).
Если |П| > 11, то по свойству (**) имеем а1(д) = 0. Из целочисленности Х1(д) следует, что ао(д) — 5 делится на 6, противоречие. Если же |П| = 11, то П — регулярный граф степени 5 на 11 вершинах, противоречие. >
Лемма 2.8. Если р = 5, то П является кокликой.
< Пусть р = 5 и П не является кокликой. Тогда любая (д)-орбита длины 5 является кликой, кокликой или пятиугольником. Далее, любое ребро графа П лежит в 2, 7 или в 12 треугольниках из П, а для несмежных вершин а, Ь £ П подграф П(а) П П(Ь) содержит 0, 5, 10, 15 или 20 вершин.
По свойству (**) имеем |П| ^ 32. Если |П| > 11, то по свойству (**) имеем а1 (д) = 0. Из целочисленности Х1(д) следует, что ао(д) — 5 делится на 6, противоречие.
Если же |П| = 10, то П(а) — пятиугольник для некоторой вершины а из П, и связная компонента графа П, содержащая а, является графом икосаэдра, противоречие. >
Лемма 2.9. Если р = 3, то либо О является кликой, либо «1(5) = 0, и |О| € {11,17, 23, 29}.
< Пусть р = 3 и О не является кликой. Тогда любая ^-орбита длины 3 является кликой или кокликой. Далее, |О| сравнимо с 2 по модулю 3 и любое ребро графа О лежит в 3г треугольниках из О, г € {0,1,..., 4}. Для двух несмежных вершин а, Ъ € О подграф О(а) П О(Ъ) содержит 2 + 3^ вершин, ] € {0,1,..., 6}. Ввиду свойства (**) имеем |О| ^ 32.
Пусть | О| = 5. Так как О не является кликой, то О содержит несмежные вершины а, Ъ, 2 вершины из О(а) П [Ъ] и по 2 вершины из [а] — [Ъ] и [Ъ] — [а], противоречие.
Пусть |О| = 8. Тогда степень любой вершины из О равна 1, 4 или 7. Если вершины а, Ъ из О несмежны, то О содержит 2 вершины из [а] П [Ъ] и степени а, Ъ не меньше 4. Отсюда О не содержит вершин степени 1. Если степени всех вершин в О равны 7, то граф О является кликой, противоречие. Если степени всех вершин в О равны 4, то О — сильно регулярный граф с параметрами (8, 4, 3, 2), противоречие. Пусть степень вершины а € О равна 4, степень вершины Ъ € О равна 7. Тогда вершины а и Ъ смежны и О(а) П [Ъ] является 3-кликой. Таким образом, О содержит точно 2 вершины Ъ, Ъ' степени 7 и О — {Ъ, Ъ'} является! объединением двух изолированных треугольников. По лемме 1.5 получим ж0 + £8=3 Сг^ж» = 87 — (320 — 38) + (12 ■ 19 + 20 ■ 9 — 42 — 36) = 135. С другой стороны, каждая вершина вне 5-клики Ь из Г смежна точно с двумя вершинами из Ь. Поэтому ж2 = 6, ж3 = 54, ж4 = 27.
Пусть |О| = 11. Тогда степень любой вершины в О равна 1, 4, 7 или 10. Если вершины а, Ъ из О несмежны, то О содержит 2 вершины из [а] П [Ъ] и степени а, Ъ не меньше 4. Отсюда О не содержит вершин степени 1. Пусть О содержит 5 вершин а1,..., степени 10, О0 = О — {а1,..., а§}. Если 5 = 3, то О0 — регулярный граф степени 4 с ^ = 2 на 8 вершинах и А(О0) € {0, 3}. Если для Ъ € О0 подграф О0(Ъ) содержит вершину степени 3, то Ъ^ П О0 является 5-кликой, противоречие. Значит, О0 — сильно регулярный граф с параметрами (8, 4, 0, 2), противоречие.
Если 5 = 2, то О0 — граф со степенями вершин 2 и 5. Поэтому А(О0) € {1,4}, ^(О0) € {0, 3}. Если степень Ъ в О0 равна 5, то подграф О0(Ъ) содержит вершину с степени 4 и либо О0(Ъ) П О0 (с) является 4-кокликой, либо Ъ^ П О0 является 6-кликой. В первом случае имеем противоречие с тем, что любая вершина из О0(Ъ) П О0(с) смежна с 3 вершинами из О0 — а^. Во втором случае О0 — объединение изолированной 6-клики и треугольника, противоречие. Если же О0 не содержит вершин степени 5, то О0 — объединение трех изолированных треугольников.
Если 5 = 1, то О0 — граф со степенями вершин 3 и 6 на 10 вершинах, А(О0) € {2, 5}, ^(О0) € {1, 4}. Если для Ъ € О0 подграф О0(Ъ) содержит вершину степени 5, то либо О0(Ъ) П О0(с) является 4-лапой, либо Ъ^ П О0 является 7-кликой, противоречие. Таким образом, О0 содержит такую 4-коклику С, что окрестность в О0 любой вершины из С — объединение двух изолированных треугольников, противоречие. Значит, А(О0) = 2 и О0(Ъ) — шестиугольник или объединение двух изолированных треугольников для некоторой вершины Ъ € О0. Поэтому О0 — Ъ^ — треугольник, и каждая его вершина смежна с 1 или 4 вершинами из О0(Ъ). Противоречие с тем, что любая вершина из О0(Ъ), смежная с вершиной из О0 — Ъ^, смежна с 3 вершинами из О0 — Ъ^.
Пусть 5 = 0. Если степень вершины Ъ в О равна 4, то подграф О(Ъ) является 4-кликой или 4-кокликой. В любом случае число ребер между О(Ъ) и О — Ъ^ равно 12. Если О(Ъ) — клика, то О(Ъ) содержит две пары вершин с, с' и смежные с общими тройками
вершин из О — Ъ^. Противоречие с тем, что О(с) — Ъ^ — регулярный граф степени 1 на 3 вершинах.
Значит, О(Ъ) — коклика и каждая вершина из О(Ъ) смежна с 3 вершинами из О — Ъ^.
Если По — Ъ^ содержит две вершины е такие, что П(Ъ) П ^ = П(Ъ) П е^, то для с, с' £ П(Ъ) П получим П П с^ = П П (с')^. Противоречие с тем, что П(с) — коклика. Итак, П — Ъ^ можно отождествить с множеством пар вершин из П(Ъ) = {с1,..., С4} и П — регулярный граф степени 4. Противоречие с тем, что П — сильно регулярный граф с параметрами (11,4, 0, 2).
Таким образом, если |П| = 11, то П содержит точно 2 вершины Ъ, Ъ' степени 10 и П — {Ъ, Ъ'} является объединением трех изолированных треугольников. Поэтому Ж2 = 3, ж4 = 54, же = 27.
Пусть и £ Г — П, |[и] П П| = 7, У — множество вершин из Г — и^, смежных точно с г вершинами из и^, уг = |У^|.
Если и^ является кликой, то уз = 3ж + 7, у2 = 33 — 9ж — З7, у1 = 48 + 9ж + З7. Поэтому [и] и [и®] и [и® ] содержит 84 + 3ж вершин из Г — П и |П| ^ 11. Допустим, что [и] П П содержит ребро {а, Ъ}. Тогда Ь = и^ и {а, Ъ} является 5-кликой и любая вершина из Г — Ь смежна точно с 2 вершинами из Ь. Противоречие с тем, что |П| равно сумме 2 и степеней в П вершин а, Ъ.
Пусть |П| = 11. Тогда 7 ^ 3 и множество вершин, смежных с их образами под действием д, содержится в Х2. Противоречие с тем, что «1(5) делится на 12.
Пусть |П| = 8. Как показано выше, П содержит точно 2 вершины Ъ, Ъ' степени 7 и П — {Ъ, Ъ'} является объединением двух изолированных треугольников. Поэтому множество вершин, смежных с их образами под действием д, совпадает с Х2 и 7 = 2. Пусть с £ У0ПП, |[с] П У — П| = ¿¿(с) = Если с £ {Ъ, Ъ'}, то ^ гг = 36, ^ ¿¿г = 57. В случае ¿3 = 0 получим ¿2 = 21 + ¿о, а в случае 23 =3 получим ¿2 = 15. Если с, с' — смежные вершины из П П У0 — {Ъ, Ъ'}, то [с] П [с'] содержит 3 вершины из П и не менее 12 вершин из У2, противоречие. Итак, ^1(5) =0, £ четно и |П| нечетно. Отсюда |П| £ {11,17, 23, 29}. >
Лемма 2.10. Если р = 2 и П не является кокликой, то выполняются следующие утверждения:
(1) |Г — П| = 2£ и £ ^ 43;
(2) каждая вершина из П смежна с вершиной из Г — П;
(3) £ = 24 или £ ^ 27.
< Пусть р = 2 и П не является кокликой. Тогда любое ребро графа П лежит в 2г треугольниках из П, г £ {0,1,..., 6}, а для несмежных вершин а, Ъ £ П подграф П(а) П П(Ъ) содержит 2^ вершин, ] £ {0,1,..., 10}.
Положим А = Г — П. Тогда |Д| = 2£ и ввиду свойства (*) имеем 21 ^ £ ^ 46. Заметим, что любая вершина из А смежна с четным числом вершин из П. Пусть X — число вершин из А, смежных точно с г вершинами из П, ж г = |Хг|.
Заметим, что вершина из П смежна с 2г вершинами из Г — П (соответственно с 40 — 2г вершинами из П). Если £ сравнимо с г по модулю 3, то а (д) сравнимо с —4г по модулю 12.
Пусть £ = 46. Тогда |П| = 3, |Д| =92 и ^1(5) = 8 + 12г. Так как П не является кокликой, то П содержит смежные вершины а, Ъ, причем степени этих вершин равны 2. Противоречие с тем, что любое ребро графа П лежит в 2г треугольниках из П.
Пусть £ = 45. Тогда |П| = 5, |Д| =90 и а (д) = 12г. Степень любой вершины в П равна 0, 2 или 4. Допустим, что П содержит 2 вершины а, Ъ степени 4. Тогда подграф П(а) П П(Ъ) содержит 3 вершины, противоречие. Пусть степень вершины а в П равна 4 и Ъ — вершина степени 2. Тогда П содержит вершины а, Ъ, 3 вершины из [а] — Ъ^ и 1 вершину из [Ъ] — а^, противоречие. Значит, П не содержит вершин степени 4. Так как любое ребро графа П лежит в 2г треугольниках из П, а для несмежных вершин а, Ъ £ П подграф П(а)ПП(Ъ) содержит 2^ вершин, то П не является пятиугольником и не содержит
треугольников. Значит, П является объединением 4-цикла 6с(е и изолированной вершины а. Пусть Хг' = Х» П [а], ж» = |Хг'|. Тогда ж'2 + ж4 = 40 и ж'2 + жу4 = 80, поэтому ж'2 = ж4 = 20. С другой стороны, ж0 + ж2 + ж4 = 90, ж2 + 2ж4 = 96 и ж2 + 6ж4 = 48 + 120 — 4 = 164. Поэтому ж4 = 17, противоречие.
Пусть Ь = 44. Тогда |П| = 7, |А| =88 и ^1(5) = 4 + 12г. Степень любой вершины в П равна 0, 2, 4 или 6. Пусть П содержит вершину а степени 6, 6 £ П(а). Тогда П содержит 2 вершины а, 6, 2г вершин из [а] П [6] и 5 — 2г вершин из [а] — 6^, противоречие с тем, что степень 6 в графе П нечетна.
Если степени всех вершин в графе П равны 4, то ^п = 4 (иначе П содержит не менее 8 вершин). В этом случае П является полным многодольным графом, противоречие. Допустим, что П содержит смежные вершины а, 6 степени 4. Тогда |П(а) П П(6)| = 2, |П(а) — 6^| = |П(6) — а^| = 1 и П — (а^ и 6^) = с, причем вершина с либо изолирована в П, либо П(с) = П(а) П [6]. Выберем вершину е £ П(а) — 6^. Тогда е смежна либо с вершиной из П(а) П [6], либо с вершиной из П(6) — а^. В последнем случае для I £ П(а) П [6] получим |П(е) П [1]| = 1, противоречие. Значит, П(с) = П(а) П [6] и |П(с) П [е]| = 1, снова противоречие.
Допустим, что П содержит 2 несмежные вершины а, 6 степени 4. Тогда П(а) = П(6) состоит из вершин I» степени 2 в П и П содержит единственную изолированную вершину с. В этом случае жо+ж2+ж4+жб = 88, 2ж2 +4ж4+6жб = 264 и ж2+6ж4+15жб = 96+260—16 = 340. Поэтому ж4 = 52 — 3же, ж2 = 28 — 9же и жо = 8 + 11же. В случае же = 2 получим ж4 = 46, ж2 = 10 и жо = 30. Если [с] не пересекает Хе, то Х4 содержит 40 вершин из [с] и 6 вне [с]. Тогда некоторая вершина и из Хо смежна не более чем с 1 вершиной из Хе и число 2-путей с началом в и и концом в П не больше 26 ■ 4 + 6+10 ■ 2, противоречие. Положим Хб = {р, р®} и |[р] П Хг| = у». Тогда ^ у» = 34 и ^ iyi равно 80, если [р] не содержит а, равно 78, если [р] не содержит Далее, [с] содержит по 2 вершины из Х2, Хб и 36 вершин из Х4. Если и £ Хо — ([р] и [р®]), то [и] содержит не более 20 вершин из Х4 П [с], не более 10 вершин из Х4 — [с] и не более 10 вершин из Х2. Отсюда [и] П [и®] содержит по 10 вершин из Х2, Х4 — [с] и 4 вершины из Х4 П [с], противоречие. Пусть и £ Хо П [р] — [р®]. Если [и] содержит 19 вершин из Х4 П [с], то число 2-путей с началом в и и концом в П не больше 6 + 29 ■ 4 + 8 ■ 2 = 138, противоречие. Если [и] содержит не более 18 вершин, то число указанных 2-путей будет еще меньше. Значит, же = 0.
В случае же = 0 получим ж4 = 52, ж2 = 28 и жо = 8. Далее, число 2-путей с началом в а, концом в П и средней вершиной в Г — П равно 16 + 20 + 48 = 84. С другой стороны, [а] содержит не более 28 вершин из Х2 и не менее 8 вершин из Х4, поэтому число указанных путей не меньше 8 ■ 4 + 28 ■ 2, противоречие.
Допустим, что П содержит единственную вершину а степени 4. Тогда |П(6») П [6^]| = 1 для подходящих вершин 6i,6j £ П(а), противоречие.
Значит, П не содержит вершин степени 4, П — объединение изолированных вершин и многоугольников. Так как ^п £ {0, 2}, то П — объединение трех изолированных вершин и четырехугольника. В этом случае жо + ж2 + ж4 + же = 88, 2ж2 + 4ж4 + 6же = 272 и ж2 + 6ж4 + 15жб = 48 + 340 — 4 = 384. Поэтому ж4 = 62 — 3жб, ж2 = 12 + 3жб и жо = 14 — жб. Пусть а — вершина степени 2 из П и |[а] П Х»| = у». Тогда ^ у» = 38 и ^ iyi = 102, поэтому у2 + 2у4 + 3уб = 51, противоречие с тем, что числа у» четны. Утверждение (1) доказано.
Если |П| ^ 40, то по свойству (*) получим ^1(5) = 0, следовательно, Ь делится на 3 и Ь £ {21, 24, 27}. Допустим, что П содержит а^. Тогда для любой вершины и из А подграф [и] содержит 20 вершин из П(а) и и несмежна с вершинами из П — а^. Если П — а^ содержит вершину с, то [с] С П и [и] П П содержится в [а] П [с]. Противоречие с тем, что
любая вершина из Г — а^ смежна с 20 вершинами из [а] П [с].
Значит, П = а^ и t = 27. Противоречие с тем, что вершина из [а] смежна с 27 вершинами из А (число |[b] П Д| четно для b £ П). Итак, для любой вершины а £ П подграф [а] не содержится в П. Утверждение (2) доказано.
Пусть t = 21. Тогда |П| =53 и для вершины u из А подграф П содержит 20 вершин из [u] П [ug] и 33 вершины вне u^ U (ugПусть w £ [ug] — [u] и [w] содержит в вершин из [u] П [ug]. Тогда [w] содержит 20 — в вершин из [u] — [ug], 12 — в вершин из [ug] — [u] и 7 + в вершин вне u^ U (ugПротиворечие с тем, что 7 + 2в = 20.
Итак, t = 24 или t ^ 27. >
§3. Автоморфизмы точечного графа частичной геометрии pG2 (4, 9)
В этом параграфе Г — точечный граф частичной геометрии pG2(4, 9), G — группа автоморфизмов графа Г, g — элемент простого порядка p из G и П = Fix (g).
Лемма 3.1. Если П содержит 2-лапу, то p = 2, ai(g) > 0 и выполняется одно из утверждений:
(1) П — точечный граф частичной геометрии pG2(4,1) и каждая вершина из Г — П смежна точно с 6 вершинами из П;
(2) П — объединение изолированного октаэдра £ и коклики C, |C| £ {1, 3, 5}.
< По условию окрестность любой вершины является объединением 10 максимальных 4-клик.
Если а £ П, то g действует на множестве из 10 прямых в а^. Далее, для b £ П(а) ребро {а, b} лежит на единственной прямой.
Пусть П содержит 2-лапу. Если p = 3, то ai(g) = 0, и |П| £ {11,17, 23, 29}. Если g фиксирует прямую из а^, то g фиксирует эту прямую поточечно, поэтому П(а) состоит из 10 — 3t прямых. В случае t = 1 получим П С а^, противоречие с тем, что П(Ь) содержит вершину вне а^. Так как любой ц-подграф вершин из П пересекает П, то окрестность каждой вершины в П является регулярным графом степени 6 на 16 вершинах. Поэтому для с £ П(а) подграф П содержит 6 вершин из [а] П [с], по 9 вершин из [а] — с^, [с] — а^ и еще 3 вершины ei, в2, ез. Если b £ П(а) П [с], то П(Ь) содержит а, с, 7 вершин из [а] П [с], по 5 — y вершин из [а] — с^, [с] — а^ и 4 + 7 вершин из {ei, е2, ез}, противоречие.
Если p = 2, то |Г — П| = 2t, 27 ^ t ^ 43 или t = 24, и каждая вершина из П смежна с вершиной из Г — П. Если ai(g) = 0, то число g-допустимых прямых в b^ равно числу g-допустимых прямых в с^ для любых двух несмежных вершин b, с £ П. Далее, любая g-допустимая прямая лежит в П, поэтому П — точечный граф частичной геометрии pG2(4,t') для некоторого t' < 9. Противоречие с тем, что |П| £ {41,47}.
Значит, ai(g) > 0 и любая g-допустимая прямая содержит 1, 3 или 5 точек из П. Легко понять, что если а^ содержит прямую с i > 1 точками из П, то любая g-допустимая прямая из а^ содержит 1 или i точек из П. Если i = 5, то П — точечный граф частичной геометрии pG2(4,t') для t' = 1 (напомним, что pG2(4, 3) не существует). В этом случае выполняется утверждение (1).
Если i = 3, то содержащая а связная компонента £ графа П — точечный граф частичного пространства прямых порядка (2,t') для некоторого нечетного t' ^ 9. Так как число прямых этого пространства равно |£|(t' + 1)/3, то либо t' = 5, либо |£| делится на 3.
В случае t' = 1 окрестности вершин в £ являются четырехугольниками, поэтому £ — октаэдр. Пусть L — прямая, пересекающая £ по треугольнику, L — £ = {u, ug}. Тогда
П—£ содержится в [и]П[ид]. Если |Пп[и]П[ид]| = 12, то для е £ £ —Ь подграф [е] содержит 2 вершины из [и] П[ид], по 18 вершин из [и] — (ид[ид] — и^ и 2 вершины из П — ([и] и[ид]). Противоречие с тем, что для различных е, е' £ £ — Ь подграф [е] П [е'] содержит не менее 18 вершин из ([и] — (ид)х) и ([ид] — их). Если [и] П [ид] — П = {т, тд}, то для е £ £ — Ь подграф [е] содержит т, тд и 2 вершины из [и] П £. Противоречие с тем, что [е] П [е'] содержит т, тд, 2 вершины из £ и не менее 10 вершин из ([и] — (ид)^)и([ид]—и^). Отсюда |П — £| ^ 5 и П — £ является кокликой. В этом случае выполняется утверждение (2).
Пусть ^ 3. Тогда £ является реберно регулярным графом с к^ = 2(£' + 1) и А^ = + 1. Поэтому |£| ^ 3(£' + 1)| и в случае равенства £ = Кзх^/+1). Отсюда П — £ является кокликой. Если П — £ содержит 2 вершины а, 6, то для прямой Ь, содержащей 3 точки е, е', е'' из £ подграф [а] П [6] содержит 2(£' + 1) точек из [е] — П, лежащих на д-допустимых прямых, пересекающих £ по 3 точкам. Противоречие с тем, что 6(£' +1) > 20.
Пусть П — £ = {а} и прямая Ь содержит 3 точки е, е', е'' из £ и ребро {и, ид}. Если [и] П [ид] содержит 7 вершин из [а], то |Г — ([а] и [и] и [ид])| = 11 — 7. Далее, £ содержит 3£' точек, смежных с парами вершин из {е, е', е''}, поэтому = 3, 7 £ {0, 2} и |£| £ {12,18}. В случае |£| = 12 число прямых, пересекающих £ по 3 точкам, равно 16, и [а] содержит 32 точки, лежащие на этих прямых. Противоречие с тем, что [а] П [е] содержит только 8 из этих точек и |[а] — [е]| > 20. Значит, |£| = 18 и число прямых, пересекающих £ по 3 точкам, равно 24. Противоречие с тем, что | [а] | ^ 48.
Итак, в случае ^ 3 имеем П = £. Если = 9, то П — точечный граф частичной геометрии р^(2,9). Противоречие с тем, что |П| — нечетное число. Если = 7, то |П| £ {27, 33}. Число прямых, пересекающих П по 3 точкам, равно 8|П|/3, и объединение этих прямых содержит не менее 144 точек из Г —П, противоречие. Если = 5, то |П| ^ 19. Число прямых, пересекающих П по 3 точкам, равно 2| П| , и объединение этих прямых содержит не менее 76 точек из Г — П. Поэтому |Г — П| =76 и |П| = 19.Отсюда ПП [и] П [ид] содержит вершину а, 7 вершин из [а] и |Г — ([а] и [и] и [ид])| = 11 — 7. Противоречие с тем, что П содержит 3£' = 15 точек, смежных с парами вершин из {е, е', е''}.
Таким образом, = 3. Теперь П содержит е, е', е'', 9 точек, смежных с парами вершин из {е, е', е''} и еще не более 9 точек из [и] П [ид]. Отсюда |П| = 21, противоречие с тем, что П — сильно регулярный граф с параметрами (21, 8, 4, 2) и (4 — 2)2 + 4(8 — 2) не является квадратом. >
До конца работы будем предполагать, что О действует транзитивно на множестве вершин графа Г. Через Оа обозначим стабилизатор в О вершины а. Ввиду теоремы п(Оа) С {2, 3, 5} и |О : Оа| =95.
Лемма 3.2. Если / — элемент порядка 19 из О, то выполняются следующие утверждения:
(1) Сс(/) = (/);
(2) если д £ Ж<з((/)), то либо р = 3 и П является 5-кликой, либо р = 2 и П является т-кокликой, т £ {3, 5};
(3) число |Ж<з((/))| равно 57 или 38.
< Допустим, что д £ Сс(/). Тогда / действует без неподвижных точек на П. Из теоремы следует, что П — пустой граф, и р = 5. Противоречие с тем, что д действует на множестве из 38 вершин, смежных с их образами под действием /. Утверждение (1) доказано.
Пусть д £ Ж<з((/)). Тогда р делит 18 и д действует на множестве и из 38 вершин, смежных с их образами под действием / и на множестве Ш из 57 вершин, несмежных с их образами под действием /. Отсюда подграф П не пуст.
Если Q является n-кликой, то ввиду теоремы p = 3 и g фиксирует каждую (/)-орбиту на U. Далее, либо n = 2 и (g) действует транзитивно на множестве (/)-орбит на W, либо n = 5 и g фиксирует каждую (/)-орбиту на W. В первом случае U совпадает с множеством вершин, смежных с их образами под действием /1 для всех i, и каждая (/)-орбита на U является 19-кликой, противоречие.
Пусть Q является m-кокликой. Если p = 5, то g фиксирует каждую (/)-орбиту и m ^ 20, противоречие. Значит, p = 2. Если m > 5, то ^ пересекает для подходящего i, противоречие с тем, что ^ П попадает в Fix (/). Значит, m = 3 или m = 5.
Если Q содержит 2-лапу, то p = 2 и по лемме 3.1 либо Q — точечный граф частичной геометрии pG2(4,1), либо Q — объединение изолированного октаэдра X и коклики C, |C| £ {1, 3, 5}. В любом случае Q пересекает Q9 для подходящего i, противоречие. Утверждение (2) доказано.
Допустим, что Ng((/)) содержит элемент g порядка 3 и инволюцию t, централизующую g. Так как Q является 5-кликой, то t фиксирует точно одну вершину из Противоречие с тем, что g фиксирует 2-коклику из Fix(t).
Если Ng((/)) содержит элемент h порядка 9, то h действует на некоторой (/)-орбите Y на U и фиксирует вершину w из Y. Тогда вершина w смежна с wf, с wf и смежна с wf , поэтому Y является 19-кликой, противоречие.
Допустим, что Ng((/)) = (/). Тогда G = R(/), где R — нормальная 19'-подгруппа. В этом случае (/) действует на элементарной абелевой 5-подгруппе Z. Для неединичного элемента g £ Z подграф Q является 10-кокликой или 15-кокликой, поэтому Fix (Z) — пустой граф. Отсюда каждая Z-орбита имеет длину 5. Для двух Z-орбит Xi и X2 найдутся подгруппы Zi, Z2 индекса 5 из Z, поточечно фиксирующие Xi, X2 соответственно. Так как Zi П Z2 поточечно фиксирует Xi U X2, то Zi П Z2 = 1 и |Z| делит 25, противоречие с действием / на Z. >
Лемма 3.3. G — простая неабелева группа.
< Пусть L — минимальная нормальная подгруппа из G. Если группа L абелева, то L является p-группой. Из доказательства утверждения (3) леммы 3.2 следует, что p = 5.
Пусть p = 3. Тогда каждая L-орбита имеет длину 1 или 3. Так как 95 = 19 ■ 5, то имеется 19 L-орбит длины 3 и 38 L-орбит длины 1. Противоречие с тем, что элемент порядка 3 фиксирует 2 или 5 точек.
Пусть p = 2. Тогда каждая L-орбита имеет длину 1, 2 или 4. Если имеется орбита длины 4, то 95 = 19 ■ 4+19 ■ 1, поэтому имеется 19 L-орбит длины 1. Противоречие с тем, что элемент порядка 2 фиксирует не более 17 точек.
Итак, L — неабелева группа. Из действия / на L следует, что 19 делит |L|, поэтому L — простая группа. По рассуждению Фраттини G = LNg((/)), причем Nl((/)) = (/). Из утверждения (3) леммы 3.2 следует, что G = L. >
Завершим доказательство теоремы. По лемме 2.3 из [7] простая группа L с |n(L)| = 4 изоморфна:
(1) A7,Ae,Ag,Aio, Mii,Mi2, J2;
(2) L2(p) для некоторого простого числа p, L2(2m) или L2(3m) для подходящего m;
(3) L2(25),L2(49),L2(81), La(4), La(5), La(7), La(17), L4(3), PSp^q) (q £ {4, 5, 7, 9}), PSp6(2), (2), G2(3), Ua(q) (q £ {4,5,7,8,9}), U4(3), Us(2), Sz(8), Sz(32), aA(2), 2F4(2)'.
Отсюда группа G изоморфна L2(19), противоречие с тем, что G не содержит подгрупп индекса 95. Теорема доказана.
Литература
1. Махнев А. А. О графах, окрестности вершин которых сильно регулярны с k = 2^ // Мат. сб.— 2000.-Т. 191, № 7.—C. 89-104.
2. Brouwer A. E., Haemers W. H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb.—1993.—Vol. 14.—P. 397-407.
3. Махнев А. А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые ^-подграфы // Дискретн. анализ и исслед. опер.—1996.—Т. 3, № 3.—C. 71-83.
4. Cameron P. Permutation Groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.—220 p.—(London Math. Soc. Student Texts; 45).
5. Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs.—Berlin etc: Springer-Verlag.— 1989.—485 p.
6. Махнев А. А., Чуксина Н. В. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (210, 95, 40, 45) // Тезисы сообщений VII Международной школы-конференции по теории групп.— Челябинск: ЮУрГУ, 2008.—C. 78-80.
7. Shao C., Shi W., Jiang Q. Characterization of simple K4-groups // Front. Math. China.—2008.—Vol. 3.— P. 355-370.
Статья поступила 5 ноября 2009 г.
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отд. алгебры и топологии
РОССИЯ, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
Чуксина Наталья Владимировна Институт математики и механики УрО РАН
РОССИЯ, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
