CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 49-59
УДК 519.17+512.54
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (243,66, 9,21)1
А. А. Махнев, А. А. Токбаева
В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (243, 66, 9, 21). Эти результаты будут полезны для изучения автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640, 243, 66, 108) (в таком графе окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (243, 66, 9, 21)).
Ключевые слова: регулярный граф, группа автоморфизмов.
Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины a графа Г через Г»(a) обозначим подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a. Подграф [a] = ri(a) называется окрестностью вершины a. Для подмножества вершин S графа Г через r(S) обозначим
naes([a] - S).
Через ka обозначим степень вершины a, т. е. число вершин в [a]. Граф Г называется регулярным степени k, если ka = k для любой вершины a из Г. Граф Г называется сильно регулярным с параметрами (v,k,A,^), если Г — регулярный граф степени k на v вершинах, в котором каждое ребро лежит точно в A треугольниках и для любых двух несмежных вершин a, b верно равенство | [a] П [b] | =
Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (640, 243, 66,108), a — вершина графа Г. Тогда Г имеет собственные значения k = 243, r = 3, s = -45 и достигается равенство во втором условии Крейна
(s + 1)(k + s + 2rs) ^ (k + s)(r + 1)2.
Поэтому [a] является сильно регулярным графом с параметрами (243, 66, 9, 21) и ^(a) является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54) (см. [2, теорема 8.15]). Таким образом, для исследования автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640, 243, 66,108) необходимо изучить автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами (243, 66, 9, 21) и (396,135, 30, 54).
В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (243, 66, 9, 21).
© 2010 Махнев А. А., Токбаева А. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 08-01-00009.
Теорема. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (243, 66, 9, 21), д — автоморфизм простого порядка р графа Г, ^ = Пх (д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) ^ — пустой граф, р = 3 и а1(д) сравнимо с 27 по модулю 54;
(2) ^ является одновершинным графом, р = 11 и а1(д) = 66;
(3) ^ является т-кокликой, т = 3Ь ^ 2, 1 ^ Ь ^ 14, р = 3 и а1 (д) — 9Ь сравнимо с 27 по модулю 54;
(4) ^ — объединение трех клик порядка 4, р = 7 и а1 (д) = 63;
(5) р = 5 и либо
(г) ^ является К^Х2-подграфом, а1(д) £ {15,105}, либо (гг) |Ю| =28 и а1(д) = 75, либо (ггг) |П| =33 и а1(д) = 0, либо (ги) |Ю| = 38 и а1(д) = 15;
(6) р = 3, |Ю| = 3Ь, а1 (д)/18 — (Ь + 3)/2 делится на 3 и 2 < Ь < 24 или Ь £ {27, 33};
(7) р = 2 и либо
(г) а1(д) = 0, |П| делится на 3 и |П| ^ 93, либо
(гг) а1(д) = 0, |П| ^ 75 и 3 — 3Ь + а1(д) делится на 36 или |П| = 107 и а1(д) = 24.
1. Предварительные результаты
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (V, к, А, А — индуцированный подграф с N вершинами, М ребрами и степенями вершин ¿1, ..., ^. Тогда (V — N) — (^ — 2М) + АМ + (£) — М) — £ (?) = жо + £ С-)ж» и (£ гж») 2 < £ ж» £ г2ж», где ж. — число вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А.
< Подсчитав число вершин в Г — А, число ребер между А и Г — А и число 2-путей с концами в А и средней вершиной в Г — А, получим равенства V — N = £ ж», А^ — 2М = £ гж» и АМ + ^(*) — М) — £N=1 (*) = £ (*)ж».
Вычитая второе равенство из суммы первого и третьего, получим равенство из заключения леммы.
Квадратный трехчлен £ (г — ж)2ж» = £ г2ж» — 2ж £ гж» + ж2 £ ж» неотрицателен. Поэтому дискриминант квадратного трехчлена ( £ гж») — £ ж» £ г2ж» неположителен. >
Покажем, что сильно регулярный граф Г с параметрами (243, 66, 9, 21) не содержит 5-клик. Пусть А является 5-кликой из Г, X» — множество вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А, и ж» = |Х»|. По лемме 1 имеем £ ж» = 238, £ гж» = 310, £ (2)ж» = 60. Противоречие с тем, что ж0 + £ (г"21)ж» = —12.
Лемма 1.2. Пусть Г является сильно регулярным графом с целыми собственными значениями, д — автоморфизм графа Г простого порядка р и х — характер проекции мономиального представления на подпространство размерности т собственных векторов матрицы смежности графа, отвечающих неглавному собственному значению. Тогда а»(д) = а»(дг) для любого I, не кратного р и т — х(д) делится на р.
< Эта лемма следует из леммы 3 и предложения 2 [4], примененного к циклической группе (д). >
Лемма 1.3. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (243, 66, 9, 21). Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) порядок коклики в Г не больше 44;
(2) если Г содержит регулярный подграф А степени б на V вершинах, то -15 ^ б — (66 — б)ад/(243 — ад) ^ 3, причем в случае равенства каждая вершина из Г — А смежна точно с (66 — б)ад/(243 — ад) вершинами из А;
(3) значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ АШ;(Г) равно Х2(д) = (3ао(д) — «1 (д))/18 + 7/2, и 44 — х2(д) делится на р.
< Ввиду границы Цветковича [3] порядок коклики в Г не больше 44.
Если Г содержит регулярный подграф А степени V на V вершинах, то по лемме 1.2 из [1] имеем —15 ^ б — (66 — б)ад/(243 — ад) ^ 3.
По лемме 2.6 из [1] значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ АШ; (Г) равно Х2(д) = (3ао(д) — а1(д))/18 + 7/2. По лемме 1.2 число 44 — х2(д) делится на р. >
Лемма 1.4. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (243, 66, 9, 21), и — трехвершинный подграф из Г, У% — множество вершин из Г — и, смежных точно с I вершинами из и, у г = Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) для двух вершин и, V подграф Г2(и) П Г2(ад) содержит 130 вершин, если и, V не смежны, 120 вершин, если и, V смежны;
(2) число уо + уз равно 105, если и является кокликой, равно 72, если и является кликой;
(3) число уо + уз равно 84, если и является 2-путем, равно 95, если и — объединение изолированной вершины и ребра.
< Для двух несмежных вершин и, V граф Г содержит 21 вершин из [и] П [ад], по 45 вершин из [и] — [ад], [ад] — [и] и 130 вершин из Г2(и) П ^(и®). Для смежных вершин и, V граф Г содержит 9 вершин из [и] П [ад], по 56 вершин из [и] — ад^, [ад] — и^ и 120 вершин из Г2 (и) П Г2(и®).
Если и является 3-кокликой, то Г содержит 3(21 — уз) вершин из У2, 3(24 + уз) вершин из У1 и 105 — уз вершин из !о, поэтому уо + уз = 105. Аналогично доказывается, что уо + уз = 72, если и является кликой; уо + уз = 84, если и является геодезическим 2-путем; уо + уз = 95, если и объединение изолированной вершины и ребра. >
2. Автоморфизмы графа с параметрами (243, 66, 9, 21)
До конца работы будем предполагать, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (243, 66, 9, 21). Пусть д — автоморфизм простого порядка р графа Г и П = Нх (д).
Лемма 2.1. Выполняются следующие утверждения:
(1) если П — пустой граф, то р = 3 и а1(д) £ {27, 81,135,189, 243};
(2) если П является п-кликой, то п = 1, р =11 или р = 2 и а1(д) = 66;
(3) если П является т-кокликой, т ^ 2, то р = 3, т = 3£, 3 ^ £ ^ 14 и а1(д) — 9£ сравнимо с 27 по модулю 54;
(4) если П — объединение I ^ 2 изолированных клик, но П не является кокликой, то П — объединение трех клик порядка 4, р = 7 и а (д) = 63.
< Пусть П — пустой граф. Тогда р = 3 и по целочисленности Х2(д) число а1(д) нечетно и делится на 9. Далее, а1(д) = 9(2£ + 1) и Х2(д) = —ах(д)/18 + 7/2 = —£ + 3. Из леммы 1.2 следует, что £ сравнимо с 1 по модулю 3.
Пусть Хг — множество вершин из Г—П, смежных точно с I вершинами из П, х% = |Хг|.
Пусть П является п-кликой. Тогда п ^ 4. Если п = 1, то р делит 66 и 176, поэтому р =11 или р = 2. По целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 нечетно и делится на 9, поэтому либо р = 11 и а1(д) = 66, либо р = 2 и а1(д) + 6 делится на 36. Но в случае р = 2 каждая вершина из Г — П смежна с вершиной из П, противоречие.
Если п ^ 2, то р делит 56 и 120, поэтому р = 2 и п нечетное число. Поэтому п = 3, ж1 + ж3 = 240 и ж1 + 3ж3 = 3 ■ 64 = 192, противоречие.
Пусть П является т-кокликой, т ^ 2. Тогда р делит 21 и 45, поэтому р = 3 и т = 3Ь. Так как А и ^ делятся на 3, то для любой вершины и £ Г — П число |[и] П П| делится на 3. Как и выше, получим, что а1(д) — 9Ь сравнимо с 27 по модулю 54.
Пусть П содержит ребро и является объединением I изолированных клик, I ^ 2. Тогда р делит 21. Если а, Ь — смежные вершины из П, то д действует без неподвижных точек на [а] — Ь^, поэтому р делит 56. Отсюда р = 7 и |П(а) П [Ь] | = 2. Если П содержит изолированную вершину с, то р делит 45, противоречие. Итак, П является объединением изолированных 4-клик и 7 делит 243 — 41, поэтому 21 +1 делится на 7.
Пусть А является 4-кликой из Г, у» = ж»(А). По лемме 1 имеем £ ж» = 239, £ гж» = 252, £ (2)ж» = 42 и жо + £ ж» = 29. Отсюда I = 3, х2(д) = (99 — а1(д))/18 и в случае а1(д) = 189 число 44 — Х2(д) не делится на 7. >
В леммах 2.2-2.4 предполагается, что П содержит геодезический 2-путь аЬс.
Лемма 2.2. Выполняются следующие утверждения:
(1) Г не содержит собственных сильно регулярных подграфов с А = 9, ^ = 21 и |П| не больше 151 (не больше 129, если а1(д) = 0);
(2) если р > 2 и |П| > 84, то а1(д) = 0;
(3) если а1(д) = 0, то |П| — нечетное число, кратное 3, и (ао(д)/3 — 95)/2 делится на р;
(4) для любой вершины а £ П подграф [а] не содержится в П.
< Пусть Г содержит собственный сильно регулярный подграф А с параметрами (V7, к', 9, 21). Тогда 4(к' — 21) + 122 = п2 для некоторого натурального числа п. Отсюда п = 14,16 и к' = 34, 49 соответственно. Но в первом случае 21 не делит к'(к' — 10), а во втором А имеет собственные значения 2, —14 и кратность 2 равна 13 ■ 49 ■ 63/(21 ■ 16), противоречие. Теперь утверждение (1) следует из леммы 1.4.
Пусть и — трехвершинный подграф из и^, У — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У»|. Из леммы 1.4 следует, что |П| ^ 84, если и^ содержит геодезический 2-путь, и |П| ^ 72, если и^ содержит 3-клику. В случае |П| ^ 85 подграф и^ не содержит геодезических 2-путей и является кокликой.
Пусть а1(д) = 0. Тогда по целочисленности Х2(д) число ао(д) нечетно и делится на 3, а по лемме 1.3 число (ао(д)/3 — 95)/2 делится на р.
Пусть для некоторой вершины а £ П имеем [а] С П. Тогда для и £ Г — П получим |[и] П П| =21 и и^ является кокликой, поэтому а1(д) =0 и по утверждению (3) имеем |П| ^ 69. Теперь для Ь £ П — а^ подграф [Ь] не пересекает Г — П, поэтому [и] П [Ь] содержится в П и совпадает с [а] П [и] = [а] П [Ь]. Противоречие с тем, что любые две вершины из [и] П (Г — П) смежны с и и с 21 вершинами из [а] П [Ь]. >
Лемма 2.3. Если р ^ 3, то |П| ^ тах {84,108 — р}. Далее, р ^ 7.
< Если р > 21, то П — сильно регулярный подграф с параметрами (V', к', 9, 21), противоречие с леммой 2.2. Если р > 7, то П — подграф с Ап = 9.
Пусть р ^ 3. Если |П| > 84, то по лемме 2.2 любая орбита и^ является кокликой. Поэтому для любой 3-коклики и из и^ подграф Хо(и) и Хз(и) содержит П и р — 3 вершин из и^ — и. Значит, |П| ^ 105 — (р — 3).
Пусть p = 19. Тогда степень вершины в графе } равна 28 или 47. Если степень вершины a в графе } равна 47, то }(a) — регулярный граф степени 9 на 47 вершинах, противоречие. Итак, } — реберно регулярный граф с параметрами (v', 28, 9).
Пусть = 53. Если } содержит две несмежные вершины точно с двумя общими соседями, то ^ 2 + 26 + 2 + 26, противоречие. Значит, } — сильно регулярный граф с A' = 9 и = 21, противоречие.
Если = 72, то по целочисленности Х2(д) число ai(g) нечетно и делится на 9. Поэтому ai(g) = 171, противоречие с тем, что тогда каждая (д)-орбита длины 19 является кликой. Значит, = 91. По целочисленности Х2(д) число ai(g) — 3 нечетно и делится на 9. Поэтому ai(g) = 228, противоречие.
Аналогично рассматриваются случаи p £ {17,13,11}. >
Лемма 2.4. Верно неравенство p = 7.
< Пусть p = 7. Тогда |Г — = 7t, 20 ^ t ^ 34. Далее, степень вершины в графе } равна 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52 или 59, любое ребро графа } лежит в 2 или 9 треугольниках из }, а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в } имеем |}(a) П [b]| £ {7,14, 21}. Если } содержит вершину степени 3, то эта вершина лежит в изолированной 4-клике из Если |}| > 72, то каждая (д)-орбита длины 7 является ко-кликой или семиугольником. Ввиду леммы 2.3 имеем |}| ^ 96. Пусть U = u^ — орбита длины 7, Y — множество вершин из Г — U, смежных точно с i вершинами из U, у» = |Yi|, z — число (д)-орбит степени 4 и z' — число семиугольных орбит.
Если t = 34, то } является 5-кликой, противоречие. Если t = 33, то |}| = 12, противоречие с тем, что ^ 2 + 7 + 2 ■ 3.
Пусть t = 32. Тогда |}| = 19 и степень вершины в графе } равна 3 или 10. Если a, b — смежные вершины из } и |}(a) П [b] | = 9, то }(a) содержит 2 вершины b, c степени 9 и 8-коклику E, причем любая вершина из E смежна с 7 вершинами из } — a^. В этом случае для различных вершин e, e' £ E подграф }(e) П [e'] содержит a, b, c и 6 или 7 вершин из } — a^, противоречие. Значит, } — вполне регулярный граф с параметрами (19 — 41,10, 2, 7), противоречие с тем, что тогда |}| ^ 21.
Случаи t £ {21,..., 31} рассматриваются аналогично. >
3. Автоморфизмы малых порядков
В этом параграфе предполагается, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (243, 66,9,21), g — автоморфизм простого порядка p графа Г и подграф } = Fix (g) содержит геодезический 2-путь.
В леммах 3.1-3.5 предполагается, что p = 5.
Лемма 3.1. Выполняются следующие утверждения:
(1) если некоторая орбита является пятиугольником, то |}| ^ 84;
(2) если |}| > 8, то } не содержит вершин степени |}| — 2;
(3) если ^ 23, то } является полным многодольным графом K4X2 и ai(g) £ {15, 105}.
< Пусть |Г — = 5t. Тогда 19 ^ t ^ 47. Далее, степень вершины в графе } равна 6, 11, ..., 61, любое ребро графа } лежит в 4 или 9 треугольниках из а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в } имеем |}(a) П [b]| £ {1, 6,..., 21}. Если |}| > 105, то каждая (д)-орбита длины 5 является пятиугольником. Пусть U = vSg — орбита длины 5, Yi — множество вершин из Г — U, смежных точно с i вершинами из U, У» = |Yi|.
Пусть и^ содержит 3-вершинный подграф и, У»' — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У»'|. Если и является геодезическим 2-путем и1и2из, то по лемме 1.4 имеем |П| ^ 84. Аналогично доказывается, что |П| ^ 95, если и — объединение изолированной вершины и ребра. Таким образом, |П| ^ 84, если некоторая орбита и^ является пятиугольником. Утверждение (1) доказано.
Если П содержит вершину а степени 6, то П(а) — октаэдр.
Если Ь = 47, то П является полным многодольным графом К4Х2, а1(д) — 6 нечетно и делится на 9. Поэтому а1(д) = 15,105.
Если Ь = 46, то |П| = 13 и либо П — регулярный граф степени 6, либо П содержит две вершины а, Ь степени 11. В первом случае окрестности вершин в П являются октаэдрами, противоречие. Во втором случае П(а) = П(Ь) — регулярный граф степени 4 с = 4, противоречие.
Допустим, что П содержит вершину а степени |П| — 2. Тогда каждая вершина из П(а) смежна с вершиной Ь из П — а^. Далее, П(Ь) = П(а) — граф без 4-клик. Если П(а) содержит вершину с степени 4, то каждая вершина из П(а) — с^ смежна со всеми вершинами из П(а) П [с], поэтому |П| ^ 13. Допустим, что Ф = П(а) — регулярный граф степени 9. Тогда |П| четно. Если |Ф(с) ПФ(() = 7 для смежных вершин с, I, то Ф(с) ПФ(() является кокликой, Ф(с) — Iх = {с'} и Ф(() — сх = {('}. В случае | [с'] П Ф(с) П Ф(()| > 2 подграф Ф(с') содержит I' и Ф(с) П Ф((). Далее, вершина из Ф(с) П Ф(() смежна с 5 вершинами из Ф — ([с] и [I]), а вершина из Ф — ([с] и [I]) смежна, с 4 вершинами из Ф(с) П Ф((). Противоречие с тем, что число ребер между Ф — ([с] и [I]) и Ф(с) ПФ(() равно 35 и кратно 4. н и
Значит, [с'] содержит 2 вершины из Ф(с)П Ф((), вершину I' и 5 вершин из Ф — ([с] и [I]). Симметрично, [I'] содержит 2 вершины из Ф(с) П Ф(() и 5 вершин из Ф — ([с] и [I]). Теперь степень вершины е в графе Ф(с) П Ф(() равна 1, если е не смежна с с', противоречие. Итак, Ф — реберно регулярный граф с Аф =2 и окрестность любой вершины в Ф — девятиугольник или объединение четырехугольника и пятиугольника.
Если Ф — сильно регулярный граф с параметрами (V', 9, 2,4), то (2 — 4)2 + 4(9 — 4) не является квадратом целого числа, противоречие. Поэтому Ф(с) = Ф(е) для различных вершин с, е из Ф. Теперь для любой вершины I £ Ф(с) подграф Ф(() — объединение четырехугольника, содержащего с, е, и пятиугольника. Противоречие с тем, что число ребер между Ф — (с^ и е^) и Ф(с) равно 45 и кратно 4. Итак, в случае |П| > 8 подграф П не содержит вершин степени |П| — 2. Утверждение (2) доказано.
Пусть Ь = 45. Тогда |П| = 18 и степень любой вершины в П равна 6 или 11. Если П — регулярный граф степени 6, то он является локально полным многодольным, противоречие. Допустим, что П содержит смежные вершины а, с степени 11. Если |П(а) П [с]| = 9, то П(а) — с^ содержит единственную вершину а', П(с) — а^ содержит единственную вершину с', и П(а') П [с] содержит а, 4 или 9 вершин из [а] и вершину с'. Далее, смежная с а' вершина из П(а) П [с] смежна с с', 2 вершинами из П(а) П[с] и 5 вершинами из П —(а^ ис^). Противоречие с тем, что вершина из П — (а^ и с^) смежна с 4 или 9 вершинами из П(а). Значит, |П(а) П [с] | =4 и П(а) С а^ и с^. Для вершины е из П(а) П [с] подграф П(е) содержит а, с, в вершин из П(а) П [с] и 3 — в или 6 — в вершин из П(а) — с^, П(с) — а^. Отсюда в = 2 и П(а) П [с] — четырехугольник, вершины которого имеют степень 6 в П. Отсюда П(а) П [с] попадает в окрестность единственной вершины с* из П(а) — с^ и единственной вершины а* из П(с) — а^. Противоречие с тем, что подграф П(а) — ({с*} и с^) является 5-кликой.
Итак, вершины степени 11 в П образуют 21-коклику Ф. Так как вершина из П — Ф смежна не более чем с 2 вершинами из Ф, то 221 ^ 2(18 — 21) и I = 1. Положим Ф =
{а, Ь}. Тогда окрестность каждой вершины из П(а) П [Ь] содержится в {а, Ь} и (П(а) П [Ь]), П(а) П [Ь] — октаэдр и П(а) — [Ь] является 5-кликой, противоречие.
Случай Ь = 44 рассматривается аналогично. >
Лемма 3.2. Если |П| > 8, то выполняется одно из утверждений:
(1) |П| =28 и а1(д) =75;
(2) |П| =33 и а1(д) =0;
(3) |П| = 38 и а1(д) = 15;
(4) |п| =43 и а1(д) =30.
< Пусть |П| > 8. Тогда |Г — П| = 5Ь и ввиду леммы 3.1 имеем 19 ^ Ь ^ 43.
Пусть Ь = 43. Тогда |П| =28 и по целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 четно и делится на 9. Поэтому а1(д) = 75 и имеются 13 кокликовых (д)-орбит длины 5. Если и — пятиугольник, то уо + £ С""1) У» = 63. Так как уо ^ 24, то у5 ^ 6. Если и — ко-клика, то уо + £ С"1)у» = 108. Так как уо ^ 12, то у5 ^ 16. Если у5 = 16, то уо ^ 17, противоречие. Итак, у5 ^ 15 и число ребер между П и Г — П, деленное на 5, не больше 6 ■ 30+15 ■ 13 = 345.
Случаи Ь £ {42,41} рассматриваются аналогично.
Допустим, что Ь ^ 31. Тогда |П| > 84 и по лемме 2.2 в Г нет пятиугольных (д)-орбит. Отсюда а1(д) = 0 и |П| — нечетное число, кратное 3, и либо Ь = 24, |П| = 123, либо Ь = 30, |П| = 93.
Пусть Ь = 24 и |П| = 123. Тогда имеются 24 кокликовых (д)-орбит длины 5. Если и — коклика, то £ у» = 238, £ гу» = 330, £ (2)у» = 10 ■ 20 = 200 и уо + £ у» = 108. Так как уо ^ 102, то у5 ^ 1. Противоречие с тем, что уо ^ 122.
Пусть Ь = 30 и |П| =93. Тогда имеются! 30 кокликовых (д)-орбит длины 5. Если и — коклика, то £ у» = 238, £ гу» = 330, £ (2)у» = 10 ■ 20 = 200 и уо + £ у» = 108. Так как уо ^ 74, то 6у5 ^ 34 и у5 ^ 5. Теперь уо ^ 88, 6у5 ^ 20 и у5 ^ 3. В случае у5 = 3 имеем уо = 90, у1 + у2 = 145, у1 + 2у2 = 315, противоречие. Значит, число ребер между П и Г — П, деленное на 5, не больше 30 ■ 2, но не меньше 93, противоречие.
Случаи Ь £ {31,..., 39} рассматриваются аналогично.
Пусть Ь = 40. Тогда |П| =43 и по целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 нечетно и делится на 9. Поэтому а1(д) =30 и имеются 28 кокликовых (д)-орбит длины 5. >
В леммах 3.3-3.5 предполагается, что р = 5, |П| =43 и Ф — множество вершин степени 26 в П.
Лемма 3.3. Выполняются следующие утверждения:
(1) число ребер между П и Г — П, деленное на 5, не больше 384;
(2) П не содержит вершин степеней 36 и 31;
(3) Ф является 7-кокликой, и число вершин степени 21 в П не меньше 32;
(4) в Ф нет таких коклик С = {а, Ь, е}, что |П(а) П [Ь] | + |П(Ь) П [е] | + |П(а) П [е] | = 58.
< Если и — пятиугольник, то уо + £ (г-1) у» = 63. Так как уо ^ 34, то у5 ^ 4. В случае у5 =4 имеем уо = 39, у1 + 2у2 = 300, поэтому у1 = 90, у2 = 105.
Если и — коклика, то уо + £ (»"" )у» = 108. Так как уо ^ 22, то у5 ^ 14, поэтому уо ^ 29 и у5 ^ 13. В случае у5 = 13 имеем уо = 30, у1 + у2 = 195, у1 + 2у2 = 265, у1 = 125, у2 = 70. Противоречие с тем, что у2 = 10■ 8. Итак, число ребер между П и Г — П, деленное на 5, не больше 12 ■ 4 + 28 ■ 12 = 384. Утверждение (1) доказано.
Если П содержит вершину а степени 36, то П содержит 36 вершин степени, не большей 16, и 6 вершин степени, не большей 26. Поэтому указанное число ребер не меньше 6 + 36 ■ 10 + 6 ■ 8, противоречие.
Допустим, что П содержит вершину а степени 31. Тогда подграф из П(а), состоящий из вершин, смежных с 11 вершинами из П — а^, является т-кокликой. Если т ^ 10, то П — а^ является 11-кокликой, и указанное число ребер не меньше 7 + 42 ■ 9, противоречие. Если же т ^ 9, то указанное число ребер не меньше 12 ■ 7 + 22 ■ 10 + 9 ■ 9, противоречие. Утверждение (2) доказано.
Так как 43 ■ 9 = 387, то П содержит не менее 3 вершин степени 26. Ввиду утверждения (1) число вершин степени 21 в П не меньше 46 — 2|Ф|.
Если вершины а, с из Ф смежны, то П С а^ и с^ и П(а) П [с] состоит из вершин степени, не большей 16 в П. В этом случае Ф содержит не менее 12 вершин. Пусть Ь £ Ф(с) — а^. Тогда П(Ь) содержит с, вг вершин из П(а) П [с], 9 — в вершин из [с] — а^ и 16 вершин из [а] — с^, причем вг £ {4, 9}. Если е £ Ф(а) — с^, то можно считать, что [е] содержит П(а) П [с]. В этом случае для другой вершины е' £ Ф(а) — с^ подграф П(е) П [е'] содержит а, 16 вершин из Ф(с) — а^ и 4 вершины из П(а) П [с]. Поэтому Ф(с) — а^ = {Ь}, в = 9 и |Ф(а) — с^| ^ 14, противоречие с тем, что |[е'] П (Ф(а) — с^)| = 5. Итак, можно считать, что Ф — {а, с} С П(с) — [а]. Как и выше доказывается, что П(а) П [с] содержится в окрестности не более чем одной вершины из Ф(с) — а^ и можно считать, что в = 4. Поэтому |Ф(с) — а^| ^ 14, противоречие с тем, что |[Ь] П (Ф(с) — а^) = 5.
Итак, подграф Ф является кокликой. Для различных вершин а, Ь £ Ф подграф П содержит либо
а) 16 вершин из [а] П [Ь], по 10 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^ и 5 вершин вне а^ и Ь^, либо
б) 21 вершин из [а] П [Ь], по 5 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^ и 10 вершин вне а^ и Ь^.
Допустим, что |Ф| =3. Тогда Ф содержит 40 вершин степени 21 и М = 459 ребер.
Далее, число £ (2)хг равно 60 ■ 6 + 140 ■ 66 = 9600 и равно АМ + — М) — Е (г) =
9 ■ 459 + 21 ■ 444 — 39 ■ 25 — 40 ■ 210 = 4131 + 9324 — 8400 — 975 = 4080, противоречие.
Случаи |Ф| £ {4, 5} рассмаотриваются аналогично.
Допустим, что | Ф| = 6. Тогда Ф содержит либо 34 вершины степени 21 и 3 вершины степени 16, либо 35 вершин степени 21 и по 1 вершине степеней 11 и 16, либо 36 вершин степени 21 и 1 вершину степени 16. В первых двух случаях М = 459 и мы полуучим противоречие как и выше. Значит, М = (36 ■ 21 + 6 ■ 26 + 16)/2 = 464 и число ^ хг равно 9 ■ 464 + 21 ■ 439 — 78 ■ 25 — 36 ■ 210 — 120 = 3765. С другой стороны, Г — П имеет либо пятиугольную орбиту, смежную с 2 вершинами из П, либо две пятиугольных орбиты, смежных с 3 вершинами из П, либо кокликовую орбиту, смежную с 10 вершинами из П, либо две кокликовых орбиты, смежных с 11 вершинами из П. Противоречие с тем, что (2)хг равно 9600 минус 5, 6, 21, 22 соответственно. Итак |Ф| ^ 7 и число ребер между Ф и Г — П, деленное на 5 не меньше 56, поэтому некоторая вершина из Г — П смежна с парой вершин а, Ь £ Ф, |П(а) П [Ь] | = 16, и |Ф| ^ 7. Утверждение (3) доказано.
Для вершины е £ Ф — (а^ и Ь^) подграф П(е) содержит 5 вершин из П(а) П [Ь] и 16 — 5 или 21 — 5 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^. Если П(е) содержит 37 — 25 вершин из ([а] — Ь^) и ([Ь] — а^), то П(е) содержит 5 — 11 вершин вне а^ и Ь^ ив случае б) имеем 5 = 16.
Пусть с £ П(а) П [Ь] — вершина степени 21 в П. Тогда П(с) содержит 7 вершин из [а] П [Ь] и 4 — 7 или 9 — 7 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^. Если П(с) содержит по 4 — 7 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^, то |П(с) — (а^ и Ь^)| = 11 + 7, противоречие. Если П(с) содержит по 9 — 7 вершин из [а] — Ь±, [Ь] — а^, то |П(с) — (а^ и Ь^)| = 1 + 7. Если же П(с) содержит 13 — 27 вершин из ([а] — Ь^) и ([Ь] — а^), то |П(с) П (а^ иЬ^)| =6 + 7, выполняется случай б) и 7 = 4, противоречие с тем, что [с] П П(е) содержит либо не менее 10 вершин, либо от 5 до 8 вершин. Итак, П(с) содержит по 9 — 7 вершин из [а] — Ь^, [Ь] — а^.
Допустим, что П содержит 16 вершин из [а] П [Ь] и по 21 вершин из [а] П [е], [Ь] П [е]. Тогда П содержит по 16 вершин из [а] П [Ь] П [е], по 5 вершин из [а] П [е] — [Ь], [Ь] П [е] — [а], [а] — ([Ь] и [е]), [Ь] — ([а] и [е]), и 4 вершины вне а^ и Ь^ и е^. Пусть с — вершина из П(а) П [Ь] П [е], имеющая степень 12 в П. Тогда П(с) содержит 7 вершин из [а] П [Ь] П [е], р вершин из [а] П [е] — [Ь], ф вершин из [Ь] П [е] — [а], 9 — р — 7 вершин из [а] — ([Ь] и [е]), 9 — ф — 7 вершин из [Ь] — ([а] и [е]) и 7 вершин вне а^ и Ь^ и е^. Как показано выше, ф = 9 — 7 — р. Более того, |П(с) П [а] | = ф + 7 и |П(с) П [Ь]| =9 — ф сравнимы с 4 по модулю 5, поэтому ф £{0, 5} и 7 = 4. Можно считать (переставив при необходимости а и Ь), что ф = 0 и 7 = 4.
Пусть с, с' — смежные вершины из П(а) П [Ь], имеющие степень 21 в П. Тогда П(с) П [с'] содержит а, Ь, е, 4 вершины вне а^ и Ь^ и е^ и 2 вершины из П(а) П [Ь]. Поэтому П(с') содержит 0 вершин из [а] П [е] — [Ь], по 5 вершин из [Ь] П [е] — [а], [а] — ([Ь] и [е]) и 0 вершин из [Ь] — ([а] и [е]). Тогда П(с) П [а] П [Ь] — (с')^ содержит единственную вершину I и П(с') П [а] П [Ь] — с^ содержит единственную вершину I'. Далее, для любой вершины / из П(а) П [Ь] степени 21 в П подграф П(/) содержит не менее 17 вершин из П(с) или из П(с'). Противоречие с тем, что П(а) П [Ь] содержит не менее 12 вершин степени 21 в П. >
Лемма 3.4. В Ф нет таких коклик С = {а,Ь, е}, что |П(а)П [Ь] | +1П(Ь)П [е] | +1П(а)П [е] | =
48.
< Допустим, что П содержит 5 вершин из [а] П [Ь] П [е] и по 16 — 5 вершин из [а] П [Ь] — [е],
[a] П [е] — [Ь], [Ь] П [е] — [а]. Тогда П содержит по 5 — 6 вершин из [а] — ([Ь] и [е]), [Ь] — ([а] и [е]), [е] — ([а] и [Ь]) и 10 — 5 вершин вне а^ и Ь^ и е^. Ввиду леммы 3.3 имеем 5 = 6. Далее, П(е) П [а] П [Ь] содержит вершину с степени 21 в П и П(с) содержит 7 вершин из [а] П [Ь] П [е], по р вершин из [а] П [Ь] — [е], [а] П [е] — [Ь], [Ь] П [е] — [а], по 9 — 7 — 2р вершин из [а] — ([Ь] и [е]),
[b] — ([а] и [е]), [е] — ([а] и [Ь]) и 27 + 3р — 9 вершин вне ах и Ьх и ех. Так как 5 = 6, то 7 + 2р = 9 и 7 + р ^ 4, противоречие. >
Лемма 3.5. |П| = 43.
< Пусть |П| =43 и Фо — максимальный по включению подграф из Ф такой, что |П(г) П [г']| = 21 для любых двух вершин г, г' £ Фо. Если |П(г) П [/]| = 21 для некоторых вершин г £ Фо, / £ Ф — Фо, то ввиду леммы 3.3 имеем |П(/) П [г']| = 21 для любой вершины г' £ Фо, противоречие с максимальностью Фо. Значит, |П(г) П [/]| = 16 для любых вершин г £ Фо, / £ Ф — Фо. Ввиду леммы 2.3 имеем |П(/) П [/']| = 21 для любых двух вершин /,/' £ Ф — Фо. Далее, имеется не менее 8|Ф| — 40 = 16 орбит и^ длины 5, смежных с парами вершин из Ф. С другой стороны, число таких орбит не больше 3(7 — 3) = 12, противоречие. >
Лемма 3.6. Если р = 3, то |П| = 3Ь, а1(д)/18 — (Ь + 3)/2 делится на 3 и 2 ^ Ь ^ 24 или Ь £ {27, 33}.
< Пусть р = 3 и |П| = 3Ь. Тогда степень вершины в графе П равна 3г, любое ребро графа П лежит в 3^ треугольниках из П, а для любых двух вершин а, Ь, находящихся на расстоянии 2 в П имеем |П(а) П [Ь]| = 31.
Пусть и = и^ — орбита длины 3, У» — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У»|. Если и — клика, то у2 = 24 — 3уз, у1 = 144 + 3уз, поэтому у3 ^ 8. Если и — коклика, то у2 = 63 — 3у3, у1 = 72 + 3у3, поэтому у3 ^ 21.
Пусть Ь > 24. Тогда а1(д) = 0, х2(д) = ао(д)/6 + 7/2 и ао(д) — нечетное число, кратное 9, поэтому |П| £ {81, 99}.
Заметим, что 44 — (Ь + 7)/2 + а1(д)/18 делится на 3, поэтому а1(д)/18 — (Ь + 3)/2 делится на 3. >
Лемма 3.7. Пусть р = 2. Тогда верны следующие утверждения:
(1) если al (g) = 0, то IüI делится на 3 и IüI ^ 93;
(2) если al (g) = 0, то либо ü ^ 7Б и 3 — 3t + al (g) делится на 36, либо IüI = 107 и al (g) =24.
< Пусть p = 2 и ü =2t +1. Тогда степень вершины в графе ü равна 2i, любое ребро графа ü лежит в 2j — 1 треугольниках из ü, а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в ü имеем Iü(a) П [b]I = 2l — 1.
Пусть вершины u, u5 не смежны. Если w G [u5] — u^, то [w] содержит y вершин из [u] П [u5], 9 — Y вершин из [u] — (u521 — y вершин из [u5] — u^ и 3Б + y вершин вне u^ U (u5Заметим, что y > 0 для некоторой вершины w G [u5] — u^.
Пусть a1(g) = 0. Тогда X2(g) = (2t + 1)/6 + 7/2 четно. Если y G [u] П [u5] — ü и [y] содержит ó вершин из [u] П [u5] П ü, то I[y] — (u^ U (u5)^)I ^ 46 + ó. Поэтому ([y] — (y5U ([y5] — y^) содержит не менее Б4 + 4ó вершин вне u^ U (u5и IüI ^ 19 + (76 — 4ó). В этом случае IüI ^ 93. Если же Г — ü — регулярный граф степени 4Б, то ввиду леммы 1.3 имеем 162 ^ IT — üI ^ 1S0, поэтому 63 ^ ü ^ S1. Утверждение (1) доказано.
Пусть вершины u, u5 смежны. Если z G [u5]— u^, то [z] содержит ß вершин из [uj^u5], 9 — ß вершин из [u] — (u520 — ß вершин из [u5] — u^ и 36 + ß вершин вне u^ U (u5 Заметим, что ß > 0 для некоторой вершины z G [u5] — u^.
Если [u] П [u5] содержит смежные вершины w, w5, то [w] содержит не более 7 вершин из [u] — (u5)^, и из [u5] — u^ и не менее 49 вершин вне u^ U (u5Поэтому ([w] — (w5U ([w5] — w^) содержит не менее S4 вершин вне u^ U (u5и IüI ^ 7 + 36.
Если [u] П [u5] содержит две несмежные вершины w, w5, то [w] содержит не более S вершин из [u] — (u5и из [u5] — u^ и не менее 4S вершин вне u^ U (u5Поэтому ([w] — (w5U ([w5] — w^) содержит не менее 58 вершин вне u^ U (u5и ü ^ 7 + 62.
Если вершины z, z5 смежны и z G [u5] — u^, то [z] содержит ß вершин из [u] П [u5] и 36 + ß вершин вне u^ U (u5Поэтому ([z] — (z5U ([z5] — z^) содержит не менее Б4 + 2ß вершин вне u± U (u5и I üI ^ 9 + (66 — 2ß).
Допустим, что I ü I ^ 77. Тогда {u|| d(u, u5) = 1} является объединением изолированных ребер и I [u] П üI =9. Если подграф {u, u5} U ([u] П [u5]) U (Г — (ux U (u5)±)) содержит вершину w с d(w, w5) = 2, то Г — (w^ U (w5)±)) содержит не менее TG вершин из [u] U [u5] — ü, не менее Б6 вершин из ü, и не менее 6 вершин из {u|| d(u, u5) = 1}, противоречие. Значит, подграф {u, u5} U ([u] П [u5]) U (Г — (u^ U (u5)±)) совпадает с {u|| d(u, u5) = 1} U ü и al (g) ^ 54. Так как вершина из [u5] — u^ смежна с четным числом вершин из {u|| d(u, u5) = 1}, то al (g) делится на 12.
Пусть a1(g) = 12. Тогда ü = 119 и X2(g) = 119/3 — 4/6 + 7/2, противоречие. Пусть al (g) = 24. Тогда ü = 107 и X2(g) = 107/6 — S/6 + 7/2 = 20. Пусть al (g) = 4S. Тогда IüI = S3 и X2(g) = S3/6 — 16/6 + 7/2, противоречие.
Допустим, что IüI ^ 7Б. Тогда число 44 — X2(g) = (363 — 3t + al(g))/1S четно, поэтому 3 — 3t + al (g) делится на 36. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны. >
Литература
1. Журтов А. Х., Махнев А. А., Нирова М. С. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов // Тр. Института математики и механики.—2010.—Т. 16, № 3.—С. 185-194.
2. Cameron P., Van Lint J. Designs, graphs, codes and their links.—Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1981.—240 p.—(London Math. Soc. Stud. Texts 22).
3. Brouwer A., Van Lint J. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Designe / Eds M. Jackson, S. Vanstone.—1984.—P. 85-122.
4. Macay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra and its Appl.— 2009.—Vol. 432.—P. 2381-2398.
5. Cameron P. Permutation Groups.—Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1999.—220 p.—(London Math. Soc. Stud. Texts 45).
Статья поступила 7 апреля 2010 г.
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, заведующий отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
Токбаева Альбина Аниуаровна Кабардино-Балкарский госуниверситет, ассистент кафедры алгебры
РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: [email protected]
ON AUTOMORPHISMS OF STRONGLY REGULAR GRAPHS WITH PARAMETERS (243, 66, 9, 21)
Makhnev A. A., Tokbaeva A. A.
Orders and fixed-point subgraphs of automorphisms of strongly regular graphs with parameters (243, 66, 9, 21) are found. These results will be useful for investigations of automorphisms of strongly regular graphs with parameters (640, 243, 66, 108) (in such graph neighborhoods of vertices are strongly regular with parameters (243, 66, 9, 21)).
Key words: strongly regular graph, automorphism group.
