CC BY
51
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №8___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Х.С.Кучакшоев
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ТИПА ’’БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ” И НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ КЕЛЛЕРА-СИДЖЕЛА
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 14.09.2011 г.)
В данной работе рассматриваются ограниченные решения типа ’’бегущей волны” для простейшей модели хемотаксиса - система Келлера-Сиджела в одномерном случае. А также, при помощи преобразования Хопфа-Коула, рассматривается связь между неотрицательными решениями линейного уравнения теплопроводности и некоторыми частными решениями системы Келлера-Сиджела в одномерном случае.
Ключевые слова: бегущая волна - система Келлера-Сиджела - преобразование Хопфа-Коула. Рассмотрим простейшую модель системы хемотаксиса в одномерном случае[1]
ди(х1) = д_х1_(Ф. 05КхОх х£ ' > 0>
д1 дх дх дх ^
д2у( х, t) , ч _
---^—^- = _и(х, t), х е Я, t > 0.
дх
В «-мерном случае в работе [2] были получены автомодельные решения системы Келлера-Сиджела в случае глобального решения по времени и режим с обострением по отдельности.
Вначале рассмотрим только систему (1), не формулируя для неё конкретной задачи. Начальные и начально-краевые задачи можно рассмотреть по отдельности.
С учётом второго уравнения системы (1), первое уравнение системы запишем в виде
^ = ^хххх _Х(Ух^хх )х , (2)
Интегрируя уравнение (2) по х, находим
V* = ^ _1^хх + С^). (3)
Поскольку мы ищем частное решение,то для уравнения (3) рассмотрим случай ^(С) = 0, то
есть уравнение
_№„. (4)
Интегрируя последнее уравнение по х, получим
Адрес для корреспонденции: Кучакшоев Холикназар Соибназарович.734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]
V, = V,,-X V,2 + g (*). (5)
Лемма 1. Уравнение (5) можно получить из линейного уравнения теплопроводности wt = '№хх преобразованием Хопфа-Коула[3]
w{x,*) = е^’*)-/(*)), (6)
где /,(*)=g (*).
Доказательство. Продифференцировав (6), находим
X г*\\ -¥*X’*)-/(*))
^ =-—{V - g(*))е ’
X -%Мх,* )-/(*)) X2 2 -Хм X, *)-/(*))
w =------V е Н-V е .
XX 2 XX^ ^ х^
Подставляя найденные выражения в линейное уравнение теплопроводности
wt(X *) = ^ (X *)’ (7)
получим уравнение
-^е2™2 -2 = -2е222 2 (8)
X... X,*
X „2 (V(X*)-/)) ~2"
Из (8), сократив обе стороны на -^г е 2 ' " " , получим уравнение (5), что и требовалось
доказать.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если w(x, *) > 0 решение линейного уравнения теплопроводности (7), то
2
v( X, *) = / (*)—Ы w( X, *), (9)
X
где /’(г) = g(*), является решением уравнения (5).
Доказательство теоремы непосредственно следует из леммы (1).
Замечание 1. Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратное утверждение также является верным, то есть если v(x, *) решение уравнения (5), то w(x, *) из (6) является неотрицательным решением линейного уравнения теплопроводности (7).
Замечание 2. Чтобы получить неотрицательные решения линейного уравнения теплопроводности, достаточно требовать условие w(X, 0) > 0.
Это следует из принципа максимума для уравнения теплопроводности (7)[4].
Имеет место
Теорема 2. Пусть w(x,*) > 0 - решение уравнения (7), /(*) произвольная дифференцируемая функция, тогда
v(.X, *) = /(*) -11п w(X, *),
и(х^ = 2_ ^ (X *МX *) - ^ (X *) (10)
, Х w2 (X, *)
является решением системы (1).
Доказательство. Теорема будет доказана, если докажем, что первое уравнение системы (1) после подстановки соответствующих выражений для частных производных превратится в тождество. Запишем первое уравнение системы (1) в виде
— = — {и - %иу ). (11)
д* & х х
Из (10) находим
_2_ - 3WxWxxW + ^ „ __2 М
Ux 3 , Vx ,
X w X w
ди 2 w„w2 - + 2w2 w„.
ді х и
(12)
— {и -XUV ) = - -^ -2. (13)
дx x x X w3
Из (11)-(13) следует доказательство теоремы.
Чтобы решить задачу Коши для уравнения (5), заметим, что из преобразования Хопфа-Коула (6) имеем
/ал -2^(x,0)-/(0)) /1/|\
w(X, 0) = р(X) = е 2 . (14)
Рассмотрим следующую задачу для линейного уравнения теплопроводности (7)(см.напр.[4]). Найти w( X, *) - решение уравнения (7), удовлетворяющего начальному условию
w(x, 0) = р(x), р^) > 0, -ю< X <+да. (15)
Применив метод Фурье[4], получаем решение уравнения теплопроводности в виде
1 ^ _(у-х)2
и(х, і) = -^= | (р(у)е 4 йу.
2л[ж*
Следовательно, из (9),(14) и (16) находим решение задачи Коши для уравнения (5)
(16)
Ч Xі) = /(і) -
х
1 г е~Хо(уУ/ту(У4*) йу
(17)
У
где у0( х) = у( X, 0).
Введем обозначение
ч(х,у,і)=-(?о(у)-/т-^р-, <18)
Продифференцировав (9) дважды по х, находим
2 — — - '№2
VXX =-------хх-Г^, (19)
X -
где, используя обозначение (18), имеем
) — _
2у[жг
I е*ху >(„2+* >йу. (21)
= ■
2у[жі __
Также из (18) находим
у - X 1
П = ~2Г „XX =- ъ • <22>
*2 п = (у-х)2-2. (23)
Окончательно, из (17)-(23) и второго уравнения системы (1) получим
+ш +ш , ч 2 п.. (+<» \
I еп(хуг>йу I(у - х)^ - 21 еп(хп>Лу -I | у—х е*(>Лу
и(X,I) = ---------------^------—---------------- 2_ Ъ----------
х (+7 I л ^
I I еп(х,у,‘ йу
\-<»
где *(х, у, г) определено в (18).
Прежде чем будем искать ограниченные решения уравнения (4) типа бегущей волны, дадим следующее определение.
Определение 1. Решениями типа бегущей волны называются решения вида
у(X, г) = щ(X -с),
где величина с играет роль скорости распространения волны.
Введём обозначение
ср( X, г) = Vx (X, г). (24)
Тогда уравнение (4) приобретает следующий вид
^=Фж -Х<Р<Рх. (25)
Решения уравнения (25) будем искать в виде
<р(X, г) = в(£) = в( X - —г). (26)
Продифференцировав (26), находим
щ = —', щ = в' , = в”. (27)
Подставляя найденные выражения из (27) в (25), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
в” = хвв'-св' . (28)
Уравнение (28) запишем в виде
—в” = (в2)” -—в'. (29)
X X
Интегрируя уравнение (29), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
2 в' = в2-—в+с, (30)
X X
где С - постоянная интегрирования.
Как известно, непостоянные решения таких автономных уравнений стремятся к ±да или к одной из точек равновесия, то есть к решению правой части при г ^ +да.
Замечание 3. Уравнение (30) допускает ограниченные решения при условии
п —
С < —. (31)
X
Доказательство. Уравнение (30) имеет ограниченные решения, когда правая часть (30) имеет два различных действительных корня, то есть, когда
4с2
В = — -4С > 0.
X
Из последнего неравенства следует (31), что и требовалось доказать.
В предположении, что (31) имеет место, напишем (30) в виде
2 йв
- — = (в- а )(в- Ь ), (32)
X
где
а + Ь = — ,
X (33)
аЬ = С.
Поскольку мы ищем ограниченные решения, рассмотрим случай а < в < Ь .
Интегрируя уравнение (32), получим
2 1п Ь-в = " + С, (34)
X( Ь - а) в- а
где С2 - постоянная интегрирования.
Из (34) находим
Ь + аС е ^
в(") = Ь + • (35)
1+се"''7
Следовательно, из (26) и (35) получим
"1 + С2е^(^)
Из (24) находим
у( X, г) = {ср( X, г )й\. (37)
Подставляя (36) в (37), находим
у(X, г) = Ьx -—1п(1 + се 2 (x —)) + ^(г). (38)
Из второго уравнения системы (1) и (24)
и (X, г) = -фх. (39)
Следовательно,
С у(Ь - а)2^(^)
и{X, г) = ^ X X а) 2 . (40)
2[1 + Сге2 2 )]2
Замечание 4. Непосредственной проверкой можно убедиться, что из (40) следуют следующие предельные соотношения
Нш и(X, г) = 0, Нш и(X, г) = 0, Нш и(X, г) = 0.
Замечание 5. При условии Ь > а имеют место следующие равенства
I u(x,t)dx = I u0(x)dx = 2 —-Q. (41)
-f -f VX
Равенства (41) можно проверить непосредственным интегрированием.
о р
f u(x, t)dx — Um f u(x, t)dx + Um f u(x, t)dx —
J a^-<x J р^+w J
a
0 ^ su \2 XT-(x-at) p - si -2 )
і- Г C X(b - a) eX 2( , .. r C — - a) eX 22 , ,
lim —--------------——2—dx + lim I 2—-----——2—d— = b - a,
2[1 + C2eX~—— p^ — 2[1 + C———
a^-f
a 2[1 і c—
+f 0 p I u(x, 0)dx = lim I u(x, 0)dx + lim Iu(x, 0)dx
J a^-f J B^+f J
a^-f J p^+f •
a0
О C X(b - a)2 Xх p C X(b - a?eXx
lim f 2X(----------------------------------—b-dx + lim f 2X(-—-dx = b - a.
a^-fi 2(1 + C—--2)2 p^+co'0 2(1 ——2 2)2
Из (33) при b > a следует
Поступило 14.09.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Keller E.F., Segel L. - J. Theor. Biol., 1971, №30, pp. 235-248.
2. Кучакшоев Х.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с. 424-431.
3. Cole J.D. - Quart.Appl.Math., 1951 v.9, №3, pp. 225-236.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.:Наука 1972, 735 с.
Х.С.Кучакшоев
ХАЛХОИ МАХДУДИ НАМУДИ ’’МАВ^ХОИ ХАРАКАТКУНАНДА” ВА ЯКЧАНД ХАЛХОИ ХУСУСИИ СИСТЕМАИ КЕЛЛЕР-СИ^ЕЛ
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола халхои махдуди намуди ”мавчхои харакаткунанда” барои модели соддата-рини хемотаксисй - системаи Келлер-Сичел дар холати якченака дида шудааст. Ва инчунин бо ёрии табдилдихии Хопф-Коул алока байни халхои гайриманфии муодилаи хаттии гармигузаронй ва баъзе халхои хусусии системаи Келлер-Сичел дар холати якченака дида шу-дааст.
Калима^ои калиди: мавцуои харакаткунанда - системаи Келлер-Сицел - табдилдщии Хопф-Коул.
Kh.S.Kuchakshoev
BOUNDED "TRAVELING WAVE” TYPE SOLUTIONS AND SOME PARTIAL SOLUTIONS OF KELLER-SEGEL SYSTEM
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In this paper we consider bounded solutions of "traveling wave” type for the simplest chemotaxis model - Keller-Segel system in one dimension case . And using Hopf-Cole transformation, consider connection between nonnegative solutions of linear wave equation and some partial solutions of Keller-Segel system in one dimension case.
Key words: traveling wave - Keller-Segel system - Hopf-Cole transformation.
