CC BY
82
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________2010, том 53, №6_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Х.С.Кучакшоев
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КЕЛЛЕР-СИДЖЕЛА
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 15.03.2010 г.)
В работе получены автомодельные решения системы уравнений Келлер-Сиджела в п -мерном случае. Найдены отдельные решения для случая глобального решения по времени и случая режима с обострением.
Ключевые слова: система Келлера-Сиджела - хемотаксис - автомодельное решение - режим с обострением.
Рассмотрим п -мерный случай системы Келлер-Сиджела
ды
— = Au - %V ■ (uVv), x є Rn, t > 0, dt
Av = -u, x є Rn, t > 0, u(x,0) = u0 (x) > 0, x є Rn,
(1)
известной в литературе как модель хемотаксиса (см. напр.[1]). Здесь через ы(х,I) обозначена плотность клеток или бактерий, через у(х, t) - концентрация хемоаттрактантов, определяющая направленный перенос клеток или бактерий, а постоянная % >0 - отражает чувствительность бактерий к химическим сигналам и называется также и мерой нелинейности системы [4].
По отдельности рассмотрим автомодельные решения системы (1) в случае глобального решения по времени и для случая режима с обострением.
1. Глобальное решение по времени
Будем искать автомодельное решение (см. напр.[3]) в виде
u( x,,..., xn, t ) =
t + T
в
n
Zx
2 = 1
Vt + T0
(2)
<
1
Адрес для корреспонденции: Кучакшоев Холикназар Соибназарович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
v( Xj,..., хп, t ) = р
f п \
EX
2 = 1
Vt + To
V У
(3)
где T0 = const, T >0 .
Ex
Введем обозначение E = ! 1 - и находим —, V • (mVv), Am, Av.
3m
3t (t + To)2 T(t + T0)2 ^t + T0
n
v^ (uvv)=7-—I m)p (E))'
(t + To)2
n
Am = -^-7в''(E),
(t + To)2
n
Av = ^— р '(E), t + T
Подставляя найденные выражения в уравнения системы (1), получим
E пи
-e(E) ' (E) = ne ' '(E) - nX(e(E)P (E)) ',
np ' '(E) = -e(E).
(4)
Из системы (4) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка
вида
E
р' ' + \р' ' ' = -npm + nX(p' р') '.
(5)
Решения уравнения (5) находим методом понижения порядка, то есть введем обозначение
р (Е) = F (Е). (6)
Следовательно, получаем уравнение
F ' + E F '' = -nF ' '' + n%(FF' ) ' .
(7)
Заметим, что
£ 1
р' + £ р' ' = 1(£р ) ' 2 2
(рр') , = 1( р2) ' '.
Таким образом, из (5)-(9) следует уравнение
или
(Р ' +—ЕР-% Р 2)" = 0.
2п 2
Из уравнения (10) следует, что
Р ' +—ЕР-% Р2 = С £ + С.
2п 2 12
Уравнение (11) является уравнением Риккати. Уравнение Риккати Бернулли, если известно одно частное решение данного уравнения [2]. автомодельное решение (1), подберем постоянные С и С таким образом, имело частное решение вида
Это возможно в случае, когда
р = А£ + В.
02=2 - 2П С ж 2Х
Из (11)-(13) находим
А =-------, В = -2пСх.
пХ
Следовательно,
р = £-2пС.
пХ
Введем замену
р (Е) = Р(Е) + л(Е).
Из (11)-(15) следует уравнение Бернулли
(8)
(9)
(10)
(11)
сведется к уравнению Поскольку мы ищем чтобы уравнение (10)
(12)
(13)
(14)
(15)
Л’ + (2пС— )Л = ЖТЛ'2.
2п 2
(16)
Уравнение (15) сведется к линейному уравнению заменой [см. напр.2]
Л
ю
(17)
Из (16) и (17) получаем линейное уравнение
ю + (£-2пСіХ)ю —.
2п 2
(18)
Решение уравнения (18) имеет следующий вид
(0 = е
2 пСіХЇ-^-4 п
ґ г ,2 ^ У £----------2 пС, у—
Со--! е4п 1 й—
2 о
V J
(19)
Следовательно, из (17) и (19) получаем
£ 2пС1у£
о4п 1
Л
в Т
У £---2пС УТ
С--! е4п і—й—
2
(20)
Из (14),(15) и (20) находим решение уравнения (7) следующего вида
£
р (£) = ^~ - 2пСі + п-
е
£2
£---2пС—£
4 п 1
£ Т2
Со--£ е^ -2пС1-т
2 о
й—
(21)
Поскольку вначале мы ввели обозначение (6), следовательно, из последнего уравнения получаем выражение для р(Е)
£ Ф
р(£) =! (— 2пСі + 0 п—
е
----ЪпС—ф
4п
У ф —-2 пС —т
С-—! е 4п й—
)Ф.
2
Окончательно,
£2
2
Р(£) = ~---------2пСі£-----1п
2п— —
2пСі——
2С0 -—! е4п й—
2 С
(22)
1
2
о
2
0
2
Г
£
о
Введем обозначение
£--2иС, —£
р(£) = е4п і .
(23)
Следовательно,
Р'(£) = (£- 2пС—)р. 2п
Из (6),(21) и (23) имеем
р' = £— 2пС + Р(£)
п—
Со-—!р(т)й—
2 о
Из (25) и второго уравнения (4) находим
(24)
(25)
(£ - 4п2 С—)р(£)(2Со- —! р(—)й—)+2п—р2 (£) 0(£) =---------------------------------------------^-.
—
(2Со -іІР(т)йт)
(26)
Таким образом, из (2),(3),(22) и (26) получаем следующие автомодельные решения
і г і
и( Хі,..., хп, і) = ——[---------
і + То —
п
£х,
Xх, Бх л/=+гт
( і=і ^ - 4п2Са)р( 11 )(2Со-— ! р(—)й—)+2п—р2
Ґ п \
БХ
;=і
Vі+то
V У ■
бх-
2Со ! р(—у—
(бх )2 бх
у(Х1,...,Хи,і)= . ^ х-2пСіИ^-
Бх
Ф+ Т0
2п— + То) 'ф+Т
1п
—
2Со-— ! р(—)й—
___________о______
2С„
2. Режим с обострением
Для случая, когда решение уходить в бесконечность за ограниченное время, автомодельное решение будем искать в виде
2
о
п
п
о
2
п
1 Ex
m(j^.^xn,t) = 7f— ^ Г X (27)
To t •\/T0 t
Тхг
v(xi,...,x„,t) = ц( Г X (28)
V^c -1
где T0 = const, T0 > C.
Подставляя (27) и (28) в уравнения системы (1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
о(С) + ^о '(С) = О '(С) - пХ(о(С)ц'(С))', пЦ (С) = -о(С),
где
п
с = -Г= ™
\ТС 1
Из системы (29) следует обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка
ц4)-Х(ц"ц')' -1 (|ц"'+ц"] = c. (31)
Вводя обозначение
Ц(С) = Z (С), (32)
из (31) и (32) получаем уравнение Риккати
z ’-с z-£z 2= с с+C. (33)
2п 2
Уравнение (33) в случае
Q= -
2^n2 C1 +-+ n1
(34)
имеет частное решение
Г
^ = —— + 2пСх. (35)
п-
Проделав аналогичную работу, как и в случае глобального решения по времени, находим общее решение уравнения (33) для случая (34),(35)
г
1 = —— + 2пС + -
п— і
-п-C—-—-
уг 2п—С—-Т-
Сп --!е і 4пй—
о о •'
2 о
(36)
Из (31) и (36) находим /л—)
—
2
Л—) =----------+ 2пС— —-----1п
2- -
/" Т
— 2п—Сл—----
2Со е 4пй—
о
2С
(37)
Введем обозначение
2п—С С-—
¥—) = е 4п.
(38)
Из второго уравнения (29) и уравнений (37) и (38) находим
(4п2—Сі -ГМ—)(2Со -—| ¥(—)й—) + 2п—щ2{—)
°—) = і-------------------------------------------------Н-.
— (2Со --)щ(т)йт)2
о
Таким образом, из (37) и (39) мы получаем автомодельные решения (27),(28).
(39)
и( Хі,..., хп, І) =
Т - і
То 1
4п2С1—-
бх
¥
п
Бх
і=і
V У
Бх
(2Со - - ! ¥(—)йт) + 2п¥
п
Бх
і=і
V
-
Бх
у
-і
2Со- — ! ¥(—)йт)
(|х)2
■ + 2пС1
Бх 2
і=і - — 1п
2п—(То- І) 1 іт0- І) —
п
Бх,
2Со-— ! ¥(тМт)
2С
2
о
ЛИТЕРАТУРА
1. Keller E.F., Segel LA. - J. Theor. Biol, 1971, 30, pp.235-248.
2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989, 382 с.
3. Самарский А.А., Галактионов В.А. и др. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987, 477 с.
4. Илолов М., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. - ДАН РТ, т.51, №12, стр.
Х.С.Кучакшоев
Х,АЛЛХ,ОИ АВТОМОДЕЛИИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ КЕЛЛЕР-СИ^ЕЛ
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола хдлх,ои автомоделии системаи муодилах,ои Келлер-Сичел дар х,олати n-ченака ёфта шуданд. Хдлли глобалй вобаста аз вакт ва хдлли х,олати майлкунй ба беохир во-баста аз вакт чудо-чудо дида шудаанд.
Калима^ои калиди: системаи Келлер-Сицел - хемотаксис -решауои автомодели. -рецаи майлкунй ба беохир.
Kh.S.Kuchakshoev
AUTOMODELLING SOLUTIONS OF SYSTEM OF KELLER-SEGEL EQUATIONS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In this paper we found automodelling solutions of system of Keller-Segel equations in n-dimension case. The case of global solution in time and blow up solution we consider separately.
Key words: Keller-Segel system - chemotaxis - automodelling solutions - blow up.
