CC BY
20
УДК 621.391: 517. 518:510.52
ОДНОВИМІРНЕ ФІНІТНЕ ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕРВНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є НА ОСНОВІ СПЛАЙНІВ ПЕРШОГО СТЕПЕНЯ
УДОВИЧЕНКО в.м.
Пропонуються оператори обчислення одновимірно-го фінітного дискретно-неперервного перетворення Фур’є на основі сплайнів першого степеня. Доводиться, що оператори, коефіцієнти Фур’є в яких замінені запропонованими квадратурними формулами, інтерполюють наближувану комплексну функцію дійсного аргумента у вузлах квадратурної формули. Наводиться оцінка похибки наближення модуля комплексної функції дійсного аргументу запропонованими операторами.
1. Постановка проблеми та мета даного дослідження
Як визначив академік НАН України І.В.Сергієнко [1, с.3], на сучасному етапі розвитку науки “Об’єктами дослідження є різного роду математичні моделі, задачі цифрової обробки сигналів і захисту інформації, відновлення функцій і функціоналів, ”, “ Ефект від використання оптимальних та близьких до них алгоритмів еквівалентний ефекту від використання нової елементної бази та сучасної архітектури обчислювальних машин.” Створення операторів обчислення одновимірного фінітного дискретно-неперервного перетворення Фур’є на основі сплайнів першого степеня належить до наведеного вище напряму розвитку науки.
Пряме і обернене одновимірне перетворення Фур’є [2, с.50]
H (f) = J h (t)exp( - j 2л ft) dt, h(t) = J H(f)exp(jInft)df
в прикладних задачах, орієнтованих на комп’ютерні технології, використовують у вигляді дискретного перетворення Фур’є [2, с.58]:
N-1 _______
X(k) = T 2 ф] exp(-j2лкп/N) , к = о(n-Д-
n=0 v '
, N-1 _______
ф] = (NT) 2 х[к] exp( j 2жкп / Щ, п = 0Д N -1 .
к=0 v ’
(1)
Одновимірне дискретне перетворення Фур’є у вигляді (1) з точки зору характеристик точності має недоліки, які розглянуто в роботі [3, с.207-209]. Над усуненням цих недоліків працюють як в Україні [4, с.144-146], так і за кордоном [5].
Метою даної роботи є розширення можливостей перетворення Фур’є в плані побудови операторів обчислення одновимірного фінітного дискретно-неперервного перетворення Фур’є, які б мали поряд
з властивостями неперервного наближення дискретної функції властивість
LMSMG(uf) = G(up), p = ~М,М .
2. Виклад основного матеріалу
В даній роботі для наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є
П
bm (G) = (1/2ж) j G(u) exp(-imu)du, m =—N,N; —ж
комплексної функції дійсного аргументу G (u) = Re G(u) + i ImG(u); Re G(u),
ImG(u)eCk (-л,ж), к = 0,1,2,3,...
використаємо підхід, запропонований в [6], модифікований в [4, с.144-146], і застосуємо таку наближену формулу:
М ( Р+1 А
«M;SmPl(G) = (1/2У) ^ G(up) J h 1(u,p,М)X
Р=-М ( p- 1) д
х exp (-i mu) du , (2)
h 1(u,p,M) = (| t-1 -2\t|+ | t +11)/2 ,
t = u/Д-p , (3)
up = p Д, Д = 2n/(2M +1),
m = —N, N; M > N. (4)
Обчисливши (2) із врахуванням (3), (4), одержимо
H, Sp1
* M, m
(G) =
1 - cos(m Д)
М
^m2 Д
X G(up)>
1
p=-M exp (-imp Д), m Ф 0;
М
2 M + 1
X G (up), m = 0.
p=-M
(5)
При застосуванні (5) враховуємо вимоги одновимірної теореми дискретизації [8, c.10], [9, c.26] з метою
вибору необхідного M для даної функції G (up). Оператор
N
UnXG (v) = X a M ,SmPl(G )exp( imv ) , m=—N
v еЭТ, ЭТ=( -ж, ж) (6)
дозволяє обчислювати неперервне наближення функції G(u) за її дискретними відліками G (up ) , up є( — ж, ж).
Теорема 1. Оператор (див. також [4, 7])
N
LNM G(v) = X gFMSpm1(G)exp(im^), vern,(7)
m=—N
82
РИ, 2003, № 4
, F, Sp1 tG.
де gM, m (G) =
F, Sp1 tn ,
aM, m (G)
dMSSm [ЄХР( imu )]
M
m =-N,N ;(8)
dM Svp[exx>(imu)] = (1/In') ^ exp(imup)x
p=-M
( p + 1 A
x I h1(u,p,M)exp(imu)du, (9)
(p- 1 A
up = p A, Д = 2ns, s = 1/(2M + 1 , m = -N,N; M > N, має такі властивості:
LM SMG(up) = G(up), p = -M,M . (10)
Доведення. Виконавши обчислення (8) з урахуванням (2)-(5), (9), одержимо
F, Sp1 (G) M G( ) [ex
gM, m (G) =S b G( up ) I !
p=-m У 1
exp (-i m p Д), m Ф 0,
m = 0, f,(11)
m = -N, N,
тобто (7) в цьому випадку має вигляд
TF, Sp1G^ N M Gt Jexp(-impA),m ф0
ln,MG(v) =s L L G(up)і, m_0
m=-Np=-M l1 m~ °’
xex^imv), уєШ . (12)
Перецдемо від неперервного рєЯ до дискретного
uk : щ = k Aq , щ є(-ж,ж), k = -Q,Q ;
Aq = 2жХ, X = 1/(2Q +1).
Нехай виконуються умови:
Q = M, N = M, k = -M, M; Aq = Д Тоді для (12) одержимо
M
m=—M
k = -M, M .
lMjsM1<g (uk)=s S G (p A) x
p=-M
M (exp( - imp A )exp( imk A), m Ф 0,
A,1 1, m = 0, f • (‘З)
Маючи на увазі, що
M
^ exp( - imp A )exp( imk A) = 0, p Ф k m=—M
а також враховуючи, що
M \ exp( - imp A )exp( imk A), p = k, m Ф 0,
Al 1
m=—M
= 2M +1,
m = 0,
одержимо з (13)
LFMSpM1G(uk) = G(kA), k = -M,M Таким чином, теорема 1 доведена.
РИ, 2003, № 4
Теорема 2. Нехай Rv’M’1 G(x) = G(x) - lN’M G(x) є похибка наближення функції G (x) за допомогою оператора LMp1 G(x);rNG(x) = G(x)-SNG(x) є похибка наближення функції G(x) сумою Фур’є порядкуN:
N
Sn G (x) = X Ck exp(ikx) ,
k=—N
1 я
Ck =— [ G (x )exp( - ikx )dx 2ж J
—Ж
1 — одиничний оператор. Тоді виконується співвідношення:
R NM G(x) = pnG(x) -L N,SM1 I^nG(x)] =
= (I - LN%1) rN G ( x ) .
Доведення. Враховуючи (10) і лінійність операторів R n M G (x), можна стверджувати, що оператори L N’ Sp^1 G (x) точно відновлюють всі тригонометричні поліноми порядку
N < M: L FN’ Sp1 [SnG(x)] = SnG(x).
Тому
G (x) = SnG (x) + pn G (x) ^ R^ Sp 1 G (x) =
= SnG (x)+pnG (x) - L N,^1 [ Sn G( x) + pn G( x)] = = SnG (x)+pnG( x) - L NM1 SnG (x) -_L FJ,Svi1 pnG(x) = pnG(x)-
“L N.m1 pnG(x) =(1 - L к,,!м11) png (x). Отже, отримали доведення теореми 2.
Наслідок. Враховуючи, що
ЗQ>0: I pnG(x)|<C1
ln N
Nk
G
(k)
C[-n,n] ,
C1 = const, k = 0,1, 2, ...
для всіх періодичних з періодом 2ж функцій G(x) єЄk [~ж,ж], k = 0,1,2,..., для оцінки похибки наближення G(x) за допомогою оператора
L N Spf1 G (x) отримаємо таку нерівність:
ln M
rFmX G(x)
k = 0,1,2,... .
< C,
I - L
F, Sp 1
M, M
Mk
G(k)
С [-7Т,7Т\
(14)
Тестовий приклад. В табл. 1, 2 подані результати обчислення оцінки наведеної похибки наближення
модуля функції u(x) = G (x) - T G (x) для a1, ji 1, у 1
та a2, у2 відповідно,
83
де:
G(x) = x3 -3x2cos(x/5-я735) + isin(x 13-л;111) TG(x) є лінійний тренд G( x) [11, c.98]: a 1 = max ||G(xr )| -\SNG(xr )||/ max |G(xr)|,
-ж<xr <ж
- R < r <R
pi = max
-R<r <R
y1 = max
- R <r < R
|G(;
U
F, Sp1
N, M
G (xr)
/ max |G(xr )|,
|G(xr)|-|lN;^1 G(xr) / max |G(xr)|
a1 = max ||G (xr )|-I SnG (xr )||/
-M <r <MV 1
max IG (xr)|
—П<Ху <П ‘
pi = max
—M <r <M
yi = max
—M <r <M
\G(xr)|-IU Sp1 G(xr) / max |G(xr)|
|G (xr )| -
F, Spi
‘ N, M
G( xr)
/ max |G(xr )|
для N = M , де N — порядок тригонометричного полінома; 1M +1 — кількість значень функції G (xp ), що використовується у формулі (2); 1R +1 — кількість точок xr = 1^r/(iR +1), r = -R,R , у
яких обчислюються числа а.1, Р1, у1; 1M +1 — кількість точок xr = 1ят/(іМ +1), r = -M,M , у яких обчислюються числа ai, pi, yi ; Sn G(xr) -
сума Фур’є, U NN’ Mr1 G(xr) — оператор, що визначається (5), (6); LNMP1 G( xr) — оператор, що
визначається (7), (11). З’ясовано, що ^1 = pi для значень M , наведених в табл. 1, 2.
Таблиця 1
M R а 1 Р1 у 1
10 50 i,i Е-i 3,1Е-2 3.4 Е-i
30 150 7,4Е-3 1.1 Е-i 1.i Е-і
100 500 i,i Е-3 3,4 Е-3 3,5 Е-3
300 1500 7,4 Е-4 1,1 Е-3 1,1 Е-3
Таблиця 2
M R а 1 у 1
10 50 1,1 Е-2 0
30 150 6,9Е-3 2,0Е-15
100 500 1,1 Е-3 6,2Е-15
300 1500 6,9 Е-4 1,9Е-14
3. Висновки та перспективи подальших досліджень
1. Запропоновано оператор (5), (6) обчислення фінітного дискретно -неперервного перетворення Фур’є з використанням сплайнів 1-го степеня.
2. Запропоновано оператор (7), (11) обчислення одновимірного фінітного дискретно-неперервного перетворення Фур’є з інтерполяційними властивостями (10).
3. Отримана оцінка (14) похибки наближення комплексної функції дійсного аргументу G (x) за
TH, Sp1^, ч
допомогою оператора L n M G (x).
4. Наведено приклад, який підтверджує теоретичні твердження автора.
5. Отримані результати узагальнюють твердження роботи [5].
Перспективи подальших досліджень у даному напрямку автор вбачає у застосуванні запропонованих операторів обчислення фінітного дискретно -неперервного перетворення Фур’є на основі сплайнів 1-го степеня при вирішенні деяких задач вимірювальної техніки, математичного моделювання та комп’ютерної діагностики. Перспективним, на думку автора, є застосування розглянутих операторів у деяких відомих непараметричних та параметричних методах спектрального оцінювання сигналів, у цифровій обробці сигналів.
Автор висловлює подяку д-ру фіз.-мат. наук, проф. Литвину О.М. за суттєві зауваження, які були враховані.
Література: 1.Комп’ютерна математика. Оптимізація обчислень / Зб. наук. праць. НАН України. . Т.1. К., 2001.452с. 2.Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения, М.: Мир, 1990. 684с. З.Удови-ченко В.Н. Точностные характеристики одномерного дискретного преобразования Фурье / Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов. SIAP-89. Рига, 1989. 4. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Наближений метод відновлення функцій за допомогою тригонометричних сум, точний на тригонометричних поліномах заданого степеня / Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев., 1999. 5. Jiahong Yin, Alvaro R. De Pierro, and Musheng Wei. Reconstruction of Compactly Supported Function from the Discrete Sampling of its Fourier Transform. IEEE Transaction on Signal Processing, vol.47, №12, December 1999. 6. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. Roy.Soc. Edinburgh. 1928.-49. p.38-47. 7. Удовиченко В.М. Одновимірне фінітне дискретно—неперервне перетворення Хартлі на основі кусково-сталих сплайнів / Вестник национ. технич. университета “ХПИ”, 18’2002. Харьков. С. 127-132. 8. Каппелини В., Константинидис А.Дж, Эмилиани. Цифровые фильтры и их примене-ние.-М.: Энергоатомиздат., 1983. 360с. 9. Жуков А.П. Метод Фурье в вычислительной математике. М.: Наука. 1992. 176с. 10. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. Харків: Основа. 2002. 644с. 11. Отнес Р, Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. 428 с.
Надійшла до редколегії 17.03.2003 Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Литвин О.М.
Удовиченко Володимир Миколайович, канд. техн. наук, доцент кафедри “Вимірювальна інформаційна техніка ” НТУ “ХПІ ”, м. Харків. Наукові інтереси: математичні методи цифрової обробки сигналів. Адреса: Україна, 61000, Харків, вул. Фрунзе, 13, е-mail: vlad [email protected].
84
РИ, 2003, № 4
