Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. M0ller J., Waagepetersen R.P. Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. N.Y.: Chapman and Hall, 2004.

8. Geyer C. Likelihood inference for spatial point processes // Stochastic geometry, likelihood and computation / Ed. by O. Barndorff-Nielsen, W.S. Kendall, M.N.M. van Lieshout. Boca Raton: Chapman and Hall, 1999. 79-140.

Поступила в редакцию 01.09.2010

УДК 514.774.8+515.124.4+519.17

КРИТЕРИЙ АДДИТИВНОСТИ КОНЕЧНОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА И МИНИМАЛЬНЫЕ ЗАПОЛНЕНИЯ

О. В. Рублева1

В работе получен новый критерий аддитивности конечных метрических пространств, основанный на свойствах минимальных заполнений в смысле М. Громова.

Ключевые слова: метрические пространства, аддитивные пространства, минимальные заполнения в смысле Громова, минимальные деревья Штейнера.

A new additivity criterion of a finite metric space is obtained in the paper. The criterion is based on properties of minimal trees in Gromov's case.

Key words: metric spaces, additivity spaces, minimal fillings in Gromov's case, Steiner minimal trees.

Введение. Исследование минимальных заполнений конечных метрических пространств было предложено А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным в [1]. Являясь частным случаем обобщения проблемы Громова [2] о минимальных заполнениях на стратифицированные многообразия, рассматриваемая проблема представляет и самостоятельный интерес как обобщение другой классической задачи, а именно проблемы Штейнера о поиске кратчайшей сети, соединяющей заданные терминалы [3]. Напомним основные определения. Пусть О = (V, Е) — некоторый конечный связный граф, где V — множество вершин, а Е — множество ребер графа О. Если задана неотрицательная функция и: Е ^ М+, обычно называемая весовой, то пара 0 = (О, и) называется взвешенным графом. Для каждого маршрута 7 и каждого подграфа Н во взвешенном графе 0 определены их веса и(^) и и(Н) соответственно, равные сумме весов всех входящих в них ребер. Это позволяет превратить множество вершин связного взвешенного графа 0 в метрическое пространство, положив расстояние между вершинами графа 0 равным наименьшему возможному весу соединяющего их в 0 маршрута. Таким образом определенную функцию расстояния обозначим через с!ш.

Связный взвешенный граф 0 = (О,и), где О = (V,,Е), называется заполнением псевдометрического пространства М = (М, р) (в отличие от метрического пространства расстояния между разными точками псевдометрического пространства могут быть равны нулю), если М С V и для любой пары точек х и у из М выполнено неравенство р(х,у) ^ (1Ш(х,у). Величина и(О) называется весом заполнения 0. Инфимум весов всевозможных заполнений псевдометрического пространства М обозначается через ш1(М) и называется весом минимального заполнения пространства М. Заполнение 0, для которого и(О) = ш1(М), называется минимальным заполнением пространства М. В работе [1] показано, что минимальное заполнение всегда существует, причем при поиске минимального заполнения для М = (М, р) можно ограничиться рассмотрением деревьев О = (V,,Е), М С V, у которых все вершины степени 1 и 2 принадлежат М. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что эти условия выполнены. Границей дО дерева О будем называть некоторое фиксированное подмножество множества вершин дерева О, содержащее все его вершины степени 1 и 2.

Оказалось, что в теории минимальных заполнений псевдометрических пространств важную роль играют так называемые аддитивные пространства (см. [1]). Эти пространства также часто встречаются в приложениях, таких, как биоинформатика, теория эволюции (см., например, [4]). Напомним, что конечное метрическое пространство М = (М, р) называется аддитивным, если существует взвешенное дерево

1 Рублева Ольга Владимировна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: rableva-olga91@mail.ra.

0 = (С,и), С = (У,Е), такое, что дС С М С V и метрика р совпадает с ограничением на М метрики . Дерево 0 в этом случае называется порождающим для М. Не всякое псевдометрическое пространство является аддитивным. Хорошо известен следующий критерий аддитивности [5, 6]: псевдометрическое пространство (М, р) аддитивно, если и только если для него выполняется следующее правило четырех точек: для любых четырех точек рг, рз, рк, рг из М величины р(рг,рз) + р(ри,рг), р(рг,рк) + р(рз,Р1), р(рг,рг) + р(рз,рк) являются длинами сторон равнобедренного треугольника с основанием, не превосходящим боковой стороны. Неаддитивным пространством является, например, четырехточечное пространство, такое, что три его точки в данной метрике образуют треугольник со сторонами 1, 2, 3, а четвертая точка лежит в центре описанной окружности.

Предварительные результаты. Приведем определения и результаты из [1], необходимые для формулировки и доказательства основного результата.

Пусть С = (V, Е) — произвольное дерево с некоторой границей М. Напомним, что в силу сделанного соглашения М содержит все вершины дерева С степени 1 и 2. Выбросим из С некоторое ребро е, и пусть С1 и С2 — связные компоненты полученного леса. Положим Мг = МПСг. Легко проверить [1, лемма 7.1], что множества Мг непусты. Полученное разбиение {М1 ,М2} множества М обозначим через Рс(е).

Пусть 5 — множество, содержащее к элементов. Назовем циклическим порядком на множестве Б произвольную циклическую перестановку п: Б ^ Б. Два элемента из Б назовем соседними в смысле циклического порядка п, если один из них является п-образом другого. Нумерацию («1,..., в к) элементов из Б назовем согласованной с циклическим порядком п, если п(«г) = «г+1 для каждого г, г < к. Ясно, что нумерация («1,... ,«к), к = |Б|, согласована с циклическим порядком п, если и только если вг+1 = пг(«1) для всех г, г < к. Для каждого циклического порядка на множестве Б существует к согласованных с ним нумераций.

Циклический порядок п на границе М дерева С назовем планарным по отношению к С или обходом С, если для каждого е £ Е и Мг £ Рс(е) существует единственная вершина р £ Мг, для которой п(р) £ Мг. Последнее означает, что имеется такая согласованная с п нумерация множества М, что в ней элементы множества М1 предшествуют элементам множества М2.

Приведем эквивалентное (см. [1]) определение планарного порядка на М в терминах укладок. Пусть С' — некоторая укладка (вложение) дерева С на плоскость. Рассмотрим обход вокруг дерева С'. Изобразим последовательно встречающиеся при таком обходе точки, соответствующие вершинам из М, последовательными точками на ориентированной окружности Б1. Отметим, что каждая вершина р из М встречается deg р раз, где deg р — степень вершины р. Для каждой вершины р £ М степени больше 1 из всех соответствующих ей точек окружности оставим одну произвольную. Тем самым мы построили инъекцию V: М ^ Б1. Определим циклическую перестановку п, положив п(р) = д, где V(д) следует за V(р) на окружности Б1. Будем говорить, что построенный циклический порядок п порожден укладкой С'. Ясно, что укладка С' порождает ^Прем degр циклических порядков.

Пусть М = (М, р) — конечное псевдометрическое пространство и п — произвольный циклический порядок на М. Периметром пространства М по отношению к порядку п назовем величину

Р(М,п) = £ р(р,п(р)),

рем

а шш^ Р(М,п), где минимум берется по всевозможным циклическим порядкам п на М, назовем периметром псевдометрического пространства М и обозначим через Р(М).

Кроме того, в дальнейшем нам понадобится следующее обозначение. Если 0 = (С, и) — некоторое заполнение конечного псевдометрического пространства М = (М, р), то множество всех циклических порядков на М, планарных по отношению к дереву С, т.е. всех обходов С, будем обозначать через О(С) или через 0(0). Будем также говорить, что каждый такой планарный порядок определен на М.

Утверждение 1 [1, утверждение 7.2]. Пусть 0 = (С,и) — взвешенное дерево с границей М и п — произвольный циклический порядок на М. Тогда

(р,п(р)) > 2и(С).

рем

Более того, равенство достигается, если и только если п — планарный порядок по отношению к С.

Утверждение 2 [1, следствие 7.1]. Пусть 0 = (С, и) — произвольное заполнение псевдометрического пространства М и п — некоторый планарный порядок из О (С). Тогда и (С) ^ р(М,п).

Пусть М = (М, р) — произвольное конечное метрическое пространство и 0 = (С, и) — некоторое его заполнение. Путь, соединяющий граничные вершины дерева 0, будем называть граничным, а граничный путь, вес которого равен расстоянию между его концевыми вершинами в пространстве М, — точным.

Критерий аддитивности. Основным результатом настоящей статьи является следующий критерий аддитивности.

Теорема. Вес минимального заполнения псевдометрического пространства равен полупериметру этого пространства тогда и только тогда, когда пространство аддитивно.

Нам понадобится несколько лемм, к формулировке и доказательству которых мы и переходим.

Лемма 1. Пусть G = (G,u) — минимальное заполнение псевдометрического пространства M. Предположим, что вес минимального заполнения равен полупериметру данного метрического пространства, т.е. p(M) = u(G). Тогда р(п, M) = p(M) для любого планарного порядка п Е O(G).

Доказательство. По утверждению 2 для произвольного планарного порядка п Е O(G) выполняется неравенство р(п, M) ^ u(G). Следовательно, так как p(M) — наименьший полупериметр, имеем p(M) ^ р(п, M) ^ u(G). Но по условию леммы p(M) = u(G), откуда р(п, M) = p(M), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть G = (G,u) — минимальное заполнение метрического пространства M = (М,р). Предположим, что p(M) = u(G). Пусть п Е O(G) — произвольный планарный порядок. Тогда все граничные пути, соединяющие соседние относительно порядка п вершины, точны.

Доказательство. По утверждению 1 имеет место равенство 2u(G) = ^^ d-(р,п(р)). Согласно лем-

рем

ме 1, ^^ р(р,п(рг)) = P(п, M) = P(M). По определению заполнения d- ^ р, следовательно, рем

2u(G) = d-(р,п(р)) р(р,п(рг)) = P(M). рем рем

Так как по условию 2u(G) = P(M), то все неравенства выполнены в форме равенств, а именно р(р, п(р)) = d-(р,п(р)) для всех р, т.е. все пути, которые соединяют вершины р и п(р), точные. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть G — дерево с границей M. Любые две граничные вершины дерева G являются соседними относительно некоторого планарного порядка из O(G).

Доказательство. Пусть р, q Е M. Ясно, что существует такое вложение G' дерева G в плоскость, что граничный путь, соединяющий р и q, переходит в отрезок некоторой прямой £, а все остальное дерево расположено в одной полуплоскости, ограниченной I. Тогда при обходе плоского дерева G' вершины р и q будут соседними. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. В [1, следствие 8.5] доказано, что если метрическое пространство аддитивно, то длина минимального заполнения этого пространства равна его полупериметру. Докажем обратное. Пусть вес минимального заполнения G = (G,u) равен полупериметру пространства M = (М,р). Возьмем любые две точки р и q из М, и пусть п Е O(G) — некоторый планарный порядок, в котором р и q являются соседними (такой порядок существует в силу леммы 3). Тогда из леммы 2 вытекает точность граничного пути в G, соединяющего р и q, поэтому с!ш(р, q) = р(р, q). В силу произвольности выбора точек р и q из М дерево G является порождающим для M, что и означает аддитивность последнего. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что для аддитивного пространства (М, р) равенство р(М, п) = u(G) выполняется для каждого планарного по отношению к G порядка п на М. Заметим, что таких планарных порядков не меньше чем 2^м 1_3. В дальнейшем будет интересно рассмотреть следующий вопрос.

Пусть (G, и) — бинарное дерево, являющееся минимальным заполнением пространства (М,р). Предположим, что равенство р(М,п) = u(G) выполняется для 2^м|_3 порядков пространства М. Верно ли, что (М, р) является аддитивным пространством? Тот же вопрос можно поставить для планарных по отношению к G порядков на М. Если ответ отрицательный, то какое наименьшее количество точных порядков (обходов) достаточно потребовать для аддитивности пространства М?

Автор пользуется случаем выразить благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи и помощь в работе, а также Н. П. Стрелковой за замечания, способствовавшие улучшению текста.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (НШ-3224.2010.1), программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракт 02.740.11.5213) и гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012.

203, № 5.

2. Gromov M. Filling Riemannian manifolds //J. Diff. Geom. 1983. 18, N 1. 1-147.

3. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.

4. Deza M.M., Deza E. Encyclopedia of Distances. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.

5. Зарецкий К.А. Построение дерева по набору расстояний между висячими вершинами // Успехи матем. наук. 1965. 20, № 6. 90-92.

6. Simöes-Pereira J.M.S. A note on the tree realizability of a distance matrix //J. Combin. Theory. 1969. 6. 303-310.

Поступила в редакцию 16.09.2010

УДК 517.518.43

ИНТЕГРАЛ ХЕНСТОКОВСКОГО ТИПА НА КОМПАКТНОМ НУЛЬМЕРНОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАЗИМЕРЫ

В. А. Скворцов1, Ф. Тулоне2

Изучаются свойства интеграла хенстоковского типа, который определяется на компактном нульмерном метрическом пространстве. Получены теоремы об интегральном представлении так называемых квазимер — линейных функционалов на пространстве "полиномов", определенных на пространстве указанного вида.

Ключевые слова: интеграл Хенстока-Курцвейля, нульмерное метрическое пространство, базис дифференцирования, квазимера, интегральное представление линейных функционалов.

Properties of a Henstock type integral defined on a compact zero-dimensional metric space are studied. Theorems on integral representation of the so-called quasi-measures, i.e., linear functionals on the space of "polynomials" defined on the space of the above mentioned type are obtained.

Key words: Henstock-Kurzweil integral, zero-dimensional metric space, derivation basis, quasi-measure, integral representation of linear functionals.

В [1] мы определили дифференциальный базис на компактном нульмерном метрическом пространстве и интеграл хенстоковского типа относительно этого базиса. Указанный интеграл был применен для решения некоторой задачи гармонического анализа. В данной работе мы продолжаем изучение свойств этого интеграла и получаем более общие, чем в [1], теоремы об интегральном представлении так называемой квазимеры. Подобные результаты получены нами ранее в случае нульмерной группы [2]. Как мы увидим, методы работы [2] могут быть применены и в случае нульмерного метрического пространства, не обладающего групповой структурой.

Напомним некоторые обозначения и определения из [1]. Пусть определена последовательность {Cn\c^Ll покрытий компактного нульмерного метрического пространства X, такая, что

(a) элементы Kn покрытия Cn при каждом фиксированном n не пересекаются и являются открыто-замкнутыми множествами;

(b) каждый элемент покрытия Cn содержится в некотором элементе покрытия Cn_i при n ^ 2;

(c) Ci = {X};

(d) Un=i Cn образует базу топологии в X.

Поскольку пространство X компактно, покрытие Cn конечно при каждом n Е N. Пусть Cn =

г m(n)

|Kn j . Условимся, что Kn обозначает произвольный элемент покрытия Cn. Для каждого x Е X

1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vaskvor2000@yahoo.com.

2 Тулоне Франческо — науч. сотр. Департамента математики и информатики Университета г. Палермо (Италия), e-mail: tulone@math.unipa.it.