CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И _______ . /972 ~ '
№ 3
УДК 533 69.01
ОБТЕКАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА С ЗАТУПЛЕННЫМИ КРОМКАМИ ПРИ СИЛЬНОМ СЖАТИИ В УДАРНОМ СЛОЕ
В. В. Михайлов
Рассматривается течение невязкого совершенного газа около поверхности плоского треугольного крыла, установленного под нулевым углом атаки на достаточном удалении от передних затупленных кромок. Получено решение при числе Мдд =оо и показателе адиабаты 1.
Теория гиперзвукового обтекания тонких тел, широко применяемая для решения двумерных задач, была, вероятно, впервые использована для изучения трехмерных течений в работах М. Д. Ладыженского. В частности, некоторые особенности обтекания треугольного крыла с затупленными кромками изучены в работе [1].
В работе [2] ценою введения большого числа упрощающих предположений проведено более подробное исследование указанных течений.
Ниже будет получено асимптотическое решение задачи при числе Моо=оо и показателе адиабаты х-»1 для той области течения
на плоском треугольном крыле с затупленными кромками, в которой скорость близка к максимальной. Угол атаки крыла считается равным нулю, газ невязким и совершенным.
1. Введем обозначения: «£/,», vUX1, и»£/оо — составляющие скорости вдоль осей х, у, 2 прямоугольной системы координат (фиг. 1); /?р<»£/оо — давление; ррга — плотность; £/«> , рсо — соответственно ско-
рость и плотность набегающего потока; / — угол стреловидности; к — половина толщины крыла; Р}, т — соответственно координата^ и наклон головной ударной волны к их. Все линейные размеры будем считать отнесенными к Л.
Систему уравнений Эйлера запишем в виде
ди + ди + ди dp
р и дх pv ~ду pw dz dx
dv + dv + dv dp
р и дх pV ~ду pw dz dy
dw + dw + dw dp
р и дх pv pw dz dz
d_pu dpv_ djw u2 + vt + w*,J*_P_==i , дх ^ ду + дг ’ + ^ + х—1 р
Рассмотрим течение вдали от передних кромок крыла, где значение т мало и давление в возмущенной зоне течения по порядку величины равно т2. Тогда, учитывая, что согласно уравнению адиабаты /?1,х/р<! (*— 1) О (1), из последнего уравнения системы (1.1) будем иметь
Ди = 1 — и < О (т2 <*-> )/*) — 0.
В этой же области из решения для скользящего крыла
w = О (Ди) -» 0.
Подставляя оценки w и Ди в систему (1.1) и полагая характерные длины х — z, получаем, что с относительной погрешностью, не превышающей уравнения переходят в двумерные вдоль
каждого сечения z — const (теория полос [4]). При этом третье уравнение отделяется от системы (1.1) и имеет решение, отличное от w = 0. Отсюда следует, что вблизи оси крыла должно существовать другое решение для w в области с характерным размером Дz<iO(x), удовлетворяющее условию w = 0 при z — 0. В уравнении для w в этом решении должна сохраниться производная dw/dz, т. е. Др — pw2—pw.
Таким образом, Дpjp~w — г2^-1)/* и давление вблизи оси должно быть слабовозмущенным относительно решения по теории полос [4].
В дальнейшем будем рассматривать течение для предельного случая х-»1, t2 -»0. Двумерная задача при указанном предельном переходе изучалась в работе [3], где показано, что всю область возмущенного течения можно разделить на тонкий ударный слой, в котором заключена основная масса газа, и область между ударным слоем и телом, в которой давление в поперечном направлении постоянно. Часть последней области занимает прилегающий к телу энтропийный слой, т. е. сЛой с энтропийной функцией р^!х р -—' 1.
К рассматриваемому трехмерному течению применима аналогичная схема с постоянным давлением между ударным слоем и телом, если масса газа в этой области сохраняет свой порядок величины (например, происходит растекание энтропийного слоя вблизи оси крыла).
Исходя из сказанного, преобразуем систему (1.1), приняв, что-за ударным слоем р = р(х, г), а в самом ударном слое®—Ди— х2, т. е. с относительной погрешностью х2 справедлива теория полос.
В этом случае для вычисления давления за ударным слоем применима формула Ньютона—Буземана для плоского тонкого тела
<]'2>
Из (1.1) следуют соотношения
дриДи др-яДа , дрдаДи _ др
дх ду дг дх ’
Ди =——г—+ -^- + 0(Д и2); Ди = 1 — и.
X — 1 р ^
Подставим последнее из них в первое и проинтегрируем полученное выражение от поверхности крыла _у = 0 до y — R, полагая р = р (х, Z). Тогда при х -* 1 получим
^ + (1.3)
Учитывая то, что возмущения давления вблизи оси малы, и обозначая индексом „0“ решение, соответствующее теории полос при 2 = 0, искомые функции представим в виде
Р = Ро(*,.У)[1 + 0(Ди)]; р = р0(х)+р1(х,г);
R = R0 (х) + Ri(xtz); w = w(х, у, z); О (г) = Дг. ■
Введем вместо у функцию тока (J) для основного плоского течения и преобразуем т-ретье уравнение (1.1) к следующей форме:
dw , dw 1 др, ( дф дЬ \ ..
= = °'4>
Вдали от кромки решение по теории полос, соответствующее сильному взрыву и' следующее из (1.2) и (1.3) (членом с djdz пренебрегается), имеет вид
р=-А(х гtgх)—2/3; R —В(х - ztgx)2/3;
pR = AB = cx(х—1); А = const; В = const.
Здесь сх — коэффициент сопротивления затупленной кромки скользящего крыла, отнесенный к удвоенному скоростному напору Poo^oo[c^ = XKSthpaaUla); X — сопротивление единицы размаха, затупление симметричное]. Разлагая полученное решение в ряд по z и обозначая joJ/x/p0 = F ('{О (х—1)/(* + 1). гАе (4*) = О (1), получим р == [F(x - l)]-i (х + 1) Av% x-1-У3 + ... ; р = Ах-213 + 2/3 A tg '/2л:_5/3 +
R = ВхW — 2/3 В tg х zx~v3; w — l/2tg xA^-^xf + ...;
здесь if = — 2(x — l)/(3x).
Согласно проведенным ранее оценкам, вблизи оси крыла Ар ~ рх ~ pz2 t*-1)/*.— х^~2/3.
Из разложения (1.5) рх — 2x~5/3, и для согласования порядка pL вблизи оси необходимо ввести Z = 2Л-*"1 — 1.
(1.5)
Поперечный размер зоны влияния вершины крыла г„ ~л:1+т/2, поэтому г->оопри г„ ~ 1, х -»оо, и для рассмотрения течения вблизи оси крыла можем записать
Переходя к переменной г и подставляя р0-\~Ри Яо+Ки в уравнения (1.2)—(1.4), окончательно получим
здесь £ = />* + /?*; фш — значение ф на поверхности крыла.
В уравнениях (1.7) учтено, что АВ — сх{*. — 1), А ~ (х — 1)2/3, Ах~1 -»1, а в коэффициентах отброшены члены порядка 7. Штрихом в (1.7) обозначены производные пог. Верхний предел в интеграле от Т72®;* по ф положен равным бесконечности, так как гк1, а интеграл от Г2 сходится при ф-*оо (это следует из решения [3] для случая обтекания затупленной пластины).
2. При выводе системы (1.7) предполагалось, что х-»■ 1 (?-*0), но значение х тем не менее строго не равно единице (т2<*-1>/* 1).
Однако, после того как система уравнений получена, можно ожидать, что во внутренней зоне при г ~ 1 ее решение для малых ^ будет близко к решению при ч = 0. Исключая область течения с малыми г и полагая в (1.7) 7 = 0, для решения задачи во внутренней зоне будем иметь
Учитывая внешние условия, из второго уравнения (2.1) получим решение да* (ф) = 1. Естественно, что это решение может быть справедливым лишь до некоторого минимального значения г, так как оно не удовлетворяет условию непротекания.
Минимальное значение г определяется линией тока, которая (при заданном ф) прошла через вершину крыла. Поэтому при
Ближе к оси крыла линий тока с заданным значением ф не существует, т. е. произошло растекание.
р1 = 2/3 А ух'1~213 р* (г); Я, = 2/3^ ух<^ Я. (г); да = 1/2 tg х^Л <х~1,/х х! да* (г);
(1.6)
/?* (— Я*) — г, да* 1 при г -* оо. ,
да^ (1 /2 tg х яу* — г) + Т — *' + И[) = 0; ^-3/?% +Зг/?;-9/2 г2Я" = 0;
(2.1)
да'(1/2/^ х да* — г) = 0;
£ — 3/?* + 3 г/?' — 9/2 г2 Я* =0.
оо>г> 1/2 ^(ф^х
т* (Ф) — 1 •
(2.2)
Отсюда следует, что если ^(ф) — монотонно убывающая функция, то значение ф на поверхности крыла может быть вычислено из соотношения _
2 = \/2 F(tyw)igx- (2.3)
В уравнении (2.3) значение ф„, = 0 ограничивает по 2 всю область, в которой происходит растекание газа. При2> l/2F(0)tgx =
— zt на поверхности крыла фц, = 0, и справедливо решение для скользящей пластины.
Физическая картина обсуждаемой схемы течения соответствует тому, что градиент давления не влияет на форму линий тока при 2 = 0 (1), но количество газа, текущего в высокоэнтропийном слое, уменьшается с уменьшением z за счет вытекания частиц, прилегающих к поверхности крыла. Благодаря этому правая часть первого уравнения (2.1), выражающая изменение внутренней энергии за счет поперечного перетекания, отлична от нуля при 2<2Ь когда ’
Ф« = Ф® (2).
С учетом (2.2), (2.3) из системы (2.1) получаем следующее дифференциальное соотношение:
^' = -о^(-UV (2.4)
° СХ
■ Согласно [3] функция ^(ф) при *-*• 1 может быть найдена для всех конечных значений ф по форме головного скачка уплотнения, полученного из теории Ньютона—Буземана для течения со свободным слоем.
В этом случае значение F(tyw) будет вычисляться неправильно лишь вблизи 2<0(1)[Ф>0(1)], т. е. там, где ^(ф)<!0(1) и высокоэнтропийного слоя нет.
Будем считать функцию .Р(ф) известной и обсудим вопрос о выборе начальных условий для решения уравнения (2.4).
Пусть .Р(ф) строго убывает при росте ф. Тогда фw{z) функция непрерывная и из внешних условий следует t = 0 при z = zv Если же вблизи поверхности крыла на некотором отрезке ф значение F{ty) = const (течение изэнтропично), то при 2 = 2, функция г? должна терпеть разрыв, определяемый приращением интеграла в правой части первого уравнения (2.1) при переходе точки zx [tyw(z) имеет разрыв при z = z1].
3. Получим решение системы (2.1) для случая кругового затупления. При круговом затуплении функция F(ф) монотонна, а отрыв ударного слоя происходит при ф = (2/3)1/2. Учитывая, что F (ф) ^ 1, при х 1 из решения Ньютона — Буземана имеем /7(ф) = соз2х(1—ф2) при ф<(2/3)1/2;
/^(Ф) = cos2 xU +(3 /Зф-2]/2 )2]-1 при ф> (2/3)1/2.
Из соотношений (2.3) и (3.1) следует
2, = 1/2 ,F(0) tg х = Sin 2х/4.
Тогда, вводя новую переменную C = z/zi, из (2.3) и (3.1) получим
Ф. = (1-С)1/а при 1 >С>1,3; |
Ф„ = (2>Л2 + VW- 1 )//2f при 1/3>С>0. I
} (3-1)
(3.4)
В предельном случае х -»1 коэффициент сопротивления кругового затупления равен
Сл = (8/27)1/2с оэ2/..
Подставим это значение сх в (2.3), обозначим ^х = ^° и приведем (2.3) к виду
Л 8У‘2 с1С v '
Вычислив о^ш/с?С из (3.2) и проинтегрировав (3.3) при граничном условии £°(1) = 0, найдем следующее решение для *°: ’
*° = + ПРИ 1 !/3;
^ агсэШ VI — агсвШ ~=-1 при 1/3 > С > 0.
В этом решении Л°/£К обращается в бесконечность при С = 1 и С = 0. Однако значение во всем диапазоне С конечно и поэтому может быть найдено из полученного решения в первом приближении.
Решение для Я*, зная £°, найдем из последнего уравнения (2.1) в квадратурах. Для этого введем #° = (Я* + 2^х и перепишем указанное уравнение в виде
Ч (12 /?о
/° — 3/?° +, 3 С ------С2 = 0; Я°(1) = 0,
отсюда
с с
(с / С-2 с?С - £2/31 С-«/8йК) • (3.5)
1 1
Если обозначить р° = (р% —■ г) х и использовать связь = £—Я*,
то для вычисления /7° будем иметь
р° = —Я0. (3.6)
Функции Я0 и /)° являются умноженными на tgx добавками к Я* и /?*, если последние вычислены по решению для скользящей пластины. Поэтому полное решение для р и Я может быть записано следующим образом:
/> = Л + 2/ЗЛхт-2/зро(с); ,
Я = Яс + 2/3 Вх1 +** Я0 (С); 1 1 '
здесь рс и Яс соответствуют решению для скользящей пластины, а постоянные Л и 5 — коэффициенты в этом решении, полученном по теории полос и теории сильного взрыва: рс = А(х—г\%у)~213\ Яс = В (х — г tg х)2/3; /?° = Я° = 0 при С>1; С = 4/з1п 2х, т —
=-2(х-1)/(3*).
4. Решение для Я0 и /7°, полученное численным интегрированием соотношения (3.5), представлено на фиг. 2. Кроме этого, из (3.4) — (3.7) можно сделать и некоторые качественные выводы. Во-первых, согласно (3.7) относительное изменение давления на оси крыла вследствие влияния его вершины не зависит от угла
стреловидности. Во-вторых, при X —> 1 существенное изменение давления, вызванное влиянием вершины, происходит в области с по-
перечным размером z, меньшим по порядку величины зоны влияния. Относительная величина этой области изменяется при изменении угла стреловидности пропорционально sin2у.
В заключение отметим, что найденное решение требует выполнения условий х 1, ^(х-ц/х о> т. е. справедливо на все ббльшем удалении от передних кромок крыла при х 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ладыженский М. Д. О пространственном гиперзвуко-вом течении около тонких крыльев. ПММ, т. 28, вып. 5, 1964.
2. Лунев В. В. Гиперзвуковое обтекание треугольной пластины с притупленными передними кромками. Изв. АН СССР. .Механика", 1965, № 3.
3. Михайлов 'В. В. Обтекание тонких затупленных тел с оторвавшимся ударным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 5.
4. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1967.
Рукопись поступила 17jIX 1971 г.
