CC BY
50
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2
№ 6
УДК 533.695.5.011.35
ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ СИММЕТРИЧНЫХ ПРОФИЛЕЙ ОКОЛОЗВУКОВЫМ НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКИМ ПОТОКОМ
Б. С. Замтфорш, М. Я■ Иванов
Рассматривается обтекание плоской решетки симметричных профилей без угла выноса потоком идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа с переменной энтропией под нулевым углом атаки. Период неравномерности предполагается равным шагу решетки. Исследуются дозвуковые и трансзвуковые режимы течения, причем область потока может содержать скачки уплотнения. Проведенный анализ основан на численном интегрировании уравнений нестационарного двумерного течения идеального газа при не зависящих от времени граничных условиях. Стационарная картина течения вырабатывается в процессе установления и является асимптотическим решением нестационарной системы уравнений для достаточно большого интервала времени.
Рассматривается обтекание плоской решетки симметричных профилей без угла выноса потоком идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа с переменной энтропией под нулевым углом атаки. Период неравномерности предполагается равным шагу решетки. Исследуются дозвуковые и трансзвуковые режимы течения, причем область потока может содержать скачки уплотнения. Проведенный анализ основан на численном интегрировании уравнений нестационарного двумерного течения идеального газа при не зависящих от времени граничных условиях. Стационарная картина течения вырабатывается в процессе установления и является асимптотическим решением нестационарной системы уравнений для достаточно большого интервала времени.
Большая часть известных результатов анализа обтекания решетки профилей получена с использованием различных приближенных подходов, основанных на методе возмущений, принципах линеаризации и других теориях. Из обширной библиографии по этому вопросу отметим только более поздние исследования [1] — [3], в которых рассмотрены стационарные и нестационарные режимы обтекания плоских и пространственных решеток. Наиболее сложная картина течения в решетках реализуется при трансзвуковых скоростях потока, когда система уравнений, описывающая движение газа, эллиптико-гиперболического типа и положение линий параболичности (звуковых линий) заранее неизвестно.
Эффективным аппаратом изучения смешанных до- и сверхзвуковых течений является метод установления, основанный на интегрировании полной системы нестационарных уравнений газодинамики с помощью конечноразностных методов. Выбор разностной схемы, удобной для численного исследования обтекания решетки профилей, можно сделать, используя опыт решения смежных задач аэродинамики. Так, с одной стороны, при стремлении шага решетки к бесконечности осуществляется предельный переход к задаче обтекания единичного профиля. Замена условий периодичности потока на границах, отстоящих на расстоянии шага, условиями непротекания сводит задачу к исследованию течения идеального газа в профилированном канале. Для анализа сложных режимов течения
в решетке необходимо использовать разностную схему, которая дает правильные результаты в случаях существования значительных градиентов параметров, местных сверхзвуковых зон, ударных волн различной интенсивности и других возможных особенностей течения.
Опубликованные в последнее время работы [4] — [6] содержат некоторые результаты численного исследования с помощью метода установления течения идеального изэнтропического газа в турбинных решетках.
В статье проведено исследование течения невязкого и нетеплопроводного газа в плоской решетке профилей с острыми передними и задними кромками по разностной схеме С. К. Годунова [7], [8]. Ранее эта схема использовалась для анализа стационарных и нестационарных течений в соплах и каналах [9], [10]
причем было установлено, что она обеспечивает достаточно узкую локализацию скачков на разностной сетке. Представлены примеры расчета смешанных (до- и сверхзвуковых) течений, содержащих ударные волны, в случае набегающего потока с постоянным и переменным распределением энтропии.
1. Рассмотрим течение идеального газа в плоской решетке профилей. Декартову прямоугольную систему координат ху выберем, как показано на фиг. 1. Ось абсцисс х направим перпендикулярно фронту решетки, а ось ординату—вдоль него. Пусть t — время,/», р, е, I — давление, плотность, удельная внутренняя
энергия и энтальпия; т —модуль вектора скорости, а и и V — ее проекции на оси х
и у. Дифференциальные уравнения течения и соотношения на сильных разрывах эквивалентны следующей системе интегральных законов сохранения:
777рйхйу + ^ р (ийу — г/йх) = 0;
5 г
§ § рас1хс1у + ^ [рЛу + ри (ис1у — юАх)} ~ 0;
5 г
-щ- § [ руйх<1у + ^ [ри {ийу — ю(1х) — рйх] = 0;
£ г
Ц р (2 е + ®2) йхйу + р (21 + ■&*) (ис1у — иЛ*) = 0,
й
47
(1.1)
!
где 5 — произвольная, не зависящая от времени площадка в плоскости ху. а Г — ее граница. Интегрирование вдоль Г осуществляется против часовой стрелки. К системе (1.1) следует добавить уравнения состояния, которые для совершенного газа с показателем адиабаты % имеют вид
е=р/(х— 1) р, / = е + р/р = ър !(■>.— 1) р.
(1.2)
Все параметры удобно считать безразмерными. Приведение к безразмерному виду достигается отнесением координат в характерному размеру I, скоростей— к характерной скорости и*, времени —к отношению //а*, плотности — к своему характерному значению р*, давления — к р^. и, наконец, внутренней энергии и энтальпии —к и*. (Индекс »*“ свидетельствует о том, что параметры употребляются в их критическом значении). При таком обезразмеривании параметров вид соотношений (1.1) и (1.2) не изменяется.
Как отмечалось выше, метод численного решения основан на разностной схеме, предложенной в работах [7] и [8]. Ввиду того что схема и порядок вычислений подробно описаны в работах [7] — [9], остановимся только на деталях, характерных для рассматриваемой задачи.
Рассчитываемая область течения (см. фиг. 1) представляет собой канал, верхняя АВСй и нижняя ЕРйН границы которого составлены из профилей лопаток ВС и ТО и отрезков границ АВ, СО, ЕР и йН. Граничные условия на любом участке границы, включая и торцовые АР. и ОН, не зависят от времени. На отрезках ВС и ТО, соответствующих стенкам лопаток, ставится условие непроте-кания (равенство нулю нормального компонента скорости); на границах АВ, ЕР, СО и йН выполняются условия периодичности. На правой границе рассматриваемой области течения (вдоль линии ОН) считалась заданной величина статического давления газа Ры [10], на левой границе области (вдоль линии АЕ) используется равенство нулю производной от компонента скорости и по х [9], а также считаются заданными энтальпия торможения, энтропия и угол натекания, который во всех вариантах настоящей статьи был равен нулю. Результаты расчетов показали, что границы АЕ и ОН достаточно выбирать от решетки на расстоянии шага Т.
Область течения в направлении оси х разбивается на N слоев отрезками
вертикальных прямых, которые нумеруются следующим образом: и = 0, 1.......Л^,
где я = 0 отвечает отрезку АЕ, а п — N - отрезку ОН. Каждая вертикальная граница разбивается на К равных частей, и соответствующие точки соседних
границ соединяются между собой прямолинейными отрезками: *=0,1............К,
причем к — 0 отвечает линии £ТО//, а к — К — линии АВСй. В итоге вся область течения разбивается на элементарные четырехугольные ячейки (см. фиг. 1), каждой из которых ставится в соответствие два числа (п — 1/2, к — 1/2). Средним по ячейке параметрам в момент времени ( приписываются нижние индексы (Р/г—1/2 к—1/2 и т- д-)> а в момент t + т, где т — шаг по времени, аналогичные
верхние индексы (р"-1/2' к~ 112 и т. д.). Параметры на отрезках границ, осреднен, ные по интервалу времени [Л t-\-•z], обозначаются большими буквами (к, Р,Р-и, V—соответственно плотность, давление, внутренняя энергия и проекции скорости на границах ячеек).
Для расчета /?, Р, Е, и, V на границах АВ, СО, ЕР и йН вводятся некоторые вспомогательные ячейки с номерами к = —1/2 и к — К.-\- 1/2 (см. фиг. 1). Из условия периодичности в ячейках, примыкающих сверху к участкам границ АВ и СО, имеем .
Р/Г+1/2 — Р1/2: “аЧ-1/2= и\Р’ • • •> а в ячейках, примыкающих снизу к границах ЕР и йН, имеем Р—1/2 = Р/г—1/2 ! а-М’1~ик~Мг'’ ■ ' ■
Положение этих границ выбирается в значительной степени произвольно. В настоящей статье они были параллельны оси х. При обтекании симметричных профилей без угла выноса набегающим потоком под нулевым углом атаки движение газа через эти границы отсутствует.
Все необходимые расчетные формулы приведены в работах [7], [8], постановка начальных и граничных условий изложена в работах [9] и [10].
2. В целях сравнения расчету обтекания решетки симметричных профилей околозвуковым потоком газа с переменной энтропией предшествовал анализ режимов течения в случае изэнтропического набегающего потока. Во всех рассмотренных вариантах показатель адиабаты 7.= 1,4. За р* и и* брались критические значения плотности и скорости в начальном сечении. За характерную длину / здесь и в следующем разделе взят шаг решетки Т.
Результаты расчетов течения в решетке телесных симметричных профилей, образованных дугами окружностей одинакового радиуса и имеющих нулевой угол выноса, представлены на фиг. 2. Относительная толщина профиля составляла 13,3%; показаны кривые линии постоянных значений числа М. На фиг. 2,а приведен случай полностью дозвукового потока в межлопаточном канале, когда давление в сечении выхода рц =1,12. Картина течения близка к симметричной относительно линии, проходящей через середины хорд профилей. Наличие некоторой несимметрии может быть следствием учета сжимаемости (известно [11], что для несжимаемой жидкости картина течения должна иметь симметрию} и погрешностей численного счета, тем более что линии постоянства очень чувствительны к изменению режима течения.
М - OJS
~ шг
Фиг. 3
При уменьшении pN на стенках лопаток вблизи минимального сечения появляются местные сверхзвуковые зоны. Так, для ^ = 1,095 подобный режим течения представлен на фиг. 2,6. С дальнейшим уменьшением давления на выходе размеры местных сверхзвуковых зон увеличиваются, что приводит к соединению их на оси канала. Сверхзвуковая область течения замыкается образующимся скачком уплотнения, за которым реализуется дозвуковое течение. На фиг. 2, в показан пример подобного режима течения для pN = 0,95. О поло . жении ударной волны можно судить по сгущению кривых постоянных значений числа М в расширяющейся части канала. На стационарном режиме течения число М набегающего потока М0 мало различалось во всех трех случаях и приблизительно равнялось 0,47. Отметим, что подобные режимы течения могут реализоваться в соплах [12].
3. Анализируется влияние переменного задания энтропии в сечении входа на картину течения газа в решетке профилей. При я = 0 задавалось не зависящее от времени изменение функции р/р* по закону
р/рх = А + В cos (2 -ку! Т),
где В — 0,27, А = 0,714. Отметим, что величина А равна значению р{рх для изэн-тропического набегающего потока, рассмотренного в предыдущем разделе. Величины р* и и* выбирались равными своим критическим параметрам при р!р* = А.
При интегрировании системы газодинамических уравнений по конечноразностным схемам, не использующим в явном виде условие изэнтропичности, энтропия вдоль линий тока может не сохраняться даже при отсутствии ударных волн. Расчет обтекания неизэнтропическим потоком решетки пластин без угла атаки дает дополнительную информацию о погрешностях использованного метода и о точности, с которой энтропия остается постоянной вдоль линий
тока. В этом случае распределения параметров в каждом сечении х = const должны совпадать, что является следствием отсутствия взаимодействия между набегающим потоком и решеткой. Наибольшее отличие параметров, полученное при численном расчете такого течения, не превышало 2И.
Результаты расчета обтекания решетки симметричных профилей без угла атаки и угла выноса представлены на фиг. 3, а — в при трех значениях pN — 1,24, 1,085 и 0,95 соответственно. Отметим изменение характера поведения кривых М = const по сравнению с данными, полученными при постоянной энтропии. На фиг. 3, а показан режим полностью дозвукового течения. При понижении pN образуется центральное сверхзвуковое ядро, не касающееся стенок профилей (см. фиг. 3, б). Для меньших значений pN сверхзвуковая область занимает все сечение канала и замыкается скачком уплотнения (см. фиг, 3, в). Сужение поперечного сечения канала приводит к уменьшению неравномерности в распределении параметров, которое за решеткой восстанавливается почти до первоначальных размеров.
В процессе расчетов проводился интегральный контроль по расходу, энергии и импульсу, а также проверялось условие сохранения полной энтальпии [8]. На стационарном режиме течения погрешности вычислений лежали в пределах 2—5%. Все результаты, приведенные в настоящей статье, получены при 400 расчетных ячейках (NY,K = 40Х Ю). Расчет одного варианта на ЭЦВМ БЭСМ-ЗМ до выхода параметров на стационарные значения требует 2-3 ч машинного времени.
Авторы признательны А. Н. Крайко и Р. А. Шипову за постоянное внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Okurounmu О., McCuneJ. Е. Three-dimensional vortex theory of axial compressor blade rows at subsonic and transonic speeds. AIAA J., v. 8, No 7, 1970.
2. Schorr B., Reddy К- C. Inviscid flow through cascades in oscillatory and distored ilow. AIAA J., v. 9, No 10, 1971.
3. П о д в и д з Г. Л. Расчет квазитрехмерного течения газа в межлопаточном канале осевой турбомашины. Изв. АН СССР, МЖГ,
№ 4, 1971.
4. Gopalakrishnan S., Bozzoia R. A numerical technique for the calculation of transonic flows In tuibomachinery cascades. Paper ASME No 71-GT-42, 1971.
5. Oliver D. A., Sparis P. A computational study of three-dimensional transonic shear flow in turbomachine cascades. AiAA Paper No 1—83, 1971.
6. McDonald P. W. The computation of transonic flowthrough two-dimensional gas turbine cascades. Paper ASME No 71-GT-89, 1971.
7. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета раз-
рывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб. т. 47 (89), вып. 3, 1959. '
8. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Журн. вычислит. матем. и матем. физ., т. 1, № 6, 1961.
9. Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР, МЖГ,
№ 5, 1969.
10. Г р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения. Изв. АН СССР, МЖГ, М» 4, 1970.
11. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1962.
12. Иванов М. Я. Применение метода установления к анализу нерасчетных режимов течения в осесимметричных соплах. Изв.
АН СССР, МЖГ, № 6, 1969.
Рукопись поступила 28jll 1972 г.
