CC BY
24
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м VII 197 6
№ 3
УДК 533.6.011.5
К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В КАНАЛАХ С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ЗАМКНУТЫМИ ПОЛОСТЯМИ
3. Е. Ботвинник, В. Т. Гринь, В. А. Стебунов
Рассматриваются некоторые вопросы динамики течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в канале переменного сечения, соединенного посредством проницаемой стенки с замкнутой полостью. На стационарном режиме в потоке имеются области сверхзвукового течения со скачками уплотнения. Нестационарное течение возникает при воздействии на стационарный поток переменного по времени возмущения, задаваемого в сечении выхода из канала. Анализируется распространение возмущений в канале и замкнутой полости.
Исследование основывается на численном интегрировании точных двумерных уравнений нестационарного течения с использованием разностной схемы, предложенной С. К. Годуновым [1, 2] и применявшейся ранее в различных задачах о нестационарных течениях в каналах [3 — 6].
Фиг. 1
Исследуется неустановившееся двумерное течение газа в плоском канале переменного сечения и соединенной с ним полости, показанных на фиг. 1. На установившемся режиме газ в канале течет слева направо. Сечение входа в канал совпадает с сечением х = 0, а сечение выхода — с х — 1*. Нестационарный процесс в рассматриваемой области течения возникает при возмущении параметров в сечении выхода из канала.
Продольные образующие канала, полости и разделяющие их перегородки задаются уравнениями у = у(х). Левая и правая границы полости являются вертикальными линиями.
Пусть £ — время, р — давление, р — плотность, и н V — проекции вектора скорости на оси х и у. Все параметры обезразмереиы отнесением пространственных переменных к характерной длине скоростей — к характерной скорости ио, времени — к /и/и°, плотности — к характерной плотности р° и давления — к р°(и0)2. За характерные 1°, р°, и0 здесь соответственно принимались высота канала в сечений выхода, критические значения плотности и скорости при х =0 на стационарном режиме течения. Газ считался совершенным с показателем адиабаты х=1,4.
Так как используемые уравнения, а также описание метода расчета уже приводились в [3, 4], то ниже остановимся лишь на задании граничных условий и на анализе результатов расчета.
Для численного интегрирования] область течения в плоскости ху разбивается на расчетные ячейки, как показано тонкими линиями на фиг. 1. Разбиение в продольном направлении проводится на N слоев отрезками вертикальных прямых. Шаг разбиения по продольной координате может быть переменным. Вертикальные границы слоев разбиваются на равные отрезки: в канале на К\ равных отрезков, в полости — на К%, и соответствующие точки разбиения соединяются между собой. Проницаемый участок, соединяющий канал с полостью, включает целое число счетных ячеек.
Большинство расчетов выполнялось при N = 23, К\ =7, /С2 = 5 и одной счетной ячейке с шагом Л* = 0,1 в проницаемом участке. Такая сетка, как показало сравнение со случаем более мелкого разбиения, обеспечивает требуемую точность. Некоторая детализация течения на проницаемом участке, достигаемая расположением в нем двух счетных ячеек с шагом Лд. = 0,05, не давала существенного уточнения при вычислении параметров течения. Так, например, максимальное различие в давлении, вычисленном при одной и двух счетных ячейках, не превышало 2,5%.
Если на входе в канал (при ;с = 0) поток дозвуковой и газ течет в положительном направлении оси х (и > 0), то при х = 0 задавались условия постоянства по сечению энтропии и полной энтальпии. В соответствии с принятым способом обезразмеривания эти условия имеют вид
Р 1
Я*
(1)
2* Р ■*. + 1
-—+и*+У* = ----------г. (2)
х — 1 Я — 1
Здесь прописными буквами обозначены параметры на границе счетной ячейки в отличие от строчных букв, обозначающих параметры, осредненные по площади ячейки в соответствии с особенностями используемой разностной схемы.
Поперечный компонент скорости V при х = 0 задавался линейной функцией у таким образом, чтобы в сечении х = 0 на нижней и верхней стенках выполнялось условие непротекания.
Четвертым условием для определения параметров и, V, Р, И в сечении х — = 0 служит условие для приходящего справа инварианта Римана:
Вместо (2) возможно применение условия постоянства в сечении х = 0 правого инварианта Римана:
,•№-(/ +-1т ]/^Г; (2-)
здесь г(0) — значение инварианта Римана в момент времени
Условия (1) —(3) и условие для V [численные результаты, полученные с использованием (2) или (2'), отличаются незначительно] правильно отражают характер взаимодействия сравнительно слабых ударных волн с внешним потоком в сечении х = 0.
В сечении выхода из канала задавалось постоянное по сечению давление р^ = р(г). Значительное приращение давления могло вызвать в сечении х = Ь появление обратного течения (и < 0). В этом случае для определения параметров на выходе из канала кроме Р1 считались известными величины полной энтальпии, энтропии и V
Начальными условиями для расчета нестационарного течения служили распределения параметров, полученные методом установления по той же разностной
схеме с граничными условиями, не зависящими от времени. Результаты расчета стационарного течения при —1,3 показаны на фиг. I, где вертикальные линии — это линии постоянного давления в канале. Цифрами даны соответствующие значения давления. В полости устанавливается постоянное давление, близкое к среднему значению в окрестности участка протекания, а скорость газа равна нулю.
а)
б) 0,5-
а)
5)
Фиг. 3
При заданных граничных условиях реализуется стационарное течение с разгоном потока до сверхзвуковой скорости с замыкающим скачком в расширяющейся части канала. Положению замыкающего скачка соответствует область сгущения линий постоянного давления на фиг. 1. Как известно [3, 4], данная разностная схема „размазывает" интенсивный скачок примерно на две-три счетные ячейки.
Нестационарное течение возникало при воздействии в момент Ь > 0 треугольного импульса давления Рь. За время 4^=1 давление на выходе возрастало до максимального значения, в два раза превышающего стационарное, а затем за М— 1 падало до исходного уровня и далее оставалось постоянным.
Некоторые фазы динамического процесса показаны на фиг. 2, а и б. Линии постоянного давления на этих фигурах даны в фиксированные моменты времени / г 2 и 4. После прохождения ударной волны над участком протекания в полости возникают дифракционные волны, распространяющиеся в обе стороны. После отражения от правой непроницаемой границы с тем же знаком и интерференции с волнами, идущими влево, в полости возникают практически плоские волны сжатия. Скорость их распространения относительно стенок выше, чем скорость движения ударной волны в канале, так как последняя распространяется против потока, а волны давления в полости распространяются в неподвижном газе. На фиг. 2, а штриховая линия соответствует изобаре, левее которой течение в канале еще остается невозмущенным. В этот момент в полости волны сжатия достигают левой стенки и отражаются от нее с тем же знаком.
В момент времени < г: 3 в полости вправо распространяются отраженные оч левой стенки волны сжатия, которые в свою очередь взаимодействуют с волнами разрежения, движущимися навстречу от участка протекания в перегородке. Энергия потока за плоской волной сжатия, достигающей правой стенки полости,
частично переходит в энергию потока за отраженной с тем же знаком плоской волной, а частично в дифракционных волнах сжатия передается в канал через участок иротекания (см. фиг. 2, б).
Периодический вынос энергии из полости, а также диссипативные эффекты при распространении многократно отраженных от стенок волн приводят к затуханию нестационарного процесса в полости. Как видно из фиг. 2, а и б, эффекты двумерности проявляются в основном в окрестности участка протекания, где происходит взаимодействие потоков газа, текущих в канале и полости.
Описанный дыше характер распространения возмущений подтверждают „осциллограммы" давления (кривые зависимости р от <), приведенные на фиг. 3 для двух сечений. Сплошные и штриховые кривые относятся соответственно к сечениям х = 1 и 2. На фиг. 3, а ими изображены .осциллограммы" в канале, а на фиг. 3, б — „осциллограммы" в полости. Значения р брались в соответствующих сечениях в канале из счетных ячеек, прилегающих к разделительной перегородке, а в полости — из средних ячеек.
Первый пик давления в канале в сечении х = 2 (см. штриховую кривую на фиг. 3, а) близок по величине и форме заданной в сечении х — Ь волне давления, распространяющейся в продольном направлении. Остальные затухающие периодические пики на этой .осциллограмме" обусловлены поперечными дифракционными волнами, распространяющимися из полости. Колебания давления в полости происходят с постоянной частотой, которая является собственной частотой полости. Так, для канала, имеющего характерную размерную длину /° = 1 м, собственная частота полости (с размерностью в с-1) составляет примерно 110 —120 Гц. При наличии в канале пульсаций с широким спектром частот следует ожидать появления резонансных колебаний на частотах, равных или кратных собственным частотам полости.
Расчеты проводились на ЭЦВМ М-220.
Авторы признательны А. Н. Крайко и М. Я. Иванову за участие в обсуждении работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. „Математический сборник", т. 47 (89), № 3, 1959.
2. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 1, № 6, 1961.
3. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. „Изв. АН СССР. МЖГ", 19Б9, № 5.
4. Г р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я., Крайко А. Н. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения. „Изв. АН СССР. МЖГ‘, 1970, № 4.
5. Гринь В. Т., Иванов М. Я. К исследованию нестационарного течения в канале при внезапном изменении условий в выходном сечении. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1971, № 4.
6. Гринь В. Т., Иванов М. Я., Князева Н.'Н., К о р-з у н А. П., К р а й к о А. Н. К исследованию динамики течения торможения сверхзвукового потока идеального газа в каналах с продольными перегородками. „Ученые записки ЦАГИ", т. 2, № 4, 1971.
Рукопись поступила 31/V 1974 г.
