CC BY
10
УДК 532.5
К.В. Кириллин, С.И. Филиппов
ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА НАД ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ КРЫШКИ И ДНА
Рассмотрим поток идеальной несжимаемой жидкости, ограниченный сверху твердой крышкой М1,
а снизу твердым дном M3, и состоящий из слоя
толщины Нх плотности р1 и слоя толщины H2
плотности р2. Жидкость находится под действием силы
тяжести, ускорение которой равняется g. Цилиндр C радиуса a расположен в верхнем слое жидкости на расстоянии h от верхней стенки (рис. 1). Величину h
будем называть глубиной погружения, Ь = Н — h -отстоянием цилиндра от линии раздела жидкостей M2.
Рис. 1
В системе координат, связанной с цилиндром так, что ось O1Х1 совпадает с горизонтальной крышкой и
направлена навстречу потоку, а ось O1 у1 направлена
вверх и проходит через центр цилиндра C, течение плоскопараллельное, установившееся. Скорости потока на бесконечности перед цилиндром параллельны
стенкам канала и равны Vk (к = 1,2). Считаем, что
внутри жидкости вихри отсутствуют, так что течение обладает потенциалом скорости.
Введем соответствующие слоям жидкости области
Dk (к = 1,2). Область D1 представляет собой полосу —H1 £ у1 £ 0 , за исключением области, ограниченной контуром С, область D2 - полосу
—(н + н2) < у < —н.
Рассмотрим комплексную переменную
21 = *1 + 1у1 и комплексные потенциалы
возмущенного течения
1Тк (^) = (рк (*1, У1) + уук (*1, У1) в соответствующих
областях Пк.
Используя предположения линейной теории волн малой амплитуды, с учетом обозначений
W (Zi) = VkWk (Zi), Vi = V2 =
І Pi - P 2 )
P1V2+P2V22
m1 = -
P1V12
P 2V22
m = m - m.
1 P1V12+p У2* i pV+p2V2
придем к следующей задаче. Найти функции Wk (Z1) , аналитические в соответствующих областях и удовлетворяющие условиям: на поверхности цилиндра C
ImWx(z) = у1 +y0 (У0 = const), z є C; (1)
на горизонтальной крышке M1
Im
dWx( zj dz1
на линии раздела жидкостей M2
Im [W1( zj - W2( Z1)] = 0
dW1( z1) dW2( z1)
(2)
(3)
Re
m
dz.
-- mn
dz1
Z1)
-1 M.^1
У1=- H1; на дне канала M3
= 0,
Im
dW2{ zj) dz1
= 0, y = -(H + H2);
(4)
(5)
на бесконечности
dWk (zj
dW, (z1) n lim —= 0
x dz,
dz1
< A, A <¥, z1 . (6)
Граничные условия (1), (2), (5) являются условиями плавности обтекания цилиндра и стенок канала. Условие (3) на линии раздела является кинематическим условием, (4) - динамическим и представляет собой комплексную запись условия непрерывности давления при пересечении поверхности раздела жидкостей, взятое в линеаризованной форме. При этом, следуя теории волн малой амплитуды, будем выполнять это условие на невозмущенном уровне линии раздела. Условия на бесконечности (6) обеспечивают отсутствие скоростей возмущений далеко перед цилиндром и ограниченность возмущений вне его окрестности.
Метод решения заключается в распределении двойных слоев особенностей (диполей) вещественной плотности по невозмущенному уровню линии раздела
жидкостей М2 и горизонтальным крышке М1 и дну
М3, к потенциалам которых добавляются такие
регулярные вне цилиндра функции, что условие на цилиндре (1) выполняется точно. Такой метод был впервые предложен в [1] и развит для многосвязных областей в [2].
Рассмотрим бесциркуляционное обтекание
цилиндра С. Будем искать комплексные потенциалы в виде
Жк (г,) = ^ (г,) + г,) + Ф1( г,) +
+ У2( г1) + Ф 2 (Г| ) + ^( г1) + Ф3(г1), (7)
где
а
г1 + їк
^)=±-. I ^
2рї •' г, - і
йі,
1 +¥
Ф1(г1) = — | Р1 (*1 , І)М (І)йІ , 2т •'
^1( ^і):
(і - їк )2 ^г1 + їк - а2/(і - їк )
V2(z1) = — ¥ т2°') йі,
2рї -¥ г1 - і + їН1
1 +¥
Ф 2 (г1) = — | Р2 (*1, І)^2 (І)йІ > 2рї •'
^( і) = -
(- їк + їН1 )2 ^г1 + їк - а2/(- їк + їН1 )'
V,
т3 (і)
11-оо
_ Г________т
2жї -¥ г - і+ї (н1+н2)
1 +¥
Ф3(г1)=— Г Рз(г, і)тз(і)йі,
2т •'
йі,
р3( гl, ') =-
(-їк + ї (Н1 + Н2) ^) + їк - а21(-їк + ї ((1 + Н2) . Здесь (г1) - комплексный потенциал
возмущенного течения при обтекании цилиндра С
безграничным потоком; /11(і), т2(і), №3(і) -вещественные плотности диполей, непрерывно распределенных по линиям у1 = 0 , у1 = -Н1 ,
у =-(н1+н 2) (под ^2(і) и тз(і)
подразумевается т2(і -їН1) и т3(і-ї(Н1 + Н2))
соответственно). Функции Ф1(г1), Ф2(г1), Ф3(г1)
построены с использованием теоремы Милн-Томсона об окружности [3] так, чтобы мнимая часть их суммы
соответственно с ^1( г1), V (г1) , V; (г1) на цилиндре
С являлась постоянной [1], что обеспечивает выполнение граничного условия на цилиндре (1), если комплексный потенциал записан в виде (7).
Для определения плотностей т (і) (I = 1,3)
воспользуемся условиями (2), (4), (5). Условие (3) выполняется на основании свойств предельных значений интеграла типа Коши. Рассмотрим подробно граничное условие (4) на линии раздела жидкостей, куца перенесем ось абсцисс, т.е. проведем преобразование
координат г2 = г1 + їН1.
Подставим комплексный потенциал в форме (7) в условие (4) с учетом преобразования координат, получим:
Яе
где
У2( 12) +
С
т------+ V 2
сЬ,
((*2) + Vз( гг))
= 0, (8)
^2( Г2) = ^ (Г2) + ¥1( Г2) + Ф1( Г2) + Ф2( Г2) + Ф3( Г2^
и ^2(г2) - предельное значение при подходе к оси
02 *2 сверху.
Условие (8) представляет собой сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, которое содержит три группы слагаемых: с особенностями на
линии раздела (у2 = 0), с особенностями внутри рассматриваемой области (у2 > 0) и с особенностями
вне области (у2 < 0 ). Его можно регуляризовать,
используя следующий прием. Заметим, что (8) эквивалентно следующему уравнению:
Яе
_с_
сЪ~
У2( г2) +
с
т----V 2
с
т-+ V 2
Vз( *2 )
О2( *2) +
= 0,
где черта сверху означает сопряжение относительно оси 02х2. Функции У2(г2) , У3(г2) , О2(г2) регулярны в верхней полуплоскости в системе координат х202у2, следовательно, выражение под знаком действительной части в этой области является
чисто мнимой постоянной:
_й_
У2( *2) +
О 2 (*2) +
й
т-------+ IV 2
Уъ{ *2) = V 2 N,
(9)
где N - вещественная постоянная. Из условия на бесконечности (6), не нарушая общности решения,
можем положить N = 0. Соотношение (9) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение первого порядка относительно 82, решив которое, найдем
82 (Г2 ) =—т [ ^2( г2) + 83 (Г2 ) ] + п 2^ Г2
Г егУ2Т [(т + 1)О2 (т) + (т - 1)У3 (т)] йт.
Устремив г2 сверху к оси 02 х2, на основании формулы Сохоцкого получим
1 +¥ ^(0.
т2(х2)-----Г ——йі = 2тГЖ¥(х2)
к ї - х2 - і 1
+
+
У1 (Х2 ) + ^1 (Х2 ) + ^2 (Х2 ) + ^3 (Х2 ) + У3 (Х2 )]
+
Ф1 (т) + Ф2 (т) + Ф3 (т)) + (т - 1)У3 (т)] йт. (10)
Перемена порядка интегрирования позволяет представить действительные части выражения (10) в виде линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Остальные два уравнения для нахождения плотностей особенностей можно получить, проделав аналогичные (8) - (10) преобразования для граничных условий (2) и (5) на стенках канала. В результате получим систему уравнений для определения плотностей:
т1( х1) = р1( х1) + Г к11( х1, і) т1(і )Сґ + Г к12( х1, і) т2(і )Сґ +1 к13(х1, ґ ) д3(ґ)Сґ, т2( х2) = р2( х2) + Г к21( х2, і) т1(і)йґ + Г к22( х2, і) т2(і )Сґ +1 к23( х2, ґ ) т3(ґ )Сґ, (11) т3( х3) = р3( х3) + Г к31( х3, і) т1(і)йґ + Г к32( х3, і) т2(ґ)йґ +1 к33(х3, ґ) д3(ґ)Сґ,
Где
Р1 (х1) = -2а2 Яе і —Ц-1, к11(xl, ґ) = К 1т {{ (х1, ґ)},
[ х1 +1П \ к
к12(xl, Ґ) = -Іт І-----------+ Г2(xl, Ґ)|
к I х1 - і + їН1
к13( х1, і) = — Іт
к I х1 - і + ї (Н1 + Н2)
+ ^( х1, і)
р2(х2) = -2а2 Яе
т
х2 -ї (ні-к)
+
+ (т +1)Є2х2 Г----
^ Т — 7
т - ї (Н1 - к)
1
к21( х2 , Ґ) = “ Іт к
т
х2 - і - їН1
йт
+
х2 £_гУ9т
+ 2m + lW,eгv2x, Г----------------------йт +
2 + т - Г-ї]
+¥ 1
х2 1
+т^(х2,і) + (т +1)V2e,V2х2 Г ^(т, і)Ст
-2їv2е"гУ2х2 Г егУ2т [(т +1) (Ж¥ (т) + у (т)
+
к 22 (х2, + =
к
т^2( Х2 , Ґ) +
+ (т +1)їу2е1'12х21 е~п'2т^2(т,ґ)йт 1,
к23(х2, і) = — Іт
т
к | х2 - і + їИ2
х2 е-^Т
-(т-1)2е^2 Г—е--------------------йт +
2 72 + т - і - їН2
+¥ 2
х2 1
+т^3( х2, і) + (т + 1) 2 е"2 х2 Г е _V 2т ^3(т, і) йт\,
Р3(х3) = 2а2 Яе
к31( х3, і) = -—Іт
к
|х3 - ґ - ї (Н1 + Н2 )
+ ґ) I
к32( х3, і) = —^Іт
к
І х3 - і - їН2
1
К33(*3,^) 1т{3(*3,^)} •
к
Полученная система линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (11) для определения ¡Л/ может
быть решена численно методом последовательных приближений [2]. В качестве нулевого приближения могут
быть выбраны свободные члены системы (р1 .
По найденным значениям плотностей можем определить комплексный потенциал возмущенного течения (7) и по формуле Чаплыгина [4] вычислить подъемную силу и
волновое сопротивление цилиндра С:
'^( Zе)’,2
Результаты расчетов гидродинамических характеристик для различной геометрии канала представлены на рис. 2 - 5. На графиках изображены зависимости коэффициента волнового сопротивления
сх = 2X/р1У12а и коэффициента подъемной силы Су = 2У/РіГ,2 а в зависимости от числа Фруда Бг = Уі/4^а для случая одинаковых скоростей слоев (у = У2). Во всех расчетах отношение плотностей жидкостей р 2 /Рі = 1.03 , что соответствует отношению Известия КГАСУ, 2006, №2(6)_______________________
плотностей морской и пресной воды, и рассмотрен цилиндр единичного радиуса.
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
+¥
Для данной задачи характерно наличие критического числа Фруда Бг*, значение которого
зависит от Рг/ Рі, Н,/ а, Н2/ а [5]. Периодические волны на линии раздела существуют только при
Бг < Бг*, поэтому именно в этом диапазоне изменения числа Фруда проводились расчеты.
На рис. 2-3 при Ъ/а = 2 сплошной кривой изображены гидродинамические характеристики для цилиндра, расположенного над линией раздела, в случае канала, ограниченного крышкой и дном
Н, / а = Н 2 / а = 8, а штриховой - в случае двух
полубезграничных слоев жидкости Н, = Н2 = ¥ .
Полученные результаты для неограниченного потока согласуются с результатами работы [6], которые отмечены маркерами.
На рис. 4 - 5 представлены результаты исследования
влияния дна при отсутствии крышки (Н, = ¥) на характеристики цилиндра при Ъ/а = 3 . Сплошной кривой изображены зависимости Сх (Бг) и Су (Бг) при конечной глубине нижнего слоя Н2 /а = 4 ,
штриховой - при бесконечной глубине Н2 = ¥ .
Влияние дна начинает сказываться на гидродинамических характеристиках при числах Фруда
Бг > 0.14. Максимум Сх больше в случае слоя конечной глубины.
На рис. 6 представлен пример расчета линий тока течения и границы раздела жидкостей при к/а = 4,
H,/ а = 7, Н 2/ а = 4, Бг = 0.12.
Работа поддержана РФФИ (проект 05-01-00794).
Литература
I. Тумашев Г.Г., Черепенин Н.Д. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам, вып. 10. - Казань: Изд-во Казанского ун -та, , 1973. - С. 140-151.
2. Филиппов С.И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. - Казань: Изд-во Казанского матем. общ-ва, 2004. - 200 с.
3. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика.
- М.: Мир, 1964. - 656 с.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1970. - 904 с.
5. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977. - 816 с.
6. Черепенин Н.Д. К задаче о движении круглого цилиндра вблизи границы раздела двух жидкостей. // Труды семинара по теории оболочек, вып. 4.
- Казань: Казанский физ.-тех. ин-т АН СССР, 1974.
- С. 252-262.
Рис. 6
