CC BY
28
УДК 532.5 C. И. Филиппов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА В ОГРАНИЧЕННОМ ПОТОКЕ
Ключевые слова: круговой цилиндр, ограниченный поток, циркуляция, коэффициент подъемной силы.
Исследуется циркуляционное обтекание кругового цилиндра в потоке жидкости ограниченном двумя твердыми поверхностями. Проведены расчеты подъемной силы.
Keywords: circular cylinder, circulating flow, limited stream, lift coefficient.
Circulating flow around the circular cylinder in the liquid stream limited by two firm surfaces is investigated.
В монографии [1] представлено исследование класса задач обтекания тел в потоке жидкости с двумя поверхностями раздела единым численно-аналитическим методом, где содержится также подробный обзор литературы по этой теме. Настоящая работа, как и работы [2-4], является дополнением [1]. Представлено решение одной тестовой задачи тем же методом.
Пусть цилиндр радиуса Я движется в потоке идеальной несжимаемой жидкости со скоростью С вблизи двух горизонтальных стенок, первая из которых ограничивает поток сверху, а вторая снизу. Применим гипотезу плоских сечений. Рассмотрим плоскость хОу, перпендикулярную образующим цилиндра, поместив точку О в центр окружности L, по которой плоскость хОу пересекает поверхность цилиндра. Ось Ох параллельна стенкам канала, которые будут определяться уравнениями у = Н1 и у = Н2 (Н = Н1 - Н2 -толщина канала). Введем кроме того дополнительно системы координат х1О1у1 и х2О2у2, полученные из исходной параллельным переносом оси абсцисс вверх или вниз по оси Оу на расстояния Н1 , - Н2.
В системе координат связаной с цилиндром можно исследовать обтекание окружности потоком, имеющим на бесконечности скорость -С. Введем комплексную переменную г = х + ¡у и комплексный потенциал возмущенного течения отнесеный к величине С : № (г) = Ф( х, у) + /Ф( х, у). Потенциал представляет сумму потенциалов бесциркуляционного течения (г) и чисто циркуляционного течений Г№у(г), где Г = у! с, у- циркуляция. Тогда граничные условия задачи (см. [1-3] ) примут вид:
на стенках канала у = 0 (} = 1, 2 )
Im
dW (Zj ) dZ :
= 0;
на окружности z е L Im Wb (z) = y + 40
ImWK(z ) = 4
(ф° = cons (40 = cons
t ) ;
W0(z) = 1,
(1)
(2)
(3)
(4)
где 5- величина изменения функции при положительном обходе.
Распределив по границам канала у = Н]
диполи вещественной плотности рр (к = 1 для
бесциркуляционного и к = 2 для циркуляционного течения) по теореме Милн-Томсона об окружности можно построить комплексный потенциал, удовлетворяющий условиям (2)-(4). А из граничных условий (1) получатся две системы интегральных уравнений для определения плотностей распределеных особенностей [1]:
рр (X) = 4 (х) + \ки(х,К )р (4 )щ + | К2 (х,4 )р (4 Щ
+оо +оо
рр (X) = 4 (X) + 1 К (X ,4 )рр (4 )Щ + | К (х ,4 )рр (4 )щ
0(Х ) = -2 Re
R2
x1 + iH1
02 (x2 ) = 2 Re
R2
x2 + iH2
K11 ( Xi, /1 ) = — Im
R2
n [((1 - H )2 [xi + iHi - R2( - H )]J'
K12 ( X1, t2 ) = — Im
tt I x1 -12 + iH
R2
(( - iH2 )2 [X1 + iH1 - R7((2 - iH2 )
K 21 ( x2,t1 ) = -—Im 1
tt [ x2 -1 - iH R2
K22 ( x2 ,t2 ) = — Im
((1 -H1 )2 [x2 +H2 - R7((1 - H )]J'
1 . i R2
(t2 - iH2 )2 [x2 + iH2 - R7(t2 - iH2 ) J ' of (x ) = — Im Jin-
x1 - z0
П J x - z0.
+
Рис. 1 - Зависимость коэффициента подъемной силы су от расстояния до верхней стенки Л1
при фиксированном отстоянии до нижней стенки Л2 для бесциркуляционного течения.
с
У
-иго
-оай -о.во -0.85 -1 00 -1 05 -1 10 1 15
Г=-0.4
• Ь2=2.5
• П2=4
о К
Рис. 3 - Зависимость су от Л1 при двух
фиксированных значениях отрицательной циркуляции.
Л2
для
Рис. 2 - Зависимость коэффициента подъемной силы су от расстояния до нижней стенки Л2
при фиксированном отстоянии до верхней стенки Л1 для Г= 0 .
Рис. 4 - Зависимость су от Л2 при двух фиксированных значениях Л1 для Г< 0.
Рис. 5
Зависимость су от Л1 при
фиксированном Л2 для положительной циркуляции.
Рис. 6 - Зависимость су от Л2 при фиксированном Л1 для Г> 0.
2 1 I х2 - ¡И - г* а2(х2) = -—1т\ \п—-г-
п 1 х2 - И-
Точка гу находится в области у1 > 0, г-И .
' 1 гг - ¡И
Полученные системы линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода могут быть решены численно методом последовательных приближений [1]. В качестве нулевого приближения могут быть выбраны свободные члены систем о*.
По найденным значениям плотностей можем определить комплексный потенциал возмущенного течения и по формуле Чаплыгина [1] вычислить реакции действующие на тело. Результаты расчетов подъемной силы для различной геометрии канала представлены на рис. 1-6. На графиках изображены зависимости коэффициента
подъемной силы
равному отношению
подъемной силы к скоростному напору и R от отстояния до стенок канала Л1 = И1 / R и
^ = |И2 / ^ (рассмотрен цилиндр единичного радиуса): на рис. 1, 2 при Г = 0, на рис. 3, 4 при Г = -0.4 , на рис. 5, 6 при Г = 0.4 . На рис. 1, 3, 5 представлено изменение су в зависимости от расстояния до верхней стенки Л1 при отстоянии дна
2.5 и 4 радиуса. На рис. 2, 4, 6 дано изменение cy в зависимости от расстояния до нижней стенки h2 при расстоянии до "крышки" 3 и 4 радиуса.
Литература
1. Филиппов С. И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. / С.И. Филиппов. Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, 2004. - 200с.
2. Кириллин К.В. Циркуляционное обтекание цилиндра в ограниченном потоке над линией раздела двух жидкостей / К.В. Кириллин, С.И. Филиппов // Вестник Каз. технолог. ун-та. - 2006. - №3. - С. 339-346.
3. Кириллин К.В. Установившееся поступательное движение цилиндра под границей раздела жидкостей конечной глубины / К.В. Кириллин, С.И. Филиппов // Вестник Каз. технолог. ун-та. - 2006. - №5. - С. 86-95.
4. Kirillin K.V. Hydrofoil Flow over the Interface of a Two-Layer Heavy Fluid with a Free Surface and Rigid Bottom / Kirillin K.V., Filippov S.I. // Computational Mathematical and Mathematical Physics. - 2010. - Vol. 50, No 9. - PP. 1632-1639.
c
y
© C. И. Филиппов - д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики ЧОУ ВПО «Институт экономики, управления и права (г.Казань)», [email protected].
© S. 1 Filippov, doctor of physical and mathematical sciences, professor, Institute of Economics, Management & Low (Kazan), [email protected].
