CC BY
8
, ИЗВЕСТИЯ,
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С, М. КИРОВА
___I__
1967
Том 154
ДВА СПОСОБА РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛУЧЕВОЙ ЗАСЕЧКИ НА ШАРЕ
Б. Ф. КРУТОЙ
(Представлена кафедрой инженерной и вычислительной математики)
Прямой лучевой засечкой на шаре назовем следующую задачу; даны широты срь ср2 и долготы Xlt Х2 исходных точек 1, 2 на шаре, а также даны азимуты otL3) о2.з засекающих лучей ^Лка, с то-
чек 1,2 на определяемую точку 3; найти широту ср3 и долготу Х3 точки 3, а также найти засекающие стороны аКЗ) а2.3 (рис.1).
Для решения указанной задачи может быть предложено два способа.
а) По исходным данным <рь Х,, cci-з и cp2ï Х2, а2.з вычисляются непосредственно только координаты ср3, х8 определяемой точки 3; засекающие же стороны о,.з, с2.з находятся через исходные данные и полученные значения ср3, Х3.
б) По указанным исходным данным вычисляются в первую очередь засекающие стороны о,.3, о2<з, а затем уже—координаты ср3> Х3 точки 3.
Ниже дается решение прямой лучевой засечки на шаре обоими способами. Отметим, что выведенные здесь конечные выражения были использованы в [1] при получении приближенных значений для геодезической широты В3 определяемой точки 3 и расстояний S1.3, s2.3 в прямой лучевой засечке, заданной на земном сфероиде.
1. Первый способ
На рис. 1 точки 1, 2 — исходные, точка 3—определяемая. Точка Р—полюс для сферических- координат <р, X; PQ—начальный меридиан при счете долгот X. Кроме того, введены обозначения:
1) е, =90°-?,; 2) A hj = \j-h. (1)
Наша задача будет решена с поверкой, если для вычисления двух искомых величин <р3, Х3 мы возьмем следующие 3 исходные выражения, вытекающие из рассмотрения рис. 1:
4 Заказ 6(364 49
Рис. 1,
1) ctg 03 Sine! — Ctg CCi.3 Sin ДХ1.3 = COS©! COSAXi.3,
2) ctg 03 Sin©2 — ctga2.3 sin ДХ2.з — COS02 COS AX2.3,
3) АХь2 = ЛХЬЗ — AX2.3.
Отсюда найдем двойное представление для ctg 63:
, ~ Ctg ai.3 SinAX1<3 4- COS 0j COS ДХ1.3 Ctga2.HSinAX2.3+COS02COSÄX2.3 /оч
ctg H3=-. a - =--• W
Sin öx Sinö2
Соотношение (3) не может быть, однако, использовано сразу для определения 03, так как выражает 03 или через неизвестное ДХ1.3, или через неизвестное ДХ2.з. Поэтому из последнего звена в цепи равенств (3) исключим предварительно ДХ2.3, пользуясь соотношением (2.3). Мы будем иметь последовательно:
ctgai.3sinAX,.3 ctgа2.з, .
—---!- CtgOjCOsAX^ = —-(Sin ДХ^з COSAX1í2 —
sin©! sin02
— sinAXi.2 cosAXi.3) + ctg02 (eos ДХ1.3 eos ДХ |i2 + sinAXi.3 sin ДХ^) = = / ctgay _ ctg«« cos 2 _ ctg ^ s¡n \ s.n ^ з _ \Sin0! . sin02 /
= f _ ctg^sin AXl2 -f ctg0.>cosAXK2 — ctg0t ] cos AXlí3. \ sin 02 /
Отсюда получаем следующее выражение для прямого вычисления неизвестного ДХ1-3 через исходные данные:
tg ДХ1.3 =
COS02 COSAX|.2 — ctg a2.3SinAX! 2 — ctg0t sin02
ctgai.3 Sin^2 — ctg 0t2.3 COS ДХ1.2 — cos02 sinAX¡.2 Sin©!
Определив неизвестное ДХ1.3 согласно (4), находим затем из (2.3) второе неизвестное ДХ2.з:
Д^2.з — Д^1.з Д^ч.2) (2.3;5)
после чего дважды вычисляем последнее неизвестное 03 из соотношения (3). Искомые <р3, Х3 получаем из соотношений (1)—также дважды:
1) ср3 = 90° — 0J = 90° — 03; 2) Х3 = Х1+ДХ1.3-Х2+ДХ2.3, (6)
где 0J, 0|—значения 03, найденные согласно (3) из решения треугольников 1 РЗ и 2РЗ.
В заключение из тех же треугольников 1РЗ и 2РЗ вычисляем засекающие стороны и а2.3:
1ч • sin 03 . оч . sin 0S .
1) sinai.3=-*-Sina!i3; 2) sin a2.3 =-— sin аг.з. (7)
sin ДХ1.3 sin ДХ2.з
2. Второй способ
.Зная широты срь ср2 и долготы Хь Х2 опорных точек 1, 2, решим сперва треугольник 1 Р2, в котором найдем углы рм ¡32 при точках 1, 2 и сторону alt2. В целях сокращения записи, кроме ранее использованных обозначений (1), введем еще следующие дополнительные обозначения:
1) ~-(0i + 02) = ©кг; 2) (©i — 02) = S01.2; <8>
£ £
3) y AXi.2 4) y(Pi + P2) = Pl.2; = (8)
Тогда искомые углы ß,, ß2 и сторона ai.2 в треугольнике 1Р2 могут быть получены из цепи соотношений:
и SinSe^g Ctg $ki.2 т t COS &i.2CÍg^i.2 , n .
U -—-= tgö^.2; 2) ---= tgpi.2;
Sin öi.2 COS Wi.2
(9)
3) ßl.2 + 8p,.2 = ßb 4) ßl.2 — Sßl.2 =
_ Sin ©i . sinÖ2 . 5) -sinAXIt2 = -sinAXb2 = sin a1>2.
sinß2 sinßx
Теперь вычислим остальные две стороны aI>3, а2>3 в треугольнике 123. С этой целью найдем предварительно углы Ti, при вершинах 1, 2 указанного треугольника. Из рис. 1 видно, что
1) Tl ^-оц.з; 2) Т2-р2 + «2.з. (Ю)
Введя далее обозначения:
1) ~ (Ti + Ъ) = 71-2; 2) ~ — Тз) - 871.2; 3) о,'.а == За,.2, (И)
£ £
последние две стороны а1>3, а2.з и третий- угол Тз при вершине 3 в треугольнике 123 определим из последовательности равенств:
i) sin^'2tg§a'-2 = tgЧ; 2) cos^'-2tg83'-2 = tga0.
Sin 71.2 COS Tl.2
(12)
3) a0 + 8olt2 = зкз; .4) oQ —■ oai.2 = a2>3;
гч sin T! . , sin, 1f2 .
5) --Sin <3!i2= --- Sin <3 i .2 = Sin^g.
sina2.3 Sin aK3
Кроме того, вычислим сферический избыток s треугольника 123:
£ = Т1 + Т2 + ГЗ- . (13)
Выполнив все предшествующие расчеты, мы можем наконец найти дважды широту <р3 и долготу Х3 определяемой точки 3:
Ctgaj.3 sin 9, — COSaK3cOS0!
1) ctgAXj.3 =
2) ctg Ал2.з -
sin ai.3
ctg а2.з sin02 — cosa2.3 cos в: Sin a2.3
-оч - Г\ Г sinA^.g . sinAX2.3 .
3) coscp3 = sinWj = -sina1>3 = -sina2.3 = sinO3; (14)
Sinai.3 Sin a2.3 ^ '
4) К = 4=^1+ Д*1.з = x2 + AX2.3 = Ц.
Сходимость двух значений <Рз, <Рз и л*, Ц широты .<р3 и долготы для определяемой точки 3 служит хорошей общей поверкой правильности всех проведенных выше вычислений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б. Ф. Крутой. Общие способы решения основных расчетных задач на земном сфероиде. Известия ТПИ, т. 131, 1965.
2. Н. Н. Степанов. Сферическая тригонометрия. Гостехиздат, 1948.
