Обратная задача для линейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с вырожденным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

УДК 517. 968

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Т. К. Юлдашев1, К. Х. Шабадиков2

'Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected] 2Ферганский государственный университет имени Улугбека Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: [email protected]

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости обратной задачи для одного линейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных третьего порядка с вырожденным ядром. Метод вырожденного ядра, разработанный для интегрального уравнения Фредгольма второго рода, модифицирован и развит для случая рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения типа Фред-гольма в частных производных третьего порядка.

Ключевые слова: обратная задача, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение типа Фредгольма, вырожденное ядро, однозначная разрешимость.

INVERSE PROBLEM FOR A LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THIRD ORDER WITH DEGENERATE KERNEL

T. K. Yuldashev1, K. H. Sabadikov2

:Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected] 2Fergana State University named after Ulugbek 19, Murabbiylar Str., Fergana, 150100, Uzbekistan E-mail: [email protected]

The paper considers the questions of one value solvability of the inverse problem for a linear partial Fredholm type integro-differential equation of the third order with degenerate kernel. The method of degenerate kernel is designed for Fredholm integral equations of the second kind and it is modified and developed to the case of considering partial Fredholm type integro-differential equation of the third order.

Keywords: Inverse problem, integro-differential equation, Fredholm type equation, degenerate kernel, one valued solvability.

Интенсивное исследование обратных задач обу- с условиями

словлено необходимостью разработки математиче- . . . . . . .

с тт u (0, x) = ф, (x), u, (0, x) = ф2 (x), u (t,0) = y (t), (2)

ских методов решения прикладных проблем. Нели- v > / -riw> ^ > / -r2w> v> / yw> w

нейные обратные задачи рассматривались, в частно-

ri тп и J t- u (t0,x) = x), 0 <t0 <T, x eQl, (3)

сти, в [1; 2]. В настоящей работе предлагается мето- v 0 ' lv ' 0 l w

дика изучения обратной задачи для нелинейного ин- где p(t)e C(it); f (x) e C (il); фk (x) e C1 (Ql), тегро-дифференциального уравнения типа Фредголь-

ма в частных производных третьего порядка с вырож- k = 1,2; у (t) e C 2 ( Q T ) ; y (0) = ф 1 (0) = ф 2 (0) = 0; денным ядром. Данная работа является дальнейшим

развитием работ [3-5]. рассматривается в области ^ (x)e C!(Ql); K (t,s) = £ai (t) bt (s); 0 < ai (t); Q = QT xfil интегро-дифференциальное уравнение i=1

типа Фредгольма третьего порядка с вырожденным bt (s) e C ( Q T ); P (x) e C (i l ) - функция восстанов-ядром

_д_

д x

( д 2 u (t, x) ч д u (s, x) ^

-+ A.I K (t, s)-d s

д t2 J„ 7 д s

= p (t) P (x) + f (x) (1)

ления; ОТ = [ 0,Т]; 01 = [ 0,1 ]; X - спектральный параметр.

Под решением обратной задачи (1)-(3) понимаем пару функций | и (?, х) е С 2,1(П), Р (х) е С (1 )}, удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2), (3).

¡Прикладная математика

Сделаем замену и , х) = 9 ^, х). Тогда уравнение (1) приобретает вид

d9(t, x) д t

+ XJ K (t, s) 9(s, x) ds = p (t) p(x) + f (x). (4)

0

С помощью обозначения

T

ci (x) = J bi (s)9(s,x)ds

(5)

0

уравнение (1) перепишется в следующем виде: d9(t, x)

д t

■ = ai (t)• Ci (x) +p(t)P(x) + f (x).

Путем интегрирования по t из последнего равенства получаем

п t

9^,х) = Вх (х)-Х^ |а1 (л)¿8• е{ (х) +

¿=1 о

+ д (t) Р (х) +1 • / (х), (6)

где (х) - произвольная функция, которая подле-

t

жит определению; д ^) = | р ¿8.

0

Подставляя (6) в (5), имеем

ci(x) = J bi(s)

D

П J

1(x)-X£ Jai (9)dct (x) +

i=1 0

(7)

+ q (s) p (x) + s • f (x) d s . Примем обозначение

T

Bt (x) = J bt (s)[Di (x) + q(s) p(x) + s • f (x) ]ds,

0

T s

Ai} = J bt (s) J a} (9) d 9 ds ф 0 .

Тогда выражение (7) запишется в виде следующей системы алгебраических уравнений (САУ):

Ci (x) + x£ Ai} • Cj (x) = Bi (x), i = 1, t

(8)

j=i

САУ (8) однозначно разрешима при любых конечных Б1 (х), если выполняется следующее условие:

А (X) =

1 + XAn X A12 X A21 1+ X A22

X A„

X A„

X A1 „ X A,.

1 + X A„

ф 0. (9)

Определитель А (X) в (9) есть многочлен относительно X степени не выше п. Уравнение А (X) = 0 имеет не более п различных корней. Эти корни

являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Другие значения X являются регулярными, при которых условие (9) выполняется.

Итак, для регулярных значений X САУ (8) имеет единственное решение. Это решение подставляем в (6). Тогда находим функцию 9 (t, x) . Поскольку 9(t,x) = u tx(t,x), интегрируя её по t и по x, с учетом начальных условий (2) находим функцию u (t, x) . Далее, используя дополнительное условие (3), определяем функцию восстановления p (x) .

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомскГУ. Сер. «Математика и Механика». 2012. № 2. С. 56-62.

2. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Сер. «Математика. Механика. Физика». 2012. № 6. С. 35-41.

3. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного ин-тегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестник СамГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2014. № 1. С. 56-65.

4. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифферен-циальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 9. С. 74-79.

5. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18. No 3. Pp. 417-426.

References

1. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya kvazilineynogo uravneniya v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a quasilinear partial differential equation of first order) // Vestnik of Tomsk State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012. No 2, рp. 56-62. (In Russ.)

2. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya systemy kvazilineynyx uravneniy v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a system of quasilinear partial differential equations of first order) // Vestnik of South-Ural State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012. No 6, рp. 35-41. (In Russ.)

3. Yuldashev T. K. [Inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equations of third order]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 2014. No 1, рp. 56-65. (In Russ.)

4. Yuldashev T. K. A certain Fredholm partial integro-differential equation of the third order // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59, No 9, рp. 74-79.

5. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc. of Jangjeon Math. Society. 2015. Vol. 18, No 3, рp. 417-426.

© Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х., 2016

1=1